a Lập phơng trình tổng quát , phơng trình tham số của đờng thẳng AB.. b Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng AB.. Tính độ dài đoạn AC và tính bán kính của đờng tròn ngoại tiếp
Trang 1Đề kiểm tra 8 tuần học kì Ii
Năm học 2008 2009 –
Môn Toán: Lớp 10
Thời gian : 90 phút
Phần chung cho tất cả thí sinh
Câu 1: (2,5 điểm):
Giải các bất phơng trình sau:
a) 2x 1 4 x 7
b) 2x2 +5x 3 0− ≥ c)
2
0
x 2
−
Câu 2: (2,0 điểm)
Cho tam thức f x( ) = −3x2 +2(2m 1)x m 4− − − (m là tham số)
a) Tìm các giá trị của m để f x( ) ≤ ∀ ∈0 , x R
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình f x( ) =0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
x +x ≥ 2
Câu 3: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;1), B(-2;4) và đờng thẳng
∆: 4x + y – 1 = 0
a) Lập phơng trình tổng quát , phơng trình tham số của đờng thẳng AB
b) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng AB
c) Tìm toạ độ điểm C(xC;yC) (xC > yC > 0).Biết rằng C nằm trên đờng thẳng đi qua A và vuông góc với ∆, đồng thời C cách gốc toạ độ O một khoảng bằng 2 đơn vị độ dài
Phần dành riêng cho thí sinh lớp 10A3 , 10 A4 , 10 A5 , 10 A6 , 10B1 , 10B2.
Câu 4: (2,0 điểm)
4a) Cho tam giác ABC có ãABC 30= 0, AB = 3 , BC = 4
Tính độ dài đoạn AC và tính bán kính của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
4b) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;3) , B(-3;4).
Tìm trên trục Ox điểm M sao cho khoảng cách MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 5: (1,0 điểm)
Chứng minh rằng : x2 +2y2 −2xy 2x y 4 0, x,y R.+ + + > ∀ ∈
Phần dành riêng cho thí sinh lớp 10A1 , 10 A2.
Câu 4: (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(a;0),B(0;b),C(0;-4)
a) Cho a = 1,b = 3.Hãy tìm toạ độ điểm D là chân đờng phân giác trong góc A của tam giác ABC
b) Với a > 0 , b > 0 và a + b = 4 Tìm a , b để tam giác ABO có diện tích đạt giá trị lớn
nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho các số thực x,y thoả mãn : ( 2 2 )2 2
x +y −1 −2y =0 Chứng minh : 2− 3 x≤ 2 +y2 ≤ +2 3
Hết
Trang 2Đáp án chấm toán lớp 10
Phần chung cho tất cả thí sinh
Câu 1: (2,5 điểm):
Giải các bất phơng trình sau:
a) 2x 1 4 x 7
b) 2x2 +5x 3 0− ≥ c)
2
0
x 2
−
a) 2x 1 4 x 7
(0,75 điểm)
2 2x 1 3 4 x 7 0
7x 7 0
⇔ − ≥ (0,25)
1
x
⇔ ≥ (0,25)
b) 2x2 +5x 3 0− ≥ (0,75 điểm)
- Tìm 2 nghiệm : 1 3; 2 1
2
x = − x = (0,25)
- Lập bảng xét dấu : (0,25) -KL : Tập nghiệm T = ( ; 3] 1;
2
c)
2
0
x 2
− (1,0 điểm)
- Tìm nghiệm tử : 1; 1
3
x= x= − , nghiệm mẫu : x=2 (0,25)
- Lập bảng xét dấu : (0,5)
- Kết luận tập nghiệm : T = ; 1 [1; 2)
3
−∞ − ∪
(0,25)
Câu 2:(2,0 điểm)
Cho tam thức f x( ) = −3x2 +2(2m 1)x m 4− − − (m là tham số)
a) Tìm các giá trị của m để f x( ) ≤ ∀ ∈0 , x R(1,0 điểm)
2
' 4m 7m 11
∆ = − −
Do a = -3 < 0 nên f x( ) ≤ ∀ ∈ ⇔0 , x R ' 0∆ ≤
2
4m 7m 11 0
4
m
(0,5) (0,25) (0,25)
b) Tìm m để phơng trình f x( ) =0 có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn:
x + x ≥2 (1,0 điểm)
f x( ) = ⇔0 −3x2 +2(2m 1)x m 4 0− − − = (1)
(1) có 2 nghiệm x1; x2 ⇔ 2
1
4
m
m m
m
≤ −
∆ = − − ≥ ⇔
≥
Theo viet có : 1 2
3
m
x + =x −
; 1 2
4
3
m
x x = +
Giả thiết :
1 2
7
m
< −
Do (*) nên
4 11 4
m m
< −
≥
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 3: (2,5) điểm)
Trang 3Cho hai điểm A(2;1), B(-2;4) và đờng thẳng ∆: 4x + y – 1 = 0
a) Lập phơng trình tq , phơng trình ts của đờng thẳng AB (1,0 diểm)
a) uuurAB= −( 4;3)
Phơng trình tham số AB : 2 4
1 3
= −
= +
AB có VTPT nr =(3;4)
Phơng trình tổng quát AB : 3x + 4y – 10 = 0
0,25 0,25
0,25 0,25 b) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng AB.(0,5 điểm)
b) Khoảng cách từ O đến AB:
3.0 4.0 10
2
0,5
c) Tìm toạ độ điểm C(xC;yC) (xC > yC > 0)biết C nằm trên đờng thẳng đi qua A và vuông góc với ∆, đồng thời C cách O một khoảng bằng 2 đơn vị độ dài.(1,0 điểm)
'
∆ đi qua A và vuông góc với ∆ có phơng trình : 2 4
1
= +
= +
C thuộc '∆ nên C(2 4 ;1+ t +t)
17
t
t
= −
+ + + = ⇔ + + = ⇔ −
=
Suy ra C(-2;0) ; C 30 16;
17 17
Do (xC > yC > 0) nên C
30 16
;
17 17
0,25
0,25 0,25
0,25
Phần dành riêng cho thí sinh lớp 10A3 , 10 A4 , 10 A5 , 10 A6 , 10B1 , 10B2.
