So tay giai toan 12

“Nếu không bằng người mà không xấu hổ thì bằng người sao được.” Lỗ Tấn Page 1... “Nếu không bằng người mà không xấu hổ thì bằng người sao được.” Lỗ Tấn Page 3 = d Ứng dụng trong giải toá

Trang 1

Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool

“Nếu không bằng người mà không xấu hổ thì bằng người sao được.” (Lỗ Tấn) Page 0

CẨM NANG GIẢI TOÁN 12

V2.0

Trang 2

Trang 3

- Hàm số f(x) gọi là đồng biến trên K nếu "x x1 2, ÎK x: 1<x2 Þ f x( )1 < f x( )2

- Hàm số f(x) gọi là nghịch biến trên K nếu "x x1 2, ÎK x: 1<x2 Þ f x( )1 > f x( )2

b Điều kiện cần

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K

- Hàm số f(x) không đổi trên KÛ " Îx K f x: '( ) 0=

- Nếu f đồng biến trên khoảng K thì '( ) 0,f x ³ " Îx K

- Nếu f nghịch biến trên khoảng K thì f x'( ) 0,£ " Îx K

c Điều kiện đủ

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K

- Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên K

- Nếu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên K

- Nếu f¢(x) = 0, "x Î I thì f không đổi trên K

1 2 Một số vấn đề khác

a) Định lí về dấu của tam thức bậc hai:g x( )=ax2+bx c a+ ( ¹0)

+ Nếu D < 0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a

+ Nếu D = 0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a (trừ

2

b x a

2

b g a

+ Nếu D > 0 thì ( )g x có hai nghiệm x x và trong khoảng hai nghiệm thì ( )1, 2 g x khác dấu

với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì ( ) g x cùng dấu với a

- Nếu D > 0 thì g(x) đổi dấu khi qua x x ( đổi từ+ sang – sang +, hoặc đổi từ - sang + sang -) 1 2,

b) So sánh các nghiệm x x của tam thức bậc hai 1, 2 g x( )=ax2+bx c+ với số 0:

Trang 4

=

d) Ứng dụng trong giải toán

Cho hàm số y=g(x) xác định trên (a;b) và liên tục trên [a;b]:

e) Đơn điệu trên một khoảng, đoạn

Để hàm số y= f x( ) đồng biến trên tập K nào đó thì tồn tại khoảng để f’(x)>0 chứa tập K

Để hàm số y= f x( ) nghịch biến trên tập K nào đó thì tồn tại khoảng để f’(x)<0 chứa tập K

Bổ trợ: - Tập (-¥; )a là tập con của tập (-¥; )b khi và chỉ khi a b£

- Tập ( ;a +¥) là tập con của tập ( ;b +¥) khi và chỉ khi b a£

- Tập ( ; )a b là tập con của tập ( ; )c d khi và chỉ khi c aì £í £îb d

1.3 Tính đơn điệu của hàm thường gặp

a) Hàm số đa thức bậc ba f x( )=ax3+bx2+cx d+ :

Trang 5

· “Điều kiện để hàm số f x( )=ax3+bx2+cx d + đồng biến trên R là

00000

a

a b c

D

éì >

í

êî £ê

ì =êï

êí =

êï >îë

; nghịch biến

trên R là

00000

a

a b c

D

éì <

í

êî £ê

ì =êï

êí =

êï <îë

”

· Hàm số f x( )=ax3+bx2+cx d + đồng biến ( nghịch biến) trên K thì khoảng mà f x ³'( ) 0 (

'( ) 0

f x ³ ) của hàm số phải chứa K

· Hàm số f x( )=ax3+bx2+cx d + đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng có độ dài bằng l

khi

00

+) Đối với hàm hợp y= f g x( ( )), trong đó hàm u g x= ( ) xác định và có đạo hàm trên ( )a b , lấy giá ;

trị trên khoảng( )c d ; hàm ; y= f u( ) xác định ( )c d và có đạo hàm trên ; ( )c d , lấy giá trị trên R ;

Trang 6

2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

2.1 Lí thuyết

a) Định nghĩa: Giả sử hàm số ( ) f x xác định trên D, x0Î D

- Điểm x gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại số thực dương h sao cho 0 (x0-h x; 0 +h)

chứa trong D và f x( )> f x( ),o xÎ(x0-h x; 0+h) { }\ x0

Khi đó:

+ Giá trị f x gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ( )0

+ Điểm (x f x0; ( )0 )gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y=f(x)

+ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0

- Điểm x gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại số thực dương h sao cho 0 (x0-h x; 0+h)

chứa trong D và f x( )< f x( ),o xÎ(x0-h x; 0+h) { }\ x0

Khi đó: Giá trị f x gọi là giá trị cực đại của hàm số Điểm ( )0 (x f x0; ( )0 )gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số y=f(x)

+ Giá trị f x gọi là giá trị cực đại của hàm số ( )0

+ Điểm (x f x0; ( )0 )gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số y=f(x)

+ Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0

Điều kiện đủ 1: Giả sử tồn tại ( )a b; ÌD chứ x , hàm số y=f(x) liên tục trên (a,b) và có đạo hàm 0

trên mỗi khoảng (a x; 0) (, x b 0; )

ïî thì x là một điểm cực đại của hàm số f(x) 0

Điều kiện đủ 2: Giả sử tồn tại ( )a b; ÌD chứ x , hàm số y=f(x) liên tục trên (a,b) và có đạo hàm 0

cấp 1 trên (a;b) và có đạo hàm cấp hai tại x Khi đó: 0

0

'( ) 0''( ) 0

f x

î thì x là một điểm cực đại của hàm số f(x) 0

Chú ý: + Nếu f x = chưa chắc '( ) 00 x là cực trị của hàm số f(x) 0

Trang 7

+ Hàm số có thể đạt cực trị tại x mà tại đó f’(x) không xác định 0

+ Chỉ xét cực trị của hàm số f(x) nếu đạo hàm của nó bằng không hoặc đạo hàm không xác định tại điểm đó (hàm số không có đạo hàm)

f

a

f x D

a b

f

a

f x D

a b

f

a D

ì ¹

00

a b

ì =

í =î

· Hàm số có cực đại, cực tiểu

'(x)

00

f

a D

· Tính nhanh: Hàm số f x( )=ax3+bx2+cx d a+ ( ¹0)không có cực trị khi và chỉ khi

b - ac£ ; có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi b2-3ac> 0

· Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là AB 4 16e e3

Trang 8

+ Trục Ox: Cùng nằm phía trên Ox khi: 0

a>0: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại

a<0: Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu

816

Dạng 3 Đồ thị hàm số y ax= 4+bx2+ có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam c

giác cân có một góc · BAC a = cho trước khi và chỉ khi 3

3

0

8cos

Trang 9

Dạng 4 Đồ thị hàm số y ax= 4+bx2+ có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn điều kiện BC OA c =

(với O là gốc tọa độ) khi và chỉ khi 2 0

giác có diện tích là S cho trước khi và chỉ khi 5

giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R khi và chỉ khi 3

088

giác có bán kính đường tròn nội tiếp là r khi và chỉ khi

2

04

8

ab

b a r

b a

ì <

ïïï

í =ï

Dạng 11 : Đồ thị hàm số y ax= 4+bx2+ có ba điểm cực trị A, B, C trong đó , c B C OxÎ khi D =0

Dạng 12 : Đồ thị hàm số y ax= 4+bx2+ có ba điểm cực trị A, B, C mà tam giác ABC nhọn : c

Trang 10

Dạng 14 : Đồ thị hàm số y ax= 4+bx2+ có ba điểm cực trị A, B, C mà các điểm cực trị của đồ thị c hàm số cách đều Ox : 2 0

ab

a k

- Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ

ax b y

3.3 Quy ước Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì

ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f

3.4 Chú ý: Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và tồn tại min ( ) ; max ( )

D f x =m D f x =M Khi đó:

1) Phương trình ( ) f x =a có nghiệm trên D Û m £ a £ M

Trang 11

2) Bất phương trình ( ) f x ³a có nghiệm trên D Û M ³ a

3) Bất phương trình f x( )£b có nghiệm trên D Û m £ b

4) Bất phương trình f(x) ³ a đúng với mọi x DÎ Û m ³ a

5) Bất phương trình f(x) £ b đúng với mọi x D Î Û M £ b

( )limlim ( )

x x

= - , tiệm cận ngang là: y a

c

=

Trang 12

Cho hai đường cong: ( )C1 :y f x= ( ) và ( )C2 :y g x= ( )

+) Nếu M x y là điểm chung của ( ; )0 0 ( )C và 1 ( )C2 Û M x y( 0 0; ) là nghiệm của hệ: ( )

