Lý thuyết thặng dư và áp dụng

Khaitri nển chuỗilũythừac aủa hà m ch nhỉnh hình...11 1.4.. Khaitri nển chuỗiluỹthừac aủa m tội, sốtnghiệhàm sơnc pấtkỳ ...13 1.5.. Địnhnghĩa1.1.2.Hàmf đượcg iọ làch nhỉnh hìnhtrênDnếunó

Lờicảmơ n

Emxinchânthànhc mảm ơn sựgiúpđ c an ỡcủa ủa cácthầygiáo,côgiáotổGi iảm tíchtr

Đ cbi t,ặcbiệt, ệt, emxinbàytỏlòngbi tết nơn s â u s cắc c aủa m ì n h t iới T S NguyễnVănHàođãt nận t ì n h g i ú p đỡcủae m t r o n g quátrìnhhoànthànhkhóalu nận t tnghiốtnghiệ ệt,p

L nầ đ uầ được thựch i nc ệt, c ô n g t á c n g h i ê n cứuk h o a họcnênk h o á l un

Tôixincamđoan,dưới ự ưới d nis h ng ẫn c aủa TS.NguyễnVănHào,khóal u ận

n t tốtnghiệ n g h i pệt, "Lýthuyếtthặngd ư vàápdụng”đượch o à n thành,khôngtrùngv iới b tkỳấtkỳ khóalu nnàokhác.ận

Trongquát r ì n h l à m k h ó a l u n ,ận t ô i đãkếtthừanhữngt h à n h t uự c aủa c á c nhàkhoahọcvớiisựtrântr ngọ vàbi tết ơnn

HàN i,ội, tháng5năm2010

Tácgiảm

NguyễnThịTrúc

1.1 Hàmch nhỉnh hình 3

1.2 Tíchphânc aủa hà m bi nết phức 5

1.3 Khaitri nển chuỗilũythừac aủa hà m ch nhỉnh hình 11

1.4 Khaitri nển chuỗiluỹthừac aủa m tội, sốtnghiệhàm sơnc pấtkỳ 13

1.5 Thêmm tội, vídụápd ngụ 13

Chương2.THẶNGDƯVÀCÁCHTÍNH 15 2.1 Khôngđi mển vàcựcđi mển 15

2.2 Th ngặcbiệt, dưvàcáchtính 18

2.3 Th ngặcbiệt, dưc aủa m tội, thươnng 21

Chương3.MỘTSỐÁPDỤNGCỦATHẶNGDƯ 25 3.1 Tíchphânxác đ nhc aịnhcủa ủa cáchàm hữutỷđ iốtnghiệ vớiisinevàcosine 25 3.2 Tíchphânvớiic nận vôt nận 27

3.3 T nổ gc aủa chuỗivôh nạn 33

Mởđầu

1 Lýdochọnđềtài

M tội, trongnhữngnguyênlýcơnb nảm c aủa lýthuyếttHàmbi nết phức, nẩn chứat r o

n g côngtrìnhc aủa Riemann,nóir ngcáchàmằngcáchàm ch nhỉnh hìnhđược đ cc ặcbiệt, tr ngư mội,tcáchc tốtnghiệ yếtub iởi c á c đ i mển k ỳ d c aịnhcủa ủa chúng.Chúngt a c ó sựphânl o iạn c á c điểnmkỳdịnhcủatheobam cứ đội,nh sư au:

+Đi mển kỳdịnhcủabỏđượcc

+C cự đi mển

+Đi mển kỳdịnhcủac tốtnghiệ y uết

Lo iạn thứnh tkhấtkỳ ông nhảm hưởingđếtnđ cặcbiệt, tínhc aủa m tội, hàmb iởi nócóthểnt h á

c tr i nển ch nhỉnh hìnht iạn c á c đ i mển k ỳ dịnhcủabỏđược c ac ủa n ó Đốtnghiệivớiil o iạn kỳ dịnhcủat h ứ b a, h à m được x é t d a o đội,ngvàc ó t h ển t ă n g m n hc ạn h nơn b tấtkỳ k ỳ d ngạn l u ỹ thừanàovàsựhi uển bi thoànết ch nhỉnh vềdángđi uệt, c anủa ólàkhôngdễdàng.Đ iốtnghiệ vớiil

o iạn t h ứ h a i đ i uề đóph nầ n à o dễdàngh nơn b iởi sựkếttn iốtnghiệ vớiiv i cệt, t ín h t oá n t

