MỘT số KINH NGHIỆM tìm GTNN,GTLN

Tôi đã giành nhiều thời gian đọc tài liệu, nghiên cưus các đề thi, thực tế giảngdạy của bản than và một số đồng nghiệp, qua sự tìm tòi thử nghiệm và được sự giúp đỡ ủa các bạn đồng nghiệ

MỘT SỐ KINH NGHIỆM TÌM GTNN,GTLN TRONG ĐẠI SỐ 8

Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ I.Lí do chọn đề tài

a) Cơ sơ lí luận

Trong quá trình phát triển của thời đại, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mớicho sự nghiệp phát triển con người Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được

bổ sung và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội Vìvậy mỗi người giáo viên nói chung phải luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phươngpháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và nhà nước đề ra Trong chương trình toán của trường THCS các kiến thức về ‘ Giá trị lớnnhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức đại số “ chưa nhiều lắm songlại rất quan trọng Đó lại là tiền đề cơ bản để các em học lên ở THPT

Khi giải toán ‘GTLN, GTNN của một biểu thức” đòi hỏi các em phải nắm vữngcác kiến thức về các phép biến đổi biểu thức đại số,….để vận dụng linh hoạt, sángtạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giải đến phức tạp

Qua việc giải toán “cực trị” giúp các em phát triển tư duy, phát huy tính tích cựcchủ động, sáng tạo giải toán Đồng thời giáo dục tư tưởng ý thức, thái độ, long say

mê học toán hơn cho các em

b) Cơ sở thực tiễn

‘GTLN, GTNN của một biểu thức” là loại toán mà học sinh trường THCS coi đó

là loại bài toán khó nhiều học sinh không biết giải dạng toán này như thế nào, cónhững phương pháp nào?

Trên thực tế giảng dạy môn toán lớp 8,9 qua nhiều năm tôi nhận thấy học sinhdường như không có “hào hứng, bế tắc” với dạng bài toán này, bởi vì các bài toánnày nó không theo một định hướng nào cả nên các em rất lung túng trong việc giảitoán và đặc biệt là các dạng toán này sách giáo khoa ít nhắc đến chỉ có ở các tài

liệu tham khảo nên gây khó khăn cho các em trong việc học tập, cũng như việc bồidưỡng của giáo viên.

Thực trậng đó khiến tôi băn khoăn suy nghĩ “ làm thế nào để học sinh không thấyngại, không thấy khó khăn và có thêmhào hứng khi gặp dạng toán này” Vứi tráchnhiệm của người giáo viên tôi thấy mình cần giúp các em học tốt hơn về phần này Tôi đã giành nhiều thời gian đọc tài liệu, nghiên cưus các đề thi, thực tế giảngdạy của bản than và một số đồng nghiệp, qua sự tìm tòi thử nghiệm và được sự

giúp đỡ ủa các bạn đồng nghiệp tôi đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: Một số

kinh nghiệm tìm GTNN, GTLN trong đại số lớp 8”

Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp đỡ được một phần nào đó cho học sinh lớp 8không bỡ ngỡ, khó khăn trong việc tìm GTNN, GTLN của một biểu thức đại số

II Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu về cách tìm GTNN, GTLN của một biểu thức đại số lớp 8 nhằmgiúp học sinh giáo viên nang cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời mởrộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết Từ đó có phương pháp giảng dạy phầnnày có hiẹu quả

- Nghiên cứu vấn đề này nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy phầntìm GTLN, GTNN trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và nâng cao chấtlượng dạy và học môn toán

III Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống hoá các kiến thức về GTNN, GTLN trong chương trình đại số lớp 8

- Tìm hiểu mức độ và kết quả khi triển khai đề tài

- Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm

IV Phạm vi và đối tượng nghiên cứu.

1) Đối tượng nghiên cứu

- Các tài liệu về GTLN, GTNN

- Giáo viên và học sinh lớp 8 trường THCS

2) Phạn vi nghiên cứu

Các bài toán tìm GTLN, GTNN trong đại số 8

V Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp điều tra, khảo sát

- Phương pháp thử nghiệm

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Khái niệm về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

a) Cho biểu thức f x y( , , ) ta nói M là giá trị lớn nhất (GTLN) cuả biểu thức

( , , )

- Với mọi x,y để f(x,y, ) xá định thì f(x,y, ) ≤ M ( M là hằng số)

- Tồn tại x y0 , , 0 sao cho f x y( , , ) 0 0 sao cho f x y( , , ) 0 0 =M

b) Cho biểu thức f x y( , , ) ta nói M là giá trị nhỏ nhất (GTNN) cuả biểu thức

( , , )

- Với mọi x y, , để f(x,y, ) xá định thì f(x,y, ) ≥ M ( M là hằng số)

