Bài tập ôn tập hình học 9

Từ *, ** AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD Nhận xét: bài tập này đã củng cố các kiến thức về đừơng tròn, điểm thuộc đường tròn,tiếp tuyến của đường tròn,các tính chất của ti

Một số bài toán hình học lớp 9 dùng cho ôn tập chơng

1)Bài tập 1 : (dùng cho ôn tập chơng 2 hình học 9 theo sách giáo khoa mới)

Gọi M là 1 điểm trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB (AB= 2R).Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lợt tại C và D

1 chứng minh : COD= 1v

2 chứng minh: CD =CA + DB

3 chứng minh :CA.DB = R2

4 chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD

Baứi giaỷi

C

I

D

A B

1) chửựng minh COD = 1v:

ta co ựCO laứ phaõn giaực cuỷaACM ( t/c 2 tieỏp tuyeỏn caột nhau) ủoàng thụứi laứ

phaõn giaực cuỷa AOM

ta co ựDO laứ phaõn giaực cuỷa BDM ( t/c 2 tieỏp tuyeỏn caột nhau) ủoàng thụứi laứ

phaõn giaực cuỷa BOM

Maứ AOM vaứ BOM laứ 2 goực keà buứ  COOD COD  1V

2) chửựng minh : CD = CA + DB

ta coự CA = CM , DB = DM (t/c 2 tieỏp tuyeỏn caột nhau)

maứ CM +DM = CD ( MCD) => CD = CA + DB

3)chứng minh CA.DB = R2

Ta coự COD vuoõng taùi O (cmt),OM  CD taùi M (CD laứ tieỏp tuyeỏn) AÙp duùng heọ thửực lửụùng trong tam giaực vuoõng ta ủửụùc:

CM.DM = OM2 , maứ CM =CA,DM = DB , OM = R

=> CA.DB = R2

4.chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD:

M

Nếu gọi I là tâm đường tròn đường kính CD thì I là trung điểm của CD,lại

có COD= 1v => O  ( I ) IO là bán kính của ( I ) (*)

Xét tứ giác ACDB có AC // DB (cùng vuông góc với AB)  tứ giác ACDB là hình thang vuông,và OI là đường trung bình của nó OI//AC 

OI  AB (**) Từ (*), (**) AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Nhận xét: bài tập này đã củng cố các kiến thức về đừơng tròn, điểm thuộc đường

tròn,tiếp tuyến của đường tròn,các tính chất của tiếp tuyến đó cũng là những kiến thức trọng tâm cuả chương

2) Bài tập 2 : (dùng cho ôn tập chương2 hình hoc 9)

Cho đường tròn(O) đường kính AB,vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại trung điểm I của OA Vẽ OE BC

1)Tứ giác ACOD là hình gì?chứng minh

2)Chứng minh EC= EB

3)Chứng minh 3 điểm D,O,E thẳng hàng

4)Vẽ (K) đường kính OB.Chứng minh (O) và (K) tiếp xúc nhau

5)chứng minh IE là tiếp tuyến của (K)

Bài giải C

E

A I O B

D 1)xét tứ giác ACOD có IA = IO (gt), IC= ID (đường kính OA vuông góc day cung

CD tại I)  ACOD là hình bình hành,lại có 2 đường chéo vuông góc nên ACOD là hình thoi

2) Chứng minh EC= EB:ta có OE là đường kính, BC là dây cung mà OE  BC (gt)

 EC= EB

3)Chứng minh 3 điểm D,O,E thẳng hàng:

Ta có C thuộc đường tròn đường kính AB  ACB= 1v  ACCB

Mà ACOD là hình thoi nên AC // OD  OD  CB,lại có OE  BC(gt)

 3 điểm D,O,E thẳng hàng

4) Chứng minh (O) và (K) tiếp xúc nhau:

ta coự K laứ trung ủieồm cuỷa OB (gt)  OK + KB = OB  OK = OB - KB

Heọ thửực naứy chửựng toỷ (O) vaứ (K) tieỏp xuực trong

5)chửựng minh IE laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (K)

Do OE  BC(gt)  OEB=1v  E thuoọc (K)  EK laứ baựn kớnh cuỷa (K)

