GT ĐSHĐ Nguyễn Tự Cường

Tập hợp tất cả các lớp tương đương này được ký hiệu là X/Ω và gọi là tập hợp thương của X qua quan hệ tương đương Ω.. Ta nói rằng x làmột cận dưới cận trên của tập A trong tập X nếu x ≤

MỤC LỤC

Trang

Mở Đầu 5

Chương 1 Sơ lược về lý thuyết tập hợp 9 §1 Tập hợp và các phép toán trên tập hợp 9

§2 Ánh xạ 11

§3 Quan hệ 13

§4 Tập hợp tương đương 16

§5 Tiên đề chọn và các mệnh đề tương đương 19

Bài tập 23

Chương 2 Nhóm 25 §1 Định nghĩa và ví dụ về nhóm 25

§2 Nhóm con, Định lý Lagrange 29

§3 Nhóm con chuẩn tắc 33

§4 Đồng cấu nhóm 36

§5 Phạm trù và hàm tử 42

§6 Nhóm Abel hữu hạn sinh 56

Bài tập 68

Chương 3 Vành, trường và vành đa thức 75 §1 Các định nghĩa và ví dụ 75

§2 Iđêan và đồng cấu vành 80

§3 Vành giao hoán 86

§4 Vành các phân thức 94

§5 Vành đa thức 99

§6 Vành Gauß 104

Bài tập 110

Chương 4 Môđun 117 §1 Các định nghĩa và ví dụ 117

§2 Đồng cấu 122

§3 Tổng và tích trực tiếp 126

§4 Dãy hợp thành 132

§5 Tích ten xơ 138

§6 Dãy khớp 145

Bài tập 153

Chương 5 Môđun trên vành giao hoán 157

§1 Môđun nội xạ 157

§2 Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ 165

§3 Môđun xạ ảnh 172

§4 Môđun Noether 180

§5 Môđun Artin 187

§6 Phân tích môđun nội xạ 195

Bài tập 200

Tài liệu tham khảo 205

Tra cứu từ khoá 207

Có thể nói rằng mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong quá trìnhphát triển đều cần tới các cấu trúc đại số và tất nhiên cả những hiểu biếtsâu sắc về các cấu trúc này Điều này cũng dễ hiểu, vì ta biết rằng hai đặctrưng cơ bản nhất của toán học là tính trừu tượng và tính tổng quát, màhai đặc tính này lại biểu hiện một cách rõ ràng nhất trong đại số Đã córất nhiều sách về đại số của các tác giả Việt Nam hoặc dịch từ tiếng nướcngoài được xuất bản ở Việt Nam, trong số đó có nhiều quyển đã trở thànhkinh điển và được sử dụng làm giáo trình giảng dạy, tham khảo cho sinhviên học toán trên khắp thế giới Vì vậy, viết một giáo trình mới về đại số làmột việc làm rất khó khăn, nhất là khi tác giả không muốn rập khuôn haysao chép lại từng phần các giáo trình đã có Cuốn sách này được viết dựatrên các bài giảng về đại số của tác giả trong vòng 10 năm trở lại đây chohọc viên cao học và nghiên cứu sinh tại Viện Toán học và một số trườngđại học trong nước, cũng như các bài giảng trong 4 năm gần đây cho cáclớp cử nhân tài năng thuộc Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại họcQuốc gia Hà Nội Nó được viết hướng tới hai mục tiêu:

Mục tiêu đầu tiên, giống như mọi giáo trình về đại số, là nhằm cungcấp các cấu trúc đại số cơ bản nhất mà không đòi hỏi người đọc phải cóbất cứ kiến thức chuẩn bị về đại số nào trước đó, ngoại trừ một chút yêuthích toán học

Mục tiêu thứ hai của cuốn sách là trình bày các khái niệm, cấu trúc đại

số dưới một ngôn ngữ tổng quát, thống nhất với sự chú trọng nhiều hơncác tính phổ dụng của các khái niệm Nói cách khác, tác giả muốn ngườiđọc nhận thấy các mối quan hệ qua lại giữa các khái niệm, cấu trúc đại số

3

khác nhau và khuyến khích cho những tư duy tổng quát, trừu tượng hơnnữa.

Do đó, giáo trình này được viết theo phương pháp đi từ trừu tượng đến

cụ thể, là một việc làm trái với hầu hết các cuốn sách đại số trước đây Bùlại, phương pháp này cho phép ta có một cách nhìn tổng thể hơn, rút ngắnđáng kể cách trình bày vì dễ dàng đưa các cấu trúc khác nhau vào trongmột khái niệm và giúp người đọc làm quen với phương pháp tư duy hìnhthức là phương pháp quan trọng nhất trong đại số Tuy nhiên để giảm bớttính hình thức, sau mỗi khái niệm trừu tượng chúng tôi cố gắng đưa ranhiều ví dụ khác nhau nhằm giúp cho người đọc dễ hình dung và tiếp nhậnđược khái niệm này

Sách bao gồm 5 chương Chương 1 trình bày vắn tắt về lý thuyết tậphợp, ánh xạ, các quan hệ nhằm thống nhất các ký hiệu tiện cho các chươngtiếp theo Trong Chương 2 về lý thuyết nhóm, chúng tôi bỏ qua những cấutrúc nửa nhóm, tiền nhóm mà đi ngay vào định nghĩa nhóm Chúng tôicũng bỏ qua phần lý thuyết nhóm hữu hạn mà dành trình bày kỹ hơn vềcấu trúc nhóm Abel hữu hạn sinh Khái niệm phạm trù và hàm tử cũngđược đưa vào chương này nhằm phục vụ ngay cho việc định nghĩa các kháiniệm quan trọng mang tính phổ dụng của đại số trong suốt giáo trình mộtcách nhất quán Trong Chương 3 về lý thuyết vành, có một chú ý là trongđịnh nghĩa một vành ta đòi hỏi sự tồn tại phần tử đơn vị, đây cũng là điều

mà nhiều giáo trình đại số khác không đòi hỏi Lý do giải thích cho việcnày là vì giáo trình được viết thiên nhiều hơn về vành giao hoán Chương 4trình bày các định nghĩa và các khái niệm cơ bản của lý thuyết môđun, cấutrúc quan trọng nhất của đại số Hai hàm tử quan trọng nhất của lý thuyếtmôđun là hàm tử Hom và ten xơ cũng như tính chất đơn giản đầu tiên củachúng cũng được xét đến trong chương này Chương cuối cùng dành choviệc trình bày cấu trúc một số lớp môđun đặc biệt quan trọng như môđunnội xạ, môđun xạ ảnh, môđun Noether và Artin trên vành giao hoán Nhưvậy, hai chương cuối của giáo trình có thể xem như là một sự chuẩn bị kiếnthức khởi đầu cho những đọc giả có ý định tiếp tục đi sâu vào nghiên cứucác ngành quan trọng của đại số như Lý thuyết môđun trên vành kết hợp,Đại số đồng điều hay Đại số giao hoán

Cuối mỗi chương của cuốn sách đều có phần bài tập được chọn lọc.Các bài tập này không chỉ để người đọc giải nhằm tự kiểm tra sự tiếp thunhững điều đã học, mà nhiều bài tập là những bổ sung hay mở rộng kiếnthức chưa có trong sách Vì vậy, sẽ thực sự có ích nếu người đọc giải đượcnhiều bài tập.

Cuốn sách này được viết ra với mục đích có thể dùng làm giáo trìnhđại số cho cho các lớp cao học hoặc dùng làm sách tham khảo cho nhữngsinh viên học về các ngành toán lý thuyết và nghiên cứu sinh Tuy nhiên,

vì các khái niệm đều được định nghĩa từ đầu, nên nó cũng có thể bổ íchcho tất cả những ai muốn học thêm về đại số

Với mong muốn giúp cho đọc giả nhận được nhiều kiến thức về đại sốđại cương bằng một ngôn ngữ hiện đại trong một cuốn sách nhỏ là một việclàm khó tránh khỏi có nhiều thiếu sót Vì vậy, tác giả mong muốn nhậnđược những nhận xét, góp ý của các đồng nghiệp và đọc giả về những thiếusót của cuốn sách này

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TSKH Lê Tuấn Hoa đã đọc kỹtoàn bộ bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu để cuốn sách được tốthơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn GS VS Nguyễn Văn Đạo đã quan tâmđến bộ sách cao học của Viện Toán học, cám ơn Hội đồng Khoa học Tựnhiên và Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội đã giúp đỡ để cuốn sáchđược xuất bản

Hà Nội, tháng 10 năm 2002

Lời tựa cho tái bản lần thứ nhất

Toàn bộ nội dung của cuốn sách được tái bản lần này hoàn toàn trùng vớilần xuất bản đầu tiên Tác giả chỉ chỉnh sửa một số lỗi soạn thảo và in ấn.Một vài diễn đạt về toán được thay đổi dựa vào góp ý của các đồng nghiệpnhằm giúp người đọc dễ hiểu hơn Qua đây tác giả xin cảm ơn PGS TS

Lê Thanh Nhàn về những góp ý cho các sửa đổi ở trên Tác giả xin cảm

ơn PGS TSKH Phạm Huy Điển đã giúp đỡ về các thủ tục hành chính đểcuốn sách được tái bản lần này

Hà Nội, tháng 12 năm 2006

Tác giả

Sơ Lược về lý thuyết tập hợp

Trong chương mở đầu này, chúng ta sẽ trình bày một cách sơ lược về tậphợp, ánh xạ vàquan hệ, nhằm mục đích thống nhất các ký hiệu và thuậtngữ được dùng trong suốt bài giảng này Phần cuối của chương bàn về cácdạng tương đương khác nhau của tiên đề chọn Vì chưa tìm thấy tài liệubằng tiếng việt nào có chứng minh đầy đủ cho các tương đương này, nênchúng ta sẽ đưa ra một chứng minh để bạn đọc tham khảo thêm

§1 Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

1.1 Định nghĩa Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nhưnglại là một khái niệm không được định nghĩa Một cách trực quan, ta có thểhiểu một tập hợp như là sự tụ tập những vật, những đối tượng hay nhữngkhái niệm toán học được xác định bởi một hay nhiều tính chất chung

Ta thường sử dụng các chữ cái La tinh A, B, C, , X, Y, Z hoặc chữcái Hy Lạp cổ như Γ, Ω, Λ, để chỉ một tập hợp

Các vật của một tập hợp X gọi là các phần tử của tập hợp đó Mộtphần tử x của tập hợp X được ký hiệu là x ∈ X

Nếu tất cả các phần tử của một tập hợp X đều là phần tử của một tậphợp Y thì ta nói tập hợp X là một tập hợp con của tập hợp Y và ký hiệu

là X ⊆ Y hay Y ⊇ X Trường hợp X ⊆ Y và Y ⊆ X thì ta nói rằng tậphợp X bằng tập hợp Y và ký hiệu là X = Y Nếu X ⊆ Y và X 6= Y thì Xđược gọi là tập hợp con thực sự của Y và ký hiệu là X ⊂ Y

7

Xác định một tập hợp là xác định tất cả các phần tử của nó Có nhiềucách để xác định một tập hợp Đơn giản nhất là liệt kê tất cả các phần tửtập hợp đó và để trong hai dấu móc { } Cách thông dụng thứ hai là mô

tả một tập hợp qua các tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp

Đặc biệt, ta hay viết Xn để ký hiệu cho tích Descartes của n-lầntập hợp X.

§2 Ánh xạ

Cùng với khái niệm tập hợp, ánh xạ thuộc vào một trong những khái niệm

cơ bản nhất của toán học

2.1 Định nghĩa

(i) Một ánh xạ f : X −→ Y từ tập hợp X đến tập hợp Y là một phéptương ứng mỗi một phần tử x ∈ X duy nhất một phần tử f (x) ∈ Y.Tập hợp X được gọi là tập nguồn của ánh xạ f và tập hợp Y gọi làtập đích của ánh xạ f

(ii) f : X −→ Y được gọi là đơn ánh nếu với hai phần tử x, x0 ∈ X tùy

ý mà f (x) = f (x0), suy ra x = x0 Đặc biệt khi X ⊆ Y thì đơn ánh

f : X −→ Y xác định bởi f (x) = x, ∀x ∈ X được gọi là phép nhúng

2.2 Chú ý

a) Cho ánh xạ f : X −→ Y và A là một tập hợp con của X Ta gọi tậphợp f (A) ⊆ Y xác định bởi f (A) = {f (x) ∈ Y | x ∈ A} là ảnh của Aqua ánh xạ f Vậy ánh xạ f là toàn ánh khi và chỉ khi f (X) = Y.b) Cho B là một tập con tùy ý của Y, ta gọi tập hợp f−1(B) ⊆ X, đượcxác định bởi f−1(B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}, là nghịch ảnh của B qua

ánh xạ f Bây giờ, giả sử f là một song ánh Khi đó, vì f (X) = Y, taluôn có thể xây dựng được một ánh xạ f−1 như sau: với y ∈ Y tùy

ý, tồn tại x ∈ X sao cho f (x) = y, ta xác định f−1(y) = x Dựa vàotính đơn ánh của f ta dễ chứng minh được rằng f−1 được xác địnhnhư trên là một ánh xạ, gọi là ánh xạ ngược của f Khi đó ta thấyngay rằng f−1◦ f = 1X và f ◦ f−1= 1Y, ở đây 1X được ký hiệu choánh xạ đồng nhất trên tập hợp X, tức 1X(x) = x, ∀x ∈ X

2.3 Bổ đề Cho f : X −→ Y và g : X −→ Z là hai ánh xạ giữa các tậphợp Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

(i) Tồn tại một ánh xạ h : Y −→ Z sao cho g = h ◦ f

(ii) Với các phần tử x1, x2 ∈ X tùy ý, nếu f (x1) = f (x2) suy ra g(x1) =g(x2)

Chứng minh (i) =⇒ (ii): Giả sử f (x1) = f (x2) Từ g = h ◦ f ta suy rag(x1) = h ◦ f (x1) = h(f (x1)) = h(f (x2)) = h ◦ f (x2) = g(x2).(ii) =⇒ (i): Xét tương ứng h : Y 7−→ Z được xác định như sau:

- Nếu y ∈ f (X), tức tồn tại x ∈ X sao cho f (x) = y, khi đó ta đặth(y) = g(x)

- Nếu y /∈ f (X), ta chọn một phần tử z ∈ Z cố định rồi đặt h(y) = z

Dễ dàng suy ra từ giả thiết của (ii) rằng tương ứng trên là một ánh xạ,

Bổ đề 2.3 giúp ta nhận được những đặc trưng đơn giản khi nào mộtánh xạ là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh như sau

2.4 Định lý Cho f : X −→ Y là một ánh xạ giữa hai tập hợp Khi đócác mệnh đề sau đây là đúng:

(i) f là đơn ánh khi và chỉ khi tồn tại một ánh xạ g : Y −→ X sao cho

g ◦ f = 1X

(ii) f là toàn ánh khi và chỉ khi tồn tại một ánh xạ h : Y −→ X sao cho

f ◦ h = 1Y

(iii) f là song ánh khi và chỉ khi tồn tại hai ánh xạ g : Y −→ X và

1) Ω = {(n1, n2) ∈ N2 | n1, n2 đều là những số chẵn} Ta nhận thấyrằng, từ n1Ωn2 suy ra n2Ωn1, nhưng nΩn là không đúng với mọi số

lẻ n Trong trường hợp này ta nói rằng Ω là một quan hệ 2-ngôi đốixứng nhưng không là phản xạ

2) Ω = {(n1, n2) ∈ N2| n1 chia hết cho n2} Ta dễ nhận thấy rằng nΩnvới mọi n ∈ N, nhưng từ n1Ωn2 nói chung không suy ra n2Ωn1 Vậytrong trường hợp này quan hệ 2-ngôi Ω là phản xạ nhưng không làđối xứng

3) Ω = {(n1, n2) ∈ N2 | ước số chung lớn nhất (n1, n2) 6= 1} ∪ {(1, 1)}

Rõ ràng quan hệ hai ngôi mới này là phản xạ và đối xứng, nhưng từ

n1Ωn2 và n2Ωn3 nói chung không suy ra n1Ωn3 (2Ω6 và 6Ω3 nhưng

ta không có 2Ω3) Ta nói quan hệ hai ngôi trong ví dụ này là phản

xạ, đối xứng nhưng không là bắc cầu Dễ thấy rằng các quan hệ haingôi trong các ví dụ (1) và (2) đều là bắc cầu

Ví dụ 3.2 cho ta thấy có rất nhiều quan hệ hai ngôi thú vị trên một tậphợp cho trước Sau đây chúng ta sẽ đưa ra hai loại quan hệ đặc biệt quantrọng trong đại số

3.3 Định nghĩa Một quan hệ 2-ngôi Ω trên tập hợp X được gọi là quan

hệ tương đương, nếu nó thoả mãn các tính chất sau

(i) Phản xạ: xΩx, ∀x ∈ X

(ii) Đối xứng: xΩy =⇒ yΩx, ∀x, y ∈ X

(iii) Bắc cầu: xΩy, yΩz =⇒ xΩz, ∀x, y, z ∈ X

Khi quan hệ tương đương Ω đã được xác định trên X, thay vì viết xΩyngười ta thường viết x ∼ y

3.4 Chú ý Cho Ω là một quan hệ tương đương trên tập hợp X và x ∈ X

- ∀x, y ∈ X, hoặc Ω(x) = Ω(y) hoặc Ω(x) ∩ Ω(y) = ∅ Thật vậy, nếu

z ∈ Ω(x) ∩ Ω(y), ta suy ra z ∼ x và z ∼ y Do quan hệ Ω có tính đốixứng và bắc cầu, nên x ∼ y Điều này chứng tỏ hoặc Ω(x) = Ω(y) hoặcΩ(x) ∩ Ω(y) = ∅, ∀x, y ∈ X

Vậy ta nhận được một phân hoạch của X qua các lớp tương đươngΩ(x) Tập hợp tất cả các lớp tương đương này được ký hiệu là X/Ω và gọi

là tập hợp thương của X qua quan hệ tương đương Ω Hơn nữa ta có thểxác định một ánh xạ π : X −→ X/Ω, π(x) = Ω(x), ∀x ∈ X và gọi nó làánh xạ chính tắc sinh bởi quan hệ tương đương Ω

3.5 Định nghĩa Một quan hệ 2-ngôi Ω trên một tập hợp X được gọi làquan hệ thứ tự bộ phận nếu quan hệ đó là phản xạ, bắc cầu và phản đốixứng (nghĩa là, từ xΩy, yΩx =⇒ x = y, ∀x, y ∈ X)

Khi trên tập hợp X có một quan hệ thứ tự bộ phận Ω thì ta nói X làmột tập hợp được sắp thứ tự bởi Ω Thông thường người ta dùng ký hiệu

≤ để chỉ một quan hệ thứ tự bộ phận Hai phần tử x, y ∈ X được gọi là sosánh được đối với quan hệ thứ tự bộ phận ≤ nếu hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x

Cho A là một tập hợp con của tập hợp X và x ∈ X Ta nói rằng x làmột cận dưới (cận trên) của tập A trong tập X nếu x ≤ a (a ≤ x), ∀a ∈ A.Đặc biệt, một phần tử x ∈ X được gọi là phần tử cực đại (cực tiểu) củatập hợp X, nếu x là cận trên (cận dưới) duy nhất của tập {x} trong X.Quan hệ thứ tự bộ phận ≤ trên tập hợp X được gọi là tuyến tính nếuhai phần tử tùy ý của X đều so sánh được với nhau Một quan hệ thứ tựtuyến tính trên X được gọi là quan hệ thứ tự tốt nếu mọi tập hợp con khácrỗng của X đều chứa một phần tử cực tiểu.

2) Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp tất cả các số nguyên Z làmột quan hệ thứ tự tuyến tính, nhưng không là một quan hệ thứ tựtốt (chẳng hạn, tập hợp { − 2, −1, 0} không có phần tử cực tiểu).3) Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp tất cả các số tự nhiên N

là một quan hệ thứ tự tuyến tính, hơn nữa nó là một quan hệ thứ tựtốt

§4 Tập hợp tương đương

4.1 Định nghĩa Hai tập hợp X và Y được gọi là tương đương, ký hiệu

là X ∼ Y , nếu tồn tại một song ánh f : X −→ Y Khi đó ta cũng nói rằng

X và Y có cùng lực lượng

4.2 Chú ý Rõ ràng quan hệ “tập hợp X tương đương với tập hợp Y "thoả mãn các tính chất sau:

- Phản xạ : X ∼ X, vì 1X : X −→ X là một song ánh.

- Đối xứng: X ∼ Y =⇒ Y ∼ X, vì f−1 : Y −→ X cũng là một songánh

- Bắc cầu: X ∼ Y, Y ∼ Z =⇒ X ∼ Z, vì, từ f : X −→ Y và

g : Y −→ Z là song ánh, suy ra h = g ◦ f : X −→ Z cũng là một songánh

Vậy, nếu cho một họ các tập hợp Σ nào đó thì quan hệ ∼ xác định trên Σ

là một quan hệ tương đương theo nghĩa của (3.3)

4.3 Bổ đề Phép lấy tích Descartes và hợp là bảo toàn tính tương đương.Nghĩa là, nếu X ∼ X1 và Y ∼ Y1 thì các mệnh đề sau là đúng

Dễ kiểm tra thấy rằng φ, ϕ là những song ánh, bổ đề được chứng minh 4.4 Chú ý Một cách tương tự ta có thể chứng minh mệnh đề tổng quátcủa Bổ đề 4.3 cho nhiều tập hợp như sau: Cho (Xi)i∈I và (Yi)i∈I là hai họcác tập hợp với I là một tập chỉ số nào đó (có thể có vô hạn phần tử) Giả

4.5 Định lý Cantor-Bernstein Cho X, Y là hai tập hợp Nếu X tươngđương với một tập hợp con của Y và Y tương đương với một tập hợp concủa X thì X tương đương với Y.

Chứng minh Theo giả thiết, tồn tại X1 ⊆ X và Y1 ⊆ Y sao cho X1 ∼

Y, Y1 ∼ X Giả sử f : Y −→ X1 là một song ánh Đặt X2 = f (Y1) Vì

X ∼ Y1, Y1∼ X2, suy ra X ∼ X2 Vậy, tồn tại một song ánh g : X −→ X2.Đặt X0 = X và qua công thức truy chứng Xn+1 = g(Xn−1) ta nhận đượcmột dãy vô hạn các tập hợp lồng nhau

X = X0 ⊇ X1⊇ X2 ⊇ X3 Dựa vào cách xây dựng của Xnvà tính song ánh của g dễ dàng suy ra rằng

§5 Tiên đề chọn và các mệnh đề tương đương

Tiên đề sau đây giữ một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết tập hợp,đặc biệt là cho việc nghiên cứu các tập hợp vô hạn

5.1 Tiên đề chọn Cho X là một tập hợp tùy ý Khi đó luôn tồn tại mộtánh xạ ϕ : 2X −→ X sao cho ϕ(A) ∈ A, ∀A ⊆ X, A 6= ∅ Ánh xạ ϕ đượcgọi là ánh xạ chọn trên tập hợp X

Trong một thời gian dài trước đây, rất nhiều nhà toán học muốn xemTiên đề chọn như là một định lý và cố gắng chứng minh nó Việc này đãđưa đến những tranh cãi lâu dài, đặc biệt đã đặt ra cho logic toán và lýthuyết tập hợp những vấn đề rất khó khăn và quan trọng Mãi đến khingười ta nhận ra rằng, có nhiều định lý cơ bản của toán học chỉ có thểchứng minh được chặt chẽ nếu người ta công nhận Tiên đề chọn như làmột tiên đề Và hơn nữa, chúng còn tương đương với Tiên đề chọn Pháthiện sau cùng này đã chấm dứt mọi tranh cãi xung quanh việc công nhậnTiên đề chọn hay không Sau đây ta sẽ đưa ra một số định lý quan trọngtrong lý thuyết tập hợp tương đương với Tiên đề chọn

Cho X là một tập hợp được sắp thứ tự Một tập hợp con A của X đượcgọi là một xích của X, nếu A với quan hệ thứ tự bộ phận của tập hợp Xlập thành một tập hợp được sắp tuyến tính

Một xích A của một tập hợp được sắp thứ tự X được gọi là xích cựcđại nếu nó không là tập hợp con của bất kỳ một xích nào khác của X.5.2 Định lý Các mệnh đề sau đây là tương đương với Tiên đề chọn:(i) (Định lý Zermelo) Mọi tập hợp đều có thể được sắp thứ tự tốt.(ii) (Định lý Hausdorff) Mỗi xích của một tập hợp được sắp thứ tựluôn nằm trong một xích cực đại

(iii) (Bổ đề Kuratowski-Zorn) Nếu mỗi xích của một tập hợp khôngrỗng được sắp thứ tự X đều có cận trên, thì X chứa ít nhất một phần

tử cực đại

(iv) (Bổ đề Teichm¨uller-Tukey) Cho X là một tập hợp và X là một

họ không rỗng những tập hợp con của X có tính chất: một tập hợpcon A của X thuộc vào họ X khi và chỉ khi mọi tập hợp con, hữu hạnphần tử của A thuộc X Khi đó X chứa ít nhất một phần tử cực đạitheo quan hệ bao hàm trong tập hợp.

Chứng minh Ta sẽ chứng minh định lý theo lược đồ sau đây: Tiên đề chọn

=⇒ (i)=⇒ (ii) =⇒ (iii)=⇒(iv)=⇒ Tiên đề chọn

Tiên đề chọn =⇒ (i): Trước hết ta định nghĩa một vài thuật ngữ mới, cầnthiết cho chứng minh Một tập hợp con B của một tập hợp được sắp tốt Ađược gọi là một đoạn của A, nếu với b ∈ B tùy ý, thì {x ∈ A | x ≤ b} ⊆ B.Bây giờ, giả sử B là một đoạn của A và B 6= A Vì A \ B 6= ∅, tồn tạiphần tử cực tiểu b trong tập hợp này Ta dễ dàng suy ra B = {x ∈ A | x ≤

b và x 6= b} Khi đó ta nó đoạn B được sinh bởi b trong tập hợp A và kýhiệu B = [A, b]

Trở lại chứng minh định lý Cho X là một tập hợp tùy ý Theo Tiên

đề chọn ta có một ánh xạ ϕ xác định trên tập hợp tất cả các bộ phận của

X, sao cho với mỗi tập hợp con khác rỗng Y của X xác định một phần tửϕ(Y ) ∈ Y Ta gọi một tập hợp con A của X là tốt, nếu nó là một tập hợpđược sắp thứ tự tốt và với mọi phần tử a ∈ A luôn có

a = ϕ(X \ [A, a])

Rõ ràng luôn tồn tại tập hợp con tốt trong X, vì {ϕ(X)} là một tập hợpcon tốt của X Hơn nữa, ta nhận thấy rằng mọi tập hợp con tốt đều cóphần tử cực tiểu là ϕ(X) Vậy, nếu A, B là hai tập hợp tốt của X thì chúng

có ít nhất một đoạn chung là {ϕ(X)} Đặt C là hợp của tất cả các đoạnchung của hai tập hợp này Dễ thấy rằng C là một đoạn chung của cả haitập hợp A và B Giả sử rằng C không trùng với cả A và B Vì C là tậphợp tốt của hai tập hợp A và B, nên theo nhận xét ở phần đầu chứng minh

C = [A, ϕ(X \ C)] = [B, ϕ(X \ C)] Vậy C0 = C ∪ {ϕ(X \ C)} là một đoạnchung của A và B chứa thực sự đoạn C Điều này mâu thuẫn với tính cựcđại của C Vậy, trong hai tập hợp tốt A và B phải có một tập hợp là đoạncủa tập hợp kia Bây giờ với ký hiệu D là hợp của tất cả các tập hợp contốt của X, ta sẽ chứng minh D cũng là một tập hợp con tốt của X Thậtvậy, nếu a, b là hai phần tử tùy ý của D, thì a, b phải nằm trong hai tập

hợp con tốt A, B của X, suy ra chúng thuộc vào tập hợp lớn hơn, chẳnghạn là A Khi đó ta xác định a ≤ b trên D khi và chỉ khi a ≤ b theo quan

hệ thứ tự toàn phần trên A Rõ ràng cách xác định này làm D trở thànhmột tập hợp được sắp tuyến tính Giả sử D không phải được sắp tốt, tứctồn tại một tập hợp con không rỗng E ⊆ D sao cho trong E không có phần

tử cực tiểu Từ đây suy ra [E, x] cũng là một tập hợp không có phần tửcực tiểu với mỗi x ∈ E cho trước Điều này mâu thuẫn, vì [E, x] luôn nằmtrong một tập hợp con tốt của X Vậy D là một tập hợp được sắp thứ tựtốt Hơn nữa, nếu a ∈ D thì a phải nằm trong một tập hợp con tốt A nào

đó Do đó ta nhận được

a = ϕ(X \ [A, a]) = ϕ(X \ [D, a])

Điều này chứng minh rằng D là một tập hợp con tốt của X Giả sử D 6= X.Khi đó tập hợp D0 = D ∪ {ϕ(X \ D)} sẽ là một tập hợp con tốt chứa thực

sự D Kết luận này mâu thuẫn với cách xây dựng của D Vậy D = X, tứctập hợp X đã được sắp thứ tự tốt

(i) =⇒ (ii): Cho A là một xích của tập hợp được sắp thứ tự bộ phận X Nếu

A = X ta không còn gì để chứng minh nữa Trái lại, nếu B = X \ A 6= ∅,dựa vào (i) ta có thể giả thiết trên B có một thứ tự được sắp tốt Chú ýrằng thứ tự này hoàn toàn độc lập với thứ tự bộ phận của X hạn chế trên

B Ta sẽ phân hoạch B thành hai tập hợp con C, D như sau: Phần tử cựctiểu b ∈ B sẽ thuộc C nếu b so sánh được với mọi phần tử của A, còn ngượclại ta cho b ∈ D Cho x là một phần tử tùy ý của B và giả sử rằng mọiphần tử của [B, x] đã biết thuộc C hay D rồi Khi đó, ta cho x ∈ C nếu

x so sánh được với mọi phần tử của A và với mọi phần tử của [B, x] (theoquan hệ thứ tự bộ phận của X), ngược lại thì ta cho x ∈ D Xét tập hợp

A0 = A ∪ C Rõ ràng A0 là một xích của X và là một xích cực đại chứa A,

vì mỗi phần tử của D không so sánh được ít nhất với một phần tử của C.(ii) =⇒ (iii): Cho x là một phần tử tùy ý của tập hợp được sắp bộ phận

X Nếu x là cực đại thì mệnh đề được chứng minh xong Giả sử x khôngphải là phần tử cực đại Khi đó, theo (ii), xích gồm một phần tử {x} phảinằm trong một xích cực đại A nào đó của X Theo giả thiết tồn tại mộtcận trên b của A, tức a ≤ b, ∀a ∈ A Nếu b không phải là phần tử cực đại,tồn tại một phần tử c 6= b sao cho b ≤ c Từ đây suy ra a ≤ c, ∀a ∈ A Vậy

A ∪ {c} là một xích mới thự sự chứa A Điều này mâu thuẫn với tính cựcđại của A, do đó b là một phần tử cực đại của X.

(iii) =⇒ (iv): Cho X là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận và X mộttập hợp các tập hợp con của X thoả mãn giả thiết của (iv) Chú ý rằng, Xvới quan hệ bao hàm ⊆ trở thành một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận

Để chứng minh trong X có một phần tử cực đại ta chỉ cần chứng minh rằngmọi xích trong X đều có cận trên trong X Bây giờ gọi V là hợp của tất cảcác tập hợp trong một xích của X Rõ ràng V là một cận trên của xích nàytrong tập hợp 2X Việc còn lại của ta là chỉ ra V ∈ X Giả sử {v1, , vn}

là một tập hợp con, hữu hạn nào đó của V Do mỗi vi thuộc vào một tậphợp Ai nào đó trong xích ta đang xét, nên tồn tại một tập hợp, chẳng hạn

A1, chứa tất cả những tập còn lại Suy ra {v1, , vn} ∈ X Theo giả thiếtcủa (iv) ta đi đến V ∈ X

(iv) =⇒ Tiên đề chọn: Cho X là một tập hợp tùy ý Xét tập hợp X mà tất

cả các phần tử của nó là những tập hợp con của X thoả mãn Tiên đề chọn

Rõ ràng tập hợp này là không rỗng, vì mọi tập hợp con, hữu hạn phần tửcủa X đều thuộc X, hơn nữa X là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phậntheo quan hệ bao hàm Vấn đề còn lại là chứng minh X ∈ X Thật vậy, cho

Γ = (As) một xích tùy ý của X Đặt A = ∪sAs Vì As thoả mãn Tiên đềchọn nên trên nó tồn tại ánh xạ chọn ϕs Khi đó ta xác định trên A mộtánh xạ ϕ sao cho trên mỗi As nó trùng với ϕs Rõ ràng ϕ là một ánh xạchọn của A Vậy A ∈ X là một cận trên của xích Γ trong X Sử dụng tínhchất này với chứng minh hoàn toàn tương tự như trong (iii) =⇒ (iv) ta suy

ra trong X có ít nhất một phần tử cực đại V Giả sử V 6= X, tức tồn tạimột phần tử x ∈ X \ V Từ đây suy ra ngay rằng V ∪ {x} ∈ X Điều nàymâu thuẫn với tính cực đại của V Vậy V = X và định lý được chứng minh

Bài tập

1) Cho X và {Ai}i∈I là những tập hợp Chứng minh các công thức sau đây:(i) X \ (∩i∈IAi) = ∪i∈I(X \ Ai)

(ii) X \ (∪i∈IAi) = ∩i∈I(X \ Ai).

2) Cho f : X −→ Y là một ánh xạ và C, D là hai tập hợp con của Y.Chứng minh các tính chất sau là đúng

(ii) Mỗi xích giảm các phần tử của X

x1 ≥ x2≥ ≥ xn≥

đều dừng, tức tồn tại một số tự nhiên k sao cho xk = xk+1 =

Lý thuyết nhóm thuộc vào một trong các lý thuyết được phát triển sớmnhất, do vậy rất phong phú và có nhiều ứng dụng nhất trong đại số Ngoàicác khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm được trình bày trong chươngnày, ta sẽ đưa thêm khái niệm phạm trù, không những nhằm làm gọn hơncác định nghĩa về nhóm tự do, tích và đối tích trong nhóm, mà nó còn rấthữu ích cho tất cả các chương về sau trong bài giảng này

§1 Định nghĩa và ví dụ về nhóm

1.1 Định nghĩa Một tập hợp G được gọi là một nhóm nếu tồn tại mộtánh xạ từ tích Descartes G × G vào G (ảnh của phần tử (a, b) ∈ G × G, với

a, b là những phần tử tùy ý của G, qua ánh xạ này ta ký hiệu là ab - khi

đó G sẽ được gọi là một nhóm nhân) thoả mãn các tính chất sau đây.(G1) Kết hợp: a(bc) = (ab)c, ∀a, b, c ∈ G

(G2) Có đơn vị : Tồn tại một phần tử e ∈ G sao cho ae = ea = a, ∀a ∈ G.(G3) Có nghịch đảo: Với mỗi phần tử a ∈ G luôn tồn tại một phần tử

b ∈ G sao cho ab = ba = e Phần tử ab được gọi là tích của a và b vàánh xạ xác định tích ở trên được gọi là phép toán trên nhóm nhân G.Phần tử e trong (G2) được gọi là phần tử đơn vị của G Phần tử btrong (G3) được gọi là phần tử nghịch đảo của a trong G và ký hiệu

là a−1 Khi chỉ có một nhóm G cho trước ta ký hiệu phần tử đơn vị

23

là e như ở trên Nếu có nhiều nhóm G, H, ta sẽ dùng các ký hiệu

eG, eH, để chỉ các phần tử đơn vị của các nhóm G, H, Nếu phéptoán trên G thoả mãn thêm điều kiện

(G4) Giao hoán: ab = ba, ∀a, b ∈ G, thì nhóm G được gọi là nhóm Abel.Nhóm Abel nhiều khi còn được gọi là nhóm giao hoán

Thông thường người ta quen viết phép toán trên một nhóm Abel theolối cộng: a + b và gọi là tổng của a và b trong G Khi đó, tương ứngvới phần tử đơn vị e trong nhóm nhân là phần tử không, ký hiệu 0,

và phần tử nghịch đảo a−1 sẽ là phần tử đối, ký hiệu −a, trong mộtnhóm cộng

Một nhóm G được gọi là hữu hạn hay vô hạn nếu tập hợp G là hữu hạnhay vô hạn phần tử Trường hợp nhóm G là hữu hạn thì số phần tử của Gđược gọi là cấp của nhóm đó và ký hiệu là | G |

1.2 Tính chất Ta sẽ đưa ra ở đây những tính chất đơn giản nhất củamột nhóm G:

1) Phần tử đơn vị e của G được xác định duy nhất

Thật vậy, nếu e0 cũng là một phần tử đơn vị, suy ra e = ee0 = e0.2) Mỗi phần tử a của G chỉ có duy nhất một phần tử nghịch đảo a−1,hơn nữa e−1 = e, (a−1)−1= a và (ab)−1 = b−1a−1

Thật vậy, nếu b, c là hai phần tử nghịch đảo của a, suy ra

b = be = b(ac) = (ba)c = ec = c

Phần còn lại được suy ra một cách tương tự

3) (Luật giản ước) Cho a, b, x là những phần tử tùy ý của G Từ cácđẳng thức xa = xb hoặc ax = bx đều suy ra a = b

Thật vậy, nhân vào bên trái hai vế của đẳng thức xa = xb với x−1,suy ra

a = ea = (x−1x)a = x−1(xa) = x−1xb = (x−1x)b = eb = b

Phần còn lại chứng minh hoàn toàn tương tự.

4) Trong G các phương trình xa = b và ax = b có nghiệm duy nhất.Thật vậy, x = ba−1 là nghiệm của phương trình đầu và là duy nhất

do tính chất 3

5) Cho a ∈ G, ta xác định a0 = e, an = a a (n-phần tử a) và a−n =(a−1)n Khi đó ta được anam= an+m, (an)m = anm, hơn nữa, nếu G

là Abel thì (ab)n= anbn, ∀a, b ∈ G

Các công thức trên được suy ra dễ dàng từ định nghĩa

xạ tích f g được xác định qua công thức (f g)(x) = f (x)g(x), ∀x ∈ X.Khi đó, phần tử đơn vị của M (X, G) là ánh xạ cho ứng mọi phần tửcủa X lên phần tử đơn vị của G và ánh xạ nghịch đảo f−1 được xácđịnh bởi (f−1)(x) = (f (x))−1, ∀x ∈ X Ta cũng dễ chứng minh đượcrằng M (X, G) là một nhóm Abel khi và chỉ khi G là một nhóm Abel.3) Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n có định thức khác khôngGL(n,R) trên tập hợp các số thực R với phép nhân ma trận thôngthường lập thành một nhóm, được gọi là nhóm tuyến tính đầy đủ cấp

n với hệ số trong R Rõ ràng nhóm này là Abel khi và chỉ khi n = 1.4) Cho X là một tập hợp khác rỗng Tập hợp tất cả các song ánh từ Xlên chính nó, ký hiệu S(X), là một nhóm nhân với phép toán nhânchính là phép lấy hợp thành hai ánh xạ đã được định nghĩa trongChương 1, ((2.1), (v)) Phần tử đơn vị của S(X) là ánh xạ đồng nhất

1X và phần tử nghịch đảo của một song ánh f ∈ S(X) chính là ánh

xạ ngược f−1 Nhóm S(X) được gọi là nhóm đối xứng trên tập hợp

X Các phần tử của nó ta gọi là các hoán vị của tập hợp X Khôngkhó khăn ta có thể chứng minh được rằng, nếu X có ít nhất ba phần

tử trở lên thì S(X) không bao giờ là nhóm Abel

Ta sẽ đưa sau đây, như là ví dụ, một lớp những nhóm có tính chất đơn giảnnhất, đó là các nhóm xyclic

1.4 Nhóm xyclic Một nhóm G được gọi là nhóm xyclic nếu mọi phần

tử của nó đều là luỹ thừa của một phần tử a ∈ G Khi đó ta gọi a là phần

tử sinh của nhóm xyclic G và ký hiệu là G =< a >

Theo định nghĩa, một nhóm xyclic G với phần tử sinh là a có thể viếtđược dưới dạng

G = {an| n ∈ Z}

Bây giờ có hai khả năng xẩy ra:

1) an6= am với mọi cặp số nguyên khác nhau n, m Rõ ràng khi đó cấpcủa nhóm xyclic G là vô hạn

2) Tồn tại hai số nguyên khác nhau n, m sao cho an= am Từ đây cũngsuy ra a−n= a−m, nên ta luôn có thể giả thiết thêm rằng n − m > 0 Hơnnữa ta có an−m = ana−m= ama−m = e Vậy luôn tồn tại một số tự nhiên

r bé nhất sao cho ar= e Ta sẽ chứng minh rằng

G = {a0 = e, a1, a2, , ar−1}

Thật vậy, nếu tồn tại hai số i < j, 0 ≤ i, j ≤ r − 1 sao cho ai= aj Ta suy

ra aj−i = e Điều này trái với tính bé nhất của r vì j − i < r, vậy ai 6= aj.Bây giờ giả sử ak∈ G với k là một số nguyên nào đó Khi đó tồn tại những

số nguyên n và 0 ≤ m < r sao cho k = nr + m Do đó ta có

ak= anr+m= (ar)nam= am.Vậy trong trường hợp này ta đã chứng minh được rằng G là một nhóm hữuhạn có cấp là số bé nhất r có tính chất ar = e

§2 Nhóm con, Định lý Lagrange

2.1 Định nghĩa Một tập hợp con H của một nhóm nhân G được gọi làmột nhóm con của G nếu các điều kiện sau được thoả mãn:

(i) Phép toán nhân là đóng đối với H, tức xy ∈ H, ∀x, y ∈ H;

(ii) H chứa phần tử đơn vị e của G;

2.2 Mệnh đề Một tập hợp con H là một nhóm con của một nhóm G khi

và chỉ khi H 6= ∅ và xy−1 ∈ H, ∀x, y ∈ H

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên từ định nghĩa nhóm con Ta chứngminh điều kiện đủ của mệnh đề Vì H khác rỗng nên tồn tại ít nhất mộtphần tử x ∈ H Suy ra e = xx−1 ∈ H, tức điều kiện (ii) của (2.1) đượcthoả mãn Từ đây ta nhận được x−1 = ex−1 ∈ H nếu x ∈ H, tức điều kiện(iii) được thoả mãn Cuối cùng, nếu x, y ∈ H thì x, y−1 ∈ H, vậy theo giảthiết ta suy ra xy = x(y−1)−1 ∈ H, tức điều kiện (i) của (2.1) cũng đượcthoả mãn Chứng tỏ H là một nhóm con của G 2.3 Ví dụ

1) Cho X = {1, , n} là một tập hợp gồm n phần tử Trong trường hợpnày nhóm đối xứng S(X) được ký hiệu là Sn Một nhóm con của Snđược gọi là một nhóm các phép thế của X Cho một hoán vị f ∈ Sn,tích

Y

i<j

f (j) − f (i)

j − iđược gọi là dấu của hoán vị f và được ký hiệu là signf Rõ ràng tậphợp tất cả những hoán vị của Sn có dấu bằng 1 thoả mãn các điều

kiện của Định nghĩa (2.1) nên lập thành một nhóm con của Sn Tagọi nhóm con này là nhóm thay phiên bậc n và ký hiệu là An.2) Cho G là một nhóm và a là một phần tử tùy ý của G Dễ kiểm trađược rằng tập hợp

(i) T

i∈I(Hi) là một nhóm con của G

(i) Nếu với mọi i, j ∈ I luôn tồn tại một k ∈ I sao cho Hi ⊆ Hk và

Hj ⊆ Hk thì ∪i∈I(Hi) là một nhóm con của G

Chứng minh Đặt K = T

i∈I(Hi) Vì e ∈ Hi nên K 6= ∅ Mặt khác, nếu

x, y ∈ K thì x, y ∈ Hi, ∀i ∈ I nên xy−1 ∈ Hi, ∀i ∈ I Suy ra xy−1 ∈ K,tức K là một nhóm con của G theo Mệnh đề (2.2) Ta cũng dễ dàng chứngminh mệnh đề (ii) bằng phương pháp tương tự 2.5 Định nghĩa Cho A là một tập hợp con của một nhóm G Xét tậphợp

2.6 Mệnh đề Cho A là một tập hợp con của một nhóm G Khi đó mọiphần tử của nhóm con < A > đều có thể viết dưới dạng tích của một dãyhữu hạn các phần tử của A ∪ A−1, ở đây A−1= {x ∈ G | x−1 ∈ A}

Chứng minh Đặt

T = {a1 an| ai∈ (A ∪ A−1), n ∈ N}

Nếu H là một nhóm con của G chứa A thì A−1 ⊆ H Suy ra theo địnhnghĩa của nhóm con thì T ⊆ H, điều này chứng tỏ T ⊆< A > Vậy, đểchứng minh T =< A > ta chỉ cần chỉ ra rằng T là một nhóm con chứa A

Đối với các nhóm xyclic thì nhóm con của chúng có thể nhận biết mộtcách dễ dàng qua mệnh đề sau đây

2.7 Mệnh đề Mọi nhóm con thực sự của một nhóm xyclic là xyclic.Chứng minh Giả sử G =< a > là một nhóm xyclic và H là một nhómcon thực sự của nó Vì H 6=< e > nên tồn tại một số nguyên k 6= 0 saocho ak ∈ H và do vậy a−k ∈ H Điều này cho phép ta có thể giả thiếtrằng k > 0 Gọi s là số tự nhiên bé nhất có tính chất as ∈ H Rõ ràng

< as >⊆ H Ta sẽ chứng minh < as>= H Thật vậy, nếu tồn tại một phần

tử ar∈ H mà ar ∈< a/ s>, từ đây suy ra r không chia hết cho s Vậy phảitồn tại hai số nguyên x, y sao cho

R(x) = {y ∈ G | yx−1 ∈ H} = {y | ∃h ∈ H : y = hx} = Hx

tương tự ta cũng nhận được

R0(x) = {y ∈ G | x−1y ∈ H} = {y | ∃h ∈ H : y = xh} = xH

Vậy (Hx)x∈G và (xH)x∈G cho ta hai phân hoạch tập hợp G

2.8 Định nghĩa Tập hợp Hx được gọi là lớp ghép trái của H trong G vàtập hợp xH được gọi là lớp ghép phải của H trong G Một phần tử trongmột lớp ghép được gọi là một đại diện của lớp ghép đó

2.9 Định lý Lagrange Cho H là một nhóm con của một nhóm hữu hạn

G Khi đó số các lớp ghép trái của H trong G và số các lớp ghép phải của

H trong G là bằng nhau, số này được gọi là chỉ số của nhóm con H trong

G và ký hiệu là G : H Hơn nữa ta có

| G |=| H | (G : H)

Chứng minh Cho x là một phần tử tùy ý của G Xét ánh xạ f : H −→ Hxxác định bởi f (h) = hx, ∀h ∈ H Rõ ràng f là một toàn ánh f cũng là mộtđơn ánh, vì từ hx = h0x suy ra h = h0 Vậy f là một song ánh giữa hai tậphợp H và Hx Hoàn toàn tương tự ta cũng xác định được một song ánh

g : H −→ xH mà g(h) = xh Từ đây ta suy ra tất cả các lớp ghép trái(hoặc phải) của H trong G đều có cùng lực lượng với H Mặt khác, các lớpghép trái (hoặc phải) lập thành một phân hoạch trên nhóm hữu hạn G nên

| G |=| H | (G : H)

Định lý Lagrange cho phép ngay lập tức rút ra nhiều hệ quả thú vị,dưới đây chúng ta sẽ liệt kê một số hệ quả mà chứng minh của chúng lànhững bài tập dễ dành cho đọc giả

2.10 Hệ quả Cấp của mỗi phần tử trong một nhóm hữu hạn là ước củacấp của nhóm đó

2.11 Hệ quả Cho G là một nhóm hữu hạn cấp n và a là một phần tửcủa G Khi đó an= e

2.12 Hệ quả Mọi nhóm hữu hạn có cấp là một số nguyên tố là xyclic

2.13 Hệ quả Cho a là một số tự nhiên không chia hết cho một số nguyên

tố p Khi đó ap−1≡ 1(mod p)

§3 Nhóm con chuẩn tắc

3.1 Định nghĩa Một nhóm con H của một nhóm G được gọi là nhómcon chuẩn tắc của G nếu các lớp ghép trái của H trong G trùng với các lớpghép phải tương ứng của H trong G, tức

Hx = xH, ∀x ∈ G

Trong nhiều tài liệu nhóm con chuẩn tắc còn được gọi là ước chuẩn tắc.Khi H là một nhóm con chuẩn tắc của G thì tập hợp các lớp ghép tráicủa H trùng với tập hợp các lớp ghép phải của H trong G Vì vậy, từ nay

về sau khi nói đến lớp ghép của một nhóm con chuẩn tắc ta không cầnphân biệt lớp ghép trái hay lớp ghép phải nữa

Để chỉ H là một nhóm con chuẩn tắc của G người ta viết là H / G.3.2 Ví dụ

1) Bản thân nhóm G và nhóm con gồm chỉ một phần tử đơn vị {e} luôn

là những nhóm con chuẩn tắc của G

2) Nếu G là một nhóm Abel thì mọi nhóm con của nó luôn là nhóm conchuẩn tắc

3) Nhóm thay phiên An cấp n trong Ví dụ (2.3), (1) là một nhóm conchuẩn tắc của nhóm đối xứng Sn, vì Sn: An= 2 (xem bài tập 13)

3.3 Mệnh đề Một nhóm con H là nhóm con chuẩn tắc của một nhóm

G khi và chỉ khi x−1hx ∈ H, ∀x ∈ G, ∀h ∈ H

Chứng minh (=⇒): Vì H là nhóm con chuẩn tắc của G, nên với x ∈

G, h ∈ H cho trước, luôn tồn tại h0 ∈ H sao cho hx = xh0 Từ đây suy ra

x−1hx = x−1xh0= h0 ∈ H

(⇐=): Giả sử H là một nhóm con và x−1hx ∈ H, ∀x ∈ G, ∀h ∈ H Ta suy

ra hx ∈ xH, ∀h ∈ H, tức Hx ⊆ xH tương tự, từ (x−1)−1hx−1 ∈ H, ∀x ∈

G, ∀h ∈ H suy ra xH ⊆ Hx Vậy Hx = xH, ∀x ∈ G, tức H là nhóm con

đó K cũng là nhóm con chuẩn tắc của H

3.5 Hệ quả Giao của một họ các nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G

là nhóm con chuẩn tắc của G

Nhắc lại rằng nếu A và B là hai tập hợp con của một nhóm G thì tậphợp tích A.B được xác định như sau:

A.B = {ab | a ∈ A, b ∈ B}

3.6 Mệnh đề Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G Khi

đó ta có

(Hx).(Hy) = Hxy, ∀x, y ∈ G

Chứng minh Giả sử ab ∈ (Hx).(Hy), tức a ∈ Hx và b ∈ Hy Tồn tại

h, g ∈ H sao cho a = hx và b = gy Từ đây suy ra

ab = hxgy = h(xgx−1)xy

Vì H là nhóm con chuẩn tắc của G nên xgx−1 ∈ H Điều này chứng tỏ

ab ∈ Hxy Ngược lại, nếu hxy là một phần tử tùy ý của lớp ghép Hxy thì

rõ ràng hxy = (hx)(ey) ∈ (Hx).(Hy) Vậy (Hx).(Hy) = Hxy, ∀x, y ∈ G



Mệnh đề (3.6) cho ta thấy rằng trên tập hợp tất cả các lớp ghép củamột nhóm con chuẩn tắc H trong một nhóm nhân G có thể xây dựng đượcmột phép toán nhân đối với tập hợp này Hơn nữa ta có định lý sau.3.7 Định lý Cho G là một nhóm nhân Tập hợp tất cả các lớp ghép củamột nhóm con chuẩn tắc H của G với phép nhân các lớp ghép xác địnhnhư trong Mệnh đề 3.6 lập thành một nhóm

Nhóm mới được xây dựng này được gọi là nhóm thương của nhóm Gtheo nhóm con chuẩn tắc H và được ký hiệu là G/H.

Chứng minh Tính kết hợp là hiển nhiên nhờ vào tính kết hợp của nhómG: với x, y, z ∈ G tùy ý thì

(Hx.Hy).Hz = Hxy.Hz = H(xy)z = Hx(yz) = Hx.Hyz = Hx.(Hy.Hz)

Ta cũng dễ kiểm tra thấy rằng He đóng vai trò phần tử đơn vị và Hx−1 là

3.8 Chú ý Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G với x, y làhai phần tử của G, ta viết

x ≡ y(modH)nếu x, y cùng thuộc vào một lớp ghép của H và nói rằng x, y là đồng dưtheo môđun H

§4 Đồng cấu nhóm

4.1 Định nghĩa Cho G và H là hai nhóm Một ánh xạ

f : G −→ Hđược gọi là một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm H, nếu

f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ G

đồng cấu f được gọi là đơn cấu hoặc toàn cấu nếu f là một đơn ánh hoặctoàn ánh Trường hợp f là một song ánh thì khi đó ta nói đồng cấu f làmột đẳng cấu hay nhóm G là đẳng cấu với nhóm H và ký hiệu là G ∼= H.Một đồng cấu từ nhóm G vào chính nhóm đó thì được gọi là một tựđồng cấu

4.2 Ví dụ

1) Cho G là một nhóm và N là một nhóm con chuẩn tắc của G Khi đóánh xạ

p : G −→ G/N, xác định bởi p(x) = N x, ∀x ∈ G

là một đồng cấu từ G vào nhóm thương G/N Dễ thấy p là một toàncấu Toàn cấu này được gọi là toàn cấu chính tắc.

2) Với mỗi phần tử a của một nhóm G ta xây dựng một ánh xạ

fa: G −→ G, f (x) = a−1xa, ∀x ∈ G

Dễ kiểm tra thấy rằng falà một đồng cấu nhóm Nếu a−1xa = a−1x0a

ta suy ra theo luật giản ước rằng x = x0, tức falà một đơn cấu Hơnnữa, với y ∈ G tùy ý ta có f (aya−1) = a−1(aya−1)a = y, tức fa còn

là một toàn cấu Vậy fa là một tự đẳng cấu, được gọi là tự đẳng cấutrong của nhóm G sinh bởi phần tử a Trong trường hợp G là mộtnhóm Abel, vì fa(x) = a−1xa = x nên G chỉ có duy nhất một tự đẳngcấu trong là đồng cấu đồng nhất 1G

Bây giờ nếu N là một nhóm con chuẩn tắc của G, theo Mệnh đề (3.3)thì a−1N a = N, ∀a ∈ G, tức fa(N ) = N, ∀a ∈ G Điều này nói lênrằng, một nhóm con N của G là nhóm con chuẩn tắc khi và chỉ khi

nó là bất biến đối với tất cả các tự đẳng cấu trong của G

3) Ký hiệu R là tập hợp các số thực và R+là tập hợp tất cả các số thựcdương Khi đó ánh xạ logarit

log: R+−→ R

là một đồng cấu từ nhóm nhân R+ vào nhóm cộng R

4.3 Tính chất Ta sẽ đưa ra một số tính chất đơn giản của đồng cấunhóm mà chứng minh xin được xem như là những bài tập dễ cho đọc giả.1) Cho f : G −→ H là một đồng cấu nhóm, eG và eH là các phần tửđơn vị của các nhóm G và H Khi đó ta có:

3) Cho f : G −→ H là một đồng cấu nhóm, A là một nhóm con của G

và B là một nhóm con của H Dựa vào Mệnh đề (2.2) ta có thể kiểmtra dễ dàng được rằng f (A) là một nhóm con của H và f−1(B) cũng

là một nhóm con của G Đặc biệt, khi A = G thì f (G) là một nhómcon của H, gọi là ảnh của G qua đồng cấu f và được ký hiệu là Imf.Mặt khác, vì {eH} là một nhóm con của H nên f−1(eH) cũng là mộtnhóm con của G, gọi là hạt nhân (hoặc gọi là hạch) của đồng cấu f vàđược ký hiệu là Ker f Ta nhận thấy rằng với những phần tử x, y ∈ Gtùy ý thì f (x) = f (y) khi và chỉ khi f (xy−1) = f (x)(f (y))−1 = eH,tức xy−1 ∈ Ker f Điều này chứng tỏ rằng f là một đơn cấu khi vàchỉ khi Ker f = {eG}

4.4 Bổ đề Cho f : G −→ H là một đồng cấu nhóm và N là một nhómcon chuẩn tắc của H Khi đó f−1(N ) là một nhóm con chuẩn tắc của G.Chứng minh Như đã biết ở trên, f−1(N ) là một nhóm con của G Đểchứng minh nó là một nhóm con chuẩn tắc ta lấy a ∈ G và x ∈ f−1(N ) lànhững phần tử tùy ý Vì f (x) ∈ N và N là nhóm con chuẩn tắc của H nên(f (a))−1f (x)f (a) ∈ N Từ đây ta suy ra

f (a−1xa) = (f (a))−1f (x)f (a) ∈ N

Điều này chứng tỏ a−1xa ∈ f−1(N ) và f−1(N ) là một nhóm con chuẩn tắc

4.6 Định lý Cho f : G −→ H là một đồng cấu nhóm với hạt nhân

N = Ker f Khi đó ánh xạ

g : G/N −→ Hcảm sinh từ ánh xạ f bằng cách đặt g(xN ) = f (x), ∀x ∈ G là một đồngcấu nhóm và là một đơn cấu Hơn nữa nếu f là toàn cấu thì g là một đẳngcấu

Chứng minh Để chứng tỏ g xác định như trên là một ánh xạ, ta phải chỉ

ra rằng nó không phụ thuộc vào cách chọn các đại diện trên một lớp ghép

xN, tức f (x) = f (y) nếu xN = yN Thật vậy, theo giả thiết tồn tại nhữngphần tử a, b ∈ N sao cho xa = yb Với chú ý rằng f (a) = f (b) = eH, ta suyra

f (x) = f (x)eH = f (x)f (a) = f (xa) = f (yb) = f (y)f (b) = f (y)eH = f (y).Hiển nhiên g là một đồng cấu vì

g(xN.yN ) = g(xyN ) = f (xy) = f (x)f (y) = g(xN )g(yN )

Mặt khác, từ g(xN ) = eH ta suy ra x ∈ Ker f, tức xN = eGN Vậy g là

4.7 Phân loại nhóm xyclic Ta sẽ áp dụng Định lý (4.6) để phân loạihoàn toàn các nhóm xyclic Cho G =< a > là một nhóm xyclic sinh bởiphần tử a Xét ánh xạ

f : Z −→ G, f (n) = an, ∀n ∈ Z,trong đó Z là nhóm cộng tất cả các số nguyên Rõ ràng f là một toàn cấu.Đặt I = Ker f = {n ∈ Z | an = e} Nếu n ∈ I thì −n ∈ I Suy ra phải tồntại một số nguyên không âm nhỏ nhất s có tính chất s ∈ I Dễ thấy rằngkhi đó về mặt tập hợp thì

I = sZ = {sn | n ∈ Z}

Bây giờ ta phân biệt hai trường hợp:

1) s = 0 Khi đó I = 0Z = {0}, nên theo (4.6) thì f là một đẳng cấu.Trường hợp này ta suy ra G ∼= Z

2) s > 0 Khi đó lại theo (4.6), toàn cấu f cảm sinh ra một đẳng cấu

g : Z/sZ ∼= G

Nhóm thương Z/sZ chính là nhóm cộng các lớp thặng dư theo môđun s đãquen biết và thường được ký hiệu là Zs Vậy ta đã chứng minh được kếtquả sau đây:

Mọi nhóm xyclic có cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các sốnguyên Z Mọi nhóm xyclic hữu hạn cấp s đều đẳng cấu với nhóm cộng Zscác lớp thặng dư theo môđun s.

Sau đây chúng ta sẽ chứng minh một số định lý quan trọng về đẳng cấunhóm, rất hay được dùng đến

4.8 Định lý Cho G là một nhóm, N là một nhóm con chuẩn tắc và M làmột nhóm con của G Khi đó N M là nhóm con của G và ta có đẳng cấu

N M/N ∼= M/(N ∩ M )

Chứng minh Với các phần tử a, c ∈ N và b, d ∈ M tùy ý, vì N là nhómcon chuẩn tắc của G, ta suy ra abcd = a(bcb−1)(bd) ∈ N M Vậy N M đóngđối với phép nhân Rõ ràng e = ee ∈ N M Hơn nữa, nếu ab ∈ N M thì(ab)−1 = b−1a−1 = (b−1a−1b)b−1 ∈ N M, tức trong N M luôn có phần tửnghịch đảo Vậy N M là nhóm con của G Vì N là nhóm con chuẩn tắccủa G nên theo Hệ quả 3.4, N là chuẩn tắc trong N M và N ∩ M là chuẩntắc trong M, nghĩa là các nhóm thương N M/N và M/(N ∩ M ) hoàn toànđược xác định Bây giờ ta xét ánh xạ

G/N ∼= H/M

Chứng minh Để chứng minh M là nhóm con chuẩn tắc của H ta phải chỉ

ra rằng y−1by ∈ M, ∀y ∈ H, ∀b ∈ M Thật vậy, vì f là toàn cấu nên tồntại x ∈ G và a ∈ N sao cho f (x) = y và f (a) = b Từ đây suy ra

y−1by = (f (x))−1f (a)f (x) = f (x−1ax) ∈ f (N ) = M

Xét toàn cấu chính tắc p : H −→ H/M Vì f là một toàn cấu nên đồngcấu hợp thành của hai toàn cấu p ◦ f : G −→ H/M cũng là một toàn cấu

Dễ thấy rằng Ker(p ◦ f ) = f−1(M ) ⊇ N Nếu a ∈ f−1(M ) thì tồn tại

b ∈ N, f (a) = f (b), suy ra f (ab−1) = f (a)(f (b))−1= e Điều này chứng tỏ

ab−1 ∈ N, tức a ∈ N Vậy ta suy ra Ker(p ◦ f ) = N Áp dụng (4.6) ta suyra

G/N ∼= H/ Ker(p ◦ f ) = H/M

4.10 Hệ quả Cho N, M là hai nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G.Giả sử M là nhóm con của N Khi đó ta có đẳng cấu

Có rất nhiều cách để định nghĩa một phạm trù Định nghĩa mà ta đưa

ra sau đây nhằm thích hợp cho những loại phạm trù quen biết như phạmtrù các nhóm, các nhóm Abel và đặc biệt là các phạm trù môđun, loạiphạm trù sau cùng này chính là động lực cho sự phát triển của lý thuyếtphạm trù

5.1 Định nghĩa phạm trù Một phạm trù K được cho bởi:

(K1) Một lớp các vật Ob(K) mà mỗi phần tử của Ob(K) được gọi làmột vật của phạm trù K

(K2) Hai vật A, B tùy ý của Ob(K) luôn xác định một tập hợp MorK(A, B),gọi là tập hợp các cấu xạ từ vật A đến vật B, sao cho với hai cặp khácnhau của các vật (A, B) 6= (C, D) thì

MorK(A, B) ∩ MorK(C, D) = ∅

(K3) với mỗi bộ ba (A, B, C) tùy ý các vật của Ob(K) luôn có một ánh xạ

MorK(B, C) × MorK(A, B) 3 (β, α) 7−→ βα ∈ MorK(A, C),

gọi là phép nhân, sao cho các điều kiện sau đây được thoả mãn:

(i) Kết hợp: γ(βα) = (γβ)α, ∀α ∈ MorK(A, B), β ∈ MorK(B, C),

γ ∈ MorK(C, D)

(ii) Có đồng nhất: Với mỗi vật A ∈ Ob(K) tùy ý luôn tồn tại một cấu xạ

1A∈ MorK(A, A), gọi là phần tử đồng nhất, sao cho

Ngoài ra ta cũng viết A ∈ K thay cho A ∈ Ob(K), α ∈ K thay cho

α ∈ Mor(K) và viết α : A −→ B thay cho α ∈ MorK(A, B)

5.2 Mệnh đề Đồng nhất 1A xác định như trong (K3), (ii) là duy nhất.Chứng minh Giả sử eA là một đồng nhất khác thoả mãn (K3), (ii) thì

5.3 Định nghĩa Cho K là một phạm trù và α : A −→ B là một cấu xạ.Khi đó ta có các định nghĩa sau đây

(i) α được gọi là đơn cấu nếu

αγ1 = αγ2 =⇒ γ1 = γ2, ∀C ∈ K, ∀γ1, γ2 ∈ Mor(C, A)

(ii) α được gọi là toàn cấu nếu

β1α = β2α =⇒ β1= β2, ∀C ∈ K, ∀β1, β2 ∈ Mor(B, C).(iii) α được gọi là song cấu nếu α vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu.(vi) α được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại β ∈ Mor(B, A) sao cho

βα = 1A và αβ = 1B.(v) Nếu A = B thì α được gọi là tự đồng cấu Một cấu xạ vừa là tự đồngcấu vừa là đẳng cấu thì được gọi là một tự đẳng cấu

5.4 Mệnh đề Một đẳng cấu luôn là một song cấu

Chứng minh Giả sử α : A −→ B là một đẳng cấu, tức tồn tại β ∈Mor(B, A) sao cho βα = 1A và αβ = 1B Với γ1, γ2 ∈ Mor(C, A) tùy ýthoả mãn tính chất αγ1= αγ2, ta suy ra

γ1 = 1Aγ1 = β(αγ1) = β(αγ2) = 1Aγ2= γ2.Vậy α là một đơn cấu

Tương tự, cho γ1, γ2 ∈ Mor(B, C) tùy ý thoả mãn γ1α = γ2α, ta suy ra

γ1= γ11B = (γ1α)β = (γ2α)β = γ21B = γ2.Điều này chứng tỏ α cũng là một toàn cấu Vậy α là một song cấu Chú ý rằng mệnh đề đảo của Mệnh đề 5.4 cũng đúng đối với các phạmtrù quen biết như phạm trù nhóm, phạm trù môđun, nhưng nó không cònđúng với một phạm trù tổng quát nữa

5.5 Ví dụ Trong các ví dụ sau đây chúng ta sẽ chỉ đưa ra lớp các vậttheo (K1), tập hợp các cấu xạ Mor(A, B) theo (K2) và phép nhân βα chocác cấu xạ α ∈ Mor(A, B), β ∈ Mor(B, C) theo (K3) Việc chứng minhchúng thỏa mãn các tiên đề để lập thành một phạm trù xem như là nhữngbài tập đơn giản cho đọc giả