- Tồn tại x y0 , , 0 sao cho f x y( , , ) 0 0 sao cho f x y( , , ) 0 0 =M

( Cả hai trường hợp đều phải chỉ ra dấu “=” xẩy ra khi nào)

c Không được thiếu một trong hai điều kiện của mỗi bức tìm GTLN, GTNN củamột biểu thức

Để tìm GTNN,GTLN của một biểu thức đại số cần nắm vững một số kiến thức cơbản sau:

a) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, cách chứng minh bất đẳng thức b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc.:

∈ ) Dấu đẳng thức xẩy ra khi a = 0

* a ≥ 0.Dấu đẳng thức xẩy ra khi a = 0.

* − ≤a 0 Dấu đẳng thức xẩy ra khi a = 0.

*a + ≥ +b a b .Dấu đẳng thức xẩy ra khi a b ≥ 0

*a − ≤ −b a b .Dấu đẳng thức xẩy ra khi a b≥ ≥ 0 hoặc a b≤ ≤ 0

*a b a b≥ ; > 0 ta có:1 1

a≤b Dấu đẳng thức xẩy ra khi a b=

II CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.

Trong quá trình giảng dạy và tham khảo các tài liệu tôi đã tiến hành phân loạicác dạng tìm GTNN, GTLN ở chương trình đại số 8 rồi hướng dẫn học sinh cáckiến thức cơ bản có liên quan để giải từng dạng đó Củ thể tôi đã phân loại một sốdạng như sau:

Dạng 1: Tìm GTNN, GTLN của một biểu thức là tam thức bậc hai dạng

- Để tìm GTNN của biểu thức A ta phải biến đổi về dạng: A≥M củ thể là

Vì (x+ 1) 2 ≥ ∀ 0, x nên A= + (x 1) 2 + ≥ 4 4 với mọi x

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x= − 1

Vậy GTNN của A là 4 khi x= − 1

f x +M là phép biến đổi phức tạp hơn so với ví dụ 1

Sau đây là một số cách biến đổi :

(Các cách biến đổi để tìm GTLN của biểu thức C tương tự như ví dụ 2)

Từ các ví dụ trên ta có thể rút ra bài tập tổng quát

Ví dụ 4 : Cho tam thức bậc hai : P ax= 2 + +bx c (a,b,c là các số đa cho)

= −

b) Nếu a< 0 thì

2

0, 2

Vì (x− 1) 2 ≥ 0 với mọi x và 2(y− 1) 2 ≥ 0 với ∀y

Dấu ‘=’ xẩy ra khi và chỉ khi 1 0 1

Vậy GTNN của A là 5 khi x = y = 1

Đối với dạng này chúng ta thường đưa về dạng [ ] [2 ]2

Sau khi hướng dẫn giải những bài tập dạng này cho học sinh làm thêm một số bài tập khác để cũng cố kiến thức:

-Ta nhận thấy B= (x2 + +x 1) 2 ≥ 0 nhưng GTNN có bằng 0 hay không? Vì sao?

- Học sinh phải nhận thấy được: mặc dù B≥ 0 nhưng GTNN của A không thể bằng

0 vì B ≠ 0 với mọi x Do đó để tìm GTNN của B ta phải tìm GTNN của

biểu thức x2 + +x 1

x x

Vậy GTNN của biểu thức C là 3 khi x = 3

Qua 3 ví dụ trên của dạng này ta nhận thấy có phần nào phức tạp hơn so với dạng

1, dạng 2 song ta cũng cần khắc sâu cho học sinh phương pháp giải và đặc biệt là chú ý đến các hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc một hiệu

Sau đay là các bài tập cũng cố cho dạng này:

Tìm GTNN của các biểu thức:( Bằng cách đặt ẩn phụ)

A = (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)(x+ + 4) 13

Khi giải dạng này học sinh thường mắc sai lầm khi lập luận rằng; Tử số là hằn số nên biểu thức đạt GTNN (hoặc GTLN) khi mẫu nhỏ nhất hoặc lớn nhất.

Chảng hạn: Tìm GTLN của C = 2

1 2

- Bài tián xuất hiện điều gì mới?

