Slide bài giảng Toán rời rạc 2 – Vũ Văn Thỏa

Cây có gốc tam phân Các mức của cây Dùng cây để biểu diễn biểu thức số học... Độ dài Cây nh phân:... Đồ thị nhận được chứa một số cạnh ít hơn nhưng ṽn c̀n chứa tất cả các đỉnh của G v̀

1

N I DUNG:

 Định nghĩa và tính chất

 Bài toán tìm cây khung nh ỏ nhất

5.1 Đ nh nghĩa và các tính chất c bản

3

5

Đ nh nghĩa 1: Cây là tập hợp hữu hạn các nút thỏa mãn:

Đ nh nghĩa 2 (đệ qui): - Nếu T chỉ gồm 1 nút  T là một cây v́i gốc l̀ chính nút đ́

Cây có gốc tam phân Các mức của cây

Dùng cây để biểu diễn biểu thức số học

7

- Cây con: M i cây có g c t ại nút a  T là m t cây con của T

- Đ ờng đi: Dãy các đỉnh r1, …, rk, trong đ́ ri là cha của ri+1 gọi l̀ đường đi từ r1 đến rk Độ dài

Cây nh phân:

9

Đ nh nghĩa 1 Cho G l̀ một đơn đồ thị

Một cây T gọi l̀ cây khung của G  T l̀ đồ thị con của G v̀ chứa tất cả các đỉnh của G

Đ nh ĺ 2 Một đơn đồ thị l̀ liên thông nếu v̀ chỉ nếu ń ć cây khung

Ch́ng minh Giả s̉ đồ thị G ć cây khung T chứa tất cả các đỉnh của G và ć đường đi trong T

giữa hai đỉnh bất kỳ  ć đường đi trong G giữa hai đỉnh bất kỳ của ń  G l̀ liên thông

các chu tr̀nh đơn ǹy Đồ thị nhận được chứa một số cạnh ít hơn nhưng ṽn c̀n chứa tất cả các đỉnh của G v̀ liên thông Nếu đồ thị con ǹy không phải l̀ cây th̀ ń chứa chu tr̀nh đơn C̃ng giống như trên, x́a đi một cạnh của chu tr̀nh đơn Ḷp lại quá tr̀nh ǹy cho đến khi không c̀n chu tr̀nh đơn Điều ǹy ć thể v̀ chỉ ć hữu hạn cạnh trong đồ thị Đồ thị con cuối cùng sau khi x́a đi các cạnh của các chu tr̀nh l̀ cây khung

11

5.2 Bài toán tìm cây khung

2 Xơy dựng cây khung bằng thuật toán DFS

Thuật toán TreeDfs(u):

Đ phức tạp tính toán: Giải thuật t̀m cây khung ć độ phức tạp O(n)

13

Ví dụ: T̀m cây khung của đồ thị G cho dứi đây:

3 Xơy dựng cây khung bằng thuật toán BFS

Thuật toán TreeBfs(u):

Đ phức tạp tính toán: Giải thuật t̀m cây khung ć độ phức tạp O(n)

15

Cho đồ thị vô hứng ć trọng số G = (V, E)

Gọi T l̀ một câu khung của G Trọng số WT của T l̀ t̉ng trọng số các cạnh thuộc cây

2 Điều kiện:

G ć cây khung nhỏ nhất  G liên thông;

3 Thuật toán tìm cơy khung nhỏ nhất:

Thuật toán 1 Thuật toán Prim

{for (int i= 1; i<= n, i++)

{vt[i]= 0; d[i]= a[s][i]; t[i]= s};

for (i = 1; i<= n; i++)

if (vt[i]==0 && d[i] < min) {min= d[i]; v= i;}

if (v==0)

vt[v]= 1; wt= wt + a[v][t[v]];

for (i= 1; i<= n; i++)

if (vt[i]==0 && d[i]) > a[v][i]) {d[i]= a[v][i]; t[i]= v; }

} cout << wt << endl;

for (i= 1; i<= n; i++)

return;

}

Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán Prim:

Giả s̉ k l̀ số nguyên ĺn nhất thỏa mãn điều kiện trên

Định ĺ được chứng minh nếu ta chỉ ra rằng S = T

21

Thuật toán 2 Thuật toán Kruskal

T= ; WT= 0; k = 0;

for (i=1; i<= m; i++){

25

Nhận xét:

định