Khi đó tính góc tạo bởi đ-ờng thẳng d với 0x.. b Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng d lớn nhất.. Tia OE cắt đờng tròn T tại điểm thứ hai F.. a Gọi H là trực tâm của tam gi
Trang 1Đề thi tuyển sinh vào lớp10 chuyên Lam Sơn (14)
Môn Toán(đề chung)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1(1điểm): Cho biểu thức
x
x x
x x
x
x x P
−
+ + +
−
−
−
−
−
=
3
3 1
) 3 ( 2 3 2 3
Rút gọn P
Bài 2(1điểm): Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phơng
trình: x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vô nghiệm
Bài 3(1điểm): Giải phơng trình sau: 4 5 −x+ 6 2x+ 7 =x+ 25
Bài 4(1điểm): Giải hệ phơng trình sau:
=
− + + +
= +
− + +
−
0 4
0 2 5 2
2 2
2 2
y x y x
x y xy y x
Bài 5(1điểm): Chứng minh rằng: 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 8 > 3 6
Bài 6(1điểm): Cho x, y, z> 0 thoả mãn: 1+1 +1 = 3
z y x
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
zx
x z yz
z y xy
y x P
2 2 2
2 2
2
2 2
2 + + + + +
=
Bài 7(1điểm): Trong mặt phẳng 0xy cho đờng thẳng (d) có phơng trình
2kx + (k - 1)y = 2 (k là tham số) a) Tìm k để đờng thẳng (d) song song đờng thẳng y = x 3 Khi đó tính góc tạo bởi đ-ờng thẳng (d) với 0x
b) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) lớn nhất
Bài 8(1điểm): Cho góc vuông x0y và 2 điểm A, B trên Ox (OB > OA >0), điểm M bất
kỳ trên cạnh Oy(M ≠ O) Đờng tròn (T) đờng kính AB cắt tia MA,MB lần lợt tại điểm thứ hai: C , E Tia OE cắt đờng tròn (T) tại điểm thứ hai F
1 Chứng minh 4 điểm: O, A, E, M nằm trên 1 đờng tròn
2 Tứ giác OCFM là hình gì? Tại sao?
Bài 9(1điểm): Cho tam giác ABC nhọn có 3 đờng cao: AA1, BB1, CC1 đồng qui tại H
1 1
1
≥ +
+
HC
HC HB
HB HA
HA
Dấu "=" xảy ra khi nào?
Bài 10(1điểm): Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng, đôi một vuông góc với nhau
Lấy điểm A, B, C bất kỳ trên Ox, Oy và Oz
a) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng: OH vuông góc với mặt phẳng ABC
b) b) Chứng minh rằng: S2ABC = S2OAB + S2OBC + S2OAC
Đáp án:
Trang 2Bµi Bµi gi¶i §iÓm
Bµi 1
(1 ®iÓm)
§iÒu kiÖn:
9 0 0 3
0 3 2
0
≠≤
⇔
≠−
≠−
−
≥
x x
x x
x
* Rót gän:
1 8
) 3 )(
1 (
24 8
3
) 3 )(
1 (
) 1 )(
3 ( ) 3 ( 2
+
+
=
− +
− +
−
=
− +
+ +
−
−
−
−
=
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x P
0.25
0.25 0.25 0.25
Bµi 2
(1 ®iÓm)
Ta cã: ∆ =(a + b + c)2 - 4(ab + bc + ca) = a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca
* V× a, b, c lµ 3 c¹nh ∆⇒ a2 < (b + c)a
b2 < (a + c)b
c2 < (a + b)c
⇒ a2 + b2 + c2< 2ab + 2ac + 2bc
⇒∆ < 0 ⇒ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
0.25 0.25
0.25 0.25
Bµi 3
(1 ®iÓm)
* §iÒu kiÖn:
5
2/7 0 7 2
0
5
≤≤
−⇔
≥+
≥−
x x
x
* Ph¬ng tr×nh
1
0 2 5
0 3 7 2
0 2 5
3 7 2
0 ) 4 5
4 5
( ) 9 7 2 6 7 2 (
2 2
=
=
−
−
=
− +
⇔
=
−
− +
− +
⇔
= +
−
−
− + + +
− +
⇔
x x x
x x
x x
x x
0.25
0.25 0.25 0.25
Trang 4Bµi 4
(1 ®iÓm)
Gi¶i hÖ:
=
− + + +
=
− +
−
−
+
)2 ( 0
4
)1(
0 2 5
2
2 2
2 2
y x y x
y x y xy x
Tõ (1) ⇔ 2x2 + (y - 5)x - y2 + y + 2 = 0
+
=
− +
−
=
−
=
−
−
−
=
⇒
−
= +
+
−
−
−
=
∆
2
1 4
) 1 (
3 5
2 4
) 1 (
3 5
) 1 (
9 ) 2 (
8 )
5
y y
y x
y y
y x
y y
y y
x
* Víi: x = 2 - y, ta cã hÖ:
1 0
1 2 2
0 4 2
2
2 2
==
⇔
=+
−
−=
⇔
=−
++
+
−=
y
x y
y
y x
y x y x
y x
*Víi
2
1
+
x , ta cã hÖ:
−=
−=
==
⇒
=−
−
−
=
⇔
=−
++
+ +=
5 13 5 4 1
0 4 5
1 2
0 4 2 1
2
2 2
y x
y x
x x
x y
y x y x
y x
VËy hÖ cã 2 nghiÖm: (1;1) vµ
5
13
; 5 4
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 5Bài 5
(1 điểm)
Đặt a = x + y, với: x= 3 3 + 2 2 ;y= 3 3 − 2 2
Ta phải chứng minh: a8 > 36
Ta có:
3 cos
3 3 3 3
3 3
.1 1 3.
