Tiếp cận tích phân ngẫu nhiên từ di động ngẫu nhiên và quá trình wiener

Trong quá trình phát triển của lý thuyết xác suất của quá trình wiener là một công cụ cơ bản cho rất nhiều các định lý giới hạn và cũng là một mô hình tự nhiên của nhiều hiện tợng liên q

BÙI THỊ ĐỨC ANH

TIẾP CẬN TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN TỪ

DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ QUÁ TRÌNH

WIENER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCCHUYÊN NGÀNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN

VINH-2010

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI THỊ ĐỨC ANH

TIẾP CẬN TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN TỪ

DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ QUÁ TRÌNH

WIENER

CHUYÊN NGÀNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN

MÃ SỐ: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Trung Hòa

VINH-2010

Lời mở đầu

Quá trình wiener là một trong những quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhất, cả trong lý thuyết và trong các ứng dụng Trong quá trình phát triển của lý thuyết xác suất của quá trình wiener là một công cụ cơ bản cho rất nhiều các định lý giới hạn và cũng là một mô hình tự nhiên của nhiều hiện tợng liên quan đến tính ngẫu nhiên, giống nh tiếng ồn, dao động ngẫu nhiên hoặc nhiễu loạn

Quá trình wiener ban đầu đợc giới thiệu nh là một mô hình toán học vềchuyển động Brown, một chuyển động ngoằn ngoèo ngẫu nhiên của các hạt nhỏlơ lửng trong chất lỏng, phát hiện bởi các nhà thực vật học ngờ Anh Brown năm

1827 Các nhà khoa học lớp đầu tiên nh Bachelier, Einstein, Smoluchowski,wiener, và Levy, đã có nhiều đóng góp vào lý thuyết về chuyển động Brown Quá trình wiener là một mô hình tự nhiên của chuyển động Brown Nó môtả một cách ngẫu nhiên, nhng liên tục chuyển động của một hạt, chịu ảnh hởngcủa một số lợng lớn các phần tử chuyển động hỗn loạn của chất lỏng Một sựthay đổi bất kỳ của một hạt trong khoảng thời gian là một tổng của nhiều thànhphần nhỏ gần nh độc lập có phân bố chuẩn với kỳ vọng 0 và phơng sai không tỉ

lệ thuận với độ dài của khoảng thời gian Sự thay vị trí trong những khoảng thờigian là độc lập

Trong luận văn này chúng tôi sử dụng một dãy thích hợp các du động ngẫunhiên đơn giản hội tụ về các quá trình wiener Sau đó, một định nghĩa sơ cấp vàthảo luận về tích phân ngẫu nhiên đợc đa ra, dựa trên [8], trong đó sử dụng cùngmột chuỗi các du động ngẫu nhiên

Chơng 3 Nghiên cứu quá trình wiener và tích phân ngẫu nhiên

Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn trựctiếp của Tiến sỹ Nguyễn Trung Hoà Tỏc giả xin bày tỏ lũng biết ơn sõu sắc tớiThầy đó dành cho tỏc giả trong suốt quỏ trỡnh học tập và nghiờn cứu tại trường

Nhõn dịp này tỏc giả xin chõn thành cảm ơn PGS TS Nguyễn VănQuảng, PGS TS Trần Xuõn Sinh, PGS TS Phan Đức Thành, cựng cỏc thầy cụgiỏo, các bạn học viên k16 chuyên nghành xỏc suất thống kờ và ứng dụng, KhoaToỏn, Khoa sau đại học

Vinh, thỏng 12 năm 2008Vinh, thỏng 12 năm 2010

tác giả

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 6

QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN 8

1.1.Quá trình ngẫu nhiên là gì? 8

1.1.1.Định nghĩa và kí hiệu 8

1.1.2.Phân phối hữu hạn chiều 9

1.1.3.Quỹ đạo và không gian quỹ đạo 10

1.1.4.Định lý tồn tại Kolmogov 11

1.1.5.Bản sao liên tục 13

1.2.Di động ngẫu nhiên 14

1.2.1.Khái niệm di động ngẫu nhiên và một số tính chất của nó 14

1.2.2.Đánh giá biên độ dao động của một điểm (hạt) sau một thời gian t 18 QUÁ TRÌNH WIENER VÀ DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN 20

2.1.Quá trình Wiener và di động ngẫu nhiên 20

2.1.1.Thời gian chờ 20

2.1.2.Từ di động ngẫu nhiên đến quá trình Wiener 25

2.1.3.Từ quá trình wiener đến những di động ngẫu nhiên 41

2.2.Một số tính chất của quá trình Wiener 54

2.2.1.Tính không khả vi 54

2.2.2.Tính có biến phân không bị chặn của quá trình Wiener 55

QUÁ TRÌNH WIENER VÀ TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 60

3.1.Tổng quan về tích phân ngẫu nhiên 60

3.2.Một công thức Ito rời rạc 64

3.3.Tích phân ngẫu nhiên và công thức Ito 67

KẾT LUẬN 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

MỞ ĐẦU

Quá trình Wiener là một trong những quá trình ngẫu nhiên quan trọngnhất, cả trong lý thuyết và trong các ứng dụng Trong quá trình phát triển của lýthuyết xác suất quá trình Wiener là một công cụ cơ bản cho rất nhiều các định lýgiới hạn và cũng là một mô hình tự nhiên của nhiều hiện tượng liên quan đếntính ngẫu nhiên, giống như tiếng ồn, dao động ngẫu nhiên hoặc nhiễu loạn

