ĐỀ TOÁN HSG THPT TỈNH ĐĂK LĂK NĂM 2016

Tổng hợp 35 bộ đề thi HSG toán THPT tỉnh Đăk La8k, Đây là tài liệu hay và bổ ích đùng cho các thầy cô giá, các em học sinh và phụ huynh. Mỗi đề có cách giải chi tiết, đầy đủ, dùng làm tài liệu tham khảo bổ ích.

Bài 1 (4 điểm) Trong mặt phẳng cho thập giác đều A A A1 2 10 và tam giác đều B B B1 2 3 Một đường thẳng d thay đổi trong mặt phẳng Gọi Ci là hình chiếu của các điểm Ai trên d và Dj là hình chiếu của các điểm Bj trên d Biết đường thẳng d thay đổi sao cho tổng của 10 vectơ A C i i bằng 2017 lần tổng của 3 vectơ B D j j Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định và xác định vị trí điểm đó

Đáp án:

Gọi A, B là tâm của thập giác đều A A A1 2 10 và tam giác đều B B B1 2 3

Gọi C, D là hình chiếu của A, B trên d

Có A C 1 1  A C10 10 10AC

Có B D 1 1  B D3 33BD

Do đó:

3

3.2017

10

A C  A C   B D  B D  AC BD

Gọi O là giao của AB với d ta có

3.2017 10

nên O cố định

Vậy đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định O có vị trí được xác định bởi

đẳng thức trên

2đ 1đ

1đ

Bài 2 (3 điểm) Giải phương trình:

x x  x  x  x  x  x  x   x

Đáp án:

Nếu

3

x x  x

thì

2 3

3 3 2 3

1 3 1 3 1 3

VT VP



















Tương tự nếu

3

x x  x

thì VT < VP

1đ

Vậy pt

3

3

1

4 1



2đ

Bài 3 (4 điểm) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x y z  3 Chứng minh rằng:

3 2 3 3 2 3 3 2 3

3

Đáp án:

Có:

3



y

Vậy ta có:

2

2

VT

y

x



















Do đó: VT x y z   3

1đ 1đ

1đ

Bài 4 (3 điểm) Tìm tất cả hàm f Z:  Z thỏa mãn:

f x y f x y  x y x y Z 

Đáp án:

f x y f x y  x y x y Z 

Với mọi a b Z, 

Thay

3

2





 

 được f a( )f b( ) a b f a( ) af b( ) b

1đ

Thay

3

2





 

 được f b( )f a( ) b a f b( ) bf a( ) a

Do đó: f a( ) af b( ) b a b Z; , 

Vậy f x( ) x C

Thử lại: mọi hàm dạng f x( ) x C với C Z thỏa đề ra

1đ 1đ

Bài 5 (4 điểm)

Tìm tất cả các bộ số tự nhiên ( , , , )x y z t thỏa mãn: 2x2y2z 32 1t

Đáp án:

2 1

2x2y2z 3 t

Vì 32 1t lẻ nên 2 , 2 , 2x y z đều lẻ hoặc có đúng một số lẻ

Nếu 2 , 2 , 2x y z đều lẻ thì ta thu được bộ x y z t , , ,  (0,0,0, 0)

thỏa đề ra

Nếu trong 3 số 2 , 2 , 2x y z có đúng một số lẻ, chẳng hạn 2z lẻ thì

2 1

1; 1

2x 2y 3 t 1









Nếu x, y đều lớn hơn 1 thì 2x2 4y nhưng 32 1t  1 3.9 1t  chia 4 dư 2

(vô lý)

Nếu trong hai số x, y có số bằng 1, chẳng hạn y =1 thì 2x32 1t   (vô 3 3

lý)

Vậy có duy nhất bộ số x y z t , , ,  (0,0,0, 0)

thỏa đề ra

1đ 1đ

1đ 1đ

Bài 6 (3 điểm)

Trong một hình vuông có độ dài cạnh là 8 , đặt 10 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Chứng ming rằng có thể chọn ra 3 điểm trong 10 điểm đó tạo thành các đỉnh của một tam giác có diện tích không quá 1

Đáp án:

Chia hình vuông thành 4 hình vuông nhỏ có diện tích bằng 2

Nếu mỗi hình vuông nhỏ chỉ chứa không quá 2 điểm thì ta đặt được không

quá 8 điểm

Vậy phải có một hình vuông nhỏ chứa ít nhất 3 điểm

Chọn 3 điểm đó thì ta được tam giác có diện tích không quá nửa hình vuông

nhỏ (đpcm)

1đ 1đ 1đ