3 ) 1 1(
3
3 6 ) ( 3 )
(
1
6
a a
a y
x xy y x y x a
y x
y x
y
>
+ +
=
+
= + +
+
= +
=
⇒
=
= +
(vì: x > 1; y > 0 ⇒ a > 1)
⇒ a9 > 93.a ⇔ a8 > 36 (đpcm)
0.25 0.25 0.25 0.25
Bài 6
(1 điểm)
* áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky cho: 1, 2 và 1x, y2
) 1 ( 2 1 3
1 1 2 2
2 1 2 1 ) 2 1 (
2 2
2 2
2 2
2 2 2
≥ +
=
+
⇒
≥
+
y x x
y xy
y x
y x y x
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y
Tơng tự:
) 3 ( 2
1 3
1 2
) 2 ( 2
1 3
1 2
2 2
2 2
+
≥ +
≥ +
x z zx
x z
z y yz
z y
3
+ +
≥
⇒
z y x P
Suy ra: Pmin = 3 khi: x = y = z = 3
0.25
0.25 0.25
0.25
Trang 6Bài 7
(1 điểm)
1).* Với k = 1 suy ra phơng trình (d): x = 1 không song song: y = 3x
* Với k ≠ 1: (d) có dạng: . 21
1
2
−
+
−
−
=
k
x k
k y
để: (d) // y = 3x ⇔ 3
1
−
−
k
k
) 3 2 (
3 −
=
⇒k
Khi đó (d) tạo Ox một góc nhọn α với: tgα = 3⇒α = 600
2)* Với k = 1 thì khoảng cách từ O đến (d): x = 1 là 1
* k = 0 suy ra (d) có dạng: y = -2, khi đó khoảng cách từ O đến (d) là 2
* Với k ≠ 0 và k ≠ 1 Gọi A = d ∩ Ox, suy ra A(1/k; 0)
B = d ∩ Oy, suy ra B(0; 2/k-1)
Suy ra: OA = 1; 21
−
=
k
OB k
Xét tam giác vuông AOB, ta có :
5 5 2 2 5
4 5
1 5
2 1
2 5 2
1 1 1
2 2
2 2 2
=
≤ +
−
= +
−
=
⇒
+
=
k k
k OH
OB OA OH
Suy ra (OH)max = 5 khi: k = 1/5
Vậy k = 1/5 thì khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất
0.25 0.25
0.25
0.25
Bài 8
(1điểm)
y
M
a) Xét tứ giác OAEM có: F
v E
O∧+∧ = 2 E
(Vì: E∧ =1vgóc nội tiếp )
Suy ra: O, A, E, M B
cùng thuộc đờng tròn
O A x
C
b) Tứ giác OAEM nội tiếp, suy ra: M∧1 =E∧1
*Mặt khác: A, C, E, F cùng thuộc đờng tròn (T) suy ra: E∧1 =C∧1
Do đó: M∧1 =C∧1⇒OM//FC⇒Tứ giác OCFM là hình thang
0.25
0.25
0.25 0.25
Bài 9
(1điểm)
b)* Do tam giác ABC nhọn, nên H nằm trong tam giác A
* Đặt S = S∆ABC; S1 = SHBC; S2 = SHAC; S3 = SHAB
Ta có: C1 B1
1 1 1
Trang 71 1
1 1
1 1
1
2 1
2 1
HA
HA HA
AA BC HA
BC AA S
S
+
=
=
= H
Tơng tự:
1 2
1
HB
HB S
S = + B A1 C
1 3
1
HC
HC S
S
+
= Suy ra:
3 1 1 1 ) (
3 1 1 1
3 2 1 3 2 1
3 2 1 1
1 1
−
+ +
=
−
+ +
= +
+
S S S S S S
S S S
S HC
HC HB
HB HA HA
Theo bất đẳng thức Côsy:
6 3 9
9 1 1 1 ) (
1 1 1
3 2 1 3 2 1
=
−
≥ + +
⇒
≥
+ +
=
HC
HC HB
HB HA HA
S S S S S S
Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều
0.25
0.25
0.25 0.25
Bài 10
(1điểm)
a) Gọi AM, CN là đờng cao của tam giác ABC
Ta có: AB ⊥ CN
AB ⊥ OC (vì: OC ⊥ mặt phẳng (ABO)
Suy ra: AB ⊥ mp(ONC) ⇒ AB ⊥ OH (1)
Tơng tự: BC ⊥ AM; BC ⊥ OA, suy ra: BC ⊥ mp(OAM) ⇒ OH ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OH ⊥ mp(ABC)
b) Đặt OA = a; OB = b; OC = c
4
1
4
1
2
OB OA ON OC AB
CN S
AB CN
Mặt khác: Do tam giác OAB vuông, suy ra:
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
4
1 4
1 4
1 ) (
4 1
1 1 1 1 1
OAC OAB
OBC
ABC
S S
S
c a b c b a b
a b a
b a c S
b a
b a ON b
a OB OA ON
+ +
=
= +
+
= +
+ +
=
⇒
+
=
⇒ +
= +
=
∆
z
C
M
0.25 0.25
0.25
0.25
Trang 8H B y
N
O
A x