Quá trình Wiener ban đầu được giới thiệu như là một mô hình toán học vềchuyển động Brown, một chuyển động ngoằn ngoèo ngẫu nhiên của các hạt nhỏ

lơ lửng trong chất lỏng, phát hiện bởi các nhà thực vật học người Anh Brownnăm 1827 Các nhà khoa học lớp đầu tiên như Bachelier, Einstein,Smoluchowski, Wiener, và Levy, đã có nhiều đóng góp vào lý thuyết về chuyểnđộng Brown

Quá trình Wiener là một mô hình tự nhiên của chuyển động Brown Nó

mô tả một cách ngẫu nhiên, nhưng liên tục chuyển động của một hạt, chịu ảnhhưởng của một số lượng lớn các phần tử chuyển động hỗn loạn của chất lỏng.Một sự thay đổi bất kỳ của một hạt trong một khoảng thời gian là một tổng củanhiều thành phần nhỏ gần như độc lập có phân bố chuẩn với kỳ vọng 0 vàphương sai không tỷ lệ thuận với độ dài của khoảng thời gian Sự thay đổi vị trítrong những khoảng thời gian là độc lập

Chúng tôi sử dụng một dãy thích hợp các di động ngẫu nhiên đơn giản hội

tụ về các quá trình Wiener Sau đó, đưa ra một định nghĩa sơ cấp và việc thảoluận về tích phân ngẫu nhiên được đưa ra, dựa trên [8], trong đó sử dụng cùngmột chuỗi các di động ngẫu nhiên

Luận văn được chia thành 3 chương.

Chương 1 trình bày các khái niệm về quá trình ngẫu nhiên và di độngngẫu nhiên

Chương 2 trình bày về các di động ngẫu nhiên và quá trình Wiener

Chương 3 trình bày về tích phân ngẫu nhiên và công thức I tô trong mốiliên hệ với di động ngẫu nhiên và quá trình Wiener.

Vì thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh được cácsai sót Tác giả xin được sự góp ý của các Thầy, các bạn và xin được lượng thứ

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn trựctiếp của Tiến sỹ Nguyễn Trung Hoà Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tớiThầy, người đã dành cho tác giả sự chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình học tập vànghiên cứu tại trường

Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng,PGS.TS Trần Xuân Sinh, PGS.TS Phan Đức Thành, cùng các thầy cô giáo, cácbạn học viên khóa 16 chuyên nghành Xác suất Thống kê toán

Tác giả cũng xin trân trọng cám on các Thầy, Cô giáo trong Khoa Toán,Khoa Sau đại học và các đồng nghiệp tại Phòng giáo dục huyện Yên Thành đãnhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

Vinh, tháng 12 năm 2010

Tác giả

CHƯƠNG 1

QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN

1.1 Quá trình ngẫu nhiên là gì?

1.1.1 Định nghĩa và kí hiệu

Một quá trình ngẫu nhiên là một tập X(t) (t∈T) của các biến ngẫu nhiên

được xác định trên một không gian mẫu Ω Thông thường T là một tập hợp con của đường thẳng thực và t được gọi là "thời gian" Một khái niệm quan trọng là

hàm-mẫu (quỹ đạo), có nghĩa là, một con thể hiện ngẫu nhiên của một quá trìnhngẫu nhiên Một quỹ đạo của một quá trình ngẫu nhiên X(t) có thể được ký hiệu

là X(t;ω), trong đó ω ∈Ω là cố định, nhưng thời gian "t" biến thiên.

Như vậy, đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ vô hạn các

biến ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t T∈ nào đó Ta sử dụng định nghĩa sau:

Định nghĩa 1 Giả sử T là tập vô hạn nào đó Nếu với mỗi t T∈ , Xt là biến ngẫu nhiên thì ta kí hiệu Χ ={ X t T t, ∈ } , và gọi X là hàm ngẫu nhiên (Với

thì ta gọi X ={ X t T t, ∈ } là quá trình ngẫu nhiên với tham số liên tục trong

trường hợp như thế, tham số t đóng vai trò thời gian

+ Nếu T là tập con của ¡ , thì ta gọi d X ={ X t T t, ∈ } là trường ngẫu nhiên.

