Tài liệu Lý thuyết thặng dư và ứng dụng ppt

Lý thuyết thặng dư và ứng dụng... Lý thuyết thặng dư và ứng dụng Nguyễn Thủy Thanh Cơ sở lý thuyết hàm biến phức.. Từ khoá: Lý thuyết thặng dư, Chu tuyến đóng, Hàm nguyên, Hàm phân hìn

Lý thuyết thặng dư và ứng dụng

Chương 6 Lý thuyết thặng dư và ứng dụng

Nguyễn Thủy Thanh

Cơ sở lý thuyết hàm biến phức NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006

Tr 412-514.

Từ khoá: Lý thuyết thặng dư, Chu tuyến đóng, Hàm nguyên, Hàm phân hình,

Bài toán cousin

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả

L´ y thuyˆ e´t th˘ a.ng du v`a ´u.ng

6.1 Co so ’ l´ y thuyˆ e´t th˘ a ng du 423

6.1.1 D- i.nh ngh˜ıa th˘a.ng du 423

6.1.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh th˘a.ng du 425

6.1.3 D- i.nh l´y co ba’n cu’a l´y thuyˆe´t th˘a.ng du 436

6.1.4 T´ınh t´ıch phˆan theo chu tuyˆe´n d´ong 444

6.2 Mˆ o .t sˆ o ´ ´ u.ng du ng cu ’ a l´ y thuyˆ e´t th˘ a ng du 448

6.2.1 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 448

6.2.2 T´ınh t´ıch phˆan da.ng I = 2π Z 0 R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ 451

6.2.3 T´ıch phˆan da.ng I = +∞ Z −∞ R(x)dx 454

6.2.4 T´ıch phˆan da.ng I = Z R e iax R(x)dx 459

6.2.5 T´ıch phˆan da.ng I =

Z

R +

R(x)x α dx 463

6.2.6 Mˆo.t sˆo´ v´ı du kh´ac 478

6.2.7 T`ım tˆo’ng cu’a chuˆo˜i 490

6.3 H` am nguyˆ en v` a h` am phˆ an h` ınh 495

6.3.1 H`am phˆan h`ınh B`ai to´an Cousin th´u nhˆa´t trong m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c 495

6.3.2 H`am nguyˆen B`ai to´an Cousin th´u hai trong m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c 503

6.4 B` ai tˆ a.p 513

6.1 Co so ’ l´ y thuyˆ e´t th˘ a.ng du .

6.1.1 D - i.nh ngh˜ıa th˘a.ng du.

Tru.´o.c khi ph´at biˆe’u di.nh ngh˜ıa vˆe` th˘a.ng du ta ch´u.ng minh mˆo.t di.nh l´y do.n gia’n sau dˆay

D- i.nh l´y 6.1.1 Gia’ su.’ h`am f chı’nh h`ınh trong v`anh tr`on

V = {z ∈ C : r < |z − a| < R}

Khi d´ o t´ıch phˆ an

I(ρ) =

Z

|z−a|=ρ

f (z)dz, r < ρ < R

khˆ ong phu thuˆ o c v` ao ρ.

Ch´ u.ng minh Thˆ a.t vˆa.y, gia’ su.’ r < ρ1 < ρ2 < R v` a γ(ρ1) = {|z − a| = ρ1},

γ(ρ2) = {|z − a| = ρ2} T`u di.nh l´y vˆe` bˆa´t biˆe´n cu’a t´ıch phˆan theo c´ac tuyˆe´n

dˆ` ng luˆan suy ra r˘a`ngo

D- i.nh ngh˜ıa 6.1.1 Gia’ su.’ h`am f(z) chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m a ho˘a.c c´o bˆa´t

thu.`o.ng cˆo lˆa.p d˘a.c t´ınh do.n tri a Gia’ su.’ γ l`a du.`o.ng cong d´ong Jordan bao

diˆe’m z = a v`a du.o c di.nh hu.´o.ng ngu.o c chiˆe`u kim dˆo` ng hˆo` Khi d´o t´ıch phˆan1

2πi

Z

γ

f (z)dz du.o c go.i l`a th˘a.ng du cu’a h`am f(z) dˆo´i v´o.i diˆe’m a v`a du.o c k´y

hiˆe.u l`a

ρ} Do d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y γ l`a du.`o.ng cong Jordan d´ong bˆa´t k`y thuˆo.c U(ρ)

khˆong di qua a nhu.ng bao a, v´ı du du `o.ng tr`on γ r = {|z − a| = r, r < ρ}.

T`u di.nh l´y Cauchy v`a di.nh l´y 6.1.1 suy ra r˘a`ng th˘a.ng du (6.1) c´o thˆe’ viˆe´tdu.´o.i da.ng

D- i.nh ngh˜ıa 6.1.2 Gia’ su.’ h`am f ∈ H{|z| > r} v`a z = ∞ l`a diˆe’m bˆa´t

thu.`o.ng cˆo lˆa.p cu’a h`am f(z) Da.i lu.o ng

du.o..c go.i l`a th˘a.ng du cu’a h`am f ta.i diˆe’m ∞ trong d´o γ−

(0, R) l`a du.`o.ng tr`on

γ−(0, R) = {|z| = R} v´o.i b´an k´ınh du’ l´o.n du.o c di.nh hu.´o.ng sao cho lˆan cˆa.ndiˆe’m ∞ luˆon luˆon n˘a`m bˆen tr´ai

Ta c´o thˆe’ du.a ra di.nh ngh˜ıa ho p nhˆa´t sau dˆay vˆe` th˘a.ng du

D- i.nh ngh˜ıa 6.1.3 Gia’ su.’ a ∈ C l`a diˆe’m chı’nh h`ınh ho˘a.c diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng

cˆo lˆa.p do.n tri cu’a h`am f Gi´a tri cu’a t´ıch phˆan cu’a h`am f theo biˆen cu’a lˆan

cˆa.n du’ b´e cu’a diˆe’m z = a chia cho 2πi du.o c go.i l`a th˘a.ng du cu’a h`am f ta.i

diˆe’m a.

Theo di.nh l´y Cauchy

Res [f ; a] = 0

nˆe´u h`am f chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m a v`a a ∈ C Th˘a.ng du ta.i ∞ c´o thˆe’ kh´ac

0 khi h`am chı’nh h`ınh ta.i ∞ Thˆa.t vˆa.y, gia’ su.’ f(z) = 1z Hiˆe’n nhiˆen diˆe’m

z = ∞ l`a khˆong diˆe’m do.n cu’a f v`a

Nhu vˆa.y h`am chı’ c´o thˆe’ c´o th˘a.ng du 6= 0 ta.i diˆe’m a c´ach gˆo´c to.a dˆo mˆo.t

khoa’ng c´ach h˜u.u ha.n trong tru.`o.ng ho p khi a thˆa.t su l`a diˆe’m bˆa´t thu.`o.ng,

trong khi d´o n´o c´o thˆe’ c´o th˘a.ng du 6= 0 ta.i ∞ thˆa.m ch´ı ca’ trong tru.`o.ng ho ph`am chı’nh h`ınh ta.i d´o

6.1.2 Phu.o.ng ph´ ap t´ınh th˘ a ng du .

Viˆe.c t´ınh th˘a.ng du b˘a`ng c´ach xuˆa´t ph´at t`u di.nh ngh˜ıa hˆe´t s´u.c ph´u.c ta.p Co

so.’ cho viˆe.c t´ınh to´an th˘a.ng du mˆo.t c´ach thu c tiˆe˜n l`a di.nh l´y sau dˆay

D- i.nh l´y 6.1.2 Gia’ su.’ v´o.i 0 < |z − a| < ρ h`am f(z) c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du.´o.i

da ng

f (z) = X

a n (z − a) n , (6.3)

T`u d´o suy ra (6.4) du.o c ch´u.ng minh.

2 V`ı chuˆo˜i (6.1.5) hˆo.i tu dˆe`u trˆen du.`o.ng tr`on

V´ ı du 2 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u

Gia’i Khi d´ o Res[f ; 0] = 1

2 Thˆa.t vˆa.y, ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m z = 0 ta c´o

trong d´o ϕ(z) chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m z = 0 T`u d´o suy ra diˆe`u pha’i ch´u.ng minh

V´ ı du 4 Ta x´et miˆ`n D = C \ [0, 1] v`a h`am gia’i t´ıch trong d´oe

F (z) = 8

r

z

1 − z·T´ınh Res[f ; ∞], trong d´ o f l`a nh´anh chı’nh h`ınh nhˆa.n gi´a tri du.o.ng o.’ b`o.trˆen cu’a nh´at c˘a´t [0, 1].

Gia’i Trong miˆ `n D h`am F (z) c´o thˆe’ t´ach th`anh ba nh´anh chı’nh h`ınh.eGia’ su.’ f (z) l`a nh´anh chı’nh h`ınh nhˆa.n gi´a tri du.o.ng o.’ b`o trˆen cu’a nh´at c˘a´t

Ta s˜e khai triˆe’n h`am f (z) th`anh chuˆo˜i Laurent ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m ∞ V´o.i

z ∈ D ta c´o

f (z) =

8

r

z

1 − z

e iϕ3, ϕ = ϕ1− ϕ2,

trong d´o ϕ1 = ∆γ arg z, ϕ2 = ∆γ (1 − z), γ ⊂ D l`a du.`o.ng cong n˘a`m trong D

v`a nˆo´i diˆe’m 0 + i0 v´ o.i z ∈ D Khi z = x > 1 ta c´ o ϕ1 = 0, ϕ2 = −π Do d´o

trong d´o c˘an th´u.c nhˆa.n gi´a tri 1 ta.i ∞ T`u d´o dˆe˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng

m`a f (0 + i0) = 1 trong miˆ `n D = C \ [−1, +1] T´ınh th˘a.ng du cu’a h`am f(z)e

ta.i diˆe’m ∞ (v´ı du 5.3.5).

Gia’i Ta khai triˆe’n h`am f (z) th`anh chuˆo˜i Laurent ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m ∞

H`am g(z) chı’nh h`ınh ta.i diˆe’m ∞ v`a g(∞) = 1

Res [f ; ∞] = 2αe iαπ

V´ ı du 6 Gia’ su’ f (z) l`. a nh´anh chı’nh h`ınh cu’a h`am F (z) = Ln 1 − z

1 − z 1 + z