Trả lời: Bài toán trở thành tìm GTLN của biểu thức: 2 5

x x

− +

Hướng dẫn giải:

512 8

x F x

+

= +2) Tìm GTLN của các biểu thức sau:

x

= +3) Tìm GTNN, GTLNcủa các biểu thức sau:

27 12

9

x x

+

= + 2

2 1 2

x C x

+

= +

2 2

- Dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối để bỏ dấu ngoặc rồi tìm GTNN của A

Nhón thực nghiệm 40 10 25 12 30 15 37,5 3 7,5

Và trên thực tế giảng dạy trường của chúng tôi đã đứng thứ 2 toàn huyện về các

kỳ thi như thi khảo sát chất lượng cuối học kỳ, thi vào lớp 10, cũng như thi giảitoán qua mạng và thi học sinh giỏi

-Trong quá trình dạy phần “ Các bài tìm GTNN, GTLN trong đại số 8” theo

nội dung đề tài này kết quả mà tôi thu được khá khả quan

Để giải quyết các bài toán về cực trị đại số ở lớp 8 các em phải biến đổi đồng nhấtcác biểu thức đaị số, phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các hằng đẳng thức đángnhớ từ dạy đơn giản đến phức tạp Ngoài ra còn liên quan mật thiết đến các kiếnthức chứng minh đẳng thức bởi thế nói các bài toán cực trị đại số 8 tạo ra khả nănggiúp học sinh có điều kiện để rèn luyện kĩ năng biến đổi đồng nhất các biểu thứcđại số, kĩ năng tính toán, khả năng tư duy

Đề tài này giúp học sinh giải quyết các bài toán về cực trị trong đại số 8 có PP hơn,

có hiệu quả hơn và vận dụng vào giải quyết các bài tập có liên quan kích thíchđược sự đam mê học toán nói chung và sự say mê giải các bài toán cực trị nóiriêng

Yêu cầu về phát huy tính tự giác rèn luyện khả năng tư duy tích cực độc lập, sángtạo của học sinh thông qua hoạt động giải toán đã được học

Về mặt tư tưởng các bài toán cực trị giúp học sinh thêm gần gũi với kíên thức thực

tế của đời sống, rèn luyện nếp nghỉ khoa học luôn mong muốn làm được nhữngcông việc đạt hiệu quả cao nhât, tốt nhất

2 Bài học kinh nghiệm:

Với đề tài “Một số kinh nghiệm tìm GTNN, GTLN trong đại số lớp 8” Tôi đã

cố gắng hệ thống một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cực trị trong đại số 8 Trong mỗi giờ dạy tôi có đưa ra cơ sở lí thuyết và những ví dụ trong mỗi ví dụ đó

cú gợi ý và hướng dẫn học sinh cỏch giải và những chỳ ý cần thiết để khi gặp cỏc

vớ dụ khỏc cỏc em cú thể giải được

Cỏc dạng bài tập đưa ra từ dễ đến khú, từ đơn giản đến phức tạp nhằmgiỳp cho học sinh cú những kiến thức cơ bản về giải bài toỏn cực trị trong đại số 8.Bờn cạnh đú tụi cũn đưa ra cỏc vớ dụ là cỏc bài toỏn tổng hợp cỏc kiến thức và kĩnăng tớnh toỏn, khả năng tư duy ở cấp học này, qua đú làm cho cỏc em say mờhứng thỳ học tập bộ mụn Toỏn

Tuy nhiờn trong quỏ trỡnh giảng dạy vẫn cú rất nhiều học sinh cũn bỡ ngỡtrong qỳa trỡnh giải cỏc bài toỏn tỡm GTNN, GTLN, lập luận chưa cú căn cứ, suydiễn chưa hợp logic và đặc biệt là một số dạng chưa phự hợp với học sinh trungbỡnh, yếu

Mặc dự cú rất nhiều cố gắng nhưng do thời gian khụng nhiều, do trỡnh độnăng lực của bản thõn và tài liệu tham khảo cũn hạn chế lại chưa cú kinh nghiệmtrong lĩnh vực nghiờn cứu khoa học nờn trong cỏch trỡnh bày khụng trỏnh khỏinhững sơ xuất thiếu sút Rất mong nhận được sự giỳp đỡ, gúp ý của cỏc thầy , cô

và và bạn đồng nghiệp để tôi có thể rút kinh nghiệm trong quátrình giảng dạy của mình trong thời gian sau

Tõn kỳ, ngày 20 thỏng 3 năm 2017

Mục lục :

IV Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 2

Tài liệu tham khảo:

1 SGK Toán 8- NXB Giáo dục- Phan Đức Chính, Tôn Thân

2 SBT Toán 8 – NXB Giáo dục- Tôn Thân chủ biên

3 Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm Đại số 8- NXB Giáodục- Nguyễn Văn Lộc

4.Toán bồi dỡng học sinh lớp 8 Đại số-NXB Giáo dục Trần San

5 Để học tốt đại số 8- NXB Giáo dục Hoàng Chúng Chủ biên

6 Các bài toán đại số hay và khó 8– NXB Giáo dục Nguyễn Đễ

7 PP dạy học môn toán – NXB Giáo dục Phạm Gia Đức