Hàm hữu tỉ phân tích được thành tổng của các hàm hữu tỉ Hàm hữu tỉ là hàm số có dạng P x Qx, trong đó P x và Qx là các đa thức một biến x.. Trong phần này ta không đi giải quyết bài toán
Trang 1Hướng tiếp cận bài toán tích phân
Để làm tốt một bài toán tích phân, trước tiên học sinh cần phải nắm vững đạo hàm và nguyên hàm của các hàm số cơ bản Bên cạnh đó học sinh phải thành thạo các kỹ năng của phương pháp đổi biến
số, phương pháp tích phân từng phần Cuối cùng, học sinh cũng cần một số định hướng cơ bản để tiếp cận và xử lý tốt bài toán tích phân Dưới đây là một số hướng tiếp cận cơ bản
Bước 1 Ta chỉ có tính chất “tích phân của một tổng bằng tổng các tích phân” chứ không có tính chất
“tích phân của một tích bằng tích các tích phân” Do đó, ta phải biến đổi tích phân của một tích thành tích phân của một tổng (nếu được)
Bước 2 Sau bước 1 mà vẫn chưa tính được tích phân thì ta nên nghĩ đến phương pháp đổi biến số
Bước 3 Nếu không có dấu hiệu nào để ta sử dụng phương pháp đổi biến số thì ta chuyển sang phương pháp tích phân từng phần
Ví dụ 1 Tính tích phân
Z 3
1
1 + ln(x + 1)
Giải
Ta có I =
Z 3
1
1 + ln(x + 1)
Z 3
1
1
x2 +ln(x + 1)
x2
dx = I1 + I2, trong đó, I1 =
Z 3
1
1
x2 dx và
I2 =
Z 3
1
ln(x + 1)
• Tính I1 Ta có I1 =
Z 3
1
1
x2 dx = −1
x
3
1
= −1
3 + 1 =
2
3.
• Tính I2 (Ta nhận thấy I2 không có dấu hiệu nào để ta sử dụng phương pháp đổi biến số nên ta sẽ
sử dụng phương pháp tích phân từng phần Chú ý thứ tự ưu tiên cho biểu thức u là: Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ.)
Đặt
u = ln(x + 1)
dv = 1
x + 1dx
v = −1 x
Khi đó
I2 = − 1
xln(x + 1)
3
1
−
Z 3
1
−1 x
1
x + 1dx = −
1
3ln 4 + 1 ln 2 +
Z 3
1
1 x(x + 1)dx
= −1
3ln 4 + ln 2 +
Z 3
1
1
x + 1
dx = −1
3ln 4 + ln 2 + (ln |x| − ln |x + 1|)
3 1
= −1
3ln 4 + ln 2 + (ln 3 − ln 4) − (ln 1 − ln 2) = ln 3 −
1
3ln 4.
Vậy I = 2
3+ ln 3 −
1
3ln 4.
Trang 21 Phân tích thành tổng các tích phân
Một bài toán tích phân mà học sinh cảm thấy phức tạp, thường là tổng của những tích phân đơn giản
1.1 Hàm hữu tỉ phân tích được thành tổng của các hàm hữu tỉ
Hàm hữu tỉ là hàm số có dạng P (x)
Q(x), trong đó P (x) và Q(x) là các đa thức một biến x.
Trong phần này ta không đi giải quyết bài toán tích phân của của một hàm hữu tỉ tổng quát, ta chỉ xét các dạng tích phân trong đó biểu thức dưới dấu tích phân là hàm hữu tỉ có những “dấu hiệu” giúp
ta có thể phân tích tích phân đó thành tổng của những tích phân đơn giản hơn
Ví dụ 2 Tính I =
Z 2
1
3x2− 2x + 1 + 1
x + 1
dx
Giải Ta dễ dàng tìm được nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân và tính tích phân theo công thức Newton-Leibnizt như dưới đây
I = x3− x2+ x + ln |x + 1|
2
1 = (8 − 4 + 2 + ln 3) − (1 − 1 + 1 + ln 2) = 5 + ln 3 − ln 2 = 5 + ln3
2.
