Bai Tap So Phuc

VẤN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨCPhương pháp giải: Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức.. Khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thứ

VẤN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức

Khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực Chẳng hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức…

Dạng 1 Tìm phần thực, phần ảo của một số phức

Bài 1: Tìm phần ảo của số phức z, biết z 2i 2 1 2i ĐS: Phần ảo của số phức z bằng:  2.

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 i z 4i z  1 3 i2 Tìm phần thực và phần ảo của z

ĐS: Phần thực là –2, phần ảo là 5

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn 1i 2 2 i z   8 i 1 2 i z Tìm phần thực và phần ảo của z

ĐS: Phần thực là 2, phần ảo là –3

Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của số phức

30 15

(1 )

i z

i





 ĐS: Phần thực là 0, phần ảo là 130

2 .

Bài 5: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3 + … + (1+i)20

ĐS: Phần thực 210, phần ảo: 210+1

Dạng 2 Tìm môđun của số phức

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn 1 3 3

1

i z

i







Tìm môđun của số phức z iz ĐS: z iz 8 2

Bài 2: Tìm môđun của số phức (1 )(2 )

1 2

z

i



 ĐS: z  2

Bài 3: Tìm môđun của số phức

z



  ĐS: z 1

Dạng 3 Tính giá trị biểu thức

 i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = –1; i4n+3 = – i; n* Vậy in {–1; 1; – i; i}, n

Nếu n nguyên âm: n  1 n 1 n   n

i



 

Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A 1i 3 1 i 3 ĐS: A  6

Bài 2: Tính giá trị biểu thức: a) 22 43 20082009

P



2

ĐS: a)P 0; b) 1 1

2 2

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: 0 2 4 2008 2010

2010 2010 2010 2010 2010

A C  C C  C  C ĐS: A = 0.

Bài 4: Tính s i n i n1i n2i n3(n )

Tìm phần thực, phần ảo của số phức z  1 i i2  i2010 HD: s 0 ; z i

Bài 5: Tính: S = i105 + i23 + i20 – i34 ĐS: S = 2

Dạng 4 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

 2i (1 )i 2 ; 2i (1 )i 2

Bài 1: Tìm số phức z thỏa mãn z2i 2 ĐS: 2 (1 )

2

Bài 2: Tìm số phức z thỏa mãn: z  2 và z2 là số thuần ảo

ĐS: z = 1 + i; z = 1 – i; z = –1 + i; z = –1 – i.

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC OnthiTHPT.Net

Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z 2i  10 và z z 25 ĐS: z 3 4i hoặc z 5

Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn: z2 z 0 ĐS: z0;z i z; i

Bài 5: Tính số phức sau: z = (1+ i)15 ĐS: z = 128 – 128i

Bài 6: Tính số phức sau: z =



    ĐS: z = 2

Bài 7: Tìm số phức z thoả mãn hệ:

1 1 3 1

z

z i

z i

 



 









ĐS: z =1+ i.

VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương trình x   cĩ mấy nghiệm?3 1 0

Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = 0 (1) (A, B, C , A  0) (*)

  0: Phương trình (*) có hai nghiệm phức phân biệt 1,2  2 

B i z

  0: Phương trình (*) có hai nghiệm thực phân biệt 1,2 2 

B z

  = 0 : Phương trình (*) cĩ nghiệm kép: 1 2

2

B

A

Dạng 1: Phương trình bậc hai

Bài 1: (CĐ2010) Giải phương trình 2  

z  i z  i trên tập hợp các số phức

ĐS: z 1 2i và z3 i

Bài 2: (A2009) Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z22z10 0

Tính giá trị của biểu thức Az12 z22 ĐS: Az12 z22 20

Bài 3: (CĐA09) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: 4z 3 7i z 2i

z i

 

 

 ĐS: z 1 2i và z 3 i

Bài 4: Giải phương trình : z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0 ĐS: z12i; z2  1 i

Dạng 2: Phương trình quy về bậc hai

Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt cĩ thể quy được về bậc hai

Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa về phương trình tích) từ đĩ dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai

Đối với một số phương trình khác, ta cĩ thể đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải

2.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử

Bài 1: Cho phương trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 (1)

1) Chứng minh rằng (1) nhận một nghiệm thuần ảo 2) Giải phương trình (1)

ĐS: 1) (1) cĩ nghiệm thuần ảo z = 2i ; 2) z2 ;i z 1 2 ;i z 1 2 i

Bài 2: Giải phương trình: z3 = 18 + 26i, trong đĩ z = x + yi ; x, y   ĐS: z = 3 + i.

