Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp SABC.. 3 SH S ABC = Bài 4: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng h và góc của hai đường
Trang 1ÔN THI KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRÒN XOAY KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các công thức về khối đa diện
Thể tích khối hộp chữ nhật: V= abc ( a,b,c là 3 kích thước)
Thể tích khối lập phương : V = a3 (a là cạnh khối lập phương)
Thể tích khôi chóp: V = Bh
3
1
( B diện tích đáy, h chiều cao)
Thể tích khối lăng trụ: V = Bh ( B diện tích đáy,h chiều cao)
Chú ý:
- Nếu hai khối đa diện đồng dạng theo tỉ số k thì thể tích tương ứng tỉ lệ theo tỉ số k3
II/ Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên SA, SB, SC đều tạo với
đáy một góc 60o
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC
b) Tính khỏang cách từ điểm A đến mp(SBC)
Giải
H
A
C
B S
a) Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC), ta có H là trọng tâm tam giác ABC
AH là hình chiếu của SA lên mp(ABC) nên g(SAH) = 60o
Ta có: AE =
2
3
a
, AH =
3
3
a
, HE =
6
3
a
SH = AH.tan 60o = a 3 =a
3 3
Vậy VSABC =
12
3
4
3 3
1 2 a3
a
b)Gọi AK là khỏang cách từ A đến mp(SBC)
Ta có: VSABC = VASBC =
SBC
SABC SBC
S
V AK AK
3
1
=
⇒
SE2 = SH2 + HE2 = a2 + 66 2 6362 42362 642
2
a SE a
a a
SSBC =
12
42 6
42 2
Vậy SK =
42
3 3 42
12 12
3 3
2
a
Trang 2Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA
tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp SABC
Giải
60
B H S
F E
J
Hạ SH⊥( ABC), kẽ HE⊥AB, HF⊥BC, HJ⊥AC suy ra SE⊥AB, SF⊥BC, SJ⊥AC
Ta có ∠SEH = ∠SFH = ∠SJH = 60 0 ⇒ ∆SAH =∆SFH =∆SJH nên HE =HF = HJ = r
( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp ∆ABC)
Ta có SABC = p(p−a)(p−b)(p−c) với p = a b c 9a
2+ = +
Nên SABC = 9 4 3 2 a2
Mặt khác SABC = p.r
3
6
2 a p
S
r= =
⇒ Tam giác vuông SHE: SH = r.tan 600 = a 3 2 2 a
3
6 2
= Vậy VSABC = 6 6 2 2 2 8 3 3
3
1
a a
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a Mặt bên SAC
vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC
b) Tính thể tích khối chóp SABC
Giải a) Kẽ SH ⊥BC vì mp(SAC)⊥mp(ABC) nên SH⊥mp(ABC) Gọi I, J là hình chiếu của H lên AB và
BC ⇒ SI⊥AB, SJ⊥BC, theo giả thiết ∠SIH = ∠SJH = 45 0
Trang 3
45 I
J
H A
C
B S
Ta có: ∆SHI = ∆SHJ ⇒HI =HJnên BH là đường phân giác của ∠ABC, từ đó suy ra H là trung điểm của AC
b) Ta có HI = HJ = SH =
2
a
VSABC =
12
3
SH
S ABC =
Bài 4: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng h và góc của hai đường
chéo của hai mặt bên kề nhau phát xuất từ một đỉnh là α Tính thể tích của lăng trụ
Giải
B'
h
D'
C'
A'
O
B
A
Gọi x là cạnh của đáy, ta có B’D’ = x 2 , AB' =AD' = h2 +x2
α
α 2 ' 2 ' cos cos
'.
'.