Vậy I = 5 + ln3
2.
Ví dụ 3 Tính J =
Z 2
1
2x + 1
dx
Giải Cũng giống ví dụ trên, ta dễ dàng tính được tích phân này như sau
J =
3x + 1
2ln |2x + 1|
2
1
=
3.2 + 1
2ln 5
−
3.1 + 1
2ln 3
= 3 + 1
2ln 5 −
1
2ln 3 = 3 +
1
2ln
5
3.
Vậy J = 3 + ln5
3. Nhận xét Quả thật, 2 ví dụ trên rất đơn giản, bất kỳ học sinh nào biết cách tính tích phân cơ bản đều có thể giải được Vậy để làm cho bài toán khó hơn, người ra đề sẽ giấu đi bản chất đơn giản của bài toán bằng cách quy đồng mẫu thức chung rồi cộng các số hạng của biểu thức dưới dấu tích phân để
“thách thức” học sinh
Ta có
3x2− 2x + 1 + 1
x + 1 =
(3x2− 2x + 1)(x + 1) + 1
3x3+ x2− x + 2
và
2x + 1 =
3(2x + 1) + 1
6x + 4 2x + 1. Như thế, ta sẽ có các bài toán tính tích phân I =
Z 2
1
3x3+ x2− x + 2
Z 2
1
6x + 4 2x + 1dx Rõ ràng, việc tính I và J bây giờ sẽ phức tạp hơn Cụ thể, ta phải thực hiện thao tác ngược với thao tác quy đồng mẫu thức của người ra đề, đó là thao tác chia đa thức để biến đổi các biểu thức dưới dấu tích phân về dạng như trong 2 ví dụ đã đề cập ở trên
Trang 31 Phân tích thành tổng các tích phân 3
Tổng quát, nếu biểu thức dưới dấu tích phân là f (x) có dạng
f (x) = P (x) +R(x)
Q(x) =
P (x).Q(x) + R(x)
S(x) Q(x),
trong đó P (x), Q(x), R(x) là các đa thức và S(x) = P (x).Q(x) + R(x) Khi đó f (x) = S(x)
Q(x) là một hàm hữu tỉ, có bậc đa thức trên tử lớn hơn hoặc bằng bậc đa thức dưới mẫu Đối với loại này, bước xử lý đầu tiên trong quá trình tính tích phân là thực hiện phép chia đa thức trên tử cho
đa thức dưới mẫu
Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là với hàm hữu tỉ mà có bậc trên tử nhỏ hơn bậc dưới mẫu thì ta làm như thế nào? Ta cùng xem xét ví dụ dưới đây để tìm ra một phần câu trả lời
Ví dụ 4 Tính tích phân K =
Z 2
1
2
x + 2
dx
Giải Ta có
K = (ln |2x + 1| − 3 ln |x + 2|)
2 1
= (ln 5 − 3 ln 4) − (ln 3 − 3 ln 3) = ln 5 − 3 ln 4 + 2 ln 3
Vậy K = ln 5 − 3 ln 4 + 2 ln 3
Nhận xét K là một tích phân đơn giản Tuy nhiên K sẽ trở nên phức tạp nếu ta quy đồng mẫu và tính toán rồi rút gọn biểu thức dưới dấu tích phân
Ta có
2
x + 2 =
2(x + 2) − 3.(2x + 1) (2x + 1)(x + 2) =
−4x + 1 2x2+ 5x + 2. Như thế, K =
Z 2
1
−4x + 1 2x2 + 5x + 2dx Bây giờ biểu thức dưới dấu tích phân trong tích phân K là một hàm hữu tỉ có bậc trên tử nhỏ hơn bậc dưới mẫu Vì vậy ta không thể thực hiện thao tác chia đa thức như trên được
Đi ngược lại quá trình quy đồng mẫu thức chung và cộng hai phân thức, ta sẽ có cách “khôi phục” lại bài toán gốc như sau:
• Phân tích mẫu thành nhân tử: 2x2+ 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2)
(2x + 1)(x + 2) =
A 2x + 1 +
B
x + 2.