Nói chung, dưới đây ta thường nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên có dạng

X={X n n, ∈¥ ; X} ={ X t t, ∈[0, )∞ } , X={ X t t, ∈[0, 1]}

1.1.2 Phân phối hữu hạn chiều

Giả sử X={X t T t, ∈ } là quá trình ngẫu nhiên, và I = (t1,…,tn) là tập con hữu hạn của T Hàm phân phối đồng thời của X t1, ,X t n :

được gọi là phân phối hữu hạn chiều của X ứng với I, và tập {F1} được gọi là họ

các phân phối hữu hạn chiều của X Đấy là một trong những khái niệm then chốtcủa lý thuyết quá trình ngẫu nhiên Nhiều tính chất quan trọng của quá trìnhđược xác định bởi các tính chất của họ các phân phối hữu hạn chiều của nó

Rõ ràng họ các phân phối hữu hạn chiều thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Điều kiện đối xứng, tức là, F x( , , ; , , )1 x t n 1 t không thay đổi khi hoán n

Hai quá trình trên cùng tập tham số (nhưng có thể xác định trên các không

gian xác suất khác nhau) được gọi là tương đương ngẫu nhiên yếu, nếu chúng có

cùng họ các phân phối hữu hạn chiều Hai quá trình ngẫu nhiên X={X t T t, ∈ }

và Y={Y t T t, ∈ } trên cùng không gian xác suất (Ω, Α, P) được gọi là:

+ Tương đương ngẫu nhiên hay Y là bản sao của X, nếu với mỗi t T∈ ta có

không đúng Chẳng hạn, với Ω =[0, 1], Α là σ - trường Borel của [0, 1], P là

độ đo Lebesgue thông thường, T = [0, 1], và

t

X ω = ∀ ∈ ω ∀ ∈t

Dễ dàng thấy rằng hai quá trình này tương đương, nhưng không bằng nhau

1.1.3 Quỹ đạo và không gian quỹ đạo

Cho quá trình ngẫu nhiên X={ X t T t, ∈ } trên không gian xác suất (Ω

,Α,P) Khi cố định ω ∈Ω, thì X(ω) = X.(ω) : T →¡ là hàm số của t T∈ Ta

gọi X.(ω) là quỹ đạo (thể hiện hay hàm chọn) của quá trình ngẫu nhiên X{X t T t, }

= ∈ ứng với ω Các tính chất của quỹ đạo cho phép ta phân loại quá

trình ngẫu nhiên Chẳng hạn, khi T là khoảng nào đó, ta nói:

+ X={ X t T t, ∈ } là quá trình liên tục, nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là hàm

t

voi t Y

voi t

ω ω

Ta kí hiệu ¡ là không gian của tất cả các hàm thực xác định trên T Mỗi T

phần tử của ¡ được kí hiệu là x T • Ta gọi ¡ là không gian quỹ đạo Như vậy, T

ta có thể xem quá trình ngẫu nhiên X={ X t T t, ∈ } trên không gian xác suất (

Ω, Α, P) là ánh xạ từ Ω vào không gian quỹ đạo:

X : Ω →¡ T, X(ω) = Xg(ω).

Nói chung, miền giá trị của ánh xạ này là một không gian con E của ¡ ChẳngT

hạn, Nếu X là quá trình liên tục, thì với xác suất 1, miền giá trị của X là không

gian E = C(T) gồm các hàm liên tục trên T; nếu X là quá trình không có gián đoạn loại hai, thì với xác suất 1, miền giá trị của X là không gian E = D(T) gồm

các hàm không có gián đoạn loại hai trên T Trong trường hợp như thế, ta có thể

xem quá trình ngẫu nhiên X={ X t T t, ∈ } trên không gian xác suất (Ω, Α, P) làánh xạ từ Ω vào không gian E:

X : Ω →E, X(ω) = Xg(ω).

+ Ví dụ ở cuối mục 1.1.2 chứng tỏ rằng tồn tại hai quá trình X, Y tương

đương ngẫu nhiên, nhưng X có tất cả các quỹ đạo liên tục, còn tất cả cácquỹ đạo của Y gián đoạn

1.1.4 Định lý tồn tại Kolmogov

Bây giờ ta quan tâm đến bài toán ngược lại: Cho trước họ các phân phối hữu hạn chiều (PI ) (trên ¡ ) thoả mãn điều kiện đối xứng và nhất quán Tìm I

không gian xác suất (Ω, Α, P) và quá trình X={X t T t, ∈ } xác định trên (Ω, Α, P) sao cho họ các phân phối hữu hạn chiều của nó chính là (PI ), tức là,

Định lý Tồn tại không gian xác suất (Ω, Α, P) và quá trình X={ X t T t, ∈ } xác

định trên (Ω, Α, P) nhận PI làm họ các phân phối hữu hạn chiều của nó.

Ta không chứng minh chi tiết định lý này, nhưng chỉ ra các ý chính cách xâydựng tường minh

+ Lấy không gian quỹ đạo làm không gian mẫu: Ω =¡ T,ω =x•.

+ Lấy σ - trường trụ làm σ - trường cơ sở: =  σ( )C

+ Độ đo xác suất cơ sở P được xác định như sau: với mỗi tập trụ C B I( )

P{CI(B)} = PI (B).

Theo điều kiện đối xứng và nhất quán, ta chứng minh được các định nghĩanhư thế không phụ thuộc vào biểu diễn các tập trụ, tức là, nếu tập C có hai cáchbiểu diễn:

Sau đó chứng minh P có tính chất cộng tính đếm được trên trường các tập trụ C

nhờ định lý mở rộng độ đo, ta nhận được độ đo xác suất P trên ( )σ C

+) Lấy các hàm toạ độ làm quá trình ngẫu nhiên, tức là,

X ¡ →¡ X x• =x Quá trình vừa xây dựng ở trên được gọi là quá trình chính tắc.

