CH Đ CỦC PHÉP ởOỦN C ” N
Ph ng pháp
Cho hai s ph c z a bi, z' a' b'i, a, b,a', b' ta c n nh các đ nh nghĩa và phép tính c b n sau:
a a'
b b'
z.z' a bi a' b'i aa' bb' ab' a' b i
a' b'i a bi aa' bb' ab' a' b i
z' z'.z
V n d ng các tính tính ch t trên ta có th d dàng gi i các bài toán sau
ởa c)ng c n chú ý k t qu sau: V i n
i , n thì
N u n 4k k thì k
n 4k 4
i i i 1
N u n 4k 1 k thì in i i 1.i4k i
N u n4k 2 k thì in i i4k 21 1 1
N u n 4k 3 k thì ini i4k 31. i i
I CÁC VÍ D M U
Ví d 1 Cho s ph c: z 3 1i
2 2 Tính các s ph c sau: z; z ; (z) ;1 z z 2 3 2
Gi i
Ta có
z 31i
2
Tính (z)3
2 3 1 1 3 3 3 1 3
Ví d 2 Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c:
a) z9 5i 1 2i ; b) z4 3i 4 5i ;
c) z2 i ; 3 d) z 2i
i 1
Trang 2a) Ta có: z9 5i 1 2i 9 1 5 2 i 8 7i
V y ph n th c a 8 ; ph n o b 7
b) Ta có: z4 3i 4 5i 16 20i 12i 15 31 8i
V y ph n th c a 31 ; ph n o b 8
V y ph n th c a 2 ; ph n o b 11
2i i 1
V y ph n th c a 1 ; ph n o b 1
Ví d 3 Th c hi n các phép tính sau:
a)
1
A
5 6i B
1 C
i
d) D 3 2i
2026
1 7i
4 3i
Gi i
a) Ta có: 2 2 2
5 6i 4 3i
i
d) Ta có:
2 2
3 2i
e) Ta có:
2026
1013 1013 1013 1013 1012 1013
1 7i 4 3i
1 7i
Trang 3V y
2026
1013
1 7i
4 3i
Ví d 4 Vi t các s ph c sau đây d i d ng a bi, a, b R :
a) 3 3
b)
2
d)
5
3
2 i
z
1 2i
6
5
1 i
2 2i
Gi i
a) 3 3
b)
z
2
i
c)
2
z
1 5i
2
2
i
3
3
1 2i
3
3 5i
1 4
e)
32 1 i
Ví d 5 Tìm ngh ch đ o c a s ph c sau:
2
1 i 5
3 2i
Gi i
Trang 4
i
V y nghch đ o c a s ph c z là 1 3 4 i
b) Xét z 3 2i Ta có:
1 3 2i
i
V y nghch đ o c a s ph c z là 13 2 i.
c) Xét
1 i 5
z
3 2i Ta có:
3 2i 1 i 5
i
d) Xét z3 i 2 2 7 6 2i Ta có
i
L i bình: N u đ bài cho tr c nghi m thì đ i v i câu này có th dò k t qu t đáp án tr c nghi m
gi a hai con s 6 2 0,070126
Nh n xét: Quá trình th c hi n trên, th c ra ta đang dùng công th c sau:
2
z.z z
Ví d 6 Cho z2a 1 3b 5 i, a,b Tìm các s a,b đ
a) z là s th c b) z là s o
Gi i
a) z là s th c 3b 5 0 5b
3
b) z là s o 2a 1 0 1a .
2
Ví d 7 Tìm m R đ :
a) S ph c z 1 1 mi 1 mi2 là s thu n o
b) S ph c
m 1 2 m 1 i z
1 mi là s th c
Đ nh h ng: Ta c n bi n đ i s ph c z v d ng z a bi, a, b .
Lềc đó z là s thu n o ( o) khi a 0 và z là s th c khi b 0
Gi i
a) Ta có:
Trang 5
z là s thu n o 3 m2 0 m 3
b) Ta có:
m 1 2 m 1 i 1 mi
m 1 2 m 1 i
z
1 m
z là s th c m m 1 2m 2 0 m2m 2 0 m 1 m 2
Ví d 8 Tìm các s th c x, y sao cho z z' , v i t ng tr ng h p
c) 2 2 3
9 6
4
3 i
1 i
Gi i
a)
z z'
V y x 7; y 2.
z z'
V y x 2; y 0.
c) Ta có 3 i 2 8 6i; 1 i 3 2 2i nên đ ng th c đã cho có d ng
x22y i 8 6i y x 1 2 2i26 14i
Hay 8x22xy 14y 6 8 6x 22xy 14y 26 14i
2
Th (2) vào (1) ta có x3x23x 1 0 x 1,x 1 2
V y các c p s th c c n tìm là
x; y 1;1 , 1 2; 2 , 1 2; 2
9 6
4
3 i
1 i
Hay x2y22i y 22x 1 5 14i
Vì th ta có:
Trang 6V y các c p s c n tìm là: x; y 1; 2 , 1; 2
Ví d 9 Ch ng minh r ng : 100 98 96
Gi i
Ta có:
V y đ ng th c đã cho đ c ch ng minh
Ví d 10 a) Tính mô- đun c a s ph c z bi t z 3i 2 i 2i3
b) Cho s ph c z th a mãn
3
z
1 i ởìm môđun c a s ph cz iz
Gi i
a) Ta có z 3i 2 i 2i3 6i 3i22i 3 4i
V y mô-đun c a z là 2 2
b) Ta có:
1 3i3133.1 2 3i 3.1. 3i 2 3i 3 1 3 3i 9 3 3i 8
Do đó
3
Suy ra:
Ví d 11 Xét s ph c:
i m z
2
Gi i
Ta có:
2
2
i m
z
Do đó
2
2
2
L i bình: Ta có th tính z b ng cách bi n đ i m u nh sau