• Tìm A, B
Ví dụ 5 Tính tích phân H =
Z 1
−3
dx
x2− 5x + 6. Định hướng giải
• Phân tích mẫu thành nhân tử: x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)
(x − 3)(x − 2) =
A
x − 3 +
B
x − 3 +
B
x − 2 =
A(x − 2) + B(x − 3)
(A + B)x − 2A − 3B
Trang 4Từ (∗) và (∗∗) ta thu được hệ
(
A + B = 0
(
A = 1
x2− 5x + 6 =
1
x − 2 Giải Ta có
H =
Z 1
−3
1
x − 2
dx = (ln |x − 3| − ln |x − 2|)
1
−3
= (ln | − 2| − ln | − 1|) − (ln | − 6| − ln | − 5|) = ln 2 − ln6
5 = ln
5
3. Vậy H = ln5
3.
Ví dụ 6 Tính tích phân L =
Z 1
0
2x − 1 (2x + 1)2 dx Định hướng giải
• Một số học sinh sẽ mắc sai lầm là giả sử phân tích được 2x − 1
(2x + 1)2 = A
2x + 1 +
B 2x + 1.
Rồi cộng các số hạng lại như A
2x + 1 +
B 2x + 1 =
A(2x + 1) + B(2x + 1)
Tiếp đến đồng nhất các hệ số để thu được hệ
( 2A + 2B = 2
A + B = −1 Tuy nhiên hệ này vô nghiệm Điều này
sẽ làm học sinh lúng túng không biết cách giải quyết bài toán
• Để ý, sự phân tích 2x − 1
(2x + 1)2 = A
2x + 1 +
B 2x + 1 là không hợp lý vì 2 phân thức
A 2x + 1,
B 2x + 1 có cùng mẫu Do đó, khi thực hiện phép cộng thì mẫu chung sẽ là 2x + 1 chứ không nhất thiết là (2x + 1)2
• Sau khi thấy sự không hợp lý trên, không khó để ta nghĩ đến sự phân tích
2x − 1 (2x + 1)2 = A
2x + 1 +
B (2x + 1)2
2x + 1 +
B (2x + 1)2 = 2Ax + A + B
(2x + 1)2 và đồng nhất các hệ số, ta thu được
A = 1, B = −2
Giải Ta có
L =
Z 1
0
1
(2x + 1)2
dx = 1
2ln |2x + 1| +
1 2x + 1
1
0
= 1
2ln |3| +
1 3
− 1
2ln |1| + 1
= 1
2ln 3 −
2
3.
Vậy L = 1
2ln 3 −
2
3.
Nếu biểu thức dưới dấu tích phân là một hàm hữu tỉ có bậc đa thức trên tử nhỏ hơn bậc đa thức dưới mẫu, ta thường gặp ở dạng
(cx + d)(ex + f ) hoặc g(x) =
ax + b (cx + d)2
Trang 51 Phân tích thành tổng các tích phân 5
thì tương ứng phân tích thành
cx + d +
B
ex + f hoặc g(x) =
A
cx + d +
B (cx + d)2 Sau đó, ta đồng nhất các hệ số để tìm A, B rồi tách tích phân cần tính thành tổng hai tích phân
mà ta dễ dàng tìm được nguyên hàm
Một câu hỏi đặt ra là: Nếu đa thức dưới mẫu không phân tích được thành nhân tử thì giải quyết thế nào? Chẳng hạn, hãy tính tích phân
Z 1
0
dx
1 + x2? (Xem phần sau sẽ rõ!) 1.2 Công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác
Ta đã biết, trong các công thức cơ bản của lượng giác có công thức biến tổng thành tích Từ công thức này, người ra đề chọn lấy 2 hàm số lượng giác cộng lại rồi thực hiện biến đổi thành tích và yêu cầu
ta tính tích phân của tích đó Nếu ta không biết công thức biến đổi ngược lại từ tích thành tổng thì sẽ thực sự khó khăn khi tính các tích phân thuộc dạng này
sin a + sin b = 2 sina + b
2 cos
a − b 2 sin a − sin b = 2 cosa + b
2 sin
a − b 2 cos a + cos b = 2 cosa + b
2 cos
a − b 2 cos a − cos b = −2 sina + b
2 sin
a − b 2
sin a cos b = 1
2[sin(a + b) + sin(a − b)] cos a sin b = 1
2[sin(a + b) − sin(a − b)] cos a cos b = 1
2[cos(a + b) + cos(a − b)] sin a sin b = −1
2[cos(a + b) − cos(a − b)]
Ví dụ 7 Tính tích phân
Z π6
0
sin 2x cos x dx
Giải Ta có
Z π6
0
sin 2x cos x dx =
Z π6
0
1
2(sin 3x + sin x) dx =
1 2
−1
3cos 3x − cos x
π 6
0
= 1 2
−1
3cos 3.
