de thi hsg lop 9 47953

de thi hsg lop 9 47953 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh...

PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN THI: TOÁN 9 Ngày thi: 28/10/2015 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 (5 điểm)

1 Rút gọn các biểu thức sau:

a A = 2 1 : 1

2

  với x > 0, x ≠ 1.

b B = 2017 ( 7 5 2− 3 + +3 7 5 2 )−

2 Cho  − − 

+

Tính giá trị của biểu thức C=x4+ y15− 1

Bài 2 (5 điểm)

1 Giải các phương trình sau:

a x2+7x+ = +13 (x 7) x2+13

b 2 8 15 7 2 5 2 4 21

x - x + +2 x + = x + x + x

2 Tìm x,y,z∈N thỏa mãn x+2 3 = y+ z

3 Cho góc nhọn α Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T =2020sin2α+2016 cos2α−4sinα

Bài 3 (4 điểm)

1. Cho đa thức P(x) = x2 + bx + c với b Z c Z∈ , ∈

Biết rằng đa thức x4 + 6x2 + 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đều chia hết cho P(x)

Chứng minh rằng 2020 chia hết cho P(-3)

2 Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.

Bài 4 (5 điểm).

1 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC (M khác A, C) Từ

C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM tại H, cắt tia BA tại O

a Chứng minh: OA.OB = OC.OH và ∠OHA= ∠OBC

b Chứng minh tổng BM.BH + CM.CA không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên AC.

2 Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) Trung tuyến AM Gọi số đo của góc ACB là α .

và số đo của góc AMB làβ Chứng minh rằng: (sinα + cosα )2 = 1 + sinβ.

Bài 5 (1 điểm).

Cho ba số dương , ,a b c thoả mãn: a2+b2 + b2+c2 + c2+a2 = 2015

Chứng minh rằng:

2 2

b c c a a b+ + ≥

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2015-2016

Môn: Toán 9 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

1

(5đ)

1.

a Với x > 0, x ≠ 1 Ta có

3

A

: 2

 + + − − − −  −

Vậy A=

0,5 0,5 0,5

b B = 3 3

2017 ( 7 5 2− + + 7 5 2 )−

Đặt M=37 5 2+ + 37 5 2− Ta có

3

3

2 2

( 7 5 2 7 5 2 )

7 5 2 7 5 2 3 7 5 2 7 5 2 ( 7 5 2 7 5 2 )

14 3 (7 5 2)(7 5 2)

14 3

3 14 0

2 0 ( 2 7 0, ) 2

M

M M

M

= −

Khi đó ta có: B = 2017 – 2 = 2015

Vậy B = 2015

0,5

0,5 0,5 2.

Ta có :

x

⇒

2

= ( 7 1) ( 7 1) 2

=2-2=0

y=0

y y

Khi đó C=24+015− =1 15 Vậy C=15

0,75

0,75 0,5

1 a Đặt x2+13= y (với y≥ 13)

(5đ)

Khi đó, ta có: y2+7x= +(x 7) y (y 7) ( y x) 0 y 7 (t/m)

y x

=



⇔ − − = ⇔  =

+ Với y=7 ta có x2+13 7= ⇔x2+ =13 49⇔x2 =36⇒ = ±x 6

+ Với y x= ta có 2

13

13 0 13

+ = ⇔ + = ⇔ = (loại)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x= ± 6

0,5

0,75 0,25

b

7 2 5

x - x + x + = x + x + x

-x+ x

-+

⇒

2

7 (t/m)

x=

(ĐK: x≥ 5)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 7

0,5 0,25 0,5 0,25

2 Ta có x+2 3 = y+ z ⇔x+2 3= y+z+2 yz

(x−y−z)+2 3=2 yz ⇒(x−y−z)2+4 3(x−y−z)+12=4yz

TH1 Nếu x−y−z≠0 Ta có ( )

(x y z)

z y x yz

−

−

−

−

−

−

=

4

12 4

3

2

(2) vô lý ( do x,y,z∈N nên vế phải của (2) là số hữu tỷ )

TH2 x− y−z =0 khi đó ( )







=

=

−

−

⇔

3

0 1

yz

z y x

(3)