Câu 4: (2,0 điểm)
4a) Cho tam giác ABC có ãABC 30= 0, AB = 3 , BC = 4
Tính độ dài đoạn AC và tính bán kính của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.(1,0 điểm)
AC2 = AB2 + BC2 – 2AB.BC.cosB
= 3 + 16 - 2 3 4 3
2 = 7 ⇒ AC = 7
0
7
7 2sin 2sin 30
AC
R
B
0,25 0,25 0,5
4b) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;3) , B(-3;4).
Tìm trên trục Ox điểm M sao cho khoảng cách MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.(1,0 điểm)
Gọi A’ đối xứng với A qua Ox ⇒ A’(1;-3)
MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B ⇒ MA + MB đạt GTNN bằng
A’B ⇔ M,A’,B thẳng hàng hay M = A’B ∩Ox
Phơng trình A’B : 7x + 4y + 5 = 0
Toạ độ M( 5
7
− ;0)
0,25
0,25 0,25 0,25
Câu 5: (1,0 điểm)
Chứng minh rằng : x2 +2y2 −2xy 2x y 4 0, x,y R.+ + + > ∀ ∈ (1,0 điểm)
Có x2 +2y2 −2xy 2x y 4 0+ + + >
Coi VT(1) là tam thức bậc hai đối với x có a = 1 > 0,
Xét ' ( )2 2
∆ = − − + + = − −y2 3y− 3
0,25 0,25
Trang 40,
= − + ữ − < ∀
⇒ VT(1) > 0 ∀x
Hay x2 +2y2 −2xy 2x y 4 0, x,y R.+ + + > ∀ ∈ (đpcm)
0,25
0,25
Phần dành riêng cho thí sinh lớp 10A1 , 10 A2.
Câu 4: (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(a;0),B(0;b),C(0;-4)
a) a = 1,b = 3.Hãy tìm toạ độ điểm D là chân đờng phân giác trong góc A của tam giác ABC (1,0 điểm)
a = 1; b = 3 ⇒ A(1;0) ; B(0;3) ; C(0;-4)
∆ABC có B,C thuộc trục Oy ⇒ D thuộc trục Oy , D(0;y)
Có DB AB DC
AC
= −
(*) ; AB = 10 , AC = 17
(*) ⇒ 3 – y = 10
17
− (– 4 – y)
⇒ y = 3 17 4 10
− + .Vậy D(0;
3 17 4 10
− + )
0,25 0,25
0,25 0,25 b) Với a > 0 , b > 0 và a + b = 4.Tìm a,b để tam giác ABO có diện tích đạt GTLN
Tìm giá trị lớn nhất đó.(1,0 điểm)
ABO
S∆ = OA OB = ab
2
.4 2
ABO
a b
Vậy ∆ABO có diện tích nhỏ nhất bằng 2
2
0,25 0,25
0,25 0,25
Câu 5: Cho các số thực x,y thoả mãn : ( 2 2 )2 2
x +y −1 −2y =0 Chứng minh : 2− 3 x≤ 2 +y2 ≤ +2 3.(1,0 điểm)
Giả thiết ( 2 2)2 ( 2 2) 2
2 1 2 0
⇔ + − + + − =
4 1 0
Đặt t x= +2 y t2( ≥0) đợc t2 − + ≤ ⇔ −4t 1 0 2 3≤ ≤ +t 2 3
Hay 2− 3 x≤ 2 +y2 ≤ +2 3 (đpcm)
0,25
0,25 0,25 0,25
Chú ý : - Mọi cách giải khác lập luận chặt chẽ cho điểm tơng đơng.
- Không chia nhỏ hơn biểu điểm.
- điểm đợc làm tròn đến 0,5 ( ví dụ 5,25 → 5,5 ; 5,5 →5,5 ; 5,75 → 6,0)