Đề thi hsg tp Hạ Long mới nhất 2017

Nóng bỏng tay, mới thi sáng ngày 6/12/2016. Hạ Long

Đề thi HSG thành phố Hạ Long 6/12/2017

Câu 1: (5,5 điểm)

a, Cho hai số nguyên dương a,b và số c khác 0 thỏa mãn 1

a +1

b +1

c =0 Chứng minh rằng: a b = a c + b c

b, Cho a là số tự nhiên, chứng minh rằng:

2 0 1 7 20182 là số chính phương

Câu 2: (3,0 điểm) Giải phương trình:

1 0  x = 3

x +4x2- 7x- 10 Câu 3: ( 2,5 điểm) Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn ( 2a+3b) 7

Chứng minh rằng ( 2a2- 48ab- 3b2) 7

Câu 4: ( 7,0 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp nửa đường tròn đường kính BC Lấy trung điểm I của AC Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, qua C kẻ đương thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại E

a, Chứng minh rằng AE vuông góc với BI

b, Qua C kẻ tiếp tuyến với đường tròn đường kính BC, cắt đường thẳng BI tại K

Chứng minh rằng: I K

B K =

2 2

2

C E

E I

c, Cho BC = a, khi E thuộc đường tròn đường kính BC, hãy tính độ dài đoạn thẳng

AB theo a

Câu 5: ( 2,0 điểm) Cho hai số dương x,y thỏa mãn x+y 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x2+y2+1

x +4 5

y

Hướng dẫn giải

Câu 1:

a b  a c  b c

<=> a+b = a+b+2c+2 (a c)(bc)

<=> -c= (ac)(bc)

<=> c2= ab+ac+bc+c2(c <0)

<=> ab+bc+ac=0 => đpcm

b, a  N

B = 4a(a+2017)(a+2018)(a+4035)+20172.20182

= 4( a2+4035a )( a2+4035a+2017.2018 )+ 20172.20182

Đặt t= a2+4035a

=> B= 4t( t+2017.2018 ) + 20172.20182

= 4t2+2.2t.2017.2018+20172.20182

= ( 2t+2017.2018)2 => đpcm

Bài 2:

1 0  x = 3

x +4x2-7x-10 Đk:  1 0  x  1 0

Pt: <=> ( x+1 )( X=5 ) 2

1 0  x = ( x+1 )( x+5 )( x-2 )

<=>

2

1 0

5 0

x

x

  









<=>

1( )

5 ( )

2

x l o a i

x





 



  





 









<=> 1

3

x x

 





Vậy S= 1; 3 

Câu 3: a,b nguyên thỏa mãn ( 2a+3b) 7

Cmr: ( 2a2-48ab-3b2 ) 7

Ta có: 2a2-48ab-3b2= 2a2+ab-3b2-49ab= (2a+3b)(a-b)-49ab

Có: (2a+3b)(a-b) 7

49ab 7

=> ( 2a2-48ab-3b2 ) 7 (đpcm)

Câu 4:

.

C I  I Q I E mà CI=AI nên 2

.

A I  I Q I E nên A I Q E I A nên IA Q  IE A Mặt khác IA Q  IB Q Xét 2 tam giác BPM và tam giác EQM có

Q M E B M P

b/ Ta có C Q C E

C I E I

 ( Do C IQ E IC )

Ta có

B K C B C B C Q C I C A C I E I

c/ E thuộc (C) khi và chỉ khi tứ giác ACEB là hình chữ nhật Khi đó M trùng O

Ta có

2

2

4

A B B P B I B M B Q B O B Q B O B O O Q

a

A B B O B O O Q O Q O C

Mà

2

O I=

Câu 5: x,y dương ; thỏa mãn x+y 4

Tìm GTNN A= x2+y2+1

x

+4 5

y

HD: Điểm rơi x=1; y=3

=> A+10= x2+1+y2+9+1 4 5

 2  3 0  4 =36

=> A 2 6 Dấu “ =” xảy ra <=> 1

3

x x











Vậy GTNN của A là 26 khi x=1; y=3