ược khisửd ngụ cácphươnngphápthôngthường,ng,đ cặcbiệt, bi tệt, khimàhàmdướiid uấtkỳ tíchphâncóm tội, sốtnghiệđi mb tển ấtkỳ thường,ng.Ngoàira,chúngtabi tr ngết ằngcáchàm tínht nổ

g c aủa m tội, chuỗih iội, t làụ khônghềđ ngi n,ơn ảm nhưngnhờng,nhữngứngd ngụ l ý thuyếttth ngặcbiệt, dưmàcôngvi cệt, đótrởinêndễdànghơnn

B iởi t mầ quantr ngọ c aủa lýthuyếttth ngặcbiệt, dưvàđược s hc ự ưới d nng ẫn c aủa TS.Nguyn

ễ VănH ào ,em đãch nọ đềtà i : “Lýthuyếtthặngd ư v à á p dụng”đểhoànthà

nhkhóalu nận t tốtnghiệ nghi pệt, hệt,đàot oạn cửnhânchuyênngànhS ph mư ạn Toánh cọ

C uấtkỳ trúcc ađủa ềtài được bốtnghiệc cc ụ thành bachươnng

Chương1.Tácg i ảm

t r ì n h bàym tội, sốtnghiệki nết thứccănb nảm vềh à m ch nhỉnh hình,tíchphânc aủa h à m bi ếtnphứcvàkhai tr i nển chuỗil ũ y thừac aủa m tội, sốtnghiệ

hàmsơnc p.ấtkỳ

Chương2.Chươnngnàydànhchov i cệt, t r ì n h bàym tội, sốtnghiệk i nết thứcq u a n t r

n g

ọ vềlýthuyếttth ngặcbiệt, dư.Ph nầ đ uầ chươnng,chúngtôi đưarađ nhịnhcủa nghĩavàt

í n h ch tấtkỳ c acủa ựcđ i m ển T i p t h e o ,ết chúngt ô i t r ì n h bàyk h á i n i mệt, t h n gặcbiệt,dưvàm tội, s cáchốtnghiệ tínhth ngặcbiệt, dưc aủa m tội, hàmt iạn cựcđi m.ển Côngthứcth ngặcbiệt, dưđc

ược đưaraởicu iốtnghiệ chươnngnh mằngcáchàm ph cụ vụchovi cệt, trìnhbàycácứngd ngụ c aủa th ngặcbiệt,dưtrongchươnng3

Chương3.Chúngt ô i t r ì n h bàyba ngd ngc aứ ụ ủa l ý thuyếttt h n gặcbiệt, dư:T í n

h tíchphânRiemann,tínhtíchphânsuyr ngội, vàtínht ngổ c aủa m tội, sốtnghiệchu iỗ v

ôh nạn

2 Mụcđíchvàn h i ệ m vụn g h i ê n cứu

- Nghiêncứuvấtkỳnđềth ngặcbiệt, dưt iạn cựcđi m.ển

- Nghiênc u ngd ngc aứ ứ ụ ủa th ngặcbiệt, dưtrongcácv nấtkỳ đ sauề :TínhtíchphânR i e

m a n n , tínhtíchphânsuyr ngội, vàtínht ngổ c aủa m tội, sốtnghiệchu iỗ h it ội, ụ

3 Đốitượngn g h i ê n cứu

- Nghiêncứuvềth ngặcbiệt, dưt iạn cựcđi m.ển

- Nghiêncứum tội, sốtnghiệứngd ngc aụ ủa lýthuyếttth ngặcbiệt, dư

4 Phươngphápn g h i ê n cứu

Đọct à i l i u ,ệt, phântích,sosánh,t n gổ hợcp

Chương1 MỘTSỐKIẾNTHỨCCHUẨNBỊ

1.1 Hàmchỉnhhình

Địnhnghĩa1.1.1.ChoDlàt pận conmởitrongm tặcbiệt, ph ngph cẳngphức ứ Cvàfl à

m ộ thàmnh nận giátrịnhcủaph cứ trênD.Hàmfđượcg iọ làch nhỉnh

hình(hayC-khảmvi)t iạn đi mển z0∈Dnếut nồn t iạn gi iới h nạn

f(z0+h)−f(z0)

trongđóh∈Cvàhƒ=0saochoz0+h∈D.Gi i ới h nạn trênđược g ic ọ làđạohàmc aủa

hàmft i ại đi m ển z0vàđược kíhi uc ệt, b iởi f r (z0).

