Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2BC.. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC.. Chứng minh rằng mặt phẳng AMN vuông góc v
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ
TỔ TOÁN - TIN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: TOÁN - Khối: A, A1, B
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y=4x3−6x2+mx (1), với m là tham số thực
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=0
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 2x−4y− =5 0
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 2sin 3 1 8sin 2 os 22
4
+ = +
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
1
4 3
1
2
x
x y
+ +
+ + + = + + +
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân ( )
2 5 1
1 1
x dx
− +
∫
Câu 5 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có · 0
60
BAC= , nội tiếp đường tròn đường kính AI Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2BC Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC Chứng minh rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với đường thẳng SI
và tính góc giữa hai mặt phẳng (AMN) và (ABC)
Câu 6 (1,0 điểm) Chứng minh rằng ( )
4
x y z
x y z
+ +
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d:
x− y+ = Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 2AC
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x = =y z và mặt phẳng (P):x y z+ + − =6 0 Gọi M là giao điểm của d và (P) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới ∆ bằng 2 2
Câu 9 (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức: 4 3 2
x + x + x + =
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2BIỂU ĐIỂM CHẤM
ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI A, A1, B – NĂM 2013
1
(2.0
điểm)
a (1.0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
* m = 0 thì y=4x3−6x2
* TXĐ: D R=
1
x
x
=
* Bảng biến thiên…
Hàm số đồng biến trên (−∞;0 ; 1;) ( +∞) Hàm số nghịch biến trên ( )0;1
Hàm số đạt cực đại tại x=0,y=0 Hàm số đạt cực tiểu tại x=1,y= −2
0.25
Điểm uốn: '' 24 12, '' 0 1, 1
2
y = x− y = ⇔ =x y= −
2
y= ⇔ =x v x= Giao Oy: x= ⇒ =0 y 0
0.25
b (1.0 điểm) Tìm m để đồ thị có …
y = f x = x − x m+ Hàm số có hai cực trị ⇔ ∆ =' 36 12− m> ⇔ <0 m 3
Gọi hai điểm cực trị của đths làA x y( 1, 1) (;B x y (2, 2) x x là hai nghiệm của pt ' 01, 2 y = )
0.25
y= f x = f x x− + − x+
Do f x'( )1 = f x'( )2 =0nên 1 1
2 2
y = − x +
2 2
y = − x +
Vậy pt đt AB là 2 2
y= − x+
0.25
A, B đối xứng nhau qua d: 2x – 4y – 5 = 0 ( )
( )
1 2
AB d
I d
⊥
⇔ ∈
(I là trung điểm AB)
m
m
⇔ − ÷ = − ⇔ =
0.25
Trang 3I có toạ độ:
2
I
x x x
+
= − ÷ + = −
( )2 2.1 4 1( ) 5 0
2
⇔ − − − = (đúng)
Vậy A, B đối xứng nhau qua d khi và chỉ khi m = 0
0.25
2.
(1.0
điểm)
Giải phương trình lượng giác…
Pt
( )
( )
4 4sin 3 1 8sin 2 os 2 2
4
x
π π
+ ≥
+ ÷= +
0.25
( )2 2 1 os 6 1 4sin 2 (1 os4 )
2
⇔ − + ÷÷= + +
2 2sin 6x 1 4sin 2x 2sin 6x 2sin 2x
0.25
sin 2
5 2
12
x
π π
π π
= +
⇔ = ⇔
= +
- Với
12
x= π +kπ
⇔ + ÷≥ ⇔ = ⇒ = +
- Với 5
12
x= π +kπ
⇔ + ÷≥ ⇔ = + ⇒ = +
0.25
3.
(1.0
điểm)
Giải hệ phương trình…
( )
2 1
4 3
1
2
x
x y
+ +
+ + + = + + +
x y
+ −
+ + + +
+ + + +
1 3
x y
⇔ + =
0.5
2
x
+
⇔ + ÷ = ⇔ − + = = >
1
2
t t
=
⇔ − +
=
0.25
Trang 4Với t = 1
1 4 3
x y
= −
⇔ =
, Với t =
2 2
7
3
x y
− +
⇒
0.25
4.
(1.0
điểm)
Tính tích phân…
1 2
1
+
1
x
t
1
1 2
2
1
5
1
1
t t
−
÷
+
÷
2
1
2
5
1
x x
+
+
6 ln 2 ln 33
5.
(1.0
điểm)
Tính thể tích và khoảng cách
N
C A
B
I
S
M
IB⊥AB (do AI là đường kính đtròn (ABC)), IB⊥SA (do SA⊥(ABC)) nên IB⊥(SAB) ⇒IB⊥AM mà AM
⊥SB nên AM⊥(SBI)
⇒AM⊥SI Chứng minh tt: AN⊥SI Vậy SI⊥(AMN)
0.5
Có SA⊥(ABC); SI⊥(AMN)
(·ABC , AMN ) (·SA SI, )
∆SAI có: tan AS· I AI
SA
= (1)
0.25
AI là đường kính của đtròn (ABC) nên: sin· 2 ABC . 23
BC
1
0.25
6.
(1.0
Chứng minh bất đẳng thức …
Trang 5điểm) P (y z) (z x x y) (2 ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) (z x x y y z2 x y y z z x2 4 x y z)
2
2
= ÷÷
( y z) (z x x y) (2 ) ( )y z 1 yz y z (y z) yz y z 2 yz
⇒ + ≥ + + ÷÷= + + + ≥ + +
0.25
Chứng minh tt có:
2
2
Từ (1), (2), (3) có: P 2(x y z) 2 yz zx xy
≥ + + + + + ÷
0.25
Áp dụng bđt: 2 2 2
a + + ≥b c ab bc ca+ + , có:
x y z
x + y + z ≥ x y + y z + z x = + + (5)
Từ (4), (5) ⇒ ≥P 4(x y z+ + ) Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
0.25
7.
(1.0
điểm)
Tìm hai điểm B,C…
Gọi H là hình chiếu của A lên d ta có AH = d(A, d) = 0 2.2 22 2
5
1 2
− +
= + Tam giác ABC vuông tại A nên
0.25
Khi đó C thuộc đường tròn (A,1): 2 ( )2
x + −y =
Toạ độ C là nghiệm hệ 2 ( )2
+ − =
− + =
1, 0
,
= =
⇔
= =
0.25
+ Với C(0;1): đt AB qua A(0;2) có vtpt uuurAC=(0; 1)− có pt: y− =2 0
Toạ độ B là nghiệm hệ 2 2 0 2 (2; 2)
B
− = =
0.5
Trang 6+ Với C(4 7;
5 5): đt AB qua A(0;2) có vtpt
( ; )
AC= −
uuur
có pt: 4x−3y+ =6 0
Toạ độ B là nghiệm hệ
6
( ; )
5
x
B
y
= −
− + =
− + =
8.
(1.0
điểm)
Viết phương trình đường thẳng …
Toạ độ M là nghiệm hệ 1 2 3 (1; 2;3)
6 0
M
x y z
= =
+ + − =
Gọi d’ là hình chiếu của d lên mp(P) ⇒d' ( ) ( )= P ∩ Q , với (Q) là mp chứa d và vuông góc
(P) Mp(Q) qua M và có vtpt n Q = u n d, P
uur uur uur
= (-1; 2; -1)
⇒(Q) có pt: x−2y z+ = ⇒0 d’ có pt: 6 0
x y z
+ + − =
− + =
x t y
=
⇔ =
= −
0.5
Vì ∆ nằm trong (P), ∆ ⊥d nên ∆ ⊥d’
Gọi H(t; 2; 4 – t) là giao điểm của ∆ và d’ ta có M∈d’ nên MH⊥ ∆
1
t t
t
=
⇒ − = ⇒ = −
0.25
+ Với t = 3 thì H(3; 2; 1): ∆ qua H, có vtcp uuur uur∆ =n Qnên ∆có pt: 3 2 1
x− = y− = z−
+ Với t =-1 thì H(-1; 2; 5): ∆ qua H, có vtcp uuur uur∆ =n Qnên ∆có pt: 1 2 5
x+ = y− = z−
0.25
9.
(1,0
điểm)
Giải phương trình…
2 2
3 10 0 (1)
3 10 0 (2)
+ − =
⇔ + + =
(1) có ∆=9 40i+ có một căn bậc hai là 5 4i+ ⇒(1)có nghiệm 1 2
4 2
= +
= − −
(2) có ∆=9 40i− có một căn bậc hai là 5 4i− ⇒(2)có nghiệm 1 2
4 2
= −
= − +
Trang 7Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
2
x m y
x
− +
= + (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=1
2 Tìm số thực dương m để đường thẳng ( )d : 2x+2y− =1 0 cắt (C) tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 trong đó O là gốc tọa độ
Câu II (1,0 điểm) Giải phương trình sin2 sin 32 tan 2 sin( sin 3 )
cos cos3
2 2
6
x y xy x y
+ + + − =
Câu IV (1,0 điểm) Tính tích phân sau
2
4
1 cos 2
1 sin 2
x
x
π
π
+
= +
Câu V (1,0 điểm) Chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung
điểm các cạnh AB và AD, H là giao điểm của CN và DM Biết hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =a 3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SB
Câu VI (1,0 điểm) Cho các số thực x, y phân biệt thỏa mãn ( ) (2 )2
x− + +y − xy≤ Tìm giá
x y
Câu VII (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C1): ( ) (2 )2
x+ + y− = có tâm O1, đường tròn ( )C2 bán kính bằng 4, có tâm O2 nằm trên đường thẳng ( )d :x y+ − =4 0 và cắt (C1) tại hai điểm A và B sao cho tứ giác O1AO2B có diện tích bằng 2 3 Viết phương trình đường tròn (C2) biết O2 có hoành độ dương
Câu VIII (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(3; 2; 4− − ) , song song với mặt
phẳng ( )P : 3x−2y− − =3z 7 0 và cắt đường thẳng ( ): 2 4 1
Câu IX (1,0 điểm) Tìm mô đun của số phức z biết z3+12i z= và z có phần thực dương
Môn thi: TOÁN – Khối D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Trang 8Hết
BIỂU ĐIỂM CHẤM
ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI D – NĂM 2013
I.