Bài 3: 1) Tìm các số thực a, b để cĩ phân tích: z3 + 3z2 + 3z – 63 = (z – 3)(z2 +az + b)

2) Giải phương trình: z3 + 3z2 + 3z – 63 =0

ĐS: 1) a6;b21; 2) z3; z 3 2 3 ; i z 3 2 3 i

Bài 4: Giải phương trình: z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0 (1) ĐS: z1; z3; z2 ; i z2 i

Bài 5: Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 ĐS: 1, 1 3 , 1 3

Bài 6: Giải phương trình z3(1 2 ) i z2(1 ) i z 2i0, biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo

HD: Giả sử nghiệm thuần ảo là zyi Thay vào phương trình  y1

Bài 7: Giải phương trình z3 (5i z) 24( 1)i z12 12 i0, biết rằng phương trình có một nghiệm thực HD: (z 6)(z2(1 ) i z 2i2) 0

2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Đối với các bài toán về số phức, thông thường cách giải gọi số phức z = a + bi (a, b thực) và coi i

như một tham số trong bài toán thực Sau khi biến phức tạp thành đơn giản ta lại giải bài toán

phức Đây được coi như phương pháp vạn năng nhất cho mọi bài.

Bài 1: Giải phương trình: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) –12 = 0

Bài 2: Giải phương trình: (z2 + 3z + 6)2 + 2z(z2 + 3z + 6) – 3z2 = 0

ĐS: z 1 5 ; i z 1 5 ; i z 3 3; z 3 3

Bài 3: Giải phương trình: z4 – 2z3 – z2 – 2z + 1 = 0

2

i

2

Bài 4: Giải phương trình: z4 – z3 +

2 2

z + z + 1 = 0

ĐS: z1 = 1+ i ; z2 = 1

2

 + 1

2i ; z3 = 1– i ; z4 =

1 2

 –1

2i.

Bài 5: Giải phương trình:

3 1

z i

i z







ĐS: z0; z 3

Dạng 3: Hệ phương trình

Bài 1: Giải hệ phương trình sau: 1 2

1 2

z z











Bài 2: Giải hệ phương trình:

3

3 3 0

x y x

x y

y





















ĐS: ( , )x y ( , );( ,2 1 1 1 )

Bài 3: Giải hệ phương trình: 2 w 2 w 8

z





 ĐS: ( ; w) 5 3 3; 5 3 3 ; ( ; w) 3 29 3; 29

Bài 4: Tìm tất cả các số phức sao cho mỗi số liên hợp với lập phương của nó.

ĐS: có 5 số phức : z0; z1; zi

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC OnthiTHPT.Net

VẤN ĐỀ 3: CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH – CỰC TRỊ

Trong dạng này ta gặp các bài tốn chứng minh một tính chất, hoặc một đẳng thức về số phức

Để giải các bài tốn dạng trên, ta áp dụng các tính chất của các phép tốn cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mơđun của số phức đã được chứng minh

 z là số thực  z z ; z là số ảo  zz

Bài 1: Cho z1, z2   CMR: E = z z1 2z z1 2 HD: z   z = z

Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu |z1| = |z2 | = 1, z1.z2  1 thì A = 1 2

1 2 1

z z



Bài 3: Cho số phức z 0 thoả mãn z3 13 2

z

  Chứng minh rằng: z 1 2

z

  HD: z1z2 z1  z2

Bài 4: Chứng minh rằng với mỗi số phức z, cĩ ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra:

1 1

2

z   hoặc z   HD: Chứng minh phản chứng.2 1 1

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của z nếu z 2 2 i 1 ĐS: min z 2 2 1.

