Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số Pell và số Pell liên kết (LV thạc sĩ)

Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số Pell và số Pell liên kết (LV thạc sĩ)Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số Pell và số Pell liên kết (LV thạc sĩ)Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số Pell và số Pell liên kết (LV thạc sĩ)Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số Pell và số Pell liên kết (LV thạc sĩ)Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số Pell và số Pell liên kết (LV thạc sĩ)Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số Pell và số Pell liên kết (LV thạc sĩ)Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số Pell và số Pell liên kết (LV thạc sĩ)Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số Pell và số Pell liên kết (LV thạc sĩ)Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số Pell và số Pell liên kết (LV thạc sĩ)Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số Pell và số Pell liên kết (LV thạc sĩ)Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số Pell và số Pell liên kết (LV thạc sĩ)Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số Pell và số Pell liên kết (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên - 2016

Mục lục

Chương1 Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất 4

1.2 Số Pell và số Pell liên kết 6

1.3 Số cân bằng và số đối cân bằng 7

1.4 Số Lucas-cân bằng và số Lucas-đối cân bằng 9

Chương2 Một số liên hệ quan trọng 11 2.1 Một số mối liên hệ liên quan đến tổng và tích 11

2.2 Một số mối liên hệ liên quan đến các số Lucas-cân bằng và các số Lucas-đối cân bằng 17

2.3 Một số mối liên hệ liên quan đến các hàm số học 21

Chương3 Nghiệm của một số phương trình Diophant 26 3.1 Phương trình x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) 26

3.2 Phương trình 1 + 2 + · · · + x = y2 30

3.3 Phương trình 1 + 2 + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + x = y2 33

3.4 Một số phương trình Pythagore 35

1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r),

Behera và Panda [2] đã phát hiện ra mối liên hệ giữa số n trong nghiệm (n, r) với

những số tam giác chính phương Họ đã gọi n là số cân bằng và r là hệ số cân bằng

tương ứng Đồng thời, họ cũng tìm ra được rất nhiều tính chất đẹp và thú vị của số cânbằng Một trong số các tính chất đó là nếu B là một số cân bằng thì 8B2 + 1là một

số chính phương và ngược lại Số C = √8B2+ 1, với B là số cân bằng, được gọi là

số Lucas-cân bằng

Panda và Ray [4] đã nghiên cứu một phương trình Diophant khác

1 + 2 + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r)

Với nghiệm (n, r) của phương trình này, họ gọi n là số đối cân bằng và r là hệ số đối

cân bằngtương ứng Trong nghiên cứu này, Panda và Ray đã tìm ra nhiều mối liên hệchặt chẽ giữa các số cân bằng với các số đối cân bằng, giữa các số đối cân bằng vớicác số chính phương Đặc biệt, nếu b là một số đối cân bằng thì 8b2+ 8b + 1là một sốchính phương và ngược lại Số c =√8b2+ 8b + 1, với b là một số đối cân bằng, được

gọi là số Lucas-đối cân bằng Một số tính chất thú vị nói trên về các số cân bằng và

các số đối cân bằng đã được Hoàng Thị Hường [1] trình bày lại bằng tiếng Việt

Mục đích của luận văn này là trình bày lại kết quả rất gần đây của Panda và Ray[5] về một số mối liên hệ giữa các số cân bằng, các số đối cân bằng với các số Pell

và các số Pell liên kết Đặc biệt, sự liên hệ của các loại số này còn được thể hiện quanghiệm của một số phương trình Diophant thú vị Các mối liên hệ này được tìm radựa trên công thức Binet đối với các loại số này

Cấu trúc luận văn

Luận văn được trình bày thành ba chương

•Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương đầu tiên này, chúng tôi trình

bày sơ lược về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất; về khái niệmcác số cân bằng, số đối cân bằng, số Pell, số Pell liên kết, số Lucas-cân bằng và sốLucas-đối cân bằng

•Chương 2: Một số liên hệ quan trọng Trong chương này, chúng tôi trình bày các

tính chất thể hiện mối liên hệ chặt chẽ giữa các loại số nói trên Chúng tôi đã phânloại các tính chất này và trình bày thành ba mục khác nhau: một số mối liên hệ liênquan đến các tổng riêng và phân tích thành tích; một số mối liên hệ có liên quan đếncác số Lucas-cân bằng và các số Lucas-đối cân bằng; một số mối liên hệ liên quanđến các hàm số học như trung bình cộng, ước chung lớn nhất, hàm phần nguyên