π
6 − cosπ
6
− 1 2
−1
3cos 3.0 − cos 0
= 1
2. −
√ 3 2
!
− 1
2.
−4 3
= 8 − 3
√ 3
Vậy
Z π6
0
sin 2x cos x dx = 8 − 3
√ 3
Ví dụ 8 Tính tích phân
Z π2
0
cos2x dx
Trang 6Định hướng giải Nếu nhìn nhận cos2x = cos x cos x thì ta có sự biến đổi
cos x cos x = 1
2[cos(x + x) + cos(x − x)] =
1
2(cos 2x + 1).
Tuy nhiên, nếu ta nhớ công thức hạ bậc thì cos2x = 1
2(1 + cos 2x).
Giải Ta có
Z π2
0
cos2x dx =
Z π2
0
1
2(1 + cos 2x) dx =
1 2
x + 1
2sin 2x
π 2
0
= π
4. 1.3 Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng ta có thể biến đổi tích thành tổng như 2 công thức dưới đây:
a(b + c) = ab + ac, a + b
a
c +
b
c.
Ví dụ 9 Tính tích phân
Z 1
0
x2012(1 + x) dx
Giải Ta có
Z 1
0
x2012(1 + x) dx =
Z 1
0
x2012+ x2013 dx = x
2013
2013 +
x2014 2014
1
0
4054182.
Ví dụ 10 Tính tích phân
Z e
1
x3+ 1
Giải Ta có
Z e
1
x3+ 1
Z e
1
x2+ 1 x
dx = x3
3 + ln |x|
e
1
= e
3
3 + ln e −
1
3+ ln 1
= e
3+ 2
1.4 Biến đổi thành tổng nhờ sử dụng lượng liên hợp
Từ hằng đẳng thức a2− b2 = (a − b)(a + b) ta biến đổi thành a + b = a
2− b2
a − b hoặc a − b =
a2− b2
a + b .
Do đó, thay vì tính tích phân của hàm số (f (x) + g(x)) người ra đề sẽ yêu cầu tính tích phân của hàm
f (x) − g(x) hoặc
h(x)
f (x) + g(x), trong đó h(x) = f
2(x) − g2(x)
Ví dụ 11 Tính tích phân
Z 2
1
1
√
x + 1 −√
x dx.
Giải Ta có
Z 2
1
1
√
x + 1 −√
x dx =
Z 2
1
√
x + 1 +√
xdx =
Z 2
1
(x + 1)1 + x1dx
Tích phân cuối cùng đơn giản nên học sinh tự tính toán
Cùng ý tưởng như vậy, từ hằng đẳng thức a3−b3 = (a−b)(a2+ab+b2) ta có biến đổi a−b = a
3− b3
a2+ ab + b2
hoặc a2+ ab + b2 = a
3− b3
a − b Vì thế, khi quan sát thấy hàm số dưới dấu tích phân có chứa một biểu thức dạng (a2 + ab + b2) thì nên nghĩ đến việc nhân với lượng liên hợp của nó là (a − b)
Trang 72 Phương pháp đổi biến số 7
2 Phương pháp đổi biến số
Nhắc lại công thức tính vi phân
• Nếu t là một hàm số theo biến x, cụ thể t = u(x) thì dt = u0(x) x
• Nếu f (t) = g(x) thì f0(t) dt
| {z }
theo biến t
= g0(x) dx
| {z }
theo biến x
Trong chương trình phổ thông, học sinh được trang bị về 4 nhóm hàm số sơ cấp là: hàm số lũy thừa, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit Kết hợp ý tưởng hàm hợp vào 4 nhóm hàm số này sẽ cho ta nhiều bài toán tích phân mới lạ
Ví dụ 1 Tính tích phân
Z 2
1
t5dt
Giải Ta có
Z 2
1
t5dt = t
6
6
2
1
= 2
6
6 − 1
6 =
21
2 .