VẤN ĐỀ 4: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC

Trong dạng này, ta gặp các bài tốn biểu diễn hình học của số phức hay cịn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đĩ số phức z thoả mãn một hệ thức nào đĩ (thường là hệ thức liên quan đến mơđun của

số phức) Khi đĩ, ta giải bài tốn này như sau:

Giả sử z = x + yi (x,y) Khi đĩ số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y) Ta cĩ: OM

= x2y2 = z

Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đĩ suy ra tập hợp điểm M

Cơ bản cần biết:

 Với số thực dương R, tập hợp các số phức với z = R biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường trịn tâm

O, bán kính R.

 Các số phức z, z < R là các điểm nằm trong đường trịn (O;R)

 Các số phức z, z >R là các điểm nằm ngồi đường trịn (O;R)

Bài 1: (D2009) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện

3 4  2

z  i  ĐS: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường trịn tâm I(3, –4), bán kính R= 2

Bài 2: (B2010) Trong mp tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z i 1i z ĐS: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường trịn tâm I(0, –1), bán kính R= 2

Bài 3: Giả sử M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn một

trong các điều kiện sau đây:

1) z 1 i =2 2) 2z  1 i 3) 2z  z 2 4) z 4i  z4i 10 5) 1≤ z 1 i 2

ĐS: 1) đường tròn có tâm tại I(1; –1) và bán kính R = 2 2) đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.

3) nửa mặt phẳng bên phải trục tung 4) Elip (E) là:

1

5) hình vành khăn tâm A(–1;1) và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2 và 1

Bài 4: Xác định các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn một trong các điều kiện

sau đây:

1) |z + z +3| = 4 ; 2) |z + z + 1 – i| = 2; 3) 2|z – i| = |z – z +2i| ;

ĐS: 1) hai đường thẳng song song với trục tung: 1; 7

2) hai đường thẳng song song với trục hoành y = 1 3

2



3) parabol y =

2 4

x

Bài 5: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2+3i| = 3

2 Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

2

4

x  y  * Vẽ hình |z|min  z.

Bài 6: Cho z1 =1+ i; z2 = –1– i Tìm z3 sao cho các điểm biểu diễn của z1, z2, z3 tạo thành tam giác đều HD: Áp dụng kiến thức sau:

Giả sử M1(x1; y1) biểu diễn số phức z1 = x1 + y1i; M2(x2;y2) biểu diễn số phức z2 = x2 + y2i

Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M1M2 bằng môđun của số phức z1 – z2

Vậy: M1M2 = |z1 – z2| = x1 x22 y1 y22

ĐS: có hai số phức thoả mãn là: z3 = 3 (1+ i) hoặc z3 = – 3 (1– i)

Bài 7: Cho các điểm A, B, C, A’, B’, C’ biểu diễn các số phức: 1 ; 2 3 ; 3 i  i i; 3 ; 3 2 ; 3 2i  i  i Chứng minh rằng ∆ ABC và ∆ A’B’C’ có cùng trọng tâm G Tìm số phức biểu diễn G

ĐS: G(2; 1) → z = 2 + i.

Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z = 3 – 4i; M’ là điểm biểu diễn cho số

phức / 1

2

i

z   z Tính diện tích tam giác OMM’ ĐS: '

25 4

OMM

C BÀI TẬP ÔN

Dạng 1:Bài toán liên quan đến biến đổi số phức.

Bài 1.A10 Cho z thỏa ( )3

z

1 i

-=

- Tìm z iz+

Bài 2.A11 Tìm tất cả các số phức z thỏa z 2= z 2+z

Bài 3.CĐ11.Cho số phức z thỏa ( )2

1 2i z+ + = -z 4i 20 Tính z

Bài 4 D11.Tìm z thỏa z- (2 3i z+ ) = -1 9i

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC OnthiTHPT.Net

Bài 5 Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của pt z 2 + 2z +10 = 0 Tính z1 2 + z ; z2 2 1 4+ z2 4.ĐS: 20, 200

Bài 6.Cho hai số phức z1 và z2 thỏa z 1 = z 2 =1; z 1+z 2 = 3 Tính z 1- z 2 ĐS: 1.

