Định lý 1.1.1: Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.. Các phép toán đối với ma trận 2.1 Các phép toán Định nghĩa 1.1.5: Hai ma trận cùng loạ
Trang 1NỘI DUNG
Chương 1: Ma trận và hệ phương trình tuyến tính Chương 2: Vi tích phân hàm một biến
Chương 3: Vi phân hàm hai biến
2
Chương 1 MA TRẬN và HỆ PHƯƠNG
TRÌNH TUYẾN TÍNH
A MA TRẬN
I Ma trận và các phép toán
1 Một số định nghĩa:
Định nghĩa 1.1.1: Một ma trận A loại là một
bảng hình chữ nhật m hàng n cột với m.n phần tử,
có dạng sau:
m n×
1 2
n
n
A
…
…
…
3
Kí hiệu:
, các phần tử
có thể là số thực, phức, hàm số…
hoặc
Nếu , thì A được gọi là ma trận vuông cấp n
Trong mỗi ma trận vuông cấp n có một đường chéo chính (đường chéo) gồm các phần tử
và một đường chéo phụ gồm các
A = a i = m j = n
ij
a
m n
A ×
m=n
, 1,
ii
a i= n
( 1), 1,
i n i
Ví dụ 1.1.1 Xét ma trận
Các phần tử trên đường chéo chính: 1,4,1,-4
Các phần tử trên đường chéo phụ: 2,1,2,3
2 1 2 3
1 4 1 4
A
−
−
5
Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n
mà tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0
Ví dụ 1.1.2
( aij = ∀ ≠ 0, i j i j ; , = 1, ) n
1 2 3 4
0 0 0
0 0 0
A
α α α α
6
Trang 2Nếu các phần tử trên đường chéo chính của
ma trận chéo cấp n đều bằng 1 thì ma trận đó
Ví dụ 1.1.3
n
4
0 0 0
1 1 1 1
0 0 0
7
Một ma trận tam giác trên (tam giác dưới) là
một ma trận vuông mà tất cả hệ số nằm phía dưới (phía trên) đường chéo chính đều bằng 0.
Ví dụ 1.1.4 A, B t.ư là ma trận tam giác trên
(dưới)
(a ij= ∀ ≤ < ≤0, 1 j i n; a ij= ∀ ≤ < ≤0, 1 i j n )
11 12 1
22 2 0
0 0
n
n
nn
A
a
…
…
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
…
11
21 22
1 2
0
a
B
…
…
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
Định nghĩa 1.1.2: Các phép biến đổi sau đây đối
với hàng của ma trận đgl các phép biến đổi sơ
cấp đối với hàng:
1 Nhân tất cả các phần tử của một hàng với một
2 Cộng các phần tử của một hàng đã được nhân
cho cùng một số vào các phần tử t.ư của
hàng khác,
3 Đổi vị trí hai hàng
(α≠0,h i→αh i)
(h j→ +h j αh i i, ≠ j)
( hi ↔ hk).
9
Ví dụ 1.1.5
1 2 1
h h
3 3 3 1
3 6 3 1 0 0 3
1
h h h
10
Định nghĩa 1.1.3: Ma trận đgl có dạng bậc thang
nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
1 Các hàng bằng 0 (nếu có) phải nằm dưới các
hàng khác 0
2 Phần tử cơ sởcủa một hàng phải nằm phía phải
so với phần tử cơ sở của hàng trên
Hàng bằng 0: tất cả phần tử trên hàng đều bằng 0.
Hàng khác 0: có ít nhất 1 phần tử trên hàng khác 0.
Phần tử cơ sở: phần tử khác 0 đầu tiên của hàng (tính
từ trái sang phải) 11
Ví dụ 1.1.6 Cho các ma trận sau
12
Trang 3Ma trận A, B có dạng bậc thang;
Ma trận C, D không có dạng bậc thang
Định lý 1.1.1: Mọi ma trận có thể đưa về dạng
bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với
hàng.