Bi uển thức

f(z0+h)−f(z0)

h

được g i làc ọ thươn viphânc ang ủa hàmftại điểmz0.

Địnhnghĩa1.1.2.Hàmf đượcg iọ làch nhỉnh hìnhtrênDnếunóch nhỉnh hìnhtạn

im iọ đi mển z∈D.NếuM⊂Clàt pận đóngthìtanóir ngằngcáchàm fchỉnh hìnhtrênMnếuf

chỉnhhìnhtrênm tội, t pận conmởinàođóch aứ M.

Khichoh →0theot r cụ thựct h ì b i uển thứct r ê n c ó g i iới h nạn 1 , c ò n khichoh

→ 0t h e o t r cụ ảmo t h ìb i uển thứcđóc ó g i iới h nạn l à

-1 Nhưv yận b i uển thứct rênkhôngcógi iới h nạn khih→0.

Hàmfchỉnhhìnht i ạn z0∈Dn uết vàchỉnhn uết t nồn t iạn s ph cốtnghiệ ứ asaocho

f(z0+h)−f(z0)=ah+hϕ(h), ởiđóϕ(h)làhàmxácđ nhvịnhcủa ới hđủbévàl i m ϕ(h)=0.Dĩnhiên,chúngtai

−y).Hàmnàykhảmvitheonghĩath cự ,đ oạn hàmc anóủa t iạn m tội, đi mển làánhxạnt

uy nết tínhđược chob ic ởi đ nhịnhcủa th cứ Jacobianc aủa nó,matr nận 2x2cácđ oạn hà

mr i ên g c aủa cáchàmtoạnđ ội, Tuynhiên,tathấtkỳyđi uề ki nệt, t nồn t iạn cácđ oạn hàm

th ckhôngự b oảm đ mtínhảm khảmviph cứ Đểnhàmfkhảviph cứ ,ngoàiđi uề kiệt,nkhảmvic aủa hàmhaibi nết th cự chúngtac nầ đ nết đi uề ki nệt, Cauchy-Riemann

Địnhlý1.1.7[1](ĐiềukiệnCauchy-Riemann).Điềuk i ệ n cầnv à đ ủ để h à m f (z)= u (x,y)

+iv(x,y)k h ả vip h ứ c t ạ i đ i ể mz = x +iyl à cáchàmu(x,y)vàv(x,y)khảvit

Đường,ngc o n g t h a m sốtnghiệl à m tội, h à m z(t)á n h x ạn đ o n ạn [a,b]⊂ R vàom ặcbiệt,

t ph ngẳngphức phức.Đường,ngc o n g được g ic ọ l à t r nơn nếtut n t iồn ạn đ oạn h à m zr(t)t r

ê n [a,b]vàzr(t)ƒ=0vớiim i ọ t∈[a,b ].

Đường,ngc o n g t h a m sốtnghiệđược g i l àc ọ t r nơn từngkhúcnếtuz(t)l i ê n t cụ t r ê n

được g ic ọ l à tư ơnn gđươnngnếtut nồn t iạn songá n h khảmv i l i ê n t cụ s ›→t(s)từ[

c,d ]vào[ a,b]saochotr(s)> 0vàz¯(s)= z(t(s)).Đi uề k i nệt, tr(s)> 0đảmmb oảm rằngcáchàmnghướingc ađủa ường,ngco ng được xác đ nhkhic ịnhcủa s chạy từcđếtndt h ì t chạytừađếtn

b.Họt tấtkỳ cảmcácđường,ngcongthamsốtnghiệtươnngđươnngvớiiz(t)xácđ nhịnhcủa m tội, đường,ngco

ngγ⊂Cđượcg iọ là nhảm c aủa đo nạn [a,b]quazvớiihướingchob i ởi z khit chạyt ừ a đ ếtnb Chúngt a c ó t h ển x á c đ nhđịnhcủa ường,ngcongγ−thuđược từđường,ngcongγbằngvicc

ệt, đ iổ ngược hướing.Nhưmội,tdạnngthamsốtnghiệhoáđ cc ặcbiệt, bi tệt, đốtnghiệivớiiγ−,chúngtacót h

ểnlấtkỳyz¯:[a,b]→R2xácđ nhịnhcủa b iởi

z ¯(t)=z(b+a−t).

