Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)

Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ HƯỜNG

SỐ CÂN BẰNG VÀ SỐ ĐỐI CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG THỊ HƯỜNG

SỐ CÂN BẰNG VÀ SỐ ĐỐI CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Khái niệm về số cân bằng 3

1.2 Một số công thức tìm số cân bằng 5

1.3 Một số công thức truy hồi 8

1.4 Hàm sinh 10

1.5 Một công thức không đệ quy khác 11

1.6 Một số tính chất khác 13

1.7 Một áp dụng của số cân bằng vào một phương trình Diophantus 21 2 Số đối cân bằng 23 2.1 Khái niệm về số đối cân bằng 23

2.2 Một số công thức tìm số đối cân bằng 25

2.3 Một số công thức truy hồi 26

2.4 Hàm sinh 28

2.5 Mối liên hệ giữa số cân bằng và số đối cân bằng 30 2.6 Một áp dụng của số đối cân bằng vào phương trình Diophantus 35

Kết luận 37

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Ngô Văn Định.Qua đây em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫnkhoa học của mình, TS Ngô Văn Định, người đã đưa ra đề tài và dành nhiềuthời gian tận tình hướng dẫn, giải đáp những thắc mắc của em trong suốt quátrình nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy

-Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giảng dạy và Phòng Đào tạo thuộcTrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốtnhất để em được theo học lớp học Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tậpthể lớp Cao học Toán D khóa 1/2014 - 1/2016 đã động viên giúp đỡ tôi trongquá trình học tập và làm luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương, Ban Giámhiệu và các đồng nghiệp Trường THPT Cẩm Giàng II - Cẩm Giàng - HảiDương đã tạo điều kiện cho tôi học tập và hoàn thành kế hoạch học tập.Tôi cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập và làm luận văn

Thái Nguyên, 2015 Hoàng Thị Hường

Học viên Cao học Toán lớp D khóa 01/2014 - 01/2016,

Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

với một số nguyên dương r nào đó Các số cân bằng và các số đối cân bằng

có nhiều tính chất đẹp và rất thú vị, chẳng hạn như: Nếu n là một số cân bằngthì số nguyên dương r tương ứng là một số đối cân bằng và ngược lại, nếu

n là một số đối cân bằng thì r là một số cân bằng; có một số phương trìnhDiophantus có nghiệm được biểu diễn dưới dạng các số cân bằng và các sốđối cân bằng

Nội dung chính của luận văn này là trình bày lại các kết quả thú vị theocác tài liệu tham khảo [3], [4] và [5]

Cấu trúc luận văn

Nội dung chính của luận văn được trình bày thành 2 chương:

• Chương 1: Số cân bằng Trong chương này, chúng tôi trình bày kháiniệm, tính chất về số cân bằng, công thức tìm số cân bằng, một số công thứctruy hồi, hàm sinh, một số công thức không đệ quy và áp dụng của số cânbằng vào giải phương trình Diophantus

• Chương 2: Số đối cân bằng Chương này trình bày khái niệm, tính chất

về số đối cân bằng, công thức tìm số đối cân bằng, một số công thức truy hồi,hàm sinh, mối liên hệ giữa số cân bằng và số đối cân bằng và áp dụng của sốđối cân bằng vào giải phương trình Diophantus

Chương 1

Số cân bằng

Trong chương đầu tiên này, chúng tôi trình bày lại nội dung ở bài báo [3]

và [4] Cụ thể, chúng tôi trình bày về khái niệm số cân bằng, một số tính chấtliên quan đến số cân bằng Trong đó, đặc biệt chúng tôi trình bày về một sốhàm sinh của các số cân bằng và áp dụng vào giải phương trình Diophantus

1.1 Khái niệm về số cân bằng

Định nghĩa 1.1.1 Số nguyên dương n được gọi là số cân bằng nếu

Định nghĩa 1.1.2 [3] Số tam giác là số có dạng 1 + 2 + · · · + n với n ∈ Z+.