Ví dụ 1.1.7 Đưa các ma trận sau về dạng bậc
1 3 5 3 , 1 1 0
3 2 4 0 2 1 3
Định nghĩa 1.1.4: Ma trận đgl có dạngbậc thang rút gọnnếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
1 Nó có dạng bậc thang;
2 Phần tử cơ sở của hàngbằng 1 và là phần tử duy nhất khác 0trong cột chứa nó
Ví dụ 1.1.8 Các ma trận sau có dạng bậc thang rút gọn
1 0 3 1 2 0 0
0 1 2 , 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
Định lý 1.1.2: Mọi ma trận có thể đưa về dạng
bậc thang rút gọn nhờ các phép biến đổi sơ cấp
đối với hàng.
Ví dụ 1.1.9 Đưa các ma trận sau về dạng bậc
thang rút gọn
1 3 2 0
1 3 1
0 2 1 0
0 1 0 ,
1 3 3 1
0 0 3
0 0 0 0
2 Các phép toán đối với ma trận
2.1 Các phép toán
Định nghĩa 1.1.5: Hai ma trận cùng loại
đgl bằng nhau nếu với mọi i,k
Định nghĩa 1.1.6: Tổng của hai ma trận cùng loại
là một ma trận cùng loại với A,B được kí hiệu là A+B, với phần tử ở hàng i cột k là
,
( ),ik ( )ik
A= a B= b
ik ik
a =b
( ),ik ( )ik
A= a B= b
ik ik
a +b
( ik ik)
A+ B = a + b
16
Định nghĩa 1.1.7: Tích của ma trận với
một số là một ma trận cùng loại được kí hiệu là
với phần tử ở hàng i cột k là
Định nghĩa 1.1.8: Cho ma trận loại
ma trận loại Tích của hai ma trận A
và B là ma trận loại được kí hiệu là AB , với
phần tử hàng i cột j là:
( ik)
A= a
λ
A
( ik)
A= a m n× ( kj)
B= b n p×
m p×
1
n
k
=
17
Định lý 1.1.3 Với các ma trận A, B, C và các số
ta có các mệnh đề sau (giả thiết các phép toán đều hợp lệ)
,
λ β
(
1.
2.
3.
4.
5.
)
A B B A
AB C A BC
A B C AC BC
A B C AB AC
+ = +
=
18
Trang 47.
8.
9
.
=
19
2.2 Các phép toán và phép biến đổi sơ cấp với
ma trận
Ví dụ 1.1.10 Xét các ma trận
1 0 0
0 1 0
0 0 2
E
Ta có:
EA=B
Vậy phép biến đổi sơ cấp thứ nhất tương đương
với việc nhân phía trái của A với một ma trận E.
Định lý 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp 1,2,3 đối
đương với nhân bên trái của A một ma trận vuông
(loại ) cấp m có các dạng tương ứng
sau:
3 2 3
A →→ B
( ik)
m m×
21
1 Phép biến đổi sơ cấp thứ nhất: nhân hàng thứ
i với
hàng i
α
1
E
α
… … …
… … …
… … …
22
2 Phép biến đổi sơ cấp thứ hai: cộng hàng i đã
nhân vào hàng j
hàng i hàng j
α
2
1 0
E
α
23
3 Phép biến đổi sơ cấp thứ ba: đổi vị trí hàng i với hàng j
Các ma trận đgl các ma trận sơ cấp
3
E
…
1, 2, 3
Trang 52.3 Ma trận chuyển vị
Định nghĩa 1.1.9 Cho ma trận loại
Ma trậnchuyển vịcủa ma trận A là một ma trận
loại được kí hiệu là với phần tử hàng i
cột k là ,
Ví dụ 1.1.11
( ik)
A
ki
ki
A = a
1 4
1 2 3
4 5 6
3 6
T
25
Định lý 1.1.5 Đối với phép chuyển vị ma trận ta
có (giả thiết các phép toán có nghĩa)
1
2
3
( ) ( ) ( )
T T
=
=
=
26
3 Ma trận nghịch đảo
3.1 Khái niệm về ma trận nghịch đảo
(trong phần này chỉ xét tập các ma trận vuông cấp n)
Định nghĩa 1.1.10 Ma trận vuông I cấp n đgl ma
trận đơn vị nếu với mọi ma trận vuông
A cấp n.