Theo định lý này thì đối với mỗi quá trình ngẫu nhiên, tồn tại quá trìnhchính tắc tương đương ngẫu nhiên yếu với nó

Chú ý Định lý tồn tại Kolmogorov rất tổng quát: ngoài điều kiện tự

nhiên: đối xứng và nhất quán, không đòi hỏi bất cứ một điều kiện nào khác Tuynhiên, ta cần lưu ý những điểm sau đây:

Thứ nhất là, không gian quỹ đạo ¡ quá lớn T

Thứ hai là, σ - trường trụ ( )σ C không chứa nhiều tập hợp quan trọng như: tập C(T) gồm các hàm liên tục trên T; tập các hàm bị chặn

Điều này là do: các tập trong ( )σ C chỉ ràng buộc một số đếm được cáctoạ độ, trong khi đó tính liên tục, chẳng hạn, ràng buộc tất cả các toạ độ (tronglân cận nào đó có lực lượng không đếm được) Thật vậy, ta trở lại ví dụ đã xét ởcuối 1.1.2: Ω =[ ]0,1 , Α là σ - trường Borel của [0, 1], P là độ đo Lebesgue

1.1.5 Bản sao liên tục.

Định lý Cho X = {X tt, ∈[ ]0,1} là quá trình ngẫu nhiên trên không gian xác

suất đủ (Ω, Α, P) Giả sử với tất cả t t h, + ∈[ ]0,1

P X + −X ≥g h ≤q h trong đó g và q là các hàm chẵn của h, không tăng khi h↓0 sao cho

Hệ quả 1 Cho X = {X tt, ∈[ ]0,1} là quá trình ngẫu nhiên trên không gian xác

suất đủ (Ω, Α, P) Giả sử với tất cả t t h, + ∈[ ]0,1

1 ,ln

trong đó p < r và K là các hằng số dương Khi đó X có bản sao liên tục

Chứng minh: Suy trực tiếp từ bất đẳng thức Markov:

+

XX

Hệ quả 2 (của Kolmogorov) Nếu với tất cả t t h, + ∈[ ]0,1

1 +

Xt h t p

E −X ≤K h +εtrong đó , p ε và K là các hằng số dương, thì X có bản sao liên tục.

1.2 Di động ngẫu nhiên

1.2.1 Khái niệm di động ngẫu nhiên và một số tính chất của nó

Mô hình đơn giản nhất (và thô thiển nhất) về chuyển động Brown là một

di động ngẫu nhiên đối xứng 1 chiều, sau đây gọi ngắn gọn là di động ngẫunhiên.

Một chất điểm bắt đầu từ gốc và bước một đơn vị hoặc bên trái hoặc bênphải với xác suất bằng 1/2, trong mỗi đơn vị thời gian Một cách toán học, chúng

ta có một dãy X1, X2, các biến ngẫu nhiên độc lập và đồng nhất về phân phốivới

Để hình dung đồ thị của một hàm-mẫu (quỹ đạo) của một di động ngẫu

nhiên người ta có thể sử dụng một đường gấp khúc kết nối các đỉnh (n, Sn), n=1,

2, (Hình 1) Bằng cách này các quỹ đạo được mở rộng từ tập các số nguyênkhông âm tới hàm số liên tục trên khoảng [0,∞):

Dễ dàng tính các kỳ vọng và phương sai của Sn:

Hình 1: Đồ thị của một quỹ đạo S (t).

Sự phân bố của Sn là một biến đổi tuyến tính của phân phối nhị thức đối xứng [2, mục III, 2] Mỗi đường gấp khúc chiều dài n có xác suất 1/2n Số lượng các đường đi đến điểm (n,r) từ gốc là bằng số lựa chọn (n + r) / 2 bước để ra bên phải của bước n Do đó,

Các hệ số nhị thức ở đây được coi là 0 khi r + n không chia hết cho 2 Tương đương, Sn = 2Bn - n, ở đây Bn là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức đối xứng (p = 1/2), P{Bn=k}=Cn k2-n

Một tính toán sơ cấp chỉ ra rằng đối với n lớn, phân phối nhị thức có thể

được xấp xỉ bởi phân phối chuẩn, xem [2, Mục VII, 2] Cái được chỉ ra ở đây là

với các số chẵn n = 2ν và r = 2k, nếu n→∞ và r <K n =o(n2 / 3 ), ta có

trong đó h =1/ n và φ( )x =(1/ 2π )e−x2/ 2(−∞<x <∞) là hàm mật độ chuẩn

tắc thông thường Lưu ý rằng đối với số lẻ n = 2ν + 1 và r = 2k + 1 thì (4) có thể

