Đề thi năm học 2010 2011

Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có.. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn O tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB300.. Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010

MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I

1) Giải hệ phương trình



















2

23 12

8 3

2 2

2 2

y x

xy y

x

2) Giải phương trình

2x 1 3 4x  2x 1  3 8x 1

Câu II

1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức

1x21y24xy2xy1xy25 2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a] Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có

2



Câu III

Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB300 Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thẳng BC với đường tròn (O)

1) Tính độ dài đường thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R 2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B) Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC

Câu IV

Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức

4

9 ) 1 )(

1 ( a b  , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1a4  1b4

_

Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM

2010

MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I

1) Giải phương trình

4 1 3

x

2) Giải hệ phương trình





















11 2

3

26 2

2

y x y x x

xy y

x

Câu II

1)Tìm tất cả các số nguyên dương n để n2 391 là số chính phương

2)Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện xyz 1 Chứng minh rằng

1 1

2











xy

y x z xy

Câu III

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác Kí hiệu H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng

1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC

2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp

Câu IV

Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự a1,a2, ,a2010, ta đánh dấu tất cả các số dương và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương

Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương

_

Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm

Giải

Vòng I Câu I

1)Giải hệ phương trình



















2

23 12

8

3

2

2

2 2

y

x

xy y

x

7y

x

17









 



 Với xy ta có

x x 22x 2x  1 x  1 y  1

 Với x 7y

17

 ta có

Vậy nghiệm của hệ phương trình là   1;1 ; 1; 1 ; 7 17; ; 7 ; 17

2) Giải phương trình

2x 1 3 4x  2x 1  3 8x 1.(1)

Đk x 1

2

 

1  2x 1 3 4x  2x 1  3 2x 1 4x 2x 1

Đặt

2













 Với a=3

2x 1  3 2x 1 9  x4

 Với b=1

2 2 2

x 0

x 2







 



Vậy nghiệm của phương trình là

1 x 2



 















Câu II

1)Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức

1x21 y24xy2xy1xy25

2

x 0; y 4

x 4; y 0





Vậy các số nguyên không âm thỏa mãn đề bài là 0; 4 ; 4; 0   

2)Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a

và ký hiệu là [a] Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có

2



Ta có

2

1

 

 

Thay vào ta được

2

 

    Vậy  A n (đpcm)

Câu III

1)Ta có  AC 0

AB



0

2) Ta có ACB HAB (cùng phụ với CAH ) 

Mà HABHNB (cùng bằng 1

2 số đo cung HB )

HNBACB

Từ đó tứ giác CMNH nội tiếp Tâm đường tròn nội tiếp CMNH thuộc đường trung trực của

CH cố định

Câu IV

Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức

4

9 ) 1 )(

1 ( a b  , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1a4  1b4

Ta có:

 

2

2

1 a 1 b 9

  

Áp dụng bất đẳng thức 2 2 2 2  2  2

a b  c d  ac  c d Dấu bằng xảy ra khi

2 2

2



4 2



Dấu bằng xảy ra khi a b 1

2

Vòng II Câu I

1)Giải phương trình

4 1 3

x

Đk: x 1

3

 

 Với x=1 là nghiệm của phương trình

 Với x > 1 , vế trái lớn hơn 4 Phương trình vô nghiệm

 Với x < 1 , vế trái nhở hơn 4 Phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là x=1

2)Giải hệ phương trình





















11 2

3

26 2

2

y x y

x

x

xy y

x

2

x 3



 













  



 Với x=2 Ta có







 Với x 8

3

  Ta có :

2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 2;1 ; 2; 3   

Câu II

1)Tìm tất cả các số nguyên dương n để n2 391 là số chính phương

Giả sử n2391a2 với a nguyên dương Ta có

 

L

TM

2)Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện xyz 1 Chứng

minh rằng

1 1

2











xy

y x z

xy

Ta có

1

Dấu “=” xảy ra khi x y z 1

3

Câu III

1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC

Ta có các tứ giác BEPH và PHQM là tứ giác nội tiếp Từ đó

H P P H mà H2 C1 (cùng phụ với QHC )

1 1

  nên CM EH CMAB tương tự BMAC Vậy M là trực tâm của tam giác ABC

2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp

EBHHPF (cùng bù với góc HPE )

HPFPFAEBHPFA

Vậy tứ giác BEFC nội tiếp

Câu IV

Số các số được đánh dấu  1

Nếu các số đánh dấu có số âm giả sử là a thì số n an 1 là số dương cũng được đánh dấu và

a a  0, mọi số âm đều có số có tổng dương, các cặp số này không trùng nhau Vậy tổng các số được đánh dấu là dương