Ta coự KE=KO (baựn kớnh cuỷa (K))  OEK EOK ,maứDOI  EOK(ủủ)

 OEK DOI (1).Maởt khaực CED vuoõng taùi E coự EI laứ trung tuyeỏn thuoọc caùnh huyeàn  IE = ID  IDO IEO   (2), laùi coựDIO vuoõng taùi I (gt)  IDO DOI   = 1V (3).Tửứ (1),(2), (3)  OEK IEO   = 1V IE EK

 IE laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (K)

Nhaọn xeựt: baứi taọp naứy ủaừ cuỷng coỏ caực kieỏn thửực veàủửụứng troứn, định lí về tam giác

vuông nội tiếp đờng tròn,ủửụứng kớnh vuoõng goực daõy cung, tieỏp tuyeỏn vụựi ủửụứng troứn,vũ trớ tửụng ủoỏi 2 ủửụứng troứn,ủoự cuừng laứ nhửừng kieỏn thửực cụ baỷn troùng taõm trong chửụng

3) Baứi taọp 3: (duứng cho oõn taọp chửụng2)

Goùi C laứ 1 ủieồm treõn nửỷa ủửụứng troứn taõm O ủửụứng kớnh AB (AB= 2R).Tia BC caột tieỏp tuyeỏn taùi A cuỷa (O) taùi M Tieỏp tuyeỏn taùi C cuỷa (O) caột AM taùi I

1) Chửựng minh 4 ủieồm A,O,C,I cuứng naốm treõn 1 ủửụứng troứn

2) Chửựng minh IA = IM

3) Chửựng minh IO  AC

4) Goùi K laứ giao ủieồm cuỷa IO vaứ AC, veừ OE  BC (E thuoọc BC)

Chửựng minh EK khoõng ủoồi khi C chuyeồn ủoọng treõn (O)

5) Chửựng minh IC2 = 14MC.MB

M Baứi giaỷi

I C

K E

A O B

1)Chửựng minh 4 ủieồm A,O,C,I cuứng naốm treõn 1 ủửụứng troứn

Ta coự IAO= 1v (IA laứ tieỏp tuyeỏn)  A naốm treõn ủửụứng troứn ủửụứng kớnh OI (1)

Ta coự ICO= 1v (IC laứ tieỏp tuyeỏn)  C naốm treõn ủửụứng troứn ủửụứng kớnh OI (2) Tửứ (1) vaứ (2)  4 ủieồm A,O,C,I cuứng naốm treõn 1 ủửụứng troứn

2)Chửựng minh IA = IM

Ta coự C thuoọc (O)  ACB= 1v  ACI ICM   ACM 1v (1)

Do IA= IC ( tớnh chaỏt 2 tieỏp tuyeỏn caột nhau)  IAC ICA   (2)

Do ACM vuoõng taùi C (cmt)  IAC IMC   1V (3) Tửứ (1) ,(2),(3) 

IMC ICM  IMC caõn taùi I IM = IC  IA = IM

3)Chửựng minh IO  AC

Ta coự OA = OC = R, IA =IC (cmt)  OI laứ trung trửùc cuỷa AC 

IO  AC

4)Chửựng minh EK khoõng ủoồi khi C chuyeồn ủoọng treõn (O)

Do IO  AC (cmt) vaứ theo giaỷ thieỏt K laứ giao ủieồm cuỷa IO vaứ AC K laứ trung ủieồm cuỷa AC, do OE  BC (gt)  E laứ trung ủieồm cuỷa BC ( ủửụứng kớnh vuoõng goực daõy cung)  EK laứ ủửụứng trung bỡnh cuỷa ACB  KE = 12

AB = R khoõng ủoồi

5) Chửựng minh IC2 = 14MC.MB:

ta coự MAB vuoõng taùi A ( AM laứ tieỏp tuyeỏn),AC laứ ủửụứng cao ( ACB= 1v), aựp duùng heọ thửực lửụùng trong tam giaực vuoõng ta coự :

MA2 = MC.MB (1)

Laùi coự IC = IA = 12MA (cmt)  IC2 = 14MA2 (2)

Tửứ (1) ,(2)  IC2 = 14MC.MB

Nhaọn xeựt: Baứi toaựn naứy ủaừ cuỷng coỏ caực kieỏn thửực veàủửụứng troứn, định lí về

tam giác vuông nội tiếp đờng tròn ,ủửụứng kớnh vuoõng goực daõy cung, tieỏp tuyeỏn vụựi ủửụứng troứn,, ủoự cuừng laứ nhửừng kieỏn thửực troùng taõm cuaỷ chửụng

4 ) Bài tập 4 : (duứng cho oõn taọp chửụng2,bài 41sgk)

Cho đờng tròn (O) đờng kính BC, dây AD vuông góc BC tại H.Gọi E,F theo thứ

tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ H đến AB,AC.Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đờng tròn ngoại tiếp tam giác HBE,HCF

a) Hãy xác định vị trí tơng đối của các đờng tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K)

b)Tứ giác AEHF là hình gì ? vì sao?

c) Chứng minh: AE.AB = AF AC

d) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của 2 đờng tròn (I) và (K)

e) Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất

Baứi giaỷi

E G F

D

a) OI = OB – IB Nên (I) tiếp xúc trong với (O)

OK = OC – KC Nên (K) tiếp xúc trong với (O)

IK = IH + KH Nên (I) tiếp xúc ngoài với (K)

b) Tứ giác AEHF có A E F    = 1V (Các tam giác BEH,HFC nội tiếp đờng tròn đờng kính BH,CH nên là các tam giác vuông) => AEHF là hình chữ nhật c) AHB vuông tại H và HEAB => AE.AB = AH2 (1)

AHC vuông tại H và HFAC => AF.AC = AH2 (2)

Từ (1) và (2) => AE.AB = AF AC

d) Gọi G là giao điểm của AH và EF,tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên GH

=GF => GFH GHF   KHF cân tại K nên KFH  KHF =>

GFH KFH GHF KHF  do đó EF là tiếp tuyến của (K)

Chứng minh tơng tự EF là tiếp tuyến của (I)

e) Ta có AH = 1

2AD (đờng kính vuông góc dây cung), mà EF = AH ( AEHF

là hình chữ nhật) => EF =1

2AD.DO đó EF lớn nhất  AD lớn nhất AD

là đờng kính  H trùng với O

Nhaọn xeựt: baứi taọp naứy ủaừ cuỷng coỏ caực kieỏn thửực veàủửụứng troứn, định lí về tam giác

vuông nội tiếp đờng tròn,ủửụứng kớnh vuoõng goực daõy cung, tieỏp tuyeỏn vụựi ủửụứng troứn,vũ trớ tửụng ủoỏi 2 ủửụứng troứn,liên hệ giữaủửụứng kớnh và daõy cung(vị trí ,độ dài )ủoự cuừng laứ nhửừng kieỏn thửực cụ baỷn troùng taõm trong chửụng

5)Baứi taọp 5: (duứng cho oõn taọp chửụng3)

Tửứ moọt ủieồm A naốm ngoaứi ủửụứng troứn (O)veừ caực tieỏp tuyeỏn AB,AC vụựi (O) (B,C laứ caực tieỏp ủieồm) vaứ moọt caựt tuyeỏn AED vụựi (O)( E naốm giửừa A vaứ D) 1) Chửựng minh tửự giaực ABOC noọi tieỏp

2) Chửựng minh ACB AOC 

3) Chửựng minh AB2 = AE.AD

4)ẹửụứng troứn ngoaùi tieỏp tửự giaực ABOC caột AD taùi K Chửựng minh KE = KD

Bài giải B

O A

E

K

D

C 1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp

Xét tứ giác ABOC có ABO= 1V( AB là tiếp tuyến)

ACO= 1V( AC là tiếp tuyến)  ABO ACO  = 2V tứ giác ABOC nội tiếp 2) Chứng minh ACB AOC 

Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC ta có AB = AC (t/c 2 Tiếp tuyến cắt nhau)  AB AC  ,mà ACB& AOC là các góc nội tiếp chắn AB& AC 

ACB AOC

3) Chứng minh AB2 = AE.AD

xét ABE và ADB có Â chung , 1 

2

ABE sd BE (góc tạo bởi 1 tia tiếp tuyến và 1dây cung chắn BE của (O)),  1 

2

ADB sd BE (góc nội tiếp chắn BE

của (O))  ABE ADB   ABE đồng dạng ADB AD AB AE AB

 AB2 = AE.AD

4) Chứng minh KE = KD:

ta có OKA = 1V ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC)  OK  ED  KE = KD (đường kính vuông góc dây cung)

Nhận xét : Bài toán này đã củng cố các kiến thức về tứ giác nội tiếp, góc

nội tiếp, các hệ quả của góc nội tiếp, góc tạo bởi 1 tia tiếp tuyến và 1 dây cung, liên hệ giữa cung và dây cung, đó cũng là những kiến thức trọng tâm cuả chương

6)Bài tập 6: (dùng cho ôn tập chương3)

Cho hình vuông ABCD Điểm E BC.Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE,đường vuông góc đó cắt đường thẳng DE ở H và cắt đường thẳng DC ở K

1) Chứng minh các tứ giác BHCD,KCEH nội tiếp.

2)tính số đo CHK

3) Chứng minh BDE HKE  

4)Tìm quỹ tích của H khi E chuyển động trên cạnh BC

Bài giải

A B

H E

D C K

1) Chứng minh các tứ giác BHCD,KCEH nội tiếp

Xét tứ giác BHCD có BHD= 1v ( gt),BCD= 1v ( góc của hình vuông) Tứ giác này có 2 đỉnh liên tiếp H&C cùng nhìn đoạn BD dưới 1góc bằng nhau

 tứ giác BHCD nội tiếp

Xét tứ giác KCEH có EHK= 1v ( gt),ECK= 1v ( góc kề bù với góc của hình vuông)  EHK ECK   = 2V tứ giácKCEH nội tiếp

2)Tính số đo CHK

Ta có tứ giác BHCD nội tiếp (cmt)  BDC BHC   = 2v, mặt khác ta cũng có CHK BHC   = 2v (kề bù)  CHK BDC mà BDC= 450 (BD là đường chéo của hình vuông)  CHK= 450

3) Chứng minh BDE HKE  

Ta có BDH  BCH (góc nội tiếp cùng chắn BH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BHCD)

Ta có HKE BCH   (góc nội tiếp cùng chắn EH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác KCEH)  BDE HKE  

4)Tìm quỹ tích của H khi E chuyển động trên cạnh BC

Tacó BHD = 1v (gt)  H thuộc đường tròn đường kính BD, nhưng E chỉ chuyển động trên cạnh BC nên H chuyển động trên cung nhỏ BC của đường

tròn này.Vậy quỹ tích của H khi E chuyển động trên cạnh BC là cung nhỏ

BC

Nhận xét: Bài toán này đã củng cố các kiến thức về tứ giác nội tiếp, góc

nội tiếp, các hệ quả của góc nội tiếp, quỹ tích cung chứa góc, đó cũng là những kiến thức trọng tâm cuả chương

7)Bài tập 7: (dùng cho ôn tập chương3)

Cho đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ dây cung CD vuông góc với OA tại

I M là 1 điểm trên cung nhỏ BC AM cắt CD tại H

1) Chứng minh tứ giác BIHM nội tiếp

2) Chứng minh MA là phân giác củaCMD

3) Chứng minh AC.HM = CM.DH

4)Tia DC cắt Tia BM tại K DM cắt BC tại S Chứng minh

CKM CSM    2DMB

5) Lấy E  CD sao cho MC=ME Chứng minh 4 điểm A,H,E,D cùng nằm trên 1 đường tròn

K

Bài giải

C M

S

H

A I E B

D

1) Chứng minh tứ giác BIHM nội tiếp

Xét tứ giác BIHM có HIB=1v(gt) , AMB= 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) HIB+AMB= 2v tứ giác BIHM nội tiếp

2) Chứng minh MA là phân giác củaCMD

ta có đường kính AB CD  ABđi qua trung điểm của CD đồng thời đi qua điểm chính giữa cung CD  AC AD,lại có CMA & AMD là các góc nội tiếp chắn 2cung trên CMA AMD    MA là phân giác củaCMD

3) Chứng minh AC.HM = CM.DH

xét ACM và DHM có CAM HDM (góc nội tiếp cùng chắn cung CM) ,

CMA AMD (cmt)  ACM đồng dạng  DHM (gg)  AC CM

DH HM 

AC.HM = CM.DH

4) Chứng minh CKM CSM    2DMB :

Ta có  1  

2

CKM  sd DB sdCM ( góc có đỉnh bên ngoài đường tròn),

2

CSM  sd DB sdCM ( góc có đỉnh bên trong đường tròn) 

CKM CSM sd BD, mà  1 

2

DMB sd DB  CKM CSM    2DMB

5)Chứng minh 4 điểm A,H,E,D cùng nằm trên 1 đường tròn:

xét ACM và AEM có MC = ME (gt),MA là cạnh chung, CMA AMD  

(cmt)  ACM=AEM (c-g-c)  CAM EAM , mà CAM HDM (cmt) 

EAH EDH ,tứ giác AHED có 2 đỉnh liên tiếp A& D cùng nhìn đoạn HE dưới 1 góc bằng nhau  tứ giác AHED nội tiếp  4 điểm A,H,E,D cùng nằm trên 1 đường tròn

Nhận xét: Bài toán này đã củng cố các kiến thức về tứ giác nội tiếp, góc

nội tiếp, các hệ quả của góc nội tiếp, quỹ tích cung chứa góc, liên hệ giữa cung và dây cung, góc có đỉnh bên trong ,bên ngoài đường tròn đó cũng là những kiến thức trọng tâm cuả chương

8)Bài tập 8: (dùng cho ôn tập chương3)

Cho lục giác đều ABCDEF có độ dài cạnh là 12 cm.Gọi (O,R) và (O,r) là các đương tròn ngoại tiếp và nội tiếp lục giác trên

1)Tính R,r?

2)Tính dộ dài của (O,R)và (O,r)

3)Tính diện tích hình vành khăn tạo bởi (O,R)và (O,r)

4) Tính diện tích hình viên phân tạo bởi dây AB và AB

5) Tính diện tích phần hình giới hạn bởi lục giác đều ABCDEF và (O,r) (Biết Sin300 =12 ,tg300 = 3, 3,14

Bài giải

A H B

F O C

E D

1)Tính R,r?

Ta có 0

12

2

a R

in n

(cm) 0

3

a r

tg tg

n

(cm)

2)Tính dộ dài của (O,R)và (O,r)

gọi C1 và C2 lần luợt là độ dài của (O,R)và (O,r) ta có:

C1=2R =212 =24=75,36 (cm)

C2=2r =12 3 =37,68 3 (cm) 3)Tính diện tích hình vành khăn tạo bởi (O,R)và (O,r)

gọi SVKlà diện tích hình vành khăn tạo bởi (O,R)và (O,r)ta có:

SVK = 12 2  (6 3) 2   (144 108) 36    = 113,04 (cm2)

4) Tính diện tích hình viên phân tạo bởi dây AB và AB

Do ABCDEF là lục giác đều nên AOB đều AOB 60 0

gọi S1là diện tích hình quạt AOB thì

S1= 2 260 2 144 24



Diện tích AOB là S2 =1.12.6 3 36 3

Diện tích hình viên phân cần tìm là:

SVP = S1-S2 = 24   36 3(cm2) 5) Diện tích phần hình giới hạn bởi lục giác đều ABCDEFvà(O,r)

Diện tích lục giác đều ABCDEF là: S4 = 6S2 = 216 3(cm2)

Diện tích hình tròn (O,r) là S5 = r2  6 32  108  (cm2)

Diện tích phần hình cần tìm là S6=S4-S5=216 3 108  (cm2)

Nhận xét: Bài toán này đã củng cố các kiến thức về độ dài đường tròn,

diện tích hình tròn,diện tích hình vành khăn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình viên phân , diện tích đa giác,đó cũng là những kiến thức trọng tâm cuả chương