Giải (3) ra ta được









=

=

= 3 1 4

z y

x

hoặc









=

=

= 1 3 4

z y x

Vậy……

0,25 0,25

0,5

3 Ta có

2

2020sin 2016 cos 4sin 2016sin 2016cos 4sin 4sin

2016(sin os ) 4sin 4sin 4sin 4sin 2016

(2sin 1) 2015 2015

T

c

α

⇒minT=2015 khi 1 0

2

α = ⇒ =α Vậy

0,25 0,25 0,25 0,25

1 Ta có : +) x4 + 6x2 + 25 =(x2 + 2x + 5)(x2 - 2x + 5)

+) 3x4 + 4x2 + 28x + 5 = (3x2 + 6x + 1)(x2 - 2x + 5)

Vì các đa thức x4 + 6x2 + 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đều chia hết cho

P(x) = x2 + bx + c nên P(x) là nhân tử chung bậc hai của hai đa thức trên, nên

P(x) = x2 - 2x + 5 Khi đó P(-3) = 20

Ta có 2020 = 20.101 ⇒ 2020 ( 3)MP − (đpcm)

0,5 0,5 0,5 0,5

Hình vẽ

(không đổi)

3

(4đ)

2 Ta có 10 ≤ n ≤ 99 ⇒ 21 ≤ 2n + 1 ≤ 199

Mà 2n + 1 lẻ và 2n+1 là số chính phương ⇒ 2n + 1 ∈{25; 49; 81; 121; 169}

⇒n ∈{12; 24; 40; 60; 84}

⇒ 3n + 1 ∈{37; 73; 121; 181; 253}

Nhận thấy trong các số trên chỉ có 121 là số chính phương.

Vậy n = 40

0,5

0,5 0,5 0,5

4

(5đ)

M

C

H

K B

O

A

1 a Chứng minh được ΔOAC ~ ΔOHB (g.g) OA OC OA OB OC OH

Theo chứng minh trên ta có OA OC OA OH

OH = OB ⇒OC = OB

Xét ∆OHA và ∆OBC ta có :

OA OH

OC = OB

∠O chung

⇒ ∆OHA: ∆OBC (c.g.c) ⇒ ∠OHA= ∠OBC

1,0

1,0

b Kẻ MK ⊥BC

+ Chứng minh được ΔBKM ~ ΔBHC (g.g) BM BK BM BH BC BK (1)

+ Chứng minh được ΔCKM ~ ΔCAB (g.g) CM CK CM CA BC CK (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

2

( )

BM BH CM CA BC BK BC CK

BC BK CK BC

=

Vậy BM.BH + CM.CA không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên AC

0,75

0,5

2.

Hình vẽ

B

A

Từ A kẻ AH ⊥BC tại H

Vì AB < AC nên HB < HC, mà M là trung điểm của BC

Do đó H nằm giữa B và M

Nên sinβ =

AM

AH

=

BC

AH

2 ( Vì AM =

2

1

BC Theo t/c trung tuyến trong tam giác vuông)

Mặt khác: (sinα +cosα)2 = sin2α + cos2α + 2sinα .cosα = 1 + 2sinα .cosα

Mà 2sinα cosα = 2

BC

AC BC

AB

= 2AH BC.2 2AH

Do đó sinβ = 2sinα cosα

Vì vậy (sinα +cosα)2 = 1+ sinβ.

(Lưu ý : - Nếu học sinh sử dụng công thức nhân đôi trong lượng giác thì phải chứng

minh công thức đó.

- Hình vẽ phải chuẩn, trình bày chi tiết Học sinh làm cách khác đúng thì cho

điểm tối đa )

0,5 0,25 0,5 0,5

5

(1đ)

Ta có 2(a2+b2) (≥ +a b)2 ⇒ + ≤a b 2(a2+b2) (1) và 2 2 ( )2

2

a b

a + ≥b +

(2)

b c c a a b+ + ≥ b c + c a + c a

Đặt x= b2+c2, y= c2+a z2, = a2+b2,

suy ra

y z x z x y x y z VT

2 2

2 2

1 (2( ) 3 ) (2( ) 3 ) (2( 3 )

≥  + − + + − + + −  (theo BĐT Côsi) Suy ra 1 ( ) 1 2015

2 2

2 2

VT ≥ x y z+ + = (đpcm)

0,25

0,25 0,25 0,25