bài tập lớn động lực học công trình

Yêu cầu: 1.Xác định tần số và dạng dao động riêng. 2.Xác định ma trận xung khai triển theo các dạng dao động riêng. 3.Xac định véctơ chuyển vị tại các khối lượng. 4.Xác định véctơ lực đàn hồi. 5.Xác định mômen uốn tại A,B theo thời gian. 6.Vẽ đồ thị mômen uốn theo thời gian tại điểm A: MA(t) trong khoảng thời gian t = 2T1 với T1 là chu kỳ dao động riêng dạng thứ nhất

đề bài

Đề số 1/7 Cho sơ đồ kết cấu nh hình vẽ 1

Với các số liệu: S = 2kNS

P =6kN

E = 2,1.104kN/cm2

J =6660cm4

M = 1kNS2/m(khối lợng)

a = 3m

{S} =





















3 2 1

S S

S

=















 1 1

1

S

Hình 1 : Sơ đồ kết cấu

Yêu cầu:

1.Xác định tần số và dạng dao động riêng

2.Xác định ma trận xung khai triển theo các dạng dao động riêng

3.Xac định véctơ chuyển vị tại các khối lợng

4.Xác định véctơ lực đàn hồi

5.Xác định mômen uốn tại A,B theo thời gian

6.Vẽ đồ thị mômen uốn theo thời gian tại điểm A: MA(t) trong khoảng thời gian t = 2T1 với T1 là chu kỳ dao động riêng dạng thứ nhất

Bài làm

1.Xác định tần số và dạng dao động riêng.

Ma trận khối lợng:

[M] =

M

M

Ma trËn mÒm:

[F] =





















33 32 31

23 22 21

13 12 11



















Hình 2 : Biểu đồ mômen trạng thái đơn vị

Trong đó:

11= (M1) (M1) =

3

(2 )

a

a a a a a a

22= (M2) (M2) =

3

.2 .

a

a a a

33= (M3) (M3) =

3

a

a a a a a a

12=21 =(M1) (M2) =

3

a

a a a a a a

13=31 = (M1) (M3) =

3

2 2

a

a a a

23=32 = (M2)(M3) = 1 1 1 3

.

a

a a a

Vậy

[F] = 3

6

a EJ

2 ω

1 [F][M]  

3

Ma

EJ

u u u

với u = 3EJ3 2

Ma  (*)

u

u

u



 - u3 + 24u2 - 118u +56 = 0

 u1= 17,4053

u2= 0,5306

u3= 6,0641

Từ (*) ta có

i = 3 3

i

EJ

Ma u =

3

i

EJ Ma

Thay số vào ta đợc:

1 =

1

3

u a M

EJ

EJ

3 =0,4196

M a

EJ

3

2 =

2

3

u a M

EJ

EJ

3 =2,3778

M a

EJ

3

3 =

3

3

u a M

EJ

EJ

3 =0,4947

M a

EJ

3

Tần số dao động là:

{}=

0, 4196 2,3778

0, 4947

EJ

3 =

20, 2585 114,8012 23,8843

Xác định dạng dao động

Ta có i =













*

1

i

 với {i*}=-[B11]-1[B1] = -

1

i

i

u

u





 

 

=

1

1

i

i

u

u





 

Với i =1 : {1 } = 0, 4378

0,8694

Tính tơng tự với {2 } và {3 } ta đợc kết quả nh sau:

{1 } = 0, 4378

0,8694

 ;{2 } = 1, 2981

0, 4965





1,9053



Vậy ta có :

{1}=

1

0, 4378 0,8694

;{2}=

1

1, 2981

0, 4965



;{3}=

1

1, 4993 1,9053

Nªn:

[] =

0, 4378 1, 2981 1, 4993 0,8694 0, 4965 1,9053

Kiểm tra điều kiện trực giao:

Dạng 1 và dạng 2:

{1}T[M] {2}={1 0.4378 0.8694}2M

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1.2981 0.4965



=

= (1.1 + 0.4378*(-1.2981)*2 + 0.8694*(-0.4965)*2) =

= 6.944*10-5.M

Dạng 1 và dạng 3

{1}T[M] {3}={1 0.4378 0.8694}2M

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1.4993 1.9053

=

= -1.4856.10-4 M

Dạng 2 và dạng 3

{2}T[M] {3}={1 -1.2981 0.4965}2M

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1.4993 1.9053

=

= -5.1976.10-4 M

Ta thấy điều kiện trực giao thoả mãn

2.Xác định ma trận xung khai triển theo các dạng dao động riêng.

Ta có

{S} =

1

1,5

Từ công thức:      

    T i   i i

T i

M

S









Thay số vào ta đợc:

{S1}=

1.4079 0,6163 S 1.2239

{S2}=

-0,3557

0, 4619 S 0,1767

{S3}=

0,0631 -0,0945 S 0,1238



Ta có ma trận xung khai triển nh sau:

1, 4079 0,3557 0,0631 0,6163 0, 4619 0,0945

1, 2239 0,1767 0,1238

S

Kiểm tra theo hàng:

S1= S11+ S12+ S13= (1, 4079 0,3557   0,0631)S = = 0,9891S

S2= S21+ S22+ S23= (0,6163 + 0, 4619- 0,0945)S = =0,9835S

S3= S31+ S32+ S33= (1, 2239 + 0,1767 + 1,1238)S = =1,5224S

3.Xác định véctơ chuyển vị tại các khối lợng.

Từ công thức {y(t)}=[M]-1[Sktr][kai(t)] với kai(t) = sinit/i

Nên ta có:

{y(t)}=

1

M

M M



1, 4079 0,3557 0,0631

1, 2239 0,1767 0,1238

S

t t t

{y(t)} =

0, 01521sin 0,00201sin 0,00198sin

( Với các giá trị 1; 2 ; 3 đã xác định ở trên )

4 Xác định véctơ lực đàn hồi.

Từ công thức {Pđ(t)}=[Sktr][ki(t)] với ki(t) = isinit

Nên ta có:

{Pđ(t)}= S

1, 4079 0,3557 0,0631

0,6163 0, 4619 0,0945

1, 2239 0,1767 0,1238



















t t t

3 3

21 2

1 1

sin sin sin













=

12, 4853sin 53,0267sin 2.2571sin

24,7944sin 20, 2854sin 2,9569sin

5 Xác định mômen uốn tại A, B theo thời gian.

Tại A:

MA(t)={MA1 MA2 MA3}{Pđ(t)} =

={0 0 a}

12, 4853sin 53,0267sin 2, 2571sin

= (24,7944*a*sin1t + 20,2854*a* sin2t + 2,9569*a*sin3t)S Tại B:

MB(t) = {MB1 MB2 MB3}{Pđ(t)} =

28,5219sin t 40,8348sin  t 1,5071sin t

= (41,0072*a* sin 1t + 12,1919 *a*sin 2t - 3,7642*a* sin 3t)S

6.Vẽ đồ thị mômen uốn theo thời gian tại điểm A: M A (t) trong khoảng thời gian t = 2T 1 với T 1 là chu kỳ dao động riêng dạng thứ nhất

Ta có T1=

1

2





= 2

0,31015

20, 2585



 t = 2T1= 0,6203 (s)

MA1(t) = MA1.Pđ1(t) = 0

MA2(t) = MA2.Pđ2(t) = 0

MA3(t) = MA3.Pđ3(t) =

=24,7944sin 1t 20,2854sin 2t 2,9569sin 3t

MA(t)={MA1 MA2 MA3}{Pđ(t)} =

= (24,7944sin1t + 20,2854 sin2t + 2,9569sin3t)S (kNm)

Từ đó ta vẽ đợc đồ thị mômen uốn tại A theo thời gian nh hình 6 dới đây

Hình 3 - Đồ thị mômen uốn theo thời gian tại điểm A do P đ1 (t) gây ra

Hình 4 - Đồ thị mômen uốn theo thời gian tại điểm A do P (t) gây ra

H×nh 5 - §å thÞ m«men uèn theo thêi gian t¹i ®iÓm A do P ®3 (t) g©y ra

H×nh 6 - §å thÞ m«men uèn theo thêi gian t¹i ®iÓm A