được chứng minh tương tự như đối với các số chẵn

Ở đây và sau này ta sẽ chấp nhận các ký hiệu thông thường an ∼ bn thay

Chẳng hạn, để ước lượng 1 - Φ(x) với x lớn, người ta có thể sử dụng bất đẳng

thức sau đây, xem [2, Mục VII, 1],

Vì vậy, với một ε > 0, cụ thể ε = 1/2, tồn tại một số nguyên dương n0 sao cho

với n ≥ n0, ngay khi xn→∞ và xn = o(n1/6) khi n →∞ Điều quan trọng là mặc dầu

Sn có thể nhận mọi giá trị nguyên từ -n đến n với xác suất dương, biến cố

{S n > x n n} là không thể có khi n →∞

1.2.2 Đánh giá biên độ dao động của một điểm (hạt) sau một thời gian t

Nếu n không dần tới ∞, hoặc nếu điều kiện xn = o(n1/6) không thỏa mãn?Khi đó một công cụ đơn giản nhưng hiệu quả, bất đẳng thức Chebyshev có thể

có ích Một dạng chuẩn tắc của bất đẳng thức Chebyshev là

( )

t

X Var t

X

X − Ε ≥ ≤ Ρ

với mọi t > 0, và Var(X) là hữu hạn Một dạng khác có thể được đưa ra tương tự

là

t

X t

≤

≥ Ρ

với t > 0 tùy ý nếu E(X) là hữu hạn Nếu mô men cấp k của X, E(X k) là hữu hạn

(k > 0), thì người ta có thể áp dụng (7) vào |X| k để nhận được

k k

k

t

X t

X t

≤

≥ Ρ

=

≥

Thậm chí nó có thể nhận cận trên dần tới 0 với tốc độ của hàm mũ khi t → ∞

nếu E(e uX ), mô men của hàm sinh của X, là hữu hạn với u0 > 0 nào đó Và do (7),

0 0

X u t u t

u X

e t

u X u t

với t > 0 bất kỳ nếu môment hàm sinh là hữu hạn tại cả hai điểm u0 và –u0

Bây giờ, dễ dàng tìm mômen hàm sinh của một bước (của) di động ngẫunhiên

Vì vậy, sử dụng tính độc lập của các bước, người ta thu được môment hàm sinh

của di động ngẫu nhiên Sn là

Vì coshu là một hàm chẵn và cosh1 < 2, bất đẳng thức (10) nói rằng

CHƯƠNG 2.

QUÁ TRÌNH WIENER VÀ DI ĐỘNG NGẪU NHIÊN

2.1 Quá trình Wiener và di động ngẫu nhiên

Điều này suy ra từ tính đối xứng của di động ngẫu nhiên Nếu chúng ta phản ánh

S(t) với trục thời gian, quá trình kết quả S*(t) cũng là một di động ngẫu nhiên.

τ* tương ứng của nó là bằng τ, và biến cố {S*( )τ = 2} cũng giống như biến cố

Ta cũng cần xác suất (của) biến cố một di động ngẫu nhiên xuất phát từ

điểm x = 1 đến x = 2 trước khi đến x = - 2 Xác suất này là xác suất có điều kiện

( )

{ = − 2 1 = 1}= 1 −( )3 / 4 = 1 / 4 ( )18

Ρ Sτ X

(16), (17) và (18) là các trường hợp đặc biệt của xác suất hỏng hóc Chẳng hạn,

có thể chỉ ra rằng xác suất một di động ngẫu nhiên gặp a > 0 trước khi gặp –b < 0 là b/(a+b).

Mở rộng định nghĩa (13) của τ, với k=1,2,… ta định nghĩa một cách truy hồi

T = = τ + τ +  + τThì mỗi τk có cùng phân phối với τ = τ1 Với

khứ tương ứng Thứ hai, mỗi số gia S(2m+n) ( )−S 2m có cùng phân phối với S( )n

, vì cả hai trong chúng là tổng của n biến độc lập Xi Vì vậy, τk+1 là độc lập với Tk

nguyên chẵn (sai khác một giá trị trước đó) một cách duy nhất tại các khoảng

thời gian T1, T2,… Để tìm phân phối xác suất của Tk, tưởng tượng di động ngẫu

nhiên như là một dãy các cặp độc lập các bước, “quay đi quay lại” và “thay đổi

với biên độ 2”, cả hai kiểu này có xác suất ½ Số các biến cố {Tk = 2j} (j ≥ k) có thể xảy ra bằng số các cách chọn k-1 cặp trong số j-1, trong đó một thay đổi biên

độ 2 xuất hiện, trước sự xuất hiện của cặp cuối cùng cũng có biên độ 2, do đó

2

1 1

có nghĩa là Tk=2Nk, ở đây Nk có một phân phối nhị thức âm với p=1/2 Xem [2] Toàn bộ những điều này cũng suy từ N=Tk/2 là tổng của k biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối hình học với tham số p=1/2, xem (14) và (19): Nk=Y1+Y2+…

+Yk (Yj=τj/2) Thế thì Tk nhận giá trị hữu hạn với xác suất 1 và kỳ vọng và phương sai của Tk là dễ dàng suy từ (15) và (19):

Điều đáng nói đến là Tk là một thời gian dừng cho mỗi k ≥1 Theo định nghĩa, điều đó có nghĩa là biến cố bất kỳ dạng {Tk ≤ j} phụ thuộc hoàn toàn vào "quá khứ" tương ứng S(t) (t ≤ j) Nói cách khác, S1, , Sj là xác định dù cho {Tk ≤ j}

có xảy ra hay không

May mắn thay, các định lý giới hạn trung tâm và độ lệch lớn (xem Định lý 1) cóthể được chứng minh cho phân phối nhị thức âm theo kiểu như đối với phânphối nhị thức