Nhận xét 1.1.1 Nếu n2 là một số tam giác thì n là một số cân bằng và nếu8n2+ 1là một số chính phương thì n cũng là một số cân bằng Do đó, từ (1.2)

ta thấy n là một số cân bằng nếu và chỉ nếu n2 là một số tam giác và từ (1.3)

ta thấy n là một số cân bằng nếu và chỉ nếu 8n2 + 1là chính phương

rõ ràng H(n) không sinh ra số cân bằng kế tiếp với số cân bằng n bất kì Bâygiờ câu hỏi phát sinh "G(n) có sinh ra số cân bằng kế tiếp với số cân bằng

n bất kì đã cho hay không?" Câu trả lời là có Chính xác hơn, nếu n là một

số cân bằng bất kì thì số cân bằng kế tiếp là 3n +√8n2 + 1và do đó số cânbằng liền trước là 3n −√8n2 + 1

Định lí 1.2.2 Nếu n là một số cân bằng bất kì thì không có số cân bằng m

Hơn nữa, ta thấy rằng G là song ánh và n < G(n) với mọi n ≥ 0 Do đó G−1

tồn tại, cũng tăng ngặt và thỏa mãn G−1(n) < n Đặt u = G−1(n) Khi đóG(u) = n và u = 3n ±√8n2 + 1 Vì u < n nên ta có u = 3n −√8n2 + 1

Cũng vì 8(G−1(n))2 + 1 = 8n − 3√

8n2 + 1
2 là một số chính phương nênsuy ra G−1(n)cũng là một số cân bằng

Bây giờ ta chứng minh định lý bằng hai cách: Sử dụng phương pháp quynạp toán học hoặc sử dụng phương pháp lùi vô hạn Chúng tôi trình bày cảhai phương pháp này

Bằng phương pháp quy nạp: Ta định nghĩa B0 = 1 (vì 8.12 + 1 = 9 là

số chính phương) và Bn = G(Bn−1) với n = 1, 2, Do đó B1 = 6, B2 =

35, Để trình bày ngắn gọn ta kí hiệu Hi là giả thiết rằng không tồn tại

số cân bằng giữa Bi−1 và Bi Rõ ràng H1 đúng Giả sử Hi đúng với i =

1, 2, , n Ta sẽ chứng minh rằng Hn+1 đúng, nghĩa là không tồn tại số cânbằng m sao cho Bn < m < Bn+1 Giả sử ngược lại tồn tại m Khi đó G−1(m)

là một số cân bằng và G−1 là tăng ngặt, suy ra G−1(Bn) < G−1(m) <

G−1(Bn+1), tức là Bn−1 < G−1(m) < Bn điều này là mâu thuẫn với giảthiết Hn đúng Do vậy Hn+1 cũng đúng Do đó, nếu n là một số cân bằng thì

n = Bm với một số m nào đó và không có số cân bằng ở giữa n và G(n)

Bằng phương pháp lùi vô hạn: Ở đây, ta giả sử Hn là sai với một giá trị

n nào đó Khi đó, tồn tại một số cân bằng m sao cho Bn−1 < m < Bn vàđiều này suy ra Bn−2 < G−1(m) < Bn−1 Cuối cùng điều này chỉ ra sự tồntại một số cân bằng B ở giữa B0 và B1, điều này là sai Do đó Hn đúng với

n = 1, 2,

Điều này kết thúc chứng minh Định lý 1.2.2

Hệ quả 1.2.2 Nếu n là số cân bằng bất kì thì số cân bằng trước là 3n −

√

8n2 + 1.

Chứng minh. Dễ thấy rằng G(3n − √8n2 + 1) = n Áp dụng Định lý 1.2.2suy ra điều phải chứng minh

Tổng quát hóa các hàm sinh trên, ta sẽ tìm hàm hai biến f(n, m) sinh ra

các số cân bằng mà các hàm F (n), G(n), H(n) như là các trường hợp đặcbiệt của hàm này.

Cho n là một số cân bằng bất kì Ta thử tìm các số cân bằng có dạng

B = pn + qp8n2 + 1,trong đó p, q ∈ Z+ Trong phần trước ta đã thấy rằng phần lớn các số cân bằng

có dạng này Vì B là một số cân bằng nên 8B2+ 1 = 8qn + p√

8n2 + 1
2+8q2−p2+1phải là một số chính phương; điều này xảy ra nếu 8q2−p2+1 = 0tức là p = p8q2 + 1vì p ∈ Z+nên suy ra 8q2+1phải là một số chính phương

và điều này là có thể nếu q là một số cân bằng

Lập luận trên đây cho ta định lý sau:

1.3 Một số công thức truy hồi

Ta biết rằng B1 = 6, B2 = 35, B3 = 204, Ta luôn giả sử rằng B0 = 1

Ở phần trên ta đã chứng minh rằng nếu Bn là số cân bằng thứ n thì

Bn+1 = 3Bn +p8B2

n + 1 và Bn−1 = 3Bn −p8B2

n + 1

Từ đó suy ra các số cân bằng tuân theo công thức truy hồi sau:

Chứng tỏ rằng b) đúng với k = r + 1 Điều này kết thúc chứng minh b).Chứng minh của c) suy ra từ b) bằng cách thay n bằng 2n và k bằng n.Tương tự chứng minh của d) suy ra từ b) bằng cách thay n bằng 2n + 1 và kbằng n Điều này kết thúc chứng minh Định lý 1.3.1.

1.4 Hàm sinh

Ở phần trên ta thu được một vài công thức truy hồi cho dãy các số cânbằng Trong mục này, chúng ta sẽ sử dụng hàm sinh của dãy Bn để tìm côngthức không đệ quy cho Bn

Trước tiên, ta nhắc lại định nghĩa hàm sinh cho một dãy số thực {xn}

Định nghĩa 1.4.1 Cho {xn} là một dãy số thực Khi đó, hàm sinh cho dãy{xn}được định nghĩa bởi

xn =

1n!.

dn

dsng(s)



Chứng minh. Từ (1.9) với n = 1, 2, ta có Bn+1− 6Bn+ Bn−1 = 0 Nhânmỗi số hạng với sn và lấy tổng trên n = 1 tới n = ∞, ta có

1s

s2)n và trong trường hợp này hệ số của sn trong g(s) là

6n−





n − 11



6n−4 − · · · + (−1)n/2 (1.14)

Khi n lẻ, các số hạng chứa sntrong (1.12) là (6s−s2)n+12 , (6s−s2)n+32 , , (6s−

s2)n và trong trường hợp này hệ số của sn trong g(s) là



6 (1.15)

Rõ ràng (1.14) biểu diễn vế phải của (1.12) khi n chẵn và (1.15) biểu diễn vếphải của (1.12) khi n lẻ Điều này kết thúc chứng minh Định lý 1.4.1

1.5 Một công thức không đệ quy khác

Ở phần trên ta đã xây dựng được công thức không đệ quy cho Bn, n =

0, 1, 2, sử dụng hàm sinh Trong phần này, ta sẽ xây dựng công thức không

đệ quy khác cho Bn bằng cách giải công thức truy hồi (1.9) như một phươngtrình sai phân.

Bn = Aλn1 + Bλn2, (1.18)trong đó A và B được xác định từ các giá trị của B0 và B1 Thay B0 = 1 và

8và λ1 = 3 − √

8

i) Công thức truy hồi tuyến tính bậc hai:

Bn+1 = 6Bn − Bn−1; n = 2, 3, (1.21)ii) Công thức truy hồi không tuyến tính bậc nhất:

Bn+1 = 3Bn+p8B2

n + 1; n = 1, 2, (1.22)iii)

Bn = Br+1.Bn−r − Br.Bn−r−1; r = 1, 2, , n − 2 (1.23)iv)

Bn = λ

n

1 − λn 2

λ1 − λ2, n = 1, 2, (1.24)trong đó λ1 = 3 +√

8và λ2 = 3 − √

8.v)

Bn+1.Bn−1 = (Bn+ 1)(Bn − 1) (1.25)Tiếp theo ta đánh giá một vài tính chất số học và một vài tính chất thú vịcủa các số cân bằng

Ta biết rằng nếu x và y là các số thực hoặc phức thì (x + y)(x − y) =

x2 − y2 Trong định lý sau ta chứng minh tính chất tương tự của số cân bằng.Định lý này cũng sinh ra phương trình (1.25)

1 + 2 + · · · + 2n = n(2n + 1)

Định lý sau ta chứng minh 3 tính chất của số cân bằng tương tự như ba côngthức trên.

Chứng minh. Theo mệnh đề 1.6.1 và công thức (1.24), ta có

2√

8 = λ

n 2

suy ra kết quả

Định lý sau giống như công thức lượng giác

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

√8Bn) = λm1 λn1 = λm+n1 (1.27)

Cm+n+√

8Bm+n = (CmCn+ 8BmBn) +√

8(BmCn + CmBn) (1.29)Cho phần hữu tỷ và vô tỷ từ hai vế của (1.29) bằng nhau, ta được

Cm+n = CmCn + 8BmBn,và

Bm+n = BmCn + CmBn

Chú ý: Chúng ta đã biết, dãy {Fn} các số Fibonacci và dãy {Ln} các sốLucas (Định nghĩa 1.1.1 và Định nghĩa 1.1.2 trong [1]) lần lượt được địnhnghĩa bởi:

Fn = Fn−1+ Fn−2, n ≥ 2, (1.30)với các giá trị ban đầu F0 = 0, F1 = 1 và

Ln = Ln−1 + Ln−2, n ≥ 2, (1.31)

với các giá trị ban đầu L0 = 2, L1 = 1.

Hai dãy này có tính chất

Fm+n =

1

2[FmLn+ LmFn] , (Bổ đề 1.4.8 trong [1])Tính chất này gần giống với tính chất được nêu trong Định lý 1.6.4

Hệ quả sau giống như công thức lượng giác

sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y

Hệ quả 1.6.2 Nếu m và n là các số tự nhiên và m > n thì

Bm−n = BmCn− CmBn

Chứng minh. Tương tự như Định lý 1.6.4

Hệ quả sau giống như công thức lượng giác sin 2x = 2 sin x cos x

Hệ quả 1.6.3 Nếu n là một số tự nhiên thì

B2n = 2BnCn

Chứng minh. Suy ra trực tiếp tự Định lý 1.6.4 với m = n

Chú ý: Tính chất tương tự cho các số Fibonacci và số Lucas F2n = FnLn,(Định lý 1.4.7 trong [1])

Với hai số nguyên m và n bất kì, ta kí hiệu ước chung lớn nhất của m

và n là (m, n) Ta biết rằng Fm chia hết Fn nếu và chỉ nếu m chia hết n và(Fm, Fn) = F(m,n) (Hệ quả 2.1.1 và Định lý 2.1.2 trong [1] ) Kết quả sauchứng tỏ các số cân bằng cũng có tính chất đẹp này

Định lí 1.6.5 Nếu m và n là các số tự nhiên thì Bm chia hết Bn nếu và chỉ nếu m chia hết n.

Bổ đề 1.6.2 Nếu n và k là các số tự nhiên thì Bk chia hết Bnk.

Chứng minh. Chứng minh bằng quy nạp Dễ thấy bổ đề đúng với n = 1 Giả

sử nó đúng với n = r Vì B(r+1)k = Brk+k = BrkCk + CrkBk theo Định lý1.6.4 , (Bk, Ck) = 1 theo Bổ đề 1.6.1 và Bk chia hết Brk theo giả thiết, suy

ra Bk chia hết B(r+1)k

Bổ đề 1.6.3 Nếu n và k là các số tự nhiên thì (Bk, Cnk) = 1.

Chứng minh. Theo Bổ đề 1.6.1 thì (Bnk, Cnk) = 1 Vì Bk chia hết Bnk theo

Bổ đề 1.6.2 nên suy ra (Bk, Cnk) = 1

Bổ đề 1.6.4 Nếu n và k là các số tự nhiên và Bk chia hết Bn thì k chia hết n.

Chứng minh. Chắc chắn n ≥ k Nếu n = k thì chứng minh là tầm thường.Giả sử n > k Khi đó theo bổ đề Euclide tồn tại các số nguyên q và r saocho q ≥ 1, 0 ≤ r < k và n = qk + r Theo Định lý 1.6.4, Bn = Bqk+r =

BqkCr + CqkBr Vì Bk chia hết Bqk theo Bổ đề 1.6.2 và (Bk, Cqk) = 1 theo

Bổ đề 1.6.3 suy ra Bk chia hết Br Vì r < k, suy ra Br = 0và do đó r = 0

Do vậy n = qk và do đó k chia hết n

Chứng minh Định lý 1.6.5. Bây giờ ta có thể dễ thấy rằng Định lý 1.6.5 suy

ra trực tiếp từ Bổ đề 1.6.2 và Bổ đề 1.6.4

Định lí 1.6.6 Nếu m và n là các số tự nhiên thì (Bm, Bn) = B(m,n).

Chứng minh. Nếu m = n thì chứng minh là tầm thường Ta xét trường hợp

m 6= n Không làm mất tính tổng quát ta giả sử m < n Theo bổ đề chia hếtcủa Euclide, tồn tại các số nguyên q1 và r1 sao cho q1 ≥ 0, 0 ≤ r1 < m và

r1 > 0 thì tồn tại các số nguyên q2 và r2 sao cho q2 ≥ 1, 0 ≤ r2 < r1 và

m = q2r1 + r2 Bây giờ theo Định lý 1.6.4, ta có

(Bm, Bn) = (Brk−2, Brk−1) = (Bqkrk−1, Brk−1) = Brk−1

và (m, n) = (rk−2, rk−1) = (qkrk−1, rk−1) = rk−1 Do đó (Bm, Bn) =

Brk−1 = B(m,n) và chứng minh kết thúc

1.7 Một áp dụng của số cân bằng vào một phương trình

Diophantus

Ta biết rằng các nghiệm của phương trình Diophantus

x2 + y2 = z2, (x, y, z ∈ Z+) (1.32)

có dạng x = u2 − v2, y = 2uv, z = u2 + v2, trong đó u, v ∈ Z+ và u > v.Nghiệm (x, y, z) được gọi là bộ ba Pythagoras

Ta xét các nghiệm của (1.32) dưới dạng đặc biệt, cụ thể

x2 + (x + 1)2 = y2 (1.33)Trong phần này ta liên kết các nghiệm của (1.33) với các số cân bằng

Giả sử (x, y) là một nghiệm của (1.33) Khi đó 2y2 − 1 = (2x + 1)2 Dođó

Tiếp tục, vì y dương theo giả thiết, ta có

y =

12

Vì x dương, suy ra

x =

s12

√8B2 + 1 − 1
− 1

y =

12

q

1 +p8.B2 + 1

Ví dụ với B = 35 thì x = 3 và y = 5

Chương 2

Số đối cân bằng

Trong chương thứ hai này, chúng tôi trình bày lại nội dung ở bài báo [5]

Cụ thể, chúng tôi trình bày về khái niệm số đối cân bằng, một số tính chất liênquan đến số đối cân bằng, mối liên hệ giữa số cân bằng và số đối cân bằng.Trong đó, đặc biệt chúng tôi trình bày về một số hàm sinh của các số đối cânbằng và áp dụng vào giải phương trình Diophantus

2.1 Khái niệm về số đối cân bằng

Định nghĩa 2.1.1 Số nguyên dương n được gọi là số đối cân bằng nếu

1 + 2 + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r), (2.1)

với một số nguyên dương r nào đó Ở đây r được gọi là hệ số đối cân bằng

ứng với số đối cân bằng n

Ví dụ 2.1.1 Các số 2, 14 và 84 là các số đối cân bằng với các hệ số đối cân

Định nghĩa 2.1.2 Một số được gọi là số Pronic nếu nó viết được dưới dạng

n(n + 1)với n là một số nguyên dương nào đó

Từ (2.3) suy ra n là một số đối cân bằng nếu và chỉ nếu 8n2 + 8n + 1làmột số chính phương hay n(n+1) là một số tam giác Vì 8×02+8×0+1 = 1

là một số chính phương, ta thừa nhận 0 là một số đối cân bằng giống như ởchương 1 ta thừa nhận 1 là một số cân bằng.

Từ lập luận trên, nếu n là một số đối cân bằng thì cả n(n+1) và n(n+1)/2

là các số tam giác Do đó, nghiên cứu của ta về số đối cân bằng được thu hẹptới các số tam giác Pronic, tức vừa là một số tam giác, vừa là một số Pronic

Vì n < pn(n + 1) < n + 1 nên suy ra nếu T là một số tam giác Pronicthì [√T ]phải là một số đối cân bằng Ví dụ T = 6 là một số tam giác Pronic

và do dó [√6] = 2là một số đối cân bằng

2.2 Một số công thức tìm số đối cân bằng

Trong phần này ta giới thiệu một vài hàm sinh ra các số đối cân bằng Cho

n, m là 2 số đối cân bằng bất kì, ta xét các hàm sau:

i.Đầu tiên ta chứng minh rằng các hàm trên luôn sinh ra các số đối cân bằng

Định lí 2.2.1 Cho n, m là hai số đối cân bằng bất kì thì f(n), g(n), h(n) và

2.1 Khái niệm số đối cân. ..

và dó [√6] = 2là số đối cân

2.2 Một số công thức tìm số đối cân bằng< /b>

Trong phần ta giới thiệu vài hàm sinh số đối cân Cho

n, m số đối cân bất... data-page="31">

là số phương, ta thừa nhận số đối cân giống ởchương ta thừa nhận số cân bằng.

Từ lập luận trên, n số đối cân n(n+1) n(n+1)/2

là số tam giác Do đó, nghiên cứu ta số đối cân thu