Định nghĩa 1.1.11 Ma trận vuông B đgl ma trận
nghịch đảocủa A (vuông cấp n), nếu
Khi đó, A đgl khả đảo, và kí hiệu ma trận nghịch
đảo của nó là
A I= IA= A
.
AB=BA I=
1
Định lý 1.1.6 Ta có các mệnh đề sau:
1 Nếu A, B khả đảo thì tích AB khả đảo và
2 Nếu A khả đảo thì khả đảo và
3 Nếu A khả đảo thì khả đảo và
4.Nếu A khả đảo và thì ma trận cũng khả đảo và
1 1 1 (AB)− =B A− −;
T
A
1 1 (A− −) =A 1
A−
1 1 (A T)− =(A−) ;T 0
1 1 1 (αA) A
α
− = −
28
3.2 Tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi
sơ cấp.
Định lý 1.1.7 Các ma trận sơ cấp thì khả đảo.
Định nghĩa 1.1.12 Hai ma trận đgltương đương
hàngnếu từ ma trận này có thể biến thành ma trận
kia nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng
Định lý 1.1.8 Ma trận (vuông) A khả đảo khi và
chỉ khi nó tương đương hàng với ma trận đơn vị.
29
Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi
sơ cấp đối với hàng.
Xét ma trận mở rộng Biến đổi
Ví dụ 1.1.12 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
1
( A I ) → ( I A− )
( A I )
A
Trang 6Ví dụ 1.1.13 Xét ma trận
Acó khả đảo?
A
−
−
31
Định lý 1.1.9 Cho ma trận vuông A (cấp n) khả
,
n p m n
B× C ×
1 1
ii YA C Y CA
−
−
32
Ví dụ 1.1.14 Giải các phương trình ma trận sau:
1)
2)
3)
X
X
X
=
−
=
−
=
33
II Định thức
1 Một số định nghĩa:
Với ma trận vuông A, định thức của ma trận A
được kí hiệu là det A hay .
Định nghĩa 1.2.1 Ta có các định thức cấp 1, 2, 3:
Cấp 1:
Cấp 2:
A
A = a ⇒ A = a
11 12
11 22 12 21
21 22
det
a a
a a
34
Cấp 3:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 22 33 12 23 31 13 21 32
13 22 31 12 21 33 11 23 32
det
35
Định nghĩa 1.2.2 Cho là ma trận vuông
cấp n Định thức của ma trận A được tính bởi
công thức sau:
trong đó, và là ma trận
vuông cấp (n-1) nhận được từ A bằng cách bỏ hàng thứ i và cột thứ k.
Đại lượng đglphần bù đại sốcủa ;
đglđịnh thức con bùcủa
( )ik
A = a
11 11 12 12 1 1
det A a A = + a A + + a An n,
1 det ( )i
k
i
ik
36
Trang 7Ví dụ 1.2.1 Tính det A, với
1 3 0 2
4 1 2 1
3 1 0 2
2 3 3 5
A
37
Định lý 1.2.1 Với ma trận vuông cấp ta có thể khai triển định thức của nó theo một hàng bất kỳ hoặc một cột bất kỳ theo công thức sau:
(theo hàng i, )
(theo cột k, )
2
n≥
1 1 2 2
1
n
i i i i in i n ij ij
j
=
1 1 2 2
1
n
k k k k nk nk ik ik
i
=
1,
i= n
1,
k = n
38
Ví dụ 1.2.2 Tính det A, với
A
−
39
2 Các tính chất của định thức
Khi nhân một số vào trong một hàng (cột) nào
đó thì định thức cũng được nhân cho số đó
Ví dụ 1.2.3 Xét ma trận
det A = det( AT).