Bài 7 Cho hai số phức z1 và z2 thỏa z 1 =3; z 2 =4; z 1- z 2 = 37.Tìm số phức 1

2

z

z .

Bài 8.B11 Tìm số phức z biết z 5 i 3 1 0

z

+

Bài 9.B11.Tìm phần thực và phần ảo z biết

21

1 i 3 z

1 i

æ + ö ÷

=ç ç ÷ ÷

ç +

è ø .

Bài 10.D12 Cho số phức z thỏa mãn 2  2 1 2  7 8

1

i

i



 Tìm mô đun của số phức w z i  1

Bài 11.A12 Cho số phức z thỏa 5 

2 1

z i

i z



 



1

w  z z

Dạng 2:Bài toán liên quan đến phương trình nghiệm phức.

Bài 1.CĐ11 Cho số phức z thỏa 2 ( )

z - 2 1 i z 2i+ + = Tìm phần thực và phần ảo của 0 1

z.

Bài 2 Tìm x, y R thỏa x22y2 3x2y i2  4 xy11xy i

Bài 3 Tìm x, y R thỏa 2   5

x

Bài 4 Tìm x, y R thỏa x y  x 1 2i xy 3 2 y1i

Bài 5.CĐ10 Cho số phức z thỏa ( ) ( ) ( )2

2 3i z- + +4 i z=- 1 3i+ Tìm phần thực và phần ảo của z

Bài 6 Tìm 2 số thực x, y thỏa mãn ( ) ( )3

x 3 5i+ +y 1 2i- = +9 14i ĐS: x= 172/61, y = -3/61

Bài 7 a/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa z2 = + 4 6 5i ĐS: x = 3 ; y =  5 b/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa z2 = + 33 56i ĐS: x = 7 ; y = 4

Bài 8 a/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa z3 = 18 26i + ĐS: x = 3 ; y = 1

b/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa z3 =- 11 2i - ĐS: x = 1 ; y = 2

Bài 9.Giải các phương trình sau trên tập số phức a) 8z2 - 4z + 1 = 0 b) 2z2 – iz + 1 = 0 c) z2 – 4z + 7 = 0

Bài 10.Giải pt z3- 2 1 i z ( + ) 2+ 4 1 i z 8i ( + ) - = 0 biết phương trình có 1 nghiệm thuần ảo ĐS: 2i, 1 i 3±

Bài 11 D2012 Viết dạng lượng giác các nghiệm của phương trình z2  2 3iz 4 0

Bài 12: CDD2012 Gọi z z1, là các nghiệm của phương trình 2 z2 2z 1 2i Tính 0 z1  z2

Bài 13.Giải phương trình nghiệm phức z 2= ĐS: 0, 1, z 1 3 i

Bài 14 D2012 Giải phương trình 2  

Bài 15 Tìm số phức z thỏa mãn 2

1





Bài 16.Tìm số phức z biết: a) z z 3 b) z   z 3 4i

Bài 17 Biết z z1, là các nghiệm phương trình 2 2z2  3z  Tính3 0

a) z12z22 b) z13z23 c) z14z24 d) 1 2

z  z

Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện cho trước.

Bài 1 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn của số phức z thỏa:

a) z 2i 1 b) z i 1

z i





 c) z  z 3 4 i

d) z z 3 5 e) z z  1 i 2 f) 2 z i  z z2i

Bài 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn của số phức z thỏa z 2

Bài 3.Cho số phức z thỏa 1 2  2 3 

1

i

i



 Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong Oxy

Bài 4 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi x y R,   thỏa mãn

điều kiện z2 z 2 0

Bài 5 Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn:

a) 2z  2 z b) 2  z 1 2i 3 c) z  1 z i d) z23z3z0

Bài 6: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn :

a) z2 là số thực âm b) z i 2  z i 9 ĐS: a)Trục thực Ox từ gốc O b) Elip c) z2  z 2 0 ĐS: tập hợp cần tìm là hai đường thẳng : y = x