2,0 điểm Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.. Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãn
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10THPT
NĂM HỌC: 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 09 tháng 6 năm 2017 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức A = √
√ và B =
√ + √ , với x ≥ 0, x ≠ 25 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
2) Chứng minh B =
√
3) Tìm tất cả giá trị của x để A = B |x - 4|
Bài II (2,0 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi
xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120 km Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút Tính vận tốc của mỗi xe
Bài III (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình √ + 2 − 1 = 5
4√ − − 1 = 2
2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 5
a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0;5) với mọi giá trị của m b) Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P): y = x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là , (với < ) sao cho | | > | |
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K
1) Chứng minh bốn điểm C,N,K,I cùng thuộc một đường tròn
2) Chứng minh NB2 = NK.NM
3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi
4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng
Bài V (0,5 điểm)
Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thoả mãn a ≥1, b ≥ 1, c ≥ 1 và ab + bc + ca
= 9 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2
……… Hết………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I Với x = 9 (TMĐK) ta có A = √
√ = = - 2) Ta có:
B =
√ + √ (x ≥ 0, x≠ 25)
B = (√ ) + √
B = √
√ (√ )
B =
√
3) A = B|x – 4|
√
√ = | |
√ (x ≥ 0, x≠ 25)
√ + 2 = |x – 4|
√ + 2 = x – 4 (x > 4, x≠ 25 )
√ + 2 = - x + 4 (0 ≤ x ≤ 4)
x - √ - 6 = 0
x + √ - 2 = 0
√ = 3
√ = 1
x = 9 (TMĐK)
x = 1
Vậy x = 1; x = 9 TMYCBT
Trang 3Câu II Gọi vận tốc xe ô tô là x (km/h) với x > 10 khi đó ta có thời gian ô tô đi trên
AB là: (h)
Khi đó vận tốc xe máy là: x – 10(km/h) thời gian xe máy đi trên AB là: (h)
Do ô tô đến sớm hơn xe máy 36 phút tức (h) nên ta có phương trình là:
- = x = 50 do x > 10 nên x = 50(km/h)
x = - 40
Vậy vận tốc ô tô là 50km/h, vận tốc xe máy là 40km/h
Câu III
1) Điều kiện: x ≥ 1
y ≥ 1
HPT 4√ + 8 − 1 = 20 9 − 1 = 18 y = 5
4√ + 8 − 1 = 2 4√ + 8 − 1 = 2 x = 1
Vậy nghiệm của hệ là (1;5)
2)
a) Giao điểm của (d) với Oy là A (0;5) nên (d) luôn đi qua A với mọi giá trị của m b) Phương trình hoành độ giao điểm: x2 = mx + 5 x2 - mx - 5 = 0
Do P = 1 (-5) < 0 => phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu, mà :
< => | | = - ; | | =
Mặt khác: | | > | | => - > + < 0 m < 0
Trang 4Câu IV
1 NIC = sd (AM + NC); NKC =
Do M và N là điểm chính gi
Vậy tứ giác CNKI nội tiếp hay 4 đi
2 Ta có BMN = sdMN, NBC =
Mà N là trung điểm BC => BN = CN => BMN = NBC => BMN = KMN Xét tam giác NBK và tam giác NMB:
BMN = KBN
BNK = NMB
∆NBK ~ ∆NMB (g.g
= => NB2 = NK NM (
3 Nối BI cắt đường tròn (
Ta có BMH = HMI (vì cùng nhìn BN = NC
MBI = (sdMA + SdAF)
MIB = (sdMB + SdFC)
∆BMI cân có MN là phân giác => MN là đư
HK ⊥ BI, BH = HI, BK = KI (
Mặt khác, HBF = FBC(AF = FC
sd (AM + NC); NKC = sd (BM + CN);
m chính giữa cung AB và cung BC nên:
AM = BM => NIC = NKC
p hay 4 điểm C, N, K, I cùng thuộc một đư
sdMN, NBC = sdNC
m BC => BN = CN => BMN = NBC => BMN = KMN Xét tam giác NBK và tam giác NMB:
g.g)
= NK NM (dpcm)
ng tròn (O) tại F => AF = FC
vì cùng nhìn BN = NC)
BMI cân có MN là phân giác => MN là đường trung trực c
BI, BH = HI, BK = KI (1)
AF = FC)
t đường tròn
m BC => BN = CN => BMN = NBC => BMN = KMN
c của BI
Trang 5 ∆BHK có BF là phân giác, đư
Từ (1) và (2) ta có tứ giác BHIK là hình thoi
4 góc QCK = 90 – góc CMK
= 90 – góc CBN
= 90 – góc BCN
Suy ra CQ vuông góc CN nên C, D, Q th
Tương tự D, B, P thẳng hàng
Lại có góc CKQ = 90 – góc
và góc KBP = 90 – góc BMK
Mà góc CMK = góc BMK nên góc CKQ = góc KBP hay KQ//DP
Tương tự KP // DQ nên KPDQ là hbh
Có hai đường chéo KD và PQ c
hàng
Câu V
Ta có: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca = 9
Dấu “=” xảy ra tại a = b = c =
Vậy min P = 9 tại a = b = c =
Giá trị lớn nhất: Vì các số
Làm tương tự và cộng các b
2 a + b + c ≤ 3 + ab + bc + ca
Do đó: P ≤
Vậy = 18 và đạt đượ
BHK có BF là phân giác, đường cao => ∆BHK cân tại B => BH = BK (
giác BHIK là hình thoi
CMK
ra CQ vuông góc CN nên C, D, Q thẳng hàng
ng hàng góc CMK BMK
Mà góc CMK = góc BMK nên góc CKQ = góc KBP hay KQ//DP
KP // DQ nên KPDQ là hbh
ng chéo KD và PQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên D,E,K th
ab + bc + ca = 9
i a = b = c = √3
i a = b = c = √3
ố a, b, c ≥ 1 nên có a – 1, b – 1 ≥ 0 ab + 1
ng các bất đẳng thức trên ta có:
3 + ab + bc + ca
2 - 2 ab + bc + ca = 18
ợc chẳng hạn khi a = b = 1, c = 4
i B => BH = BK (2)
ng nên D,E,K thẳng
ab + 1 ≥ a + b