Cácđi mển z(a)vàz(b)đượccg ilàọ cácđi mển đ uầ mútc ađủa ường,ngcong.B iởi v ì

γđượcđ nhhịnhcủa ướingb iởi phươnngtrìnhthamsốtnghiệz:[a,b]→Cvớiitchạytừa

đếtnb,nênm tội, cáchtựnhiêng iọ z(a)làđ i mển đ uầ vàz(b)làđi mển c u iốtnghiệ c aủa đường,ngcong.

M tội, đường,ngcongtr nơn ho cặcbiệt, tr nơn từngkhúcđược g ic ọ làđóngnếtuz(a)=z(b)vớiith

amsốtnghiệhoáb tấtkỳ kỳc aủa nó.Đường,ngcongtr nơn ho cặcbiệt, tr nơn từngkhúcđược g ic ọ l à đn

ơn nếtunókhôngc ó đ i m tển ự c t ,ắc n g h ĩ a l à z(s)ƒ=z(t)t r ừ khis =t.Đường,ngc

ongđơnn,đóngg iọ làchutuyếtn

T pận D⊂Cđượcg iọ làm tmi nội, ề nếtuthoảm mãnhai đi uề ki nệt, sauđây( i )

D l à t p m ;ận ởi

(ii).Vớiim iọ a,b∈Dt n ồn t iạn đường,ngcongliênt cụ L⊂Dn i ối avàb.

Mi nề gi iới h nạn b iởi chutuy nết γđượckýhi ulàệt, D γ MiềnDđượcg iọ làđ n lơn

i ê n n uvết ới m ii ọ chutuy nết γ ⊂ Dt hìt a đ u ề c ó D γ⊂ D.Miềnthuđược từmi nc ề

đ nơn liênDsaukhibỏđinmiềnD γ 1, D γ 2, ,D γnkhônggiaonhaun mằngcáchàm trongDđượcg

i

ọ làmi nề

(n+1)-liên(khikhôngc nầ phânbi tệt, r õ , chúngtag iọ chunglàmi nề đaliên)

Quyư ớ c G ọ i chiềudươnngc aủa b i ê n c aủa m i nề D l à chiềuđidọct h e o b i ê n t h

ì mi nề được xétn mc ằngcáchàm vềbêntaytrái,chiềucóhướingngược l ic ạn làchiềuâm.Đốtnghiệ viớiim i nề D đượcx é t , ngường, t a thường,ngk ý h i ui ệt, ∂Dcũngl à b i ê n c anủa ól yấtkỳ theo

chiềudươnng,∂D−l àbiênl yấtkỳ theohướingâm

Địnhnghĩa1.2.1.C h o đường, c o n g t r nng ơn γ t r o n g C đượct h a m sốtnghiệh o á b

Từcôngthứctrênđâychúngtath ytíchấtkỳ phânc aủa hàmbi nết phứctrênđường,ngc o n g

γ đượch i uển nhưt n gổ c aủa h a i tíchphânđường,ng.T ừ t í n h ch tấtkỳ c aủa tíchphânđường,ng,chúngtadễdàngnh nận được cáctínhch tc ấtkỳ sauc aủa tíchphânhàmbi nết phức

Víd ụ 1.2.4.G i ả sửγ l à đường,ngc o n g t r nơn t u ỳ ý c ó phươnngt r ì n h t h a m sốtnghiệ

z=z(t);t ∈[a,b ]v iới cácđi mển đ uầ mútz(a)vàz(b).Khiđó,chúngtacó

Từv í dụ1 2 4 , chúngt a th yấtkỳ r n gằngcáchàm c á c tíchphânt r ê n khôngphụt h u cội, vàhìnhd ngc ađạn ủa ường,ngl ytíchấtkỳ phânvàtíchphânb ngằngcáchàm 0theođường,ngcongđóngb tấtkỳkỳ.K tết quảmq u a n t r n gọ c aủa tíchphândọct h e o m tội, đường,ngc o n g đ iốtnghiệ vớiihàmch nhỉnh hìnhđược chob ic ởi đ nhịnhcủa lýsau

Địnhlý1.2.5(CauchyGoursat).Giảs ử D l à m ộ t m i ề n n

-liêntrongCvớibiên∂Dgồmcácchutuyếntrơntừngkhúcvàflàhàmchỉnhhìnhtr ênD,liêntụctrênD=D∪∂D.Khiđó,tacó

∂v

−

∂ x

f(ζ) ζ−z dζ.