Nhận xét Đây là một bài toán tính tích phân (theo biến t) đơn giản Tuy nhiên, nếu ta xem t = x3+ 1 thì
dt = 3x2.dx và
(
t = 1 ⇒ x = 0
t = 2 ⇒ x = 1 . Khi đó ta sẽ có một bài toán tính tích phân theo biến x như dưới đây
Ví dụ 2 Tính tích phân
Z 1
0
3x2(x3+ 1)5dx
Để gây khó khăn cho học sinh trong việc “nhận ra” 3x2 là kết quả của phép tính đạo hàm đối với x3+ 1, người ta nhân vào hằng số 1
3 và có bài toán hơi khó hơn như sau
Ví dụ 3 Tính tích phân
Z 1
0
x2(x3+ 1)5dx
Giải Đặt t = x3+ 1 ⇒ dt = 3x2dx ⇒ x2dx = 1
3dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2
Ta có
Z 1
0
x2(x3+ 1)5dx =
Z 2
1
1
3t
5dt = t
6
18
2
1
= 7
2.
Qua các ví dụ trên ta thấy, từ bài toán tính tích phân đơn giản
Z b
a
f (t) dt, người ra đề sẽ đổi biến bằng cách xem t = u(x) thì dt = u0(x).dx và sẽ thu được bài toán tính tích phân mới phức tạp hơn là
Z β
α
f [u(x)] u0(x) dx, trong đó α, β là các số thực sao cho u(α) = a; u(β) = b
Vậy khi hàm số dưới dấu tích phân là tích của 2 hàm số: f (x).g(x) và ta phát hiện được một biểu thức u(x) nào đó mà đạo hàm của nó đúng bằng hoặc sai khác một hằng số nhân so với một trong 2 hàm số f (x) hoặc g(x) (tức là u0(x) = k.f (x) hoặc u0(x) = k.g(x), k là hằng số) thì ta đặt biểu thức đó bằng t để đổi biến số đưa về bài toán tích phân đơn giản hơn
Trang 8Ví dụ 4 Tính tích phân
Z 12π
0
e1+sin 2x cos 2x dx
Định hướng giải
Hàm số dưới dấu tích phân là e1+sin 2x cos 2x = f (x).g(x), trong đó f (x) = e1+sin 2x và g(x) = cos 2x
Để ý biểu thức 1 + sin 2x, ta thấy (1 + sin 2x)0 = 2 cos 2x (sai khác hàm số g(x) hằng số 2)
Vậy ta đổi biến t = 1 + sin 2x
Giải Đặt t = 1 + sin 2x ⇒ dt = 2 cos 2x dx ⇒ cos 2x dx = 1
2dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = π
12 ⇒ t = 3
2. Khi đó,
Z 12π
0
e1+sin 2x cos 2x dx =
Z 32
1
1
2e
tdt = 1
2e
t
3 2
1
= 1 2
e32 − e= 1
2e(
√
e − 1)
Ví dụ 5 Tính tích phân
Z π4
0
cos x dx
1 − sin2x Giải Đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = π
4 ⇒ t =
√ 2
2 .Khi đó,
Z π4
0
cos x dx
1 − sin2x =
Z
√ 2
0
dt
1 − t2 =
Z
√ 2
0
dt (1 + t)(1 − t) =
Z
√ 2
0
1 2
1
1 + t+
1
1 − t
dt
2(ln |1 + t| − ln |1 − t|)
√ 2
0
= 1
2ln
2 +√ 2
2 −√
2 =
1
2ln(3 + 2
√ 2) = ln(√
2 + 1)
Vậy
Z π4
0
cos x dx
1 − sin2x = ln(
√
2 + 1)
Nhận xét Tích phân vừa tính có một hình thức khác sẽ khó hơn là
Z π4
0
cos x dx cos2x =
Z π4
0
dx cos x.
