Giải các phơng trình sau, với ẩn x∈Ă.. Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm E, vuông góc và cắt đờng thẳng d.. Lập phơng trình mặt phẳng đi qua E, song song với đờng thẳng d và khoảng
Trang 1Sở GD & ĐT Nghệ An
Trờng THPT Phan Đăng Lu
-o0o -Đề thi thử đại học lần 1- khối a
Năm học 2008 - 2009
( Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút )
Phần chung cho tất cả thí sinh
Câu I (2 điểm)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
2 Biện luận theo tham số m, số nghiệm thực của phơng trình:
3 2
x - 3x + 2 = m3 - 3m2 + 2.
Câu II (3 điểm) Giải các phơng trình sau, với ẩn x∈Ă
2 cos2x + cos22x + cos23x = 3.
3 x2− +2 2 x2− =1 x.
Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm E(1; 1; 1) và đờng thẳng d có
phơng trình tham số là
0
x
y t
=
=
= −
.
1 Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm E, vuông góc và cắt đờng thẳng d.
2 Lập phơng trình mặt phẳng đi qua E, song song với đờng thẳng d và khoảng cách giữa đờng thẳng d với mặt phẳng đó bằng 3
3 .
Câu IV (2 điểm)
1 Tính tích phân I =
2
2
2 ln 2ln
e
e
x x x
dx x
−
2 Cho a, b, c là ba số thực dơng Chứng minh rằng
2
3( a b + ) +3( b c + ) +3( c a + ) > 4 (3 a b c + + )
Phần riêng (Thí sinh chỉ đợc chọn một phần riêng thích hợp để làm bài)
Câu Va (Theo chơng trình nâng cao)
Trong không gian, cho tứ diện ABCD, có AB, BC, BD đôi một vuông góc với nhau và AB
= 1 cm, BC = BD = 2 cm Gọi M, N lần lợt là trung điểm của BC, CD Tính khoảng cách giữa hai
đờng thẳng AM và BN.
Câu Vb (Theo chơng trình chuẩn)
Hình chóp S.ABC có AB = 2 cm, góc SAB bằng 600 Có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC và tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh.
Tính thể tích khối chóp đó.
Trang 2đáp án và biểu điểm - Khối a
Môn Toán- Thi thử ĐH lần 1-Năm học 2008-2009 - Trờng THPT Phan Đăng Lu-NA
Câu I 2.0
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 3 - 3x 2 + 2 1.0
Hàm số có tập xác định là Ă ; Limyx ; Limyx
y’ = 3x2 - 6x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
x -∞ 0 2 +∞
y’ + 0 - 0 +
y
0.25
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) Điểm (0; 2) là
điểm CĐ của đồ thị hàm số; điểm (2; -2) là điểm CT của đồ thị hàm số Điểm U(1; 0) là điểm uốn của đồ thị hàm số Đồ thị giao với các trục tọa độ: (1- 3 ; 0), (1; 0), (1+ 3 ; 0), (0; 2) 0.25
Đồ thị hàm số y = x - 3x + 23 2 Đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2
0.25
2 Biện luận theo tham số m, số nghiệm thực của phơng trình: x - 3x + 23 2 = m3 - 3m2 + 2 (1) 1.0
Vẽ đồ thị hàm số y = x - 3x + 2 , và đờng thẳng y = 3 2 m3 - 3m2 + 2 0.25
Số nghiệm PT (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x - 3x + 2 , và đờng thẳng y 3 2
= m3 - 3m2 + 2 Do đó: Nếu m3 - 3m2 + 2 < 0, tức là m < 1- 3 hoặc 1 < m < 1+ 3 thì PT (1) vô nghiệm 0.25 Nếu 0 < 3 2
- 3 + 2
m m < 2, tức là 1- 3 < m < 1 và m ≠ 0 hoặc 1 + 3 < m < 3 thì PT (1) có 6 nghiệm 0.25 Nếu m3 - 3m2 + 2 > 2, tức là m > 3 thì PT (1) có 2 nghiệm
Nếu m3 - 3m2 + 2 = 0, tức là m = 1 - 3 , m = 1, m = 1 + 3 thì PT(1) có 3 nghiệm
Nếu m3 - 3m2 + 2 = 2, tức là m = 0, m = 3 thì PT (1) có 4 nghiệm
0.25
2
+∞
Trang 31 Giải phơng trình
+ + + = (1), với ẩn x∈Ă . 1.0
(1) ⇔ log2 1 1 log2 11 1 log2 12 1 6
⇔ log2 1 1 log2 1 1 1 log2 1 1 2 6
Đặt t = 2 1
2x
, ta đợc PT: t(t - 1) (t - 2 ) = 6, PT này có nghiệm là t = 3. 0.25
Cách giải 1: cos2x ≤ 1, cos2 2x ≤ 1, cos2 3x ≤ 1, ∀ ∈x Ă 0.5
Do đó cos2x + cos22x + cos23x = 3 ⇔
2 2 2
x x x
=
0.25
⇔ x k k = π ∈ ( Â ) 0.25
Cách giải 2: cos2x + cos22x + cos23x = 3 ⇔ cos2x + cos 4x + cos6x = 3 0.25
⇔ 2cos4x (2cos2x + 1) = 3 ⇔ (2cos22x - 1)(2cos2x + 1) = 3,
Đặt t = cos2x, ĐK t ≤1 Ta có PT 4t3 + 2t2 - 2t - 4 = 0 0.5
3 Giải PT x2− +2 2 x2− =1 x (1) 1.0
Cách giải 1: ĐK xác định x ≥ 2 Nếu x≤ − 2 thì vế trái của PT dơơng, còn vế phải của PT âm nên
Trên [ 2 ; +∞), (1) ⇔ 1 22 2 1 12 1
Đặt u 1 22;v 1 12
= − = − ; Ta có hệ 2 2 21 1
1
v
− = − =
Cách giải 2: ĐK xác định x ≥ 2 Nếu x≤ − 2 thì vế trái của PT dơơng, còn vế phải của PT âm nên
Trên [ 2 ; +∞), (1) ⇔ 5x2− +6 4 (x2−2)(x2− =1) x2 ⇔2 (x2−2)(x2− = −1) 6 4x2 (2) 0.25 Trên [ 2 ; +∞), 6-4x2 < 0 do đó PT (2) vô nghiệm Vậy PT (1) vô nghiệm 0.25
1 Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm E(1; 1; 1), vuông góc và cắt đờng thẳng d 1.0
Gọi F là điểm thuộc đờng thẳng d, suy ra F(0; t; -t) EF ⊥ d suy ra EF uuuur uur d =0 0.25 ( 1; 1; 1); d(0;1 1)
EF − − − −t t u −
; uuur uurEF u d =0 ⇔t = 0, F(0; 0; 0) Suy ra uuurEF( 1; 1; 1).− − − 0.5
Đờng thẳng cần tìm là đờng thẳng EF, có phơng trình là ( )
x t
y t t
z t
=
= ∈
=
Trang 4Giả sử ( ; ; )n A B Cr là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm (P) ( A2 + B2 + C2 > 0).
PT (P): A(x - 1) + B(y - 1) + C(z - 1) = 0 hay (P): Ax + By + Cz -A - B - C = 0 0.25
Đờng thẳng d song song với mặt phẳng (P) suy ra n ur uurd =0 do đó B -C = 0 (1) 0.25 Khi d//(P) thì d(d, (P)) = d(O, (P)) = A B C2 2 2
+ + + + = 33 (2) 0.25
Từ (1) và (2), tìm đợc A = -1, B = C = 1 hoặc A = -5, B = C = 1 do đó
(P): x - y - z + 1 = 0 hoặc (P): 5x - y - z - 3 = 0 0.25
1 Tính tích phân I =
2
2
2 ln 2ln
e
e
x x x
dx x
−
2
N =
2
Vậy I =
4 2
1
0.5
Xét hàm số ( )
f x
Vì a, b, c là các số dơng nên các cơ số đều nhỏ hơn 1; Do đó f(x) là hàm số nghịch biến trên Ă
Ta có f(1) = 1, do đó f(x) > 1, với mọi x < 1 Suy ra f(2/3) > 1 Suy ra điều phải chứng minh
0.5
Cách giaỉ 1:
Đặt hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ B,
Ox ≡ BC, Oy ≡ BD, Oz ≡ BA Ta có
B (0; 0; 0), A(0; 0; 1); C(2; 0; 0), D(0; 2; 0) Suy
(1;0; 1), (1;1;0) , (1; 1;1) , 3
AM − BN ⇒AM BN= − ⇒ AM BN =
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
0.25
3 3 ,
AM BN AB
AM BN
uuuur uuur uuur uuur
A
D
C
M
y
x z
Trang 5HD cáchgiải 2.
- Qua M kẻ EF//BN; BF//CD
- d(AM, BN) = d(BN, (AFE)) = BH (BH là chiều cao
của tam giác vuông BAF tại B)
HD cách giải 3.
Lồng vào hình hộp chữ nhật BCGD.AC'G'D'
Giả sử mặt cầu tiếp xúc với SA, SB, SC lần lợt tại M, N, P
suy ra SM = SN = SP (1)
Theo giả thiết mặt cầu đó tiếp xúc với AB, BC, CA lần lợt tại
I, J, K là trung điểm của mỗi cạnh đó Suy ra AI = BI, AK =
CK, BJ = CJ (2)
Và AI= AM= AK, BI = BJ = BN, CJ = CK = CP (3)
0.25
Từ (1), (2), (3) suy ra SA = SB = SC và Ab = BC = CA, hay
Tam giác đều ABC có AB = 2 cm, suy ra dt(ABC) = 3 cm2
Vì góc SAB bằng 600 nên các mặt bên là những tam giác đều
cạnh bằng 2 cm, suy ra chiều cao SH = 2 6
3 cm
0.25
-Hết -A
D
C
B
N M
S H