α
α
A
40
Ta có các tính chất sau (định thức bằng 0):
i Nếu ma trận có một hàng (cột) bằng 0 thì
định thức của nó bằng 0
ii Nếu ma trận có hai hàng (cột) bằng nhau thì
định thức của nó bằng 0
iii Nếu ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau thì
định thức của nó bằng 0
41
Với ma trận vuông A cấp n, ta có:
Định thứckhông đổinếu ta cộng vào một hàng (cột) nào đó một hàng (cột) khác đã được nhân cho một số
Định thức đổi dấu nếu ta đổi vị trí hai hàng (cột)
det ,
0,
i j i j in jn
A i j
a A a A a A
i j
=
≠
42
Trang 8Cho ma trận có tính chất: mỗi phần tử của
hàng thứ i biểu diễn ở dạng:
Kí hiệu: là ma trận nhận từ bằng cách thay
hàng thứ i bằng các phần tử , nhận từ
bằng cách thay hàng i bằng các phần tử
Khi ấy ta có:
(1) ( 2)
a =a +a
1
A
(1)
ik
(2 )
ik
a
43
Nếu ma trận A có dạng tam giác thì định thức
của nó bằng tích các số nằm trên đường chéo,
Ví dụ:
11 22
A=
−
44
Định lý Laplace Khai triển định thức theo r
hàng (cột).
Cho ma trận vuông A cấp n Xét k hàng
và k cột
Kí hiệu: là định thức của ma trận vuông cấp k
gồm các phần tử nằm trên giao của k hàng và k
cột đó:
1 2 k
i < < <i i j1 < j2 < < j k
δ
k
i j i j i j
i j i j i j
δ =
…
⋮
…
45
là định thức của ma trận vuông cấp
nhận được từ A bằng cách bỏ đi k hàng và k cột
trên đglđịnh thức con bùcủa Đại lượng đglphần bù đại
sốcủa định thức
δ
1 1
.( 1)i i k j j k
β + + + + +
∆ = −
δ
46
Ví dụ 1.2.4 Cho ma trận vuông cấp 5
A
=
−
47
Định lý 1.2.2 (Đị nh lý Laplace ) Định thức của
một ma trận bằng tổng của tích mọi định thức con rút ra từ k hàng (cột) với bù đại số tương
ứng của chúng.
Ví dụ 1.2.5 Tính định thức cấp 4:
2 0 2 3
7 0
1 2
4 1
1
0
0
1
A
Trang 9Ví dụ 1.2.6 Tính định thức cấp 5:
A
=
−
49
Ví dụ 1.2.7 Dùng khai triển Laplace, tính định thức sau:
−
−
−
50
Ví dụ 1.2.8 Dùng các t/c của đth tính các định
1
)
c a b
a
a
c
a a
+ + +
51
3 Công thức tính ma trận nghịch đảo Định thức tích hai ma trận.
3.1 Ma trận biến đổi sơ cấp và định thức tích hai
ma trận
Định lý 1.2.3 Với ba ma trận biến đổi sơ cấp hàng
ta có:
1, 2, 3
det( E Ai ) = (det Ei)(det A i ), = 1, 2, 3.
52
Định lý 1.2.4 Ma trận vuông A khả đảo khi và chỉ
khi
Định lý 1.2.5
detA≠0
53
Định nghĩa 1.2.3 Ma trận vuôngAđgl không suy biến nếudet A≠≠≠≠0 Ngược lại,Ađgl suy biến
Định lý 1.2.6 Ma trận vuông khả đảo khi và chỉ khi nó không suy biến.
54
Trang 103.2 Công thức tính ma trận nghịch đảo
Cho ma trận
n
n
A
…
…
…
…
55
Xét ma trận
trong đó làphần bù đại sốcủa , ma trận đglma trận phụ hợpcủa A.
n
n A
P
…
…
…
…
ij
A
P
56
Đinh lý 1.2.7 Ta có :
Nếu A khả đảo, thì
(det )
A A
AP = P A = A I
.
A
− =
57
Ví dụ 1.2.9 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:
A
58
4 Hạng của ma trận
4.1 Khái niệm hạng của ma trận
Xét Các phần tử nằm trên giao của k
hàng và k cột tạo một ma trận vuông loại
Định thức của nó đgl định thức con cấp k.
Ví dụ 1.2.10 Cho ma trận loại
m n
k×k
3×4
A
−
Xét ma trận
có định thức là một định thức con cấp 2
−
60
Trang 11Định nghĩa 1.2.4Hạng của một ma trận là cấp
cao nhất của các định thức con khác 0
Nói cách khác, hạng của ma trận A bằng r nếu
tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 và
mọi định thức con cấp cao hơn r đều bằng 0.
Kí hiệu: r A hoặc rank A là hạng của ma trận A.
61
Ví dụ 1.2.11 Tính hạng của ma trận sau:
A
−
62
Ví dụ 1.2.12 Cho ma trận dạng bậc thang
1 2 3 1 0
0 2 1 2 1
0 0 1 3 2
0 0 0 0 0
A
−
−
63
Ví dụ 1.2.13 Cho ma trận dạng bậc thang
1 2 3 1 0
0 0 1 2 1
0 0 0 3 2
0 0 0 0 0
B
−
−
64
Định lý 1.2.8 Ma trận bậc thang có r hàng khác 0
có hạng bằng r.
Định lý 1.2.9 Các phép biến đổi sơ cấp không làm
thay đổi hạng ma trận.
Để tìm rank A,đưaA→ma trận bậc thangB,
rank A=rank B
65
Ví dụ 1.2.14 Tính hạng của ma trận sau:
A
−
66
Trang 12B HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
I Khái niệm chung
1 Hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát (m phương
trình, n ẩn) có dạng:
1 1 2 2
(1)
n n
n n
…
…
ở đây: là các ẩn phải tìm
Nếu đặt
thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận:
1, , ,2 n
n n
…
…
…
.
AX = b
68
Định nghĩa 2.1.1Nghiệm của hệ phương trình
(1) là một bộ n số :
thỏa mãn hệ trên
Định nghĩa 2.1.2.Hai hệ phương trình có cùng
số ẩn đgltương đươngnếu tập nghiệm của chúng
trùng nhau (tức nghiệm của hệ này là nghiệm của
hệ kia và ngược lại)
x = α x = α x = α
69
Định lý 2.1.1 Các phép biến đổi sau đây chuyển
một hệ phương trình tuyến tính thành một hệ tương
đương:
1) Nhân cả hai vế phương trình cho một số khác 0.
2) Cộng một phương trình đã được nhân cho một số vào một phương trình khác.
3) Đổi vị trí hai phương trình.
70
Ví dụ 2.1.1 Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
(Nghiệm : 1,3,-2)
2
71
2 Hệ phương trình tuyến tính và ma trận
Ma trận hệ số vế trái của hệ phương trình:
Ma trận mở rộng:
Trang 13Tổng quát:
Xét ma trận mở rộng của hệ (1):
( )
1
n
n
b
A b
…
…
…
73
Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa
ma trận mở rộng( )A b về dạng:
1
n n
d
…
…
…
74
Khi đó, hệ (1) tương đương với hệ:
n n
n n
…
…
…
75
Phương pháp Gauss:
Đưa ma trận mở rộng →ma trận bậc thang…
Lưu ý: Qua các phép biến đổi sơ cấp hạng của ma trận không thay đổi.
( )A b
76
Định lý 2.1.2 (Định lý Kronecker – Capelli)
Hệ phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
rank A b = rank A
77
3 Số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Định lý 2.1.3 Cho hệ phương trình Khi ấy:
nghiệm
2 1 Nếu (số ẩn) thì hệ có một nghiệm duy nhất.
2 2 Nếu thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc tham số
AX b =
rank A b ≠ rank A
rank A b = rank A = r
(r = n)
(r < n) (n−r)
78
Trang 14Ví dụ 2.1.2 Giải hệ phương trình:
79
Ví dụ 2.1.3 Giải hệ phương trình
80
Ví dụ 2.1.4 Giải hệ phương trình
81
VD 2.1.2 (Nghiệm : 3, -2, 2)
VD 2.1.3 (Hệ vô nghiêm)
VD 2.1.4
Hệ có vô số nghiệm:
(với là số bất kỳ)
α
82
4 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình
-Bước 1: Đưa ma trận mở rộng về dạng bậc
thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp với hàng
-Bước 2: Xét hạng ma trận bậc thang đó:
: hệ vô nghiệm
: hệ có nghiệm:
• (số ẩn): hệ có nghiệm duy nhất
• : xđ r ẩn cơ sở phụ thuộc (n-r)
ẩn tự do (hệ có vô số nghiệm)
( )A b
( )Ab A
r ≠r
( )Ab A
r = =r r
r =n
r <n
83
Ví dụ 2.1.5Giải và biện luận hệ phương trình sau
theo tham số m
84
Trang 15Ví dụ 2.1.6 Giải hệ
2
1
λ
85
2 ( )
A
A b
( )
( )
2 :r A b 3,r A 2,
86
5 Hệ phương trình thuần nhất
Là hệ phương trình có dạng:
Hệ luôn có nghiệm:
Nghiệm đó đglnghiệm tầm thường
1 1 2 2
0 0
0
n n
n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
1 2 n 0
x = = = = x x
87
Định lý 2.1.4 Hệ phương trình thuần nhất
có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi
(số ẩn số).
Hệ quả 2.1.1 Nếu hệ phương trình thuần nhất
có số phương trình ít hơn các ẩn số thì hệ có nghiệm không tầm thường.
0
AX =
rank A < n
88
II Hệ phương trình Cramer, pp định thức
1 Phương pháp ma trận nghịch đảo
Xét n phương trình n ẩn:
với dạng ma trận
1 1 2 2
(2)
n n
n n
Định nghĩa 2.2.1 Hệ (2) đglhệ Cramer nếu
Định lý 2.2.1 Hệ Cramer có một nghiệm
duy nhất
detA≠0
AX =b
1
.
X = A b−
90
Trang 162 Công thức Cramer
Ta có:
Vậy
1
1
1 det
n n
b
X A b
A
−
…
…
…
1
det
A
91
Xét định thức nhận được từ định thức của A bằng cách thay cột thứ k bởi cột vế phải
↑
(cột thứ k)
k
∆
1 2
n
n k
b
a
b
b
∆ =
… … … …
92
Khai triển định thức theo cột thứ k :
(phần bù đại số của chính là phần bù đại số của )
Vậy
k
∆
i
1 1 2 2
, 1, 2, , det
k
k
A
∆
93
Định lý 2.2.2 Nếu hệ n phương trình n ẩn
có định thức thì hệ có một nghiệm duy nhất được xác định bởi công thức :
trong đó là định thức nhận được từ bằng cách thay cột thứ k bởi cột vế phải
AX =b
detA 0
n
k
94
Định lý 2.2.3 Hệ n phương trình tuyến tính
thuần nhất n ẩn có nghiệm không tầm
thường khi và chỉ khi
0
AX =
detA=0
95
Ví dụ 2.2.1 Giải hệ phương trình
96