Ví dụ 6 Tính tích phân
Z e
1
ln x
x dx.
Định hướng giải
Đối với phép chia, ta có thể viết lại thành phép nhân của biểu thức trên tử với nghịch đảo của biểu thức dưới mẫu Cụ thể ln x
1
x ln x Đến đây, không khó để nhận ra (ln x)
0
x Vì thế, ta sẽ đổi biến
t = ln x
Giải Đặt t = ln x ⇒ dt = 1
xdx.
Đổi cận x = 1 ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = 1
Khi đó,
Z e
1
ln x
x dx =
Z 1
0
t dt = t
2
2
1
0
= 1
2. Nhận xét Không phải lúc nào ta cũng dễ nhận thấy biểu thức u(x) để đổi biến t = u(x) Ta hãy xem
ví dụ sau
Ví dụ 7 Tính tích phân
Z π4
0
x cos x
x sin x + cos xdx.
Trang 92 Phương pháp đổi biến số 9
Định hướng giải
Quan sát hàm số dưới dấu tích phân x cos x
x sin x + cos x =
1
x sin x + cos x.x cos x, thật khó tìm thấy biểu thức nào mà có đạo hàm "gần giống" nhất đối với 1
x sin x + cos x hoặc x cos x.
Ta thử đặt t = x sin x + cos x xem sao? Thật bất ngờ, ta có dt = x cos x dx
Giải Đặt t = x sin x + cos x, ta có dt = x cos x dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = π
4 ⇒ t =
√ 2(π + 4)
Khi đó
Z π4
0
x cos x
x sin x + cos xdx =
Z
√ 2(π+4) 8
1
dt
t = ln |t|
√ 2(π+4) 8
1
= ln
√ 2(π + 4) 8 Nhận xét Ví dụ đã giải xong nhưng ta vẫn chưa hết thắc mắc "Tại sao lại đặt t bằng biểu thức dưới mẫu?" Đối với những bài tính tích phân dạng
Z b
a
f (x) g(x)dx, ta viết lại
Z b
a
1 g(x).f (x) dx Bây giờ ta quan sát 2 cách đổi biến:
Z b
a
1
0
g(x)dx
Z b
a
1
0
Rất có khả năng vi phân giống với phần còn lại
Về mặt hình thức thì cách đổi biến t = g(x) cho ta biểu thức vi phân giống với phần còn lại hơn là cách đổi biến t = f (x) Vậy, đối với những bài tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân là thương của hai hàm số thì ta ưu tiên đổi biến t bằng hàm số ở dưới mẫu
Ví dụ 8 Tính tích phân
Z ln 2
0
e2x
√
ex+ 1dx Định hướng giải Theo phân tích ở trên, ta thử đặt t =√
ex+ 1 Khi đó để tính vi phân đơn giản, ta có thể bình phương 2 vế để được t2 = ex+ 1 và 2t dt = exdx
Biểu thức dưới mẫu đã được thay thế bởi t, tuy nhiên ta chưa thấy rõ mối liên hệ giữa phần còn lại
e2xdx với t và dt Để ý, e2x= ex.ex, như thế e2xdx = ex.exdx = ex.2t dt Vậy còn lượng ex sẽ xử lý như thế nào? Đơn giản, ex= t2 − 1
Giải Đặt t =√
ex+ 1 ⇒ t2 = ex+ 1 ⇒ 2t.dt = ex.dx
Vì t2 = ex+ 1 nên ex= t2 − 1
Đổi cận x = 0 ⇒ t =√
2; x = ln 2 ⇒ t =√
3
Khi đó,
Z ln 2
0
e2x
√
ex+ 1dx =
Z
√ 3