Định lý 2 (a) Với số thực x tùy ý, cố định và k→∞, ta có:

( ) 8

4

x x

(b) Nếu k→∞ và xk→∞ sao cho xk∼o(k 1/6 ) thì

4

k k

Chứng minh: Xấp xỉ chuẩn tắc (4) cũng áp dụng được cho các phân phối nhị thức âm: nếu r = 2j và k →∞, thì

1 2

1 2

1

1 2

1 2

1 1

j r T

exp 2 / 1

1 2

π

2 4 exp

16

4 exp

kπ

khi k →∞ và (23) được thỏa mãn Do đó ta nhận được một công thức tương tự

(4): nếu k →∞ và r là số chẵn bất kỳ sao cho | r - 4k | < Kk=o(k2/3),

Trong đó φ là ký hiệu của hàm mật độ phân phối chuẩn hóa.

Theo cùng cách phát biểu của định lý 1 đã đạt được từ (4) trong [2] người

ta có thể thu được định lý này từ (24) Ở đây chúng ta chỉ nêu lại bước cơ bảncủa lập luận

chan la r x h k r x r

k

k T x

, 4 : 2 1

2 1

4 2

~ 8

Trong cùng một xu thế như bất đẳng thức đạo hàm bậc cao (6) đã đạt

được với Sn, định lý 2 (b) và (5) chứa đựng một độ lệch lớn dạng bất đẳng thức cho Tk:

( )25 ,

8

k

x k

với k ≥ k0, giả thiết xk →∞ và xk=o(k1/6) khi k →∞.

Như trong trường hợp của Sn , với Tk ta cũng cần một thay thế cho bất đẳng thức độ lệch lớn nếu giả thiết k →∞ hoặc xk=o(k1/6) không được thỏa mãn.Các hàm sinh mô men của τn là đơn giản:

= Ε

2

1 2

1 2

/ 1

2 / 2

1

u j

j u u

e e

e e

e τn

Hàm này là hữu hạn nếu u< log 2 Ở đây và ở sau log chỉ logarit cơ số e

Bây giờ hàm sinh mô men của Tk suy ra từ tính độc lập của các τn là

Ta cũng cần hàm sinh mô men của biến ngẫu nhiên (T k −4k)/ 8được quy tâm và

“chuẩn hóa” với kỳ vọng của nó là 0 và phương sai là k:

( )

(e u T k−4k / 8) e−4ku/ 8 (e T k u/ 8) (2e u/ 2 e u 2)−k, ( )28

−

= Ε

= Ε

Với u< 2 log 2 và k ≥ 0 Vì (28) bé hơn 2 k với u = ±1/2, bất đẳng thức mũ

Chebyshev (10) trở thành

Ρ T k t k e−t t k

k

2.1.2 Từ di động ngẫu nhiên đến quá trình Wiener

Việc giải thích quá trình Wiener dựa trên giải thích của P.Révész [6,6.2]

đó là một trường hợp đơn giản trong giải thích của F.B Knight [4,1.3] Ưu điểmcủa phương pháp này so với một vài phương pháp đã biết là rất tự nhiên và sơcấp

Ta sẽ xác định một dãy các xấp xỉ của quá trình Wiener, mà mỗi mộttrong chúng là một di động ngẫu nhiên “xoắn” và “co” ("Twisted and shrunk")của một thể hiện trước đó Điều đó nói lên rằng dãy này hội tụ tới một quá trình

có các tính chất đặc trưng cho quá trình Wiener

Giả sử ta đang quan sát một chất điểm dưới chuyển động Brown Trong

quan sát đầu tiên ta xem xét các hạt trừ khi nó va chạm đến những điểm có toạ

độ nguyên j ∈ Z Giả sử rằng điều đó xảy ra chính xác tại những khỏang thời

gian kể tiếp 1,2,… Để mô tả đồ thị (của) hạt giữa đinh, ý tưởng đơn giản nhất

là sẽ nối chúng bởi những đoạn đường thẳng như trong Hình 1 Vì thế xấp xỉđầu tiên là

B t =S t =S t

trong đó t≥ 0 t và S t( ) là di động ngẫu nhiên được định nghĩa bởi (1)và (2)

Giả sử trong lần quan sát thứ 2 ta thấy hạt khi nó chạm tới những điểm cótoạ độ j/ 2 (j∈Z), trong lần quan sát thứ 3 khi hạt chạm đến những điểm vớitoạ độ j/ 2 2 (j∈Z), v.v… Để mô tả thí nghiệm thứ hai, một ý tưởng là lấy một

di động ngẫu nhiên thứ hai S1(t), độc lập với lần quan sát thứ nhất và co nó lại.