(2.0 điểm)
1. (1.0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số…
* m=1 thì y x 21
x
− +
=
* TXĐ: D = R\{ 2− }
* Tiệm cận đứng x= −2, tiệm cận ngang y= −1.
0.25
3
2
x
Giao Ox: y= ⇔ =0 x 1
2
Đồ thị
0.25
2. (1.0 điểm) Tìm m để đường thẳng …
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
1
x m
x
≠ −
0.25
Trang 9(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt và khác 2−
17
16
∆ >
0.25
Với điều kiện trên giả sử đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ
A B
2
d(O; AB) = d(O; d) = 1
2 2
0.25
B A A B
II
(1.0 điểm)
Giải phương trình lượng giác…
Điều kiện cosx≠0, cos 3x≠0, cos 2x≠0
sinx tan 2x−tanx =sin 3 tan 3x x−tan 2x
0.25
0.25
sin 0
2
x k
x k
π
=
=
III.
(1.0 điểm)
Giải hệ phương trình…
Nếu xy≠0 thì hệ phương trình đã cho tương đương với
2
2 2
5
3
xy
xy
xy
+ + + =
+
+
+ = + =
hoặc
2
2 3
xy
x y
+ =
+ =
0.25
Trang 10Nếu
8
x
y
=
−
8
8
x y
=
+
=
0.25
Nếu
6
x
y
=
−
6
6
x y
=
+
=
0.25
IV
(1.0 điểm)
Tính tích phân…
2
4
1 cos 2
1 sin 2
x
x
π
π
+
= +
2
1 sin 2 sin cos
xdx dx
x
+ + +
1
1 sin 2
x
+
2
4
4
d x
π
π
π π
+
1 ln 2 2
0.25
V
(1.0 điểm)
Tính thể tích và khoảng cách…
P H N
A
D
C
S
K I
(SHC) và (SHD) cùng vuông góc với (ABCD) nên SH vuông góc với (ABCD)
CDNM ABCD BCM AMN
0.25
Suy ra
.
S CDNM CDNM
Gọi P là trung điểm của CD Khi đó DM // (SBP) nên
d DM SB =d DM SBP =d H SBP
Trong (ABCD), CN cắt BP tại K Trong (SHK) hạ HI vuông góc với SK
0.25
Trang 11Chứng minh được CN vuông góc với BP và HI vuông góc với (SHK)
Khi đó d H SBP( ;( ) ) =HI.
5
5
a
4
VI.
(1.0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức …
0.25
7
t
Suy ra: ( ) 2
2
4
t
Tìm được min(0;4] ( ) ( )2 8
t f t f
0.25
VII
(1.0 điểm)
Viết phương trình đường tròn…
Đường tròn (C1) có bán kính R1=1 và tâm O1(−2;1), đường tròn O t2( ; 4−t).
·
1 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 sin 1 2 2 3
O AO B O AO O AO B
0
1 2
1 2
60 3
sin
O AO
O AO
O AO
= ⇒
0.5
1 2
1
t
t
=
⇔ − = ⇔ = Chọn t = 1 suy ra O2(1; 3)
Vậy (C2): ( ) (2 )2
0.25
1 2
0.25
Trang 12Vậy (C2):
16
VIII
(1.0 điểm)
Ta có nuurP(3; 2; 3− − ) Giả sử B(2 + 3t ; –4 – 2t ; 1 + 2t) là giao điểm của ∆ và d 0.25 Khi đó uuurAB(− + − −1 3 ; 2 2 ;5 2t t + t) , AB||( )P ⇒uuur uurAB⊥n P ⇔uuur uurAB n P = ⇔ =0 t 2
Vậy B(8; 8;5)− và uuurAB(5; 6;9− )
0.5
IX
(1.0 điểm)
Tìm mô đun của số phức z…
Đặt z a bi a b R= + ( , ∈ ) , có z3+12i z= tương đương với
0.25
1
b