√ 2
(t2− 1)2t.dt
Z
√ 3
√ 2
(2t2 − 2)dt = 2t
3
3 − 2t
√ 3
√ 2
= 2
√ 2
3 . Nhận xét Qua ví dụ này, ta thấy phép đổi biến t = u(x) là hợp lý nếu ta biểu diễn được phần còn lại hoàn toàn qua biến mới
Thông thường, làm việc với biểu thức chứa căn không phải là thế mạnh của chúng ta Biết được điểm yếu này, người ra đề thường xuất phát từ bài toán tích phân đơn giản rồi đổi biến bởi căn thức để
Trang 10gây khó khăn cho chúng ta Vậy, khi thấy hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn thức, hãy thử đặt t bằng căn thức đó và tìm cách biểu diễn phần còn lại qua biến t
Ví dụ 9 Tính tích phân
Z 3
0
x√
1 + x dx
Giải Đặt t =√
1 + x ⇒ t2 = 1 + x ⇒ 2t.dt = dx
Vì t2 = 1 + x nên x = t2− 1
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = 3 ⇒ t = 2
Khi đó,
Z 3
0
x√
1 + x dx =
Z 2
1
(t2− 1)t.2t dt =
Z 2
1
(2t4− 2t2) dt = 2t5
5 − 2t
3
3
2
1
= 62
5 − 14
116
15.
Ví dụ 10 Tính tích phân
Z 2
1
xdx
1 +√
x − 1. Giải Đặt t =√
x − 1 ⇒ t2 = x − 1 ⇒ x = t2+ 1 ⇒ dx = 2t.dt
Đổi cận, x = 1 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = 1 Khi đó,
Z 2
1
xdx
1 +√
x − 1 =
Z 1
0
(t2+ 1).2t.dt
Z 1
0
(2t3+ 2t)dt
Z 1
0
2t2 − 2t + 4 − 4
t + 1
dt = 11
3 − 4 ln 2
Ví dụ 11 Tính tích phân
Z 4
√ 7
dx
x.√
x2+ 9. Định hướng giải Tương tự như các ví dụ trên, để có biểu thức đơn giản, ta sẽ đặt t =√
x2+ 9 và tìm cách biểu diễn phần còn lại qua t
Ta có t2 = x2 + 9 ⇒ 2t.dt = 2x.dx Như vậy khi tính vi phân sẽ xuất hiện lượng x.dx, trong khi phần còn lại là dx
x Có thể ta hơi bối rối nhưng nhờ tính chất của phân thức ta có thể viết
dx
x.dx
x2 Hơn nữa ta có biểu diễn x2 = t2− 9 Tóm lại, ta hoàn toàn biểu diễn được phần còn lại theo biến t Giải Đặt t =√
x2+ 9 ⇒ t2 = x2+ 9 ⇒ 2t.dt = 2x.dx ⇒ t.dt = x.dx
Vì t2 = x2 + 9 nên x2 = t2− 9
Đổi cận: x =√
7 ⇒ t = 4; x = 4 ⇒ t = 5
Khi đó,
Z 4
√
7
dx
x.√
x2+ 9 =
Z 4
√ 7
x.dx
x2.√
x2+ 9 =
Z 5
4
t.dt (t2 − 9)t =
Z 5
4
dt
t2− 9 =
Z 5
4
1 6
1
t − 3− 1
t + 3
dt
6(ln |t − 3| − ln |t + 3|)
5
4
= 1
6(ln 2 − ln 8 + ln 7)
Vậy
Z 2
1
xdx
1 +√
x − 1 =
1
6(ln 2 − ln 8 + ln 7) Nhận xét Không phải cứ có căn thức là ta đặt t bằng căn thức sẽ giải quyết được vấn đề Có những bài ta có thể làm mất căn thức mà không phải "bao" căn thức lại bởi t Chúng ta cùng xét ví dụ sau
Ví dụ 12 Tính tích phân
Z 1
0
√
1 − x2dx
Định hướng giải
Nếu đặt t =√
1 − x2 thì t2 = 1 − x2 ⇒ 2t.dt = −2x.dx