•Chương 3: Nghiệm của một số phương trình Diophant Chương cuối cùng này

chúng tôi trình bày các kết quả của Panda và Ray về nghiệm của bốn loại phương trìnhDiophant đặc biệt được biểu diễn hoàn toàn thông qua các loại số đã trình bày ở cácchương trước

Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm vànhiệt tình của thầy hướng dẫn TS Ngô Văn Định trong suốt quá trình tác giả thựchiện luận văn

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các giáo sư, tiến sĩ đangcông tác tại Viện toán học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, trường Đại học Sưphạm Hà Nội, trường Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiếnthức để nâng cao trình độ của mình Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn

sâu sắc tới tất cả các thầy, cô.

Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và Khoa Toán Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giảtrong suốt thời gian học tập tại trường

-Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè và gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ,động viên tác giả hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, 2016

Nguyễn Thị Huệ

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương đầu tiên này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức được sử dụng trongnội dung chính của luận văn Cụ thể, chúng tôi nhắc lại sơ lược về phương trình saiphân tuyến tính cấp hai thuần nhất; nhắc lại về khái niệm các số Pell, số Pell liên kết,

số cân bằng và số đối cân bằng Ngoài ra, chúng tôi nhắc lại một vài tính chất của sốcân bằng và số đối cân bằng Tài liệu tham khảo chính của chương này là [1], [2] và[4]

1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm về phương trình sai phân tuyến tínhcấp hai thuần nhất và đặc biệt chúng tôi trình bày về công thức nghiệm của phươngtrình này trong trường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Đây là nhữngkiến thức cần thiết cho các nội dung sau

Phương trình bậc hai này được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình saiphân (1.1) Định lý sau đây cho chúng ta công thức nghiệm của phương trình sai phân(1.1) trong trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt.

Định lý 1.1.2 ([3, Theorem 10.1]) Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm

phân biệt α1 và α2 Khi đó phương trình sai phân (1.1) có nghiệm là

un = C1αn1 + C2αn2, n = 1, 2, , (1.3)

trong đó C1 và C2 là những số bất kì.

Chúng ta cũng cần chú ý rằng, nếu biết điều kiện ban đầu u0và u1thì các hằng số

C1 và C2 hoàn toàn được xác định Khi đó, dãy số {un}∞

với điều kiện ban đầu F1 = 1, F2 = 1

Phương trình đặc trưng của phương trình (1.5) là

λ2− λ − 1 = 0

Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là

λ1 = 1 +

√5

2 và λ2 = 1 −

√5

Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.5) là

Fn = C1 1 +

√52

!n

+ C2 1 −

√52

!n

, n = 1,

Từ điều kiện ban đầu F1 = 1, F2 = 1ta có hệ phương trình

!+ C2 1 −

√52

!

= 1,

C1 1 +

√52

!2

+ C2 1 −

√52

!2

= 1

Giải hệ phương trình này ta được C1 = −C2 = √1

5 Từ đó suy ra số hạng tổng quátcủa dãy số Fibonacci là

Fn = √1

5

"

1 +√52

!n

√52

!n#, n = 1, 2,

1.2 Số Pell và số Pell liên kết

Với n = 1, 2, , số Pell Pn và số Pell liên kết Qn lần lượt được xác định bởi

P1 = 1, P2 = 2, Pn+1 = 2Pn + Pn−1, n = 2, 3, (1.6)và

Q1 = 1, Q2 = 3, Qn+1 = 2Qn + Qn−1, n = 2, 3, (1.7)Như vậy số Pell và số Pell liên kết được xác định bởi cùng một phương trình sai phânnhưng với các điều kiện ban đầu khác nhau Phương trình đặc trưng của phương trìnhsai phân xác định hai dãy số này là

1.3 Số cân bằng và số đối cân bằng

Khái niệm về số cân bằng được Behera và Panda [2] đưa ra Khái niệm về số đốicân bằng được Panda và Ray [4] đưa ra Các tác giả này cũng tìm ra được rất nhiềutính chất thú vị của các số này Các kết quả đó đã được trình bày lại bằng tiếng Việttrong luận văn thạc sĩ [1] của Hoàng Thị Hường Ở đây, chúng tôi chỉ nêu ra địnhnghĩa và một số ít các tính chất của hai số này

Định nghĩa 1.3.1 Số nguyên m được gọi là số cân bằng nếu

1 + 2 + · · · + (m − 1) = (m + 1) + (m + 2) + · · · + (m + r)

với r là số tự nhiên nào đó; số r được gọi là hệ số cân bằng của m

Ta coi 1 là số cân bằng đầu tiên với hệ số cân bằng là 0 Kí hiệu Bn là số cânbằng thứ n Behera và Panda [2] đã chứng minh được dãy {Bn}∞

n=0được xác định bởiphương trình sai phân

Bn+1 = 6Bn − Bn−1, n = 1, 2, , (1.9)với điều kiện ban đầu B0 = 1, B1 = 6.Như vậy, ta có

với r là số tự nhiên nào đó; số r được gọi là hệ số đối cân bằng của m.

Khái niệm về số đối cân bằng được Panda và Ray [4] đưa ra Coi 0 là số đối cânbằng đầu tiên và kí hiệu bn là số đối cân bằng thứ n Khi đó ta có quan hệ truy hồituyến tính

B1 = 1, Bn+1 = 3Bn+p8B2

b1 = 1, bn+1 = 3bn+p8b2

n + 8bn+ 1 + 1 (1.15)Và

Định lý 1.3.3 Mọi số cân bằng là một hệ số đối cân bằng và mọi số đối cân bằng là

một hệ số cân bằng Cụ thể ta có Bn = rn+1 và Rn = bn với n = 1, 2, , trong đó

Rn là hệ số cân bằng thứ n và rn là hệ số đối cân bằng thứ n.

1.4 Số Lucas-cân bằng và số Lucas-đối cân bằng

Một trong những đặc trưng quan trọng của số cân bằng và số đối cân bằng là8Bn2+ 1và 8b2

n + 8bn + 1là số chính phương Với n = 1, 2, , ta gọi

là Lucas-số đối cân bằng thứ n

Các số Lucas-cân bằng và Lucas-đối cân bằng có nhiều tính chất thú vị và có mốiquan hệ chặt chẽ với các số cân bằng và đối cân bằng (xem trong [1]) Ở đây, chúngtôi chỉ trình bày một vài tính chất của các số Lucas-cân bằng và Lucas-đối cân bằng

Định lý 1.4.1 Các dãy số Lucas-cân bằng và dãy số Lucas-đối cân bằng thỏa mãn

các công thức truy hồi tương tự như dãy các số cân bằng Cụ thể, ta có C1 = 3, C2 =

17, Cn+1 = 6Cn− Cn−1 và c1 = 1, c2 = 7, cn+1 = 6cn − cn−1với n = 2, 3, Chứng minh. Từ (1.14) ta có

Nhận xét 1.4.2 Từ định lý 1.4.1 và công thức nghiệm tổng quát (1.4) của phương

trình sai phân tuyến tính ta thu được công thức Binet cho các số Lucas-cân bằng vàLucas-đối cân bằng:

2.1 Một số mối liên hệ liên quan đến tổng và tích

Định lý sau đây cho chúng ta thấy rằng số cân bằng chính là tích của số Pell và sốPell liên kết cùng cấp (tức là cùng số thứ tự)

Định lý 2.1.1 Với n = 1, 2, , số cân bằng thứ n là tích của số Pell thứ n và số Pell

= α

n

1 − αn 2

Định lý 2.1.2 Với n = 1, 2, hệ số cân bằng thứ 2n bằng với tích của số Pell thứ

2n và số Pell liên kết thứ (2n − 1); hệ số cân bằng thứ (2n + 1) bằng với tích của số

Pell thứ 2n và số Pell liên kết thứ (2n + 1).

Chứng minh. Áp dụng Định lí 1.3.3 và các công thức Binet của Pn và Qn trong (1.8)

và của bn trong (1.11), ta thu được

= α

4n+1

1 − α4n+12 − α1+ α2

4√2

Behera và Panda [2] đã chứng minh được rằng nếu n là số cân bằng với hệ số cânbằng r thì số tam giác thứ n + r là n2 Định lý sau đây se cho chúng ta sự tương ứnggiữa tổng n + r với tổng riêng bậc lẻ của dãy các số Pell

Định lý 2.1.3 Tổng riêng thứ 2n − 1 của dãy các số Pell bằng tổng của số cân bằng

Panda và Ray [4] cũng đã chứng minh rằng nếu n là một số đối cân bằng với hệ

số đối cân bằng r thì số tam giác thứ (n + r) là số pronic thứ n Định lí sau chứng tỏmối liên quan của số n + r này với các tổng riêng bậc chẵn của dãy các số Pell

Định lý 2.1.4 Tổng của 2n số Pell đầu tiên bằng với tổng của số đối cân bằng thứ

(n + 1) và hệ số đối cân bằng của số đó.

Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pntrong (1.8) và Bnvà bntrong (1.11),

= bn+1 + Bn.Theo Định lí 1.3.3 ta có Bn = rn+1và do đó ta có điều phải chứng minh

Hai định lý trên cho chúng ta các mối liên quan giữa các tổng riêng của dãy các

số Pell với các số cân bằng và đối cân bằng Hai định lý tiếp theo cho ta mối liên quangiữa các tổng riêng của dãy các số Pell có bậc lẻ và dãy các số Pell bậc chẵn với các

số cân bằng và các số đối cân bằng

Định lý 2.1.5 Tổng của n số Pell có bậc lẻ đầu tiên bằng số cân bằng thứ n (và do

Định lý 2.1.6 Tổng của n số Pell có bậc chẵn đầu tiên bằng với số đối cân bằng thứ

= α1(α

2n

1 − 1) − α2(α2n2 − 1)

4√2

Định lý sau cho ta mối liên hệ giữa các tổng riêng của các số Pell liên kết có bậc

lẻ với tổng của các số cân bằng và hệ số cân bằng tương ứng

Định lý 2.1.7 Tổng của n số Pell liên kết có bậc lẻ đầu tiên bằng với tổng của số cân

= (α

2n

1 − 1) + (α2n

2 − 1)4

α2n1 + α2n2

2 = Bn+ Rn.

Do đó chứng minh được hoàn thành

Tương tự, định lí sau cho ta mối liên quan giữa các tổng riêng của các số Pell liênkết bậc chẵn với tổng của các số đối cân bằng và các hệ số đối cân bằng của nó

Định lý 2.1.8 Tổng của n số Pell liên kết có bậc chẵn đầu tiên bằng với tổng của số

đối cân bằng thứ (n + 1) và hệ số đối cân bằng của số đó.

Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Qn trong (1.8), ta có

= (α

2n

1 − 1) + (α2n

2 − 1)4

Theo chứng minh trong Định lí 2.1.4, ta có

α2n+11 + α2n+12

2 = bn+1+ rn+1.

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Hai định lý tiếp theo cho chúng ta mối liên hệ giữa các tổng riêng bậc chẵn và bậc

lẻ của dãy các số Pell liên kết với các số cân bằng và các số đối cân bằng

Định lý 2.1.9 Tổng của 2n − 1 số Pell liên kết đầu tiên bằng hai lần số cân bằng thứ

= α1(

α2n1 −1

α1−1) − α2(α2n2 −1

α2−1)2

= α1(α

2n

1 − 1) − α2(α2n2 − 1)

2√2

Định lý sau thể hiện mối liên hệ giữa hiệu của các số Lucas-cân bằng và hiệu củacác số đối cân bằng.

Định lý 2.2.2 Hiệu của số Lucas-cân bằng thứ n và số Lucas-cân bằng thứ (n − 1)

bằng với hiệu của số đối cân bằng thứ (n + 1) và số đối cân bằng thứ (n − 1) Chứng minh. Từ (1.18), ta có

Mặt khác vì [4, Theorem 4.1]

2(B1+ B2+ · · · + Bn−1) = bnnên ta có

bn+1− bn−1 = 2(Bn−1 + Bn)

Điều này chứng minh kết luận của định lí

Từ chứng minh của định lý trên ta có hệ quả trực tiếp sau:

Hệ quả 2.2.3 Hiệu của các số cân bằng Lucas thứ n và (n − 1) bằng hai lần tổng

của các số cân bằng thứ n và (n − 1).

Định lý 2.2.2 là một liên hệ giữa hiệu của các số Lucas-cân bằng và hiệu của các

số đối cân bằng Định lý tiếp theo đây thiết lập liên hệ giữa hiệu của các số Lucas-đốicân bằng và hiệu giữa các số cân bằng

Định lý 2.2.4 Hiệu của số Lucas-đối cân bằng thứ n và số Lucas-đối cân bằng thứ

(n − 1) bằng với hiệu của số cân bằng thứ n và số cân bằng thứ (n − 2).

Định lý 2.2.5 Tổng của số Lucas-cân bằng thứ n và số Lucas-đối cân bằng thứ n

bằng với hiệu của bình phương của các số Pell thứ (n + 1) và (n − 1).

Chứng minh. Áp dụng công thức Binet của Pn trong (1.8), ta có

Pn+12 − P2

n−1 = α1n+1− α2n+1

2√2

2

− αn−11 − αn−12

2√2

Định lý sau thiết lập mối liên hệ giữa các số Lucas-đối cân bằng với tổng của hai

số cân bằng liên tiếp

Định lý 2.2.6 Số Lucas-đối cân bằng thứ n bằng với tổng của các số cân bằng thứ

= α

2n

1 (1 + α22) − α2n2 (1 + α21)

4√2

2.3 Một số mối liên hệ liên quan đến các hàm số học

Định lý dưới đây một lần nữa cho thấy sự liên quan chặt chẽ giữa các số cân bằng

và các số đối cân bằng và các số Pell

Định lý 2.3.1 Nếu P là một số Pell, thì [P/2] hoặc là số cân bằng hoặc là số đối

cân bằng, trong đó [·] kí hiệu là hàm phần nguyên Cụ thể hơn, ta có P2n/2 = Bn và

Định lý tiếp theo cho chúng ta mối liên hệ giữa trung bình cộng của các số Pell và

số Pell liên kết với các số cân bằng và các số đối cân bằng

Định lý 2.3.2 Trung bình cộng của số Pell bậc lẻ thứ n và số Pell liên kết bậc lẻ thứ

n bằng với số cân bằng thứ n và trung bình cộng của số Pell bậc chẵn thứ n và số

Pell liên kết bậc chẵn thứ n bằng với số đối cân bằng thứ (n + 1) cộng 1

= −α2n

1 α1α2+ α2n2 α1α2

4√2

P2n + Q2n

12



= α

2n+1

1 − α22n+1

4√2

là một số tam giác.

Chứng minh. Nếu n2 là một số tam giác thì n là một số cân bằng, tức là n = Bk với

knào đó Theo định lí 2.3.1 ta có

2n = 2Bk = P2k.Đảo lại, với mỗi số Pell bậc chẵn P2k, P2k/2 là một số cân và từ đó P2

2k/4là một sốtam giác

Mặt khác, sử dụng các công thức Binet đối với Pn và bn trong (1.8) và (1.11), tacó

P2k−1− 1

12

Do đó, nếu P là một số Pell có bậc lẻ, tức là P = P2k−1với k nào đó, khi đó theo (2.8),

ta có

P2− 1

 P − 12

  P + 12

Định lý 2.3.4 Ước chung lớn nhất của một số cân bằng và một số đối cân bằng có

cùng bậc hoặc là một số Pell hoặc là một số Pell liên kết có cùng bậc đó Cụ thể hơn,

(B2n, R2n) = (P2nQ2n, P2nQ2n−1)

= P2n(Q2n, Q2n−1) = P2n.Định lí được chứng minh

Tương tự như Định lý 2.3.4, ta có định lý sau:

Định lý 2.3.5 Ước chung lớn nhất của hai số đối cân bằng liên tiếp hoặc bằng 2 lần

số Pell liên kết bậc lẻ hoặc bằng một số Pell bậc chẵn Nói một cách chính xác hơn,

ta có

(R2n−1, R2n) = 2Q2n−1 và (R2n, R2n+1) = P2n