2 ' '
' '
:
'
'D B D2 AB 2 AD2 AB AD AB2 AB2
∆
⇔ 2x2 = 2 (h2 +x2 ) − 2 (h2 +x2 ) cos α ⇔x2 = (h2 +x2 ) − (h2 +x2 ) cos α
α
α cos
) cos 1 (
2
⇔x h .Vậy V = x2.h =
α
α cos
) cos 1 (
3 −
h
III.Bài Tập Tự luyện
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết cạnh bên SA vuông góc
với mặt đáy và SA=a 2
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b/ Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC) Tính thể tích của khối chóp SAIC theo a
c/ Gọi M là trung điểm của SB Tính AM theo a
Bài 2:Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB=60o Tính thể
tích hình chóp SABCD theo a
Trang 4Bài 3 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
a/ Tính thể tích khối LP theo a
b/ Tính thể tích của khối chóp A A’B’C’D’ theo a
KHỐI TRÒN XOAY
I/Tóm tắt lý thuyết:
1/Công thức tính diện tích và thể tích khối nón
S xq = R.lπ với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh
ñ
1 .cao 1
đ
3 s = 3 π h với R là bán kính đáy, h là chiều cao của hình chóp
2/ Công thức tính diện tích và thể tích khối trụ
S xq = 2π R.l với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh
V= S cao R h2
ñđ = π với R là bán kính đáy, h là chiều cao của hình trụ.
3/ Công thức tính diện tích và thể tích khối cầu:
3
II/ BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là α
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón
b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và SB Tính diện tích tam giác SAB và khỏang cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng này
Giải
a
K H O
B A
S
a) Tính V và Sxq
∆ vuông SAO : SO = a.sinα , AO = a.cosα
V = π π cos α sinα
3
1
.
3
a SO
Sxq = π.AO.SA=π.a2 cosα
b) + Tính SSAB
Kẻ OH⊥ AB⇒SH ⊥ AB, do đó ∠SHO= 60 0
Trang 5∆vuông SOH :
3
sin 2 60 sin 0
α
a SO
3
sin
a
∆ vuông AOH : AH2 = AO2 – OH2 = a2.cos2
9
sin
3 2 α
α − a α
2 sin cos
3
=
⇒AH a
Vậy SSAB =
3
sin cos
3 sin 2
2
1 = a2 α 2 α − 2 α
SH AB
+ Tính d(O,(SAB))
Kẻ OK⊥SH ⇒OK⊥(SAB)
∆ vuông OKH : OK = OH.sin 600 =
2
sin 2
3 3
sin
a
=
Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a)Tính khỏang cách từ điểm A tới mặt phẳng BCD
b)Tính khỏang cách giữa hai cạnh đối diện AB và CD
c) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Giải a)Gọi G là trọng tâm tam giác đều BCD và E = BC ∩ DG , F = CD ∩ BG
H
G
C A
Ta có : BF = DE = AF = a =
2
3
a
AF CD
BF
CD
⊥
⇒
⊥
⇒
⊥
⊥
) (
Chứng minh tương tự ta có BC⊥AG
Vậy AG⊥(BCD) và AG là khỏang cách từ A đến (BCD)
Ta có: AG2 = AB2 – BG2 = a2 - 32 23 232
2
a
Vậy AG =
3
6
a
b) Gọi H là trung điểm AB Vì CD⊥( ABF) nên CD HF⊥ Mặt khác FA = FB nên FH AB⊥ Vậy
FH là khỏang cách giữa hai cạnh đối AB và CD
Ta có HF2 = AF2 – AH2 = 23 2 22
2 2
a a a
=
−
Vậy HF =
2 2
a
Trang 6c) HF cắt SG tai W thì W là tâm, Bán kính R = 6
2
a
III.Bài Tập Tự luyện
Bài 1: Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a
a tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón
b.tính thể tích của khối nón
Bài 2: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.
a/Tính diện tích xung quanh và của hình nón
b/Tính thể tích của khối nón
Bài 3: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng R 3;
A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300 a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của h trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a, SA⊥(ABCD) và SA=a 3 Gọi O là tâm hình vuông ABCD và Klà hình chiếu của Btrên SC a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông Suy ra năm điểm S, D,
A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên
