bài tập ôn luyện thi đại học

17Tứ giác lồi ABCD có AC=8,BD=6.Chứng minh rằng aTồn tại một cạnh của tứ giác nhỏ hơn 7 bTồn tại một cạnh của tứ giác lớn hơn hoặc bằng 5 18Cho năm điểm ở bên trong một tam giác đều cạn

Bài tập ôn tập lần 1(thời gian 1 tuần,5 bài/ngày)

1)Cho tứ giác ABCD có AD=CD và

· · 900

DAB ABC = <

.Đường thẳng nối D và trung điểm BC cắt AB tại E Chứng minh rằng

BEC DAC =

2)Cho tam giác ABC và R là điểm tùy ý trên cạnh AB.Gọi P là giao điểm cuả đường thẳng BC và đường

thẳng qua A song song CR.Giả sử Q là giao điểm của AC vs đường thẳng qua B song song CR.Chứng minh

rằng

AP+BQ =CR

3)Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và CD của tứ giác lồi ABCD.Chứng minh rằng

2 1

2

ABCD

S < AM + AN

4)Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH,trung tuyến BM,phân giác CD đồng quy tại O.Chứng

minh rằng :

BC BH

AC = CH

và BH=AC

5)Cho hình bình hành ABCD(AD<AB) các điểm M,N lần lượt thuộc AB,AD sao cho BM=DN.Gọi O là giao

điểm của BN và DM.Đường thẳng CO cắt AB,AD tại I và K.Chứng minh rằng CD=DK

6)(Định lí Van Oben):Cho M là điểm trong tam giác ABC.Gọi D,E,F thứ tự là giao điểm của AM,BM,CM với

các cạnh BC,AC,AB.Khi đó thì

AM AE AF

MD = EC + FB

7)Cho hình chữ nhật ABCD.Gọi M là trung điểm AD,N là trung điểm BC.Trên tia đối của tia DC lấy P,đường

thẳng PM cắt AC tại Q cắt BC tại S.Đường thẳng QN cắt CD tại R.Chứng minh rằng

a)Tam giác NPR cân b)

MQ SQ

MP = SP

8)Cho tam giác ABC có AM,BN,CP là các tia phân giác.Đặt BC=a,AC=b,AB=c.Chứng minh rằng

MNP ABC ( ) ( 2 ) ( )

S = a b b c c a

9)Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có

2

b a b + c b c + a c a ≥ a b c

10)Cho 1 2,

, , n

x x x

là các số thực dương có tổng bằng 1.Chứng minh rằng

n n

11)Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn

a + b + + c d =

.Chứng minh rằng

4 5

a a b b c c d d

12)Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ac=1.Chứng minh rằng:

a b c

+ +

13)Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có

+ +

14)Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 6 và chia hết cho 2003.

15)Gọi A là tập tất cả các số nguyên dương có thể biểu diễn dưới dạng

2 2 2

a + b

trong đó a,b là các số nguyên và b khác 0.Chứng minh rằng nếu

2

p ∈ A

với p là số nguyên tố thì p A ∈

( ví dụ:

22 2 = + 2.3 ⇒ 22 A ∈

)

16)Cho p là số nguyên tố Chứng minh rằng ( )

xy − yx M p

với mọi số nguyên x,y

17)Tứ giác lồi ABCD có AC=8,BD=6.Chứng minh rằng

a)Tồn tại một cạnh của tứ giác nhỏ hơn 7

b)Tồn tại một cạnh của tứ giác lớn hơn hoặc bằng 5

18)Cho năm điểm ở bên trong một tam giác đều cạnh bằng 2.Chứng minh rằng trong năm điểm đó,tồn

tại hai điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1

19)Cho sáu điểm trong đó ba điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác có độ dài ba cạnh khác

nhau.Chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng nối 2 điểm vừa là cạnh nhỏ nhất của một tam giác,vừa là cạnh lớn nhất của một tam giác

20)Tồn tại hay không 50 điểm sao cho với bất kì hai điểm A,B nào trong 50 điểm ấy cũng tồn tại một

điểm C trong các điểm còn lại sao cho

· 600

ACB >

21)Cho một đa giác lồi 16 cạnh.Tại mỗi đỉnh của đa giác,viết một số tự nhiên nhỏ hơn 100.Chứng minh

rằng tồn tại hai đường chéo của đa giác sao cho hiệu hai số viết ở hai đầu đường chéo là bằng nhau

22)Bên trong một đường tròn có bán kính 6,cho năm điểm.Chứng minh rằng trong năm điểm đó tồn tại

hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 9

23)Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( )

3 64

24)Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1.Chứng minh

1

a + b + c ≥ a b c +

25)Cho x,y,z là các số thực dương ta có

xy yz xz

+ +

26)Cho x là số thực sao cho

1

x x

+

là số nguyên.Chứng minh rằng

1

n n

x x

+

là số nguyên với mọi số nguyên dương n

27)Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình ( 2 x + 5 y + 1 2014 ) ( x + + y x2+ = x ) 105

28)Cho x,y là các số nguyên dương thỏa mãn

3 1

x x xy

+

−

là số nguyên dương.Chứng minh rằng tồn tại số nguyên z sao chox y z+ + =xyz

29)Cho a,b,c,x,y là các số thực dương.Chứng minh rằng:

3

bx cy cx ay ax by+ + ≥ x y

30) Cho a,b là các số tự nhiên lớn hơn 2 và p là số tự nhiên thỏa mãn

p = a +b

Chứng minh rằng p là hợp số.

Bài tập tự giải:

1) Cho tam giác ABC có BC là cạnh dài nhất.Trên BC lấy hai điểm D và E sao cho

BD=BA,CE=CA.Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại M.Đường thẳng qua E song song với AC cắt AB tại N.Chứng minh rằng AM=AN.

2)Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn

x+ =y z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

P

3)Cho n là số nguyên dương.Chứng minh rằng 2 1 ( 2013+ 22013+ + n2013) M ( n n ( + 1 ) )

4)Xét 20 số nguyên dương đầu tiền 1,2,…,20.Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính

chất:Với mỗi cách lấy ra k phần tử phân biệt từ 20 số trên,đều tồn tại hai số phân biệt a,b sao cho a+b là một số nguyên tố

5)Tìm nghiệm nguyên của phương trình

5 x + y = + 17 2 xy

Hướng dẫn vắn tắtcó thể có lỗi,cần đọc kĩ

1)Gọi M là trung điểm BC.CE cắt AN tại P Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác DMN với 2 cát tuyến PCE và ABE ta chứng minh được CP là tia phân giác của góc DCN

2)Áp dụng định lí Talet.

3)Ta có

Gọi I là giao điểm AM và BD.kẻ NH là đường cao tam giác AMN.ta có MN là đường trung bình nên

2

2

1

1

2

ABCD

AM AN

+

4)ÁP dụng định lí Ce-Va cho tam giác ABC với 3 đường AH,BM,CD đồng quy ta có

BH CM AD BH BD BC

CH AM BD = ⇒ CH = AD = AC

Mà ta có

2

AC BC

5)Cách 1:Áp dụng đinh lí Menelaus cho tam giác ADM với cát tuyến NOB ta có

Cách 2:Gọi E là giao điểm của đường thẳng BN và CD

Ta có BM//DE nên

BM BO

ED = OE

mà BM=DN nên

BO DN

OE = ED

Ta có DN//BC nên

DN BC BO BC

ED = CE ⇒ OE = CE

nên CO là tia phân giác góc BCD Sau này chứng minh tương tự như cách 1

6)Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CM và BM lần lượt tại P và Q

Ta có

/ / AF AQ ; / / AE AP AF AE AQ AP PQ

+

Mà

/ / PQ PM AM AF AE MA

PQ BC

BC MB MD FB EC MD

7)Gọi O là giao điểm của MN và AC

a)Ta có MN//RP nên

CP CR

mà NC⊥RP⇒VRNP

cân b)Chứng minh MN,NS lần lượt là tia phân giác ngoài và phân giác trong của tam giác RNP nên ta có

MQ QN QS MQ QS

dpcm

MP = PN = SP ⇒ MP = SP

8)Áp dụng công thức

· 1

.sin 2

ABC

S = AB AC BAC

Theo tính chất tia phân giác ta có

AN

NC = BC ⇒ NC AN = BC AC ⇒ b = c a ⇒ = c a

Tương tự ta có

bc AP

a b

= + .Mặt khác ta có

·

1

2

.sin 2

ANP ABC

AN NP NAP

S = AB AC BAC = AB AC = a b a c

Tương tự ta có BMP ABC ( ) ( ) ; CMN ABC ( ) ( )

S = a b b c S = c a c b

Khi đó ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( )

S = − S − S − S = − a b a c − a b b c − c a c b = a b b c c a

(Nhớ cách tính này,ứng dụng khá nhiều)

9)

2 2

.

b a b + c b c + a c a ≥ abc a b b c c a ≥ a b c a b c ≥ a b c

10) ta có

2 1 1 1

n

+ + +

2

4 5 1

2

a a b b c c d d

12) ta có bổ đề

3

3

a b c

a b c

x y z x y z

+ + + + ≥

+ +

với a,b,c,x,y,z là các số thực dương

Áp dụng bổ đề ta có

abc a b c

13) Ta sẽ chứng minh

( ) ( )

2

0 3

a b a b

−

tương tự ta sẽ có

;

Khi đó ta có

14)Xét 2004 số có dạng 6;66;666;….;666…6.Theo định lí Dirichlet thì tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia

cho 2003.Giả sử 2 số đó là:

Khi đó ta có

666 6.10k

n k

A B

−

− =

chia hết cho 2003.Mà ta có

( 2003;10k) 1 666 6 2003

n k−

15)Ta thấy p=2 không thỏa mãn bài toán.Xét p>2.khi đó p lẻ.Vì

2

p ∈ A

nên tồn tại a,b sao cho

( ) ( )

p = a + b ⇒ p a p a − + = b

Gọi d = ( p a p a − ; + ) ⇒ d / 2 p ⇒ ∈ d { 1 ; 2; p p ; 2 }

.Giả sử

d pM ⇒a pM ⇒ > ⇒a p a > p =a + b

(vô lí).Mà ( p a p a − ) ( + ) M 2 ⇒ = d 2

do đó ta có

2

2

n

 

⇒ = + ⇒ = +  ÷  

Do n chẵn nên tồn tại bộ số (m;n/2) thỏa mãn nên

p A ∈

16) Ta có

[ ]

x x p x y xy p

xy xy p

y y p xy xy p

17)a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.Khi đó ta có

{ OA OB AB OC OD CD + > ⇒ OA OB OC OD + + + > AB CD + ⇒ AC BD + > AB CD + ⇒ 14 > AB CD +

+ >

Khi đó sẽ tồn tại một trong hai cạnh AB,CD có độ dài nhỏ hơn 7(dpcm)

b)Ta có thể giả sử

· AOB ≥ 900

khi đó kẻ BK vuông góc với AC ta sẽ có KA OA≥

Ta có

AB = KA + BK ≥ OA + OB

Tương tự ta có

50

+

Khi đó ta có thể giả sử

2

AB ≥ 25 ⇒ ΑΒ ≥ 5

(Thử tự dự đoán dấu bằng xảy ra khi nào nhé!!!!)

18)Gọi tam giác đó là ABC và F,D,E là trung điểm BC,AB,AC.Khi đó tam giác ABC được chia làm 4 tam giác

đều bằng nhau có cạnh là 1.Theo định lí Dirichlet ta có sẽ tồn tại ít nhất 2 điểm thuộc 1 tam giác

Giả sử 2 điểm đó là M,N và nằm trong tam giác BDF và M,N không trùng với các đỉnh B,D,F.Ta sẽ chứng minh MN<1.Giả sử MN cắt BD,BF tại G và H.Ta có

· · 1200

BGH BHG + =

khi đó tồn tại 1 góc lớn hơn hoặc bằng 60.giả sử là

BGH ≥ ⇒ ΗΒ ≥ HG ⇒ BF > HB HG MN ≥ ≥ ⇒ > MN

19)Xét từng đoạn thẳng,ta sẽ tô đỏ nếu nó là cạnh nhỏ nhất của một tam giác,tô màu xanh nếu nó

không là cạnh nhỏ nhất của một tam giác nào.Như vậy mỗi tam giác phải có ít nhất một cạnh màu đỏ.Khi đó ta cần chứng minh tồn tại một tam giác mà ba cạnh tô màu đỏ.Khi đó cạnh lớn nhất của tam giác này sẽ là cạnh nhỏ nhất của tam giác khác(vì nó được tô màu đỏ)

20)Giả sử tồn tại 50 điểm thỏa mãn bài toán.

Vì số điểm là hữu hạn nên tồn tại 2 điểm A,B sao cho AB là đoạn thẳng có độ dài bé nhất

Chọn 2 điểm là A,B.Khi đó tồn tại điểm C sao cho

· 60

ACB >

.Vì AB là cạnh nhỏ nhất nên ra sẽ có ·ACB

là góc nhỏ nhất khi đó ta có

µ 60; µ 60 µ µ µ 1800

A > B > ⇒ + + > A B C

(vô lý)

Vậy không tồn tại 50 điểm thỏa mãn bài toán

21)Ta sẽ chứng minh rằng tứ giác có n cạnh thì có

( 3) 2

n− n

đường chéo.Khi đó ta có

16.13

104

2 = đường chéo

Hiệu hai số ở hai đầu đường chéo có giá trị nhỏ nhất là 0(khi hai số ở đầu bằng nhau) và hiệu lớn nhất là 99(vì 99-0).Có 100 hiệu mà có 104 đường chéo.Khi đó tồn tại hai đường chéo có hiệu bằng nhau

22)Chia đường tròn làm 4 phần bằng nhau khi đó tồn tại 2 điểm thuộc chung một phần.Chứng minh

khoảng cách 2 điểm đó nhỏ hơn 9

23)Ta có bổ đề:Cho x,y,z là các số thực dương khi đó ta có:

9

x y z

x + y + z ≥ + +

Áp dụng bổ đề ta có ( ) ( ) ( )

3

1

b c c a a b

Ta sẽ chứng minh

3

b c c + a a + b ≥

24)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

ab bc ac a b c

a b c ab bc ac a b c a b c

+ + + + + +

⇔ + + + ≥ + + + + + + ⇔ + + ≥

25)ta có

x y z y z x z x y x y x z x y y z z x z y

xy yz xz

≤  + + ÷ ≤   + ÷ +  + ÷ +  + ÷ ÷ ≤  + + ÷ =

26)Đặt

1

n

x

Ta có

.

x

Từ S0 = 1, S1

là số nguyên,bằng quy nạp ta chứng minh được Sn là số nguyên với mọi n nguyên dương

27)Vì ( 2 x + 5 y + 1 2014 ) ( x+ + y x2+ = x ) 105

và 105 lẻ nên ta có 2x+5y+1 lẻ nên ta có y chẳn

Vì

2

2014x+ +y x +x

lẻ mà y chẳn và x2+ =x x x( +1)

chẵn nên ta sẽ có 2014

x

lẻ

Nhưng chỉ có trường hợp 2014 1

x =

là lẻ nên x=0.Thay x=0 vào ta có

26

5

y

−





28)Theo giả thiết ta có

x x y xy x y xy

Khi đó tồn tại z Z

+

∈ sao cho x y z xy + = ( − ⇒ + + = 1 ) x y z xyz

29) Ta có

2

a b c

bx cy cx ay ax by abx acy bcx aby acx bcy x y ab bc ac

ab bc ac

x y ab bc ac x y

+ +

+ +

30) Ta có

Gọi d = ( ) a b , ⇒ = a dx b dy , = Trong đó ( x y ; ) = 1

Khi đó ta có d x y2 2 2= p x ( 2+ y2) ( ⇒ p x2+ y2) M x2⇒ py x2M2 ⇒ p x M2