1 ¸

2πi

γ f(ζ)ζ−z0

dζ.

Trường,ngh pợc fliênt c ụ DvàfchỉnhhìnhtrênDthìtacóthểnthay∂D

choγtrongchứngminhtrênvành nận được kếttquảmmongmuốtnghiện.c Q

Chứngminh.Tachứngminhcông thứcb ngphằngcáchàm épquyn pạn theon.Trường, gh pn ợc

n =0theoc ô n g thứctíchphânCauchychúngt a nh nận được đ i uc ề ph iảm chứngminh.Giảmsửcôngthứcđúngchotrường,ngh pợc n−1,t cứ là

Bâygiờng,vớiihđủnhỏsaochoz0+h∈D γ ,thươnngviphânđ i ốtnghiệ vớiihàmf (n−1)

được chob ic ởi côngthức

n! (z−z0)

chuỗih iội, tụđềuvớiim iọ ξ∈C ρ Điềuđóchophéptal ytíchấtkỳ phântừngsốtnghiệh ngạn c aủachuỗivàthuđượcc



∞

1 ¸ f ( ξ )  n

f(z)=. n+1 dξ(z−z0).

33! +···

= ∞

e 2πiz − 1−e −2πiz − 1 = −2πiz.

vàthayth ết k h a i t r i nển c aủa h à m 2πiz

e 2πiz −1 trongph nầ trên chúngtacó

B5(

2πiz

)55!

.+··· =−2πiz.

Đồnngnh tấtkỳ hai vếtc ađ ngthủa ẳngphức ứctrênta nh nận đượcc

Chương2 THẶNGDƯVÀC ÁCHT ÍNH

Đ nhịnhcủa lý Cauchynóir ngằngcáchàm nếtuhàm fchỉnhhìnhtrong m tmi nội, ề D γđượcg ii

ới h nạn b iởi m tội, đường,ngcongđóng,tr nơn từngkhúcγthìtíchphânc aủa hàm

đótrênđường, congγthoảmãn¸ng

Điểmkỳdịcủam tội, hàmph cứ flàm tội, s ph cốtnghiệ ứ z0s a ochofchỉnhhìnhtr on g lâ

nc nận c aủa đi mển z0trừz0.Chúngtacũngg iọ nh ngữ đi mển đólàđi mển kỳdịcôlập.Ví

dụ,hàmfchỉxácđ nhịnhcủa trênm tặcbiệt, ph ngtẳngphức h ngủa b iởi f(z)=zt h ì g cốtnghiệ làđi mkỳển d ịnhcủa Tuynhiên,b ngằngcáchàm cáchđ tặcbiệt, f(0)=

0thìtháctri nển nh nận được làhàmliênt cc ụ vàdođónh ngữ đi mển nhưvậnyđược g ic ọlàcácđi mển kỳdịnhcủabỏđược c

Trường,ngh pợc c aủa hàmg(z)= 1, hàmnàyxácđ nhịnhcủa trongm tặcbiệt, ph ngtẳngphức h ngủa

hàmh(z)=eztrongm tặcbiệt, ph ngẳngphức th ngủa choth yấtkỳ r ngằngcáchàm đi mển kỳdịnhcủavàcựcđi mển

khôngnóilênđi uề gì.Thựcv yận ,hàmh(z)tiếtnt i ới vôcựckhizdầnđếtn0trênt r cụ

thựcdươnng,trongkhih(z)tiếtnđếtn0khizdầnđếtn0trêntr c ụ thựcâmvàh(z)da

ođội,ngr tấtkỳ nhanh,nhưngvẫnnbịnhcủach n,ặcbiệt, khizdầnđếtn0trêntr cụ ảmo

Đi mển k ỳ d thịnhcủa ường,ngx u t h i nấtkỳ ệt, b iởi m uẫn sốtnghiệc aphânủa sốtnghiệt r i tệt, t i ê u nênchúngt a

b tắc đ uầ vớiim tội, n g h i ê n cứuđ aịnhcủa phươnngc á c khôngđ i mển c aủa h à m ch nhỉnh hình

S ph cốtnghiệ ứ z0l àkhôngđiểmđốiv iới hàmch nhỉnh hìnhfnếuf(z0)=

0.Đ cặcbiệt, b i t ,ệt, tháctri nển ch nhỉnh hìnhchothấtkỳyr ngằngcáchàm khôngđi mển c aủa hàmch nhỉnhhìnhkhôngt mầ thường, làcôl p.ng ận Nóicáchkhác,n uết flàch nh ỉnh hìnhtrongDvàf (

z0)=0v iới z0∈Dnàođó,thìt nồn t iạn m tội, lânc nận mởiUcủaz0s a ocho

f(z)ƒ=0vớiim i ọ z∈U\{z0},trừkhifđồngnhấtkỳt0.Chúngtab tắc đ uầ

b ngằngcáchàm v i c m ôệt, t t í n hảm đ aịnhcủa phươnngc aủa c á c h à m ch nhỉnh hìnhg nầ m tội, không

đ i mển c aủa nó

Địnhlý2.1.1.Giảs ử f l à m ộ t h à m c h ỉ n h h ì n h trongm ộ t m i ề n D,cóm ộ

tkhôngđiểmtạiz0∈ DvàkhôngđồngnhấtbằngkhôngtrongD.Thếthì,tồntại

mộtlâncậnUcủaz0trongD,mộthàmchỉnhhìnhgkhôngđồngnhấttriệttiêutrênUv àmộtsốnguyêndươngduynhấtksaocho

f(z)=(z−z0)k g (z) vớimọiz ∈U.

Chứngminh.VìDliênthôngvàfkhôngđ ngnhồn ấtkỳt0trongDnênfkhôngđ ngnhồnấtkỳt0trongm tội, lânc nận đ nh c aủa ỏ ủa z0.Trongđĩađ nhủa ỏtâmt iạn z0h à mfcókhait

ởiđóh(z)ƒ=0.N u ếu m>k,thìcóthểnchiacho(z−z0)k để

thấtkỳyr ngằngcáchàm

m−k

g (z)=(z−z0) h (z)

vàchoz→z0t anh nận được mâuthu nc ẫn g(z0)=0.Nếum<k,thìl plu nận ận tư ơnn

g tựchúngtanh nận được h(zc 0)=0,cũngd nẫn đ nết mâuthu nẫn Dođóm =kvàg(

Trongtrường, h png ợc c ađ nhủa ịnhcủa lýtrên ta nóifcókhôngđiểmbậck(hoặcbội

k)t iạn đ i mển z0.Nếukhôngđ i mển l à b cận m t ,ội, chúngt a n ó i r n gằngcáchàm z0làkhôngđiểmđơn.Chúngta nh nận xétr ngằngcáchàm vềm tặcbiệt, đ nhịnhcủa lượcng,b cận c akhủa ôngđi mển m

S nguyốtnghiệ êndươnngk trong Đ nhịnhcủa l ý 2 1 2 được g ic ọ l à bậc(hoặcbội)c acủa ựcđ i ển

m vànómô t ảm tốtnghiệcđội,t ă n g c aủa h à m khiz tiếng nầ t iới z0.Nếucựcđ i mển l à b cận

m tội, chúngt a g iọ nól à cựcđiểmđơn

Ti pết t h e o , chúngtasẽnóivềkhait r i nển chuỗiluỹthừac aủa m tội, h à m t iạn

c aủa hàmftạic cự đi mển z0củaanóđược g ic ọ làth ngặcbiệt, d c aư ủa ftạic cự đi mển

đó,kýhi uệt, làresf.Nhưv y ận resf=a−1.

Ýn g h ĩ a quant r ngọ c aủa lý thuyếttth ngặcbiệt, dưx u tấtkỳ pháttừthựctếtr n gằngcáchàm t tấtkỳ

c ảm c á c sốtnghiệh ngạn t r o n g ph nầ chínhc ó b cận thựcsựl nới h nơn 1 , đềuc ó nguyênh à

m t r o n g l â n c nận th ngủa c aủa đ i mển z0.D ođ ó , nếtuC l à đường,ngt r ò n b tấtkỳ k ỳ t â

Nhưchúngt a đãth yấtkỳ t r ê n đây,v i cệt, t í n h tíchphânđược quyvềt í n h t o á n t h ặcbiệt,c

n g dư.Đi uề đód nẫn đếtnvi cệt, tìmracácphươnngpháptínhtoánth ngặcbiệt, dư

Trongtrường, h p hàmng ợc fcóc cự đi m đ n t iển ơn ạn z0,rõràngchúngtacó

,v ớiig(z)làhàmch nhỉnh hìnhtronglânc nận c aủa đi mển z0.

Trongtrường,ngh pợc nàytacũngcóthểntínhth ngặcbiệt, d c aư ủa fnhờđ nhịnhcủa lýsau

Địnhlý2.2.3.N ế u f (z)= g (z)

(z−z0)k ,ở đ ó g l à h à m c h ỉ n h h ì n h trong

= b

k 1

=

z=z

0

5

Tìmthặcbiệt,ngdưcủaahàm

f(

z)

=

z +

1

z

Chúngtavi thàmết fd ưới d ng i ạn f(z)= g (z ),

z +

5)

B iởi vìgchỉnhhìnhtronglânc nận c aủa z=

1nêntheoHệt,quảm2.2.4,chúngt a c ó re sf=g(1)=1.

Vídụ2.2.6.Tìmth ngặcbiệt, d cưa

B j (

2πiz) j

j!1

∞

B j

π c o

t(

π z

)

=

(2

π i

ich

ỉnhsốtnghiệ

chẵ

nk

≥2

2.3 Thặng

dưcủ amột thươ ng

Nhiu

ề khichúngtacầntínhthngặcbiệt,

d cưa

ởiđóq(z)làm tội, hàmgi iảm tíchtronglân

c nận c aủa đi mển z0vàq(z)ƒ=0.Khiđó

TheoĐ nhịnhcủa lý 2.2.3, đểnt í n h th ngặcbiệt, dưc aủa hà m f chúngt ac n ầ tínhg (k−1) (z0)

( h o ặcbiệt, c h sệt, ốtnghiệc aủa (z−z0)k−1t r o n gkhaitri nển chuỗiluỹthừac aủa hàmgquanh

z0)vàđ i uề đónhiềukhig pặcbiệt, khókhăn.Thaychov i cệt, thựch i nệt, t r cự t i p ,ết

l pặcbiệt, l iạn phépl yấtkỳ viphân,nócóthểntínhđược cách sc ệt, ốtnghiệchuỗiluỹthừac aủa g

b ngằngcáchàm vi cệt, sửd ngụ cácphươnngphápđ cặcbiệt, tr ngư chuỗiluỹth a.ừ

Lưuý r n gằngcáchàm p vàq l àc á c h à m g i iảm tícht r o n g m tội, l â n c nận c aủa đ i mển z0

.p

B iởi vìq(z0)ƒ=0,nên cũngl à h à m g i iảm tícht r o n g l â n c nận c aủa đ i mển z0và

q

dođócókhai tri nển luỹthừatrongđĩanàođótâmt iạn z0.Phươnngphápchiadọcl

àthi tết l pận thu tận toánđểntìm cách sệt, ốtnghiệtrong khaitri nluỹển thừac aủa p

q

theocácsốtnghiệh ngc aạn ủa cáckhaitri nển c aủa pvàq.

Đểnđ nơn g i nảm chov i cệt, t r ì n h bàyđ iốtnghiệ vớiiphươnngphápchiad cọ ,chúngt a sẽthựchi nđ iệt, ốtnghiệ vớiikhaitri nển luỹthừatheo z,vìchuỗiluỹthừatâmt i ạn z0k h á c

0cóthểnchuy nển vềd ngạn trênb iởi m tội, phépđ iổ biếtn.Giảmsửpcókhôngđ i mển b ận

c nhỏnh tấtkỳ m t ạ i 0 vàg i ảm sửr n gằngcáchàm q (0)ƒ=0 Khiđóp vàq c ó khaitri nển luỹthừa