+ Hoành độ giao điểm của ( )C và 1 ( )C là nghiệm của phương trình: ( )2 f x =g x( ) (*)

+) Số nghiệm phương trình (*) bằng số giao điểm của ( )C và 1 ( )C2

5.2 Bổ sung một số kiến thức

a) Phương trình bậc 2

Trang 13

-Phương trình: g x( )=ax2+bx c+ =0 (a¹0) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0

0( ) 0

x Û íì >D g x ¹

-Phương trình: g x( )=ax2+bx c+ =0 (a¹0) có nghiệm kép khác 0 0

02

a

D

ì =ï

-Phương trình: g x( )=ax2+bx c+ =0 (a¹0) vô nghiệm Û <D 0

b) Phương trình bậc 3 hay tương giao đồ thị hàm đa thức bậc ba và trục Ox

Tương giao của đồ thị hàm bậc 3 y a x= ' 3+b x' 2+c x d a' + ' ( ' 0¹ ) và trục Ox:

Phương trình hoành độ giao điểm: a x' 3+b x' 2+c x d' + = ' 0

Trường hợp 1: Biến đổi phương trình: a x' 3+b x' 2+c x d' + = thành ' 0 (x-a) (ax2+bx c+ =) 0

· Phương trình: (x-a) (ax2+bx c+ =) 0 có ba nghiệm phân biệt Û Phương trình:

ax +bx c+ = có hai nghiệm phân biệt khác a

· Phương trình: (x-a) (ax2+bx c+ =) 0 có hai nghiệm phân biệt Û Phương trình:

ax +bx c+ = có nghiệm kép khác a hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một

nghiệm bằng a

0( ) 00( ) 0

g g

D a D a

éì =í

g

D a D

éì =íê

<

ë

Trường hợp 2: Không nhẩm được nghiệm a

Số giao điểm của đồ thị hàm số y ax= 3+bx2+cx d a+ ( ¹0) và Ox bằng số nghiệm của phương trình: ax3+bx2+cx d+ = 0

· Chỉ có một nghiệm khi và chỉ khi: Hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến; hoặc có hai

cực trị nằm về cùng một phía đối với Ox

' '

00( ) ( ) 0

y y

y x y x

D D

êì

Ûêíê > >

îë

trong đó: x x là nghiệm của 1 2,

Trang 14

· Chỉ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có hai cực trị, trong đó có hai cực trị nằm

về hai phía của trục Ox '

0( ) ( ) 0y

Bổ sung: + Phương trình đường thẳng qua hai cực trị (nếu có) là y mx n= + (Biểu thức mx n+ là đa

thức dư khi chia y cho y’)

+ Phương trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số cộng (đồ thị hàm số bậc ba cắt Ox tại ba điểm A, B, C sao cho AB=BC) khi đó có một nghiệm là

3

b x a

= - (hay hoành độ điểm B là

- Cho tam giác D A A A1 2 3 trong đó: A x y1 1 1( ; ), A x y2( ; ),2 2 A x y không thẳng hàng: 3 3 3( ; )

+ Tam giác D A A A1 2 3vuông tại A1Ûuuuuur uuuuurA A A A1 2 1 3 =0

uuuuur uuuuuruuuuur uuuuur

P S

=ì

í >

î

00/ 2 0

êî >

ë

000/ 2 0

P S

S

éì =í

ê <

îê

ê D =ì

êîë

0000

P S

é D ³ìï

ê >

íêï

Trang 15

*) Hàm số luôn đồng biến trên R

*) Hàm số không có cực trị *) Hàm số luôn nghịch biến trên R *) Hàm số không có cực trị

Trang 16

biệt *) Hàm số đồng biến trên khoảng

*) Hàm số đạt cực đại tại

1; CT ( )1

x X y= = f X Hàm số đạt cực tiểu tại x X y= 2; CÑ= f X( )2

6.2 Đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương: f x( )=ax4+bx2+c a( ¹0)

· Vì hàm số là chẵn trên R nên đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng

· Hàm số luôn có cực trị (một cực trị nếu a.b>0 ; ba cực trị nếu a.b<0)

· Có một cực trị luôn thuộc trục Oy Trường hợp có 3 điểm cực trị thì ba điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác cân

b a

Trang 17

Trang 18

®-¥ = và lim

x

a y c

®+¥ = nên đường thẳng

a y c

= là tiệm cận ngang

*) Bảng biến thiên :

3 Đồ thị

7 BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN

Dạng 1 Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y= f x( )tại tiếp điểm M(x y có dạng: 0; 0)

( )0 ( 0) 0

d y f= x x- +y

Trang 19

Áp dụng trong các trường hợp sau:

f x

ìï

Þ íïî

3 Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại

4 Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) ,

biết hệ số góc kcủa tiếp tuyến d

Hoành độ tiếp điểm x 0

Tung độ tiếp điểm ( )

y = f x

Giải phương trình

f x'( )0 = k

Chú ý: Gọi k là hệ số góc của đường thẳng 1 d và 1 k là hệ số góc của đường thẳng 2 d 2

Nếu d song song với 1 d thì 2 k1=k2

Nếu d vuông góc với 1 d thì 2 k k = - 1 2 1

Dạng 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) đi qua điểm A(x y 1 1; )

Phương pháp:

Bước 1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và có hệ số góc k

d y k x x: = ( - 1)+ y1

Bước 2 Tìm điều kiện để d là tiếp tuyến của đường cong (C) :

d tiếp xúc với đường cong (C) ( )

( )' (*)

Bước 3 Khử k , tìm x, thay x vào (*) để tìm k , từ đó suy ra các tiếp tuyến cần tìm

Chú ý: Số tiếp tuyến bằng số nghiệm của hệ phương trình (*)

Dạng 3: Cho hai hàm số: ( )C1 :y f x= 1( ) ( )& C2 :y f x= 2( ) Khi đó: ( ) ( )C1 & C tiếp xúc với nhau 2

khi và chỉ khi, hệ phương trình: ( ) ( )

Bước 1: Gọi M m ( , b ) là điểm thuộc đường thẳng: y=b

Bước 2: Giả sử đường thẳng d qua M có hệ số góc k, khi đó: Phương trình của (d) là:

f x k (*) có nghiệm Số nghiệm của hệ bằng số tiếp tuyến qua M của đồ thị (C)

Bước 3: Hệ (*)Þ f x ( ) = f x '( ) ( x - m ) + b(**) Để kẻ được p tiếp tuyến tới đồ thị (C) thì phương trình (**) có p nghiệm phân biệt

Bước 4: Thử lại và kết luận

Trang 20

- Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a <n b

- Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a <n b

Chú ý: + Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu n a

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu là n a

Trang 21

log 1 0a = ; loga a = ; 1 loga a b=b; aloga b =b

* So sánh: Nếu a > 1 thì log a b>loga c Û > Nếu 0 < a < 1 thì log b c a b>loga cÛ <b c

Khái quát: a m³a n Û( )(a-1 m n- )³0 và loga m³loga nÛ( )(a-1 m n- )³0

* Phép toán: log (a b b1 2) log= a b1+loga b2 1 1 2

a

* Logarit thập phân: lgb=logb=log10b

* Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb=loge b (với e lim 1 1 n 2,718281

· Luôn đi qua điểm (1; 1)

· a³ 0 đồ thị không có tiệm cận

· a< 0 đồ thị có tiệm cận ngang là trục Ox, tiệm cận đứng là trục Oy

Trang 22

· Khi a > 1 hàm số đồng biến trên R

· Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến trên R

* Đồ thị:

· Luôn đi qua các điểm (0; 1) ; (1 ; a)

· đồ thị có tiệm cận ngang là trục Ox

· Khi a > 1 hàm số đồng biến trên (0; +¥)

· Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến trên (0; +¥)

Trang 23

y= x y= x đối xứng với nhau qua Ox

4) Đồ thị hàm số y=log ,a x y a= x hoặc y= -log ,a x y a= -xđối xứng qua đường phân giác của

6.2 Một số phương pháp giải phương trình mũ

a) Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a ¹ 1: a f x( ) =a g x( )Û f x( )=g x( )

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a M =a N Û(a-1)(M N- ) 0=

b) Logarit hoá: a f x( ) =b g x( )Û f x( )=(loga b g x) ( )

î , trong đó P(t) là đa thức theo t

· Dạng 2: a a2 ( )f x +b( )ab f x( )+g b2 ( )f x = Chia 2 vế cho 0 b2 ( )f x , rồi đặt ẩn phụ

( )

f x

a t b

Trang 24

Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

· Đoán nhận x 0 là một nghiệm của (1)

· Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x 0 là nghiệm duy nhất:

· Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f u( )= f v( )Û =u v

Cần nhớ:

+) a>1: Hàm số y a= x đồng biến (nghĩa là: Nếu 1 2

x <x Þa <a ) +) 0<a<1: Hàm số y a= x nghịch biến (nghĩa là: Nếu 1 2

x <x Þa >a

+) Hàm số y f x= ( ) liên tục và có đạo hàm trên I

- Nếu '( ) 0f x > thì hàm số đồng biến trên I;

- Nếu f x <'( ) 0 thì hàm số nghịch biến trên I

+) Hàm số y f x= ( ) liên tục và có đạo hàm trên I Nếu y= f x( ) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến thì f u( )= f v( )Þ =u v

Dấu “=” xảy ra khi a=0 hoặc a=1

* Đối với dạng “Giải phương trình :a f x( )+b f x( ) =c f x( )+d f x( )” chúng ta có thể sử dụng định lí Largrange để giải:

- Giả sử x0 là nghiệm

- Biến đổi phương trình về dạng thích hợp sao cho h(a)=h(b) Trong đó h(x) là hàm khả vi, liên tục

- Theo định lí Largrange tồn tại: cÎ( )a b; sao cho: h c'( ) h a h b( ) ( ) 0 (*)

a b

-Giải (*), suy ra được nghiệm x0

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

f) Phương pháp đối lập : Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Nếu ta chứng minh được: ( )

Trang 25

7.BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ

( ) ( )

1( ) ( )

8.1 Phương trình logarit cơ bản: Với a > 0, a ¹ 1: loga x b= Û =x a b

8.2 Một số phương pháp giải phương trình logarit

8.3 Dạng cơ bản

Dạng 1: Phương trình dạng loga f x( ) log g( ); 0= a x < ¹ a 1

Phương pháp giải:

( ) ( )log ( ) log g( )a f x = a x Û íìg x f x( ) 0>=g x

8.4 Một số phương pháp giải phương trình mũ:

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Cần nhớ các công thức biến đổi sau:

- = 4 nx ( )x n

a = a 5

x

n x n

a = a 6

( )1

nx

n x

Trang 26

1 loga( )x y =loga x+loga y (x y, >0,0< ¹ 2 a 1)

Đặt t=loga x Một số công thức biến đổi

+ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Sử dụng biệt thức V cho tam thức bậc 2 ẩn t, trong đó t=loga x để phân tích thành tích

d) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Cần nhớ:

+) a>1: Hàm số y=loga x đồng biến trên R+ (nghĩa là: Nếu 0<x1<x2Þloga x1<loga x2 ) +) 0<a<1: Hàm số y=loga x nghịch biến trên R+ (nghĩa là: Nếu 0<x1<x2Þloga x1>loga x2

+) Hàm số y f x= ( ) liên tục, có đạo hàm trên I

- Nếu f x >'( ) 0 thì hàm số đồng biến trên I;

- Nếu '( ) 0f x < thì hàm số nghịch biến trên I

+) Hàm số y f x= ( ) liên tục và có đạo hàm trên I Nếu y= f x( ) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến thì ( )f u = f v( )Þ =u v

· Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa

· Với a, b, c > 0 và a, b, c ¹ 1: alogb c=clogb a

9 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT:

Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit

Trang 27

1( ) ( ) 0log ( ) log ( )

Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi mà số tiền gốc sinh ra

Công thức tính lãi đơn :T n = M(1 .+ r n)

Với Tn : số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn ;

M : số tiền vốn ban đầu

r : Lãi suất định kỳ ( tính theo % )

n : số kỳ hạn tính lãi

10.2 LÃI KÉP

Số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra thay đổi theo từng định kỳ

a) Lãi kép gửi một lần : Công thức tính lãi kép : T n= M(1 + r)n

Với Tn : số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn ; M : số tiền vốn ban đầu

r : Lãi suất định kỳ ( tính theo % ); n : số kỳ hạn tính lãi

b) Lãi kép, gửi định kỳ :

*Trường hợp 1 : Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng T n M[(1 ) 1]r n

r

*Trường hợp 2 : Tiền được gửi vào đầu mỗi tháng

Cuối tháng thứ n ngườiđó có số tiền là : T n M[(1 ) 1](1 )r n r

è ø và tiền lương ở kì tăng lương thứ n là T n = 1 A( + r)n

e) Bài toán tăng trưởng dân số:

,

m n

T T lần lượt là dân số năm m và n

r là tỉ lệ tăng dân số từ năm m đến năm n

Trang 28

C NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

I LÍ THUYẾT NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

1 Nguyên hàm cơ bản

a

a a

· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) được gọi l tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là :

· Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:

f x dx

b a

S=ò f x dx

Trang 29

· Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì · Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì

· Nếu m£ f x( )£M trên [a; b] thì ( ) b ( ) ( )

a

m b a- £ò f x dx M b a£ -

4 Phương pháp tính tích phân

a) Phương pháp đổi biến số: trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục

trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b Î K

b) Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Î K thì:

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho dễ tính hơn

– Khi tính cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên không ? Nếu có thì

áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân Nếu không kết luận tích phân không tồn tại

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Phương pháp 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến

ò Nhưng tính theo dạng 1 không được, lúc này ta chuyển

về hàm lượng giác Ta thường gặp các dạng sau:

b a

)(

Trang 30

= hoặc đặt

cos

a x

Phương pháp 2: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Với P(x) là đa thức ẩn x, có các dạng sau:

Thứ tự ưu tiên đặt u trong phương pháp Nguyên hàm từng phần:

Lôgarít ® Đa thức ® sin ,cosx x x

e

éê

Trang 31

“Nếu khơng bằng người mà khơng xấu hổ thì bằng người sao được.” (Lỗ Tấn) Page 30

- Loại 1: Nếu bậc của P(x) ³ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức

- Loại 2: Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) cĩ dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x)

thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định)

Các dạng dùng phương pháp hệ số bất định thường gặp:

Dạng 1: Mẫu số cĩ nghiệm đơn:

cx d

+

=+

Trang 32

ìïíïî

ò ò ò

21

axdx

n N axdx

Trang 33

(sin2 ) 21.sin (1 cos2 ) 21.sin

cosò n axdx Phân tích như trên sau đó đặt: u=sinx

+ Với n chẵn: Sử dụng công thức hạ bậc: cos2 1 cos2

-Dạng 3: sinò n ax.cosm axdx (n, m Î N)

+ Với n lẻ hay m lẻ : n lẻ Đặt u = cosax ; m lẻ Đặt u = sinax

2

ax ax

Cần nhớ:

sin cos 2 sin

4sin cos 2 cos

Trang 34

axdx

n N axdx

ax dx

ax dx ax

1-dt dx

ò

Phương pháp: Phân tích sin cos ( cos sin )

Trang 35

1sin

(1 ) sin( ) ( )cos -( ) (sin( ) ) ( )cos

* Dùng công thức tổng thành tích biến đổi về dạng 12 rồi giải bình thường

* Chú ý : Phương pháp trên cũng áp dụng cho các dạng tích phân sau :

Trang 36

2.2 Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo 2.3

2.3 Nếu 3 £ n lẻ (n = 2p +1) thì thực hiện biến đổi:

a Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng

b Nếu m chẵn, n lẻ (n =2p +1) thì biến đổi:

Trang 37

d Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2 hoặc 1.3 cho số mũ lẻ bé hơn

1.2 Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sinx ta có:

Trang 38

1.2 Nếu m lẻ, n lẻ (m = 2k +1, n = 2h +1) thì biến đổi:

21

I=ò f x dx, ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

Trang 39

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x)

+ Nếu h x >( ) 0 thì max ( ), ( ){f x g x}= f x( ) và min ( ), ( ){f x g x }=g x( )

+ Nếu h x <( ) 0 thì max ( ), ( ){f x g x}=g x( ) và min ( ), ( ){f x g x }= f x( )

VII TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT

1 Cho hàm số y= f x( ) liên tục và lẻ trên đoạn éë-a a; ùû Khi đó: a ( ) 0

x

f x dx f x dx a

-=+

Trang 40

Dạng 1: Cho hàm số y f x= ( )liên tục trên ;éëa bùû Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x= ( ), trục Ox (y =0) và hai đường thẳng x a= và x b= là:

( )

b a

S=ò f x dx

Phương pháp giải:

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số y= f x( )trên đoạn ;éëa bùû

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân : b ( )

+ Cách 2: Lập bảng xét dấu hàm số f x trên đoạn ;( ) éëa bùû rồi khử trị tuyệt đối

Dạng 2: Cho hàm số x f y= ( ) liên tục trên ;éëa bùû Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x f y= ( ), trục Oy (x =0) và hai đường thẳng y a= và y b= là:

( )

b a

S=ò f y dy

2 Diện tích hình phẳng

) ( :

) ( C y = f x

b

a

x y

Định dạng
Số trang	96
Dung lượng	1,28 MB