Như vậy, bài toán đầu tiên đặt ra là mối quan hệ giữa thời gian và không

gian: nếu muốn nén độ dài của một bước còn một nửa, thì buộc phải nén thờigian cần thiết cho một bước là bao nhiêu để bảo đảm các tính chất cần thiết củamột di động ngẫu nhiên Chúng ta nhớ lại rẳng, do (3), căn bậc hai của khoảngcách bình phương trung bình của di động ngẫu nhiên từ gốc toạ độ sau một thời

gian n là n , vì vậy khi co di động ngẫu nhiên để có n bước trong một đơn vịthời gian thì mỗi bước cần có độ dài 1 n Bằng cách này sau một đơn vị thờigian căn bậc hai của khoảng cách bình phương trung bình của bước đi từ gốc sẽđược giới hạn xung quanh một đơn vị không gian, như trong trường hợp củabước ngẫu nhiên ban đầu Có nghĩa là khi muốn nén độ dài của một bước xuống

1/2 (hoặc trong trường hợp tổng quát là 1 , 1, 2,

2m m= ) ta buộc phải nén thời giancần thiết cho một bước xuông 1 2 2 (trong trường hợp tổng quát là 1 2 2m)

Bài toán thứ hai là hàm mẫu của B0(t) và hàm mẫu của di động ngẫu nhiên độc lập thứ hai S1(t) sau khi co lại không có liên quan lẫn nhau, nói chung cái sau không suy được từ cái trước Chẳng hạn, nếu B0(1)=1, khả năng chạm

đến 1 hoặc -1 của thu gọn của S1(t) là như nhau.

Do đó trước khi thu hẹp ta muốn điều chỉnh S1(t) để nó tiến đến số nguyên chẵn 2j ( j∈ Z) đúng như S0(t) tiến đến số nguyên j tương ứng Chẳng hạn nếu

0 1 1, 0 2 2

S = S = thì số nguyên chẵn đầu tiên S t1( ) tiến đến sẽ là 2 và tiếp theo

phải là 4 Như thế nếu S1(t) tiến đến số nguyên chẵn đầu tiên tại thời điểm T1(1)

và S1(T1(1)) là -2 ta sẽ thiết lập được mọi bước X1(k) của S1(t) với 0< k ≤ T1(1).Với cách này ta nhận được một điều chỉnh S~1( )t của di động ngẫu nhiên S1(t) lên khoảng thời gian T1(1) để S~1(T1( )1)= 2 Ta tiếp tục áp đặt tương tự như vậy đến

thời điểm T1(2): nếu điều chỉnh trước đến 0 tại T1(2) (thay vì 4 ), thì ta sẽ thiết

lập các bước X1(k) với T1(1) < k ≤ T1(2) Quá trình điều chỉnh này, ta sẽ gọi làquá trình xoắn, bảo đảm rằng xấp xỉ tiếp theo sẽ luôn là hệ quả của cái xấp xỉ

trước Cụ thể hơn, nếu bắt đầu với một dãy các di động ngẫu nhiên độc lập S0(t),

S1(t),… Sao cho với mọi m ≥ 0,

Sm(0) = 0 , Sm (n) = Xm(1) + Xm (2) + + Xm(n) (n ≥ 1) (30)trong đó X m( ) (k m≥ 0,k≥ 0) là một mảng các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân

phối sao cho

Đầu tiên ta sẽ điều chỉnh từng bước S1(t), S2(t),… bắng cách sử dụng

phương pháp xoắn để có được dãy các di động ngẫu nhiên không độc lập S~1( )t ,

( )t

S~2 , … mà mỗi một trong chúng suy từ cái trước Tiếp đó, bằng cách co lại ta

thu được một dãy B1(t), B2(t), … xấp xỉ quá trình Wierner.

Theo (19), với m ≥ 1, Sm tiến đến các số chẵn (khác cái trước) một cách

duy nhất tại các khoảng cách thời gian ngẫu nhiên

Tm(0) = 0, Tm(k) = τm (1) + τm (2) +…+ τm(k) (k ≥ 1).

Mỗi biến ngẫu nhiên Tm(k) sẽ có cùng phân phối với T(k) = Tk ỏ trên, xem (20)

và (21) Như vậy, Tm(k) là vừa là biến ngẫu nhiên kép có phân phối nhị thức âm

với kỳ vọng 4k và phương sai 8k.

Bây giờ ta xác định dãy thích hợp các di động ngẫu nhiên xoắn

~ 2 1

khac neu

n X

k X k

T S k

T S neu n

X n

X

m

m m

m m

m m

Sử dụng phương pháp quy nạp với m≥ 0.

Với m= 0thì ±S t0( ) =S t0( ) là một di động ngẫu nhiên (theo định nghĩa)

Giả sử rằng S°m− 1( )t là một di động ngẫu nhiên, ta sẽ chứng minh với m≥ 1

thì S°m( )t cũng là di động ngẫu nhiên Ta chỉ cần chỉ ra rằng với n≥ 1 và

ε = ± = thì

~

1 ,

1 ,

−

≤

≤ +

T j

X C

k T j j

X B

m j m

n m

m j

m n

m

αε ε

Công thức (32) chỉ ra rằng B m n, 1− được xác định bởi X~m−1( ) (j 1 ≤ j≤K) và

X m 1 ≤ ≤ m có các giá trị của nó không ảnh hưởng đến xác suất trong

(36) Ta xét hai trường hợp tương ứng với n chẵn và n lẻ:

Trường hợp 1: n lẻ Khi đó n-1 là chẵn và S T k m( m( ) )=S n m( − 1) Hơn nữa,

1 1 ,

2

1 2

β

β

ε S n n

X A

vì giá trị của α là không quan trọng và Ρ{X~m−1(K + 1)= β}= 1 / 2 , không phụ thuộcvào các lượng còn lại

Cuối cùng, (17) và (18) có thể áp dụng cho (37) :

{ } { } { ( ) ( ) } { ( ) }

2

1 2

1 4

1 4 3

2 1

1 , 1

,

1 1 , ,

=

= Ρ

=

=

−

∆ Ρ Ρ

=

n m n

m

n m

n m

m n

m n

m

A A

n X n

X n

S A

A

β

ε ε

β

không phụ thuộc vào εn.

Trường hợp 2: n là chẵn, khi đó n-2 là chẵn và lập luận trong trường hợp 1

có thể lặp lại với n-2 thay cho n-1 chỉ với hy vọng là trong (36) ta có một số

1

1 2

,

β

β ε

n X A

Tóm lại, { }, { , 1}

1 2

P A = P A − nếu n lẻ và { }, { , 2}

1 4

P A = P A − nếu n chẵn

Vì P A{ }m,0 = 1do đó (35) được chứng minh.

Chúng ta để ý rẳng một phương án khác để chứng minh bổ đề 1 là đưa ra

biến ngẫu nhiên Z k S m*k X m1( )k

1 ,

~ 2

độc lập với dãy X m X m1( ), 2( ) … Khi đó ta có °X m( )n =Z X k m với mỗi n sao cho

T k− < ≤n T k k≥ tức ta có (35).

Tính chất chủ yếu được đưa vào khi giới thiệu phương pháp xoắn suy ra

Bước thứ 2 tiếp theo các xấp xỉ là co rút Như đã nói ở trên, tại xấp xỉ thứ

m, độ dài của một bước là m

B t = S t Về cơ bản,B t m( ) là một mô hình của

chuyển động Brown trên tập hợp các điểm ( )

Vấn đề còn lại là việc chỉ ra sự hội tụ của dãy B t m( ) ( = m= 1, 2,3 )và khẳng định

quá trình hạn chế có tính chất đặc trưng của quá trình Wiener

Trước hết, đầu tiên trong đãy ban đầu, ta ước lượng

1 1

trong đó Z j là những biến ngẫu nhiên tuỳ ý t∈R

Những chứng minh của bổ đề (3)(4) cần thiết bao gồm của ước lượng độ lệch

Chú ý rằng trong bổ đè tiếp theo chúng ta có a=2,b=1 với mọi S n trong (12) và

a=2 ,b=1/2 đối với 4

có thể ước lượng bằng bất đẳng thức mũ Chebyshev Với phần thứ nhất xj sẽ là

kiện xj = o(j1/6) vẫn đúng và bất dẳng thức độ lệch lớn có thể áp dụng được Vìvậy:

N N j

j

j j

N

j

N N C N

N CN b N a

a a

N C j

Z N

CN b a

N CN Z

−

−

≤

≥ Ρ

log

0

2 log exp

log 2 log

log exp 1 2

log 2 /

log 2 exp 2 log

2 max

tiếp sau quy ước rằng nếu giới hạn trên của tổng là số thực N thì tổng sẽ tiến tới phần nguyên  N

Để ý rằng cả 2 bất đẳng thức trong các giả thiết của bổ đề 2 đúng với mọi tổngriêng Z j của một dãy bất kỳ các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với kỳvọng 0 và phương sai bằng 1 và có một hàm sinh mômen của nó là hữu hạn với

/

0 2

C m m

m K

m

− +

2 /

0 2

m m

m m K

(a) (44) là hệ quả hệ quả trực tiếp của bổ đề 2

(b) Trong (a) lấy C = 4/3 và xác định các biến cố sau (với m ≥ 0)

( )

2 /

0 2

m m

K k

0 2

m m

|Bm+1(t)-tỉ k/2 2m vì hàm mẫu bất kỳ Bm(t;ω) là đường gấp khúc sao cho theo (40) biên độ

gia tăng giữa hai điểm liên tiếp k/2 2m và (k+1)/2 2m bằng 2-m Vì vậy khi lấy sốnguyên 2 2m

/ 0 1

m m

m

m m

K k m

m K

≤

≤ +

2 / 2

/ 4 2

/ 2

/ 4

1 1

1 1

1

1 2 1 1 1

2 1

2 1

2 1

k T S k

S

k T B k

B k

B k

B

m m

m m

m

m m

m

m m

m m

m m

+ + +

− +

+

−

+ +

+

+ +

+ +

1 0

≤ ≤

− +

trong đó ước lượng thô (42) và Bổ đề 3(a) đã được sử dụng

Bây giờ áp dụng Bổ đề 2 cho S°m+ 1( )j −S°m+ 1( )4k với cách chọn N’, C’ thích

hợp Với k cố định và j≥ 4 ,k S°m+ 1( )j −S°m+ 1( )4k =∑r j= +4k 1X m+1( )r là di động ngẫunhiên dạng S j( − 4 )k , (trường hợp j < 4k là đối xứng) Vì j− 4k < 24CKm2m , N’

được lấy bằng 24CKm2m (vì N' = N N, =k2 2m) Khi đó: