Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)

Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

LÍI CƒM ÌN

Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m - ¤ihåc Th¡i Nguy¶n Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæixin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh, s¥u s­c tîi TS Ph¤m Hòng Quþ, th¦y

l  ng÷íi trüc ti¸p h÷îng d¨n, tªn t¼nh ch¿ b£o, gióp ï v  ëng vi¶n tæitrong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n

Tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn ban l¢nh ¤o pháng sau ¤i håc,quþ th¦y cæ trong khoa To¡n, c¡c b¤n håc vi¶n lîp cao håc To¡n k21b

¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi, gióp ï, ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡ tr¼nhhåc tªp v  nghi¶n cùu t¤i tr÷íng

Qua ¥y, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi ng÷íi th¥n tronggia ¼nh, b¤n b± ¢ luæn ëng vi¶n kh½ch l» tæi trong suèt qu¡ tr¼nh ho n

th nh khâa håc

M°c dò câ nhi·u cè g­ng nh÷ng luªn v«n v¨n khæng tr¡nh khäinhúng sai sât v  h¤n ch¸ Tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n ânggâp quþ b¡u cõa th¦y cæ v  b¤n b± º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

Xin tr¥n trång c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, ng y 20 th¡ng 8 n«m 2015

Ng÷íi vi¸t luªn v«n

Gi¡p Thà Thõy

Möc löc

Líi cam oan

Líi c£m ìn ii

MÐ †U 1

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 2

Ch÷ìng 2 V nh v  mæun Noether 11

2.1 V nh v  mæun Noether 11

2.2 ×îc cõa 0 trong v nh Noether 16

2.3 Ph¥n t½ch nguy¶n sì Noether v  þ ngh¾a h¼nh håc cõa ph¥n t½ch nguy¶n sì 21

2.3.1 Ph¥n t½ch nguy¶n sì Noether 21

2.3.2 Þ ngh¾a h¼nh håc cõa ph¥n t½ch nguy¶n sì 25

2.4 I¶an ìn thùc 28

2.4.1 Ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa c¡c i¶an ìn thùc 28

2.4.2 ç thà húu h¤n v  i¶an c¤nh 31

K¸t luªn 35

T i li»u tham kh£o 36

MÐ †U

Mët trong nhúng ành lþ kinh iºn nh§t cõa To¡n håc l  ành lþ

cì b£n cõa sè håc ành lþ kh¯ng ành r¬ng: Måi sè nguy¶n d÷ìng ·uph¥n t½ch ÷ñc th nh t½ch c¡c lôy thøa cõa c¡c sè nguy¶n tè ành lþph¥n t½ch nguy¶n sì cõa Noether l  sü mð rëng ành lþ cì b£n cõa sèhåc cho mët lîp rëng lîn c¡c v nh Noether ành lþ ÷ñc chùng minhbði Emmy Noether v o ¦u th¸ k XX v  ¢ trð th nh n·n t£ng cho

¤i sè giao ho¡n v  h¼nh håc ¤i sè Cho mët v nh Noether, ành lþkh¯ng ành r¬ng måi i¶an ·u ph¥n t½ch ÷ñc th nh giao cõa mët sèhúu h¤n i¶an nguy¶n sì T÷ìng ùng h¼nh håc cõa ành lþ ph¥n t½chnguy¶n sì Noether l : Måi tªp ¤i sè ·u l  hñp cõa húu h¤n tªp ¤i sèb§t kh£ quy Ch½nh v¼ þ ngh¾a quan trång cõa ành lþ ph¥n t½ch nguy¶n

sì Noether t¡c gi£ luªn v«n °t möc ti¶u t¼m hiºu nâ v  þ ngh¾a h¼nhhåc cõa c¡c èi t÷ñng li¶n quan Luªn v«n ÷ñc vi¸t th nh hai ch÷ìng.Ch÷ìng 1: Tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n cõa ¤i sè giao ho¡nnh÷: V nh, mæun, i¶an nguy¶n tè, àa ph÷ìng hâa, bê · Nakayama.Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n Chóng tæi nh­c l¤ikh¡i ni»m v· v nh, mæun Noether v  ành lþ cì sð cõa Hilbert Chóngtæi tr¼nh b y v· ành lþ ph¥n t½ch nguy¶n sì Noether v  tªp i¶an nguy¶n

tè li¶n k¸t Þ ngh¾a h¼nh håc v  ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa i¶an ìn thùc,i¶an c¤nh ÷ñc ÷a ra ð cuèi ch÷ìng dòng º minh håa cho ành lþph¥n t½ch nguy¶n sì

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

Trong to n bë luªn v«n n y, chóng ta luæn x²t v nh l  v nh giaoho¡n câ ìn và

ành ngh¾a 1.0.1 Cho R l  mët v nh, mët tªp con I cõa R ÷ñc gåi

l  mët i¶an cõa v nh R n¸u thäa m¢n:

(i) I l  nhâm con cõa R vîi ph²p cëng +;

(ii) Vîi måi ph¦n tû x thuëc R, måi ph¦n tû a thuëc I th¼ xa ∈ I(ax ∈ I)

ành ngh¾a 1.0.2 Cho p l  mët i¶an thªt sü cõa R Khi â p l  i¶annguy¶n tè n¸u vîi måi x, y thuëc R tho£n m¢n xy ∈ p th¼ x ∈ p ho°c

y ∈ p Ta k½ hi»u Spec(R) l  tªp t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tè cõa R.V½ dö 1.0.3 Ta câ Spec(Z) = {(0), pZ| p l  mët sè nguy¶n tè}

ành ngh¾a 1.0.4 Cho I l  mët i¶an cõa v nh R Khi â R/I vîiph²p nh¥n ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:

(x + I) (y + I) = xy + I; ∀x, y ∈ R

l  mët v nh V nh R/I x¡c ành nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l  v nh th÷ìng cõa

R theo i¶an I

ành ngh¾a 1.0.5 Mët v nh R ÷ñc gåi l  mi·n nguy¶n n¸u R 6= 0 v n¸u x, y 6= 0 th¼ xy 6= 0.

Tø ành ngh¾a mi·n nguy¶n ta th§y ngay r¬ng i¶an (0) cõa mëtmi·n nguy¶n l  mët i¶an nguy¶n tè Têng qu¡t ta câ i·u sau:

ành lþ 1.0.6 I¶an p cõa mët v nh R l  i¶an nguy¶n tè khi v  ch¿khi v nh th÷ìng R/p l  mët mi·n nguy¶n

ành ngh¾a 1.0.7 Mët i¶an I cõa R ÷ñc gåi l  mët i¶an tèi ¤in¸u I 6= R v  nâ khæng chùa trong b§t ký mët i¶an thüc sü n o Ta kþhi»u Max(R) l  tªp hñp t§t c£ c¡c i¶an tèi ¤i cõa R

Nhªn x²t 1.0.8 (i) Måi i¶an tèi ¤i l  i¶an nguy¶n tè

(ii) N¸u R l  mët tr÷íng th¼ i¶an (0) l  i¶an tèi ¤i

(iii) I¶an I l  tèi ¤i khi v  ch¿ khi R/I l  mët tr÷íng

ành ngh¾a 1.0.9 Mët v nh R câ duy nh§t mët i¶an tèi ¤i m ÷ñcgåi l  v nh àa ph÷ìng Kþ hi»u l  (R,m)

D÷îi ¥y l  mët sè ph²p to¡n quan trång cõa i¶an

ành ngh¾a 1.0.10 Cho I v  J l  hai i¶an Khi â ta ành ngh¾a:(i) Ph²p cëng c¡c i¶an, I + J = {a + b |a ∈ I, b ∈ J }

(ii) Ph²p giao c¡c i¶an, I ∩ J = {a|a ∈ Iv  a ∈ J}

(iii) Ph²p chia i¶an, I : J = {x| xJ ⊆ I} ⊇ I

(iv) Ph²p l§y c«n i¶an, √I = {x| ∃n : xn ∈ I}

Nhªn x²t 1.0.11 N¸u J = (a1, , ak) th¼ I : J = Tk

i=1

(I : ai).V½ dö 1.0.12 X²t R = Z, I v  J l  hai i¶an cõa Z, I = (a), J = (b).Khi â:

I + J = {ax + by |x, y ∈ Z} = ×CLN (a, b)Z; I ∩ J =BCNN (a, b)Z;

I : J = nx

xb ao = nx a

Ta câ mèi li¶n h» cõa Nil(R) vîi c¡c i¶an nguy¶n tè nh÷ sau:

ành lþ 1.0.14 Trong v nh giao ho¡n R ta câ Nil(R) =√0 = T

p∈SpecR

p

ành ngh¾a 1.0.15 I¶an q cõa R ÷ñc gåi l  i¶an nguy¶n sì n¸u

q 6= R v  vîi måi x.y thuëc q v  y khæng thuëc q th¼ xn thuëc q vîi mët

sè nguy¶n d÷ìng n n o â

V½ dö 1.0.16 Trong tªp sè nguy¶n Z, vîi p l  mët sè nguy¶n tè th¼

pαZ l  i¶an nguy¶n sì cõa Z

M»nh · 1.0.17 (i) q l  i¶an nguy¶n sì cõa R khi v  ch¿ khi (0) l i¶an nguy¶n sì cõa R/q

(ii) 0 l  i¶an nguy¶n sì cõa R th¼ måi ÷îc cõa 0 ·u l  lôy linh.(iii) N¸u q l  i¶an nguy¶n sì th¼ √q l  i¶an nguy¶n tè

ành lþ 1.0.18 (ành lþ tr¡nh nguy¶n tè) C¡c m»nh · sau l  óngcho mët v nh giao ho¡n R

(i) Cho p1,p2, ,pn l  nhúng i¶an nguy¶n tè v  a l  mët i¶an cõa

R Gi£ sû a 6⊂ pi vîi måi i = 1, 2, , n khi â a 6⊂

Chùng minh (i) Ta chùng minh m»nh · b¬ng quy n¤p theo n Khi

n = 1 th¼ k¸t luªn l  hiºn nhi¶n Gi£ sû (i) ¢ ÷ñc chùng minh chotr÷íng hñp n − 1, tùc a 6⊂ S

i6=tpi, vîi måi t = 1, 2, , n Vªy tçn t¤inhúng ph¦n tû xt ∈ a\S

i6=tpi, vîi måi t = 1, , n N¸u xt ∈/ pt vîi mët

sè t n o â, suy ra xt ∈ a\

i=1

ai ⊆ p Vªy ph£i tçn t¤i mët ch¿ sè i sao cho yi ∈ p v 

i·u n y tr¡i vîi c¡ch chån yi B¥y gií, n¸u Tn

i=1

ai = p th¼ vîi ch¿ sè i ðtr¶n ta câ p ⊆ ai ⊆ p i·u n y chùng tä ai = p v  ành lþ ÷ñc chùngminh

Bê · 1.0.19 (Bê · Zorn) Cho A l  mët tªp kh¡c réng vîi quan h»thù tü ≤ Gi£ sû måi d¢y t«ng c¡c ph¦n tû trong A

a1 ≤ a2 ≤ ≤ an ≤ ≤ a

·u câ ph¦n tû ch°n tr¶n tùc l  tçn t¤i a ∈ A sao cho ai ≤ a vîi måi

i ≥ 1 th¼ trong A tçn t¤i ph¦n tû tèi ¤i

H» qu£ 1.0.20 Cho R l  mët v nh giao ho¡n Khi â R luæn câ i¶antèi ¤i

Chùng minh X²t A l  tªp t§t c£ c¡c i¶an thüc sü cõa R, khi â A kh¡créng v¼ (0) 6= R l  mët i¶an thüc sü X²t quan h» bao h m tr¶n A (l mët quan h» thù tü).

X²t d¢y t«ng c¡c i¶an cõa v nh:

I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In ⊆ ⊆ I

Ta ành ngh¾a: I = S∞

n=1

In l  mët i¶an v  RI ⊆ I Thªt vªy, v¼ r thuëc

R v  a thuëc I n¶n tçn t¤i sè m sao cho a thuëc Im do â ra ∈ Im ⊆ I

Ta câ A v  quan h» thù tü thäa m¢n bê · Zorn 1.0.19 n¶n tçn t¤i i¶antèi ¤i

ành ngh¾a 1.0.21 Cho S l  tªp con cõa v nh giao ho¡n R, khi ân¸u hai ph¦n tû s, t b§t ký thuëc S m  t½ch cõa chóng st công thuëc Sth¼ S ÷ñc gåi l  tªp âng nh¥n Ta quy ÷îc 1 ∈ S

s ∈ S sao cho s (r1s2 − r2s1) = 0 Ta câ thº kiºm tra l  mët quan h»t÷ìng ÷ìng Ta ành ngh¾a S−1

R = R × S/∼

Lîp t÷ìng ÷ìng cõa ph¦n tû (r, s) ÷ñc k½ hi»u l  r

s vîi ph²p to¡n:r

(ii) N¸u 0 ∈ S th¼ S−1R = 0

(iii) N¸u p ∈ Spec(R) v  S = R \ p th¼ Rp = S−1R l  mët v nh àaph÷ìng vîi i¶an tèi ¤i pRp Ta câ

Spec(Rp) = {qRp|q ∈ Spec(R),q ⊆ p}

ành ngh¾a 1.0.25 R l  v nh giao ho¡n M l  R-mæun (tr¡i) n¸u

M l  mët nhâm Abel vîi ph²p cëng v  câ t¡c ëng nh¥n tø R l¶n Mnh÷ sau: R × M → M cho t÷ìng ùng (r, x) 7→ rx vîi ∀x, y ∈ M v 

∀r, s ∈ S thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:

ành ngh¾a 1.0.27 (i) Ta nâi h» ph¦n tû {ai}i∈I l  mët h» sinh cõa

M n¸u vîi måi x thuëc M ta câ x = P

i∈I

riai vîi h¦u h¸t ri = 0 trømët tªp húu h¤n

(ii) Ta nâi M l  mët R-mæun húu h¤n sinh n¸u nâ câ h» sinh húu h¤n

M = ha1, a2, , ani

ành lþ 1.0.28 (ành lþ Cayley-Hamilton)

Cho M l  mët R-mæun húu h¤n sinh v  I l  mët i¶an cõa R Ph¦n

tû x ∈ R thäa m¢n t½nh ch§t xM ⊆ IM th¼ ∃bi ∈ Ii sao cho:

(xk + b1xk−1+ + bn)M = 0

Chùng minh V¼ M l  húu h¤n sinh, gi£ sû M = R hm1, m2, , mki M 

xM ⊆ IM n¶n ta câ xmi ∈ IM, ∀i = 1, k Tø â suy ra tçn t¤i (aij) saocho:

Tø ¥y ta câ i·u ph£i chùng minh.

H» qu£ 1.0.29 (Bê · Nakayama) Cho (R,m) l  mët v nh àa ph÷ìng

v  M l  mët R-mæun húu h¤n sinh N¸u mM = M th¼ M = 0

Chùng minh Ta gi£ sû ng÷ñc l¤i r¬ng M 6= 0 Gi£ sû L = {g1, , gn} l tªp sinh nhä nh§t (vîi n ph¦n tû) cõa M

Theo ành lþ Cayley-Hamilton 1.0.28 s³ tçn t¤i a1, , an ∈ I sao cho

ìn và cõa R, vîi u l  ph¦n tû nghàch £o Do â, g1 =

ành lþ 1.0.30 Cho S l  tªp âng nh¥n cõa R n¸u:

0 → M0 f→ M → Mg 00 → 0

l  mët d¢y khîp ng­n c¡c R-mæun th¼

0 → S−1M0 f→ SS −1M → SgS −1M00 → 0công l  mët d¢y khîp ng­n c¡c S−1R-mæun

ành lþ 2.1.2 Cho R l  v nh giao ho¡n v  M l  mët R-mæun Khi

â c¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng:

(i) M thäa m¢n i·u ki»n d¥y chuy·n t«ng

(ii) Måi mæun con N cõa M ·u húu h¤n sinh

(iii) Måi tªp hñp kh¡c réng c¡c mæun con cõa M ·u câ ph¦n tû tèi

¤i

Chùng minh (i) ⇒ (iii); S l  mët tªp kh¡c réng c¡c mæun con cõa M.Gi£ sû S khæng câ ph¦n tû tèi ¤i (theo quan h» bao h m) V¼ S 6= ∅n¶n M0 ∈ S, M0 khæng l  tèi ¤i trong S n¶n tçn t¤i M1 ⊇ M0, vîi

M1 ∈ S V¼ M1 khæng l  tèi ¤i trong S n¶n ∃M2 ∈ S v  M2 ⊇ M1 cù

ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n ta ÷ñc mët chuéi t«ng khæng døng c¡c mæuncon cõa M:

M0 ⊆ M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ (væ lþ)

(iii) ⇒ (ii); Gi£ sû N l  mæun con cõa M v  N = (x1, x2, xn, ), Nkhæng húu h¤n sinh Khi â, ta câ hå c¡c mæun con húu h¤n sinh

(x1) ⊆ (x1, x2) ⊆ ⊆ (x1, x2, , xn) ⊆

khæng câ ph¦n tû tèi ¤i (væ lþ)

(ii) ⇒ (i); X²t mët d¥y chuy·n t«ng c¡c mæun con cõa M:

â nâ thäa m¢n i·u ki»n d¥y chuy·n

ành ngh¾a 2.1.3 Mët R-mæun M ÷ñc gåi l  mæun Noether n¸u

nâ thäa m¢n mët trong c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng ð ành lþ 2.1.2.Mët v nh R ÷ñc gåi l  v nh Noether n¸u nâ l  mët R-mæun Noether.V½ dö 2.1.4 Mët tr÷íng, mët v nh ch½nh l  mët v nh Noether

M»nh · 2.1.5 X²t d¢y khîp ng­n c¡c R-mæun:

0 → M1→ Mα → Mβ 2 → 0Khi â, M l  Noether khi v  ch¿ khi M1 v  M2 l  Noether

Chùng minh Ta coi M1 l  mæun con cõa M v  M2 = M/M1

(⇒ ); M l  Noether suy ra M1 l  Noether (n¸u N l  mæun con cõa M1

th¼ N công l  mæun con cõa M.)

N¸u N l  mæun con cõa M2 th¼ β−1(N ) ⊆ M M  M l  Noether n¶n

β−1(N ) l  húu h¤n sinh V¼ β l  to n ¡nh n¶n β(β−1(N )) = N Gi£ sû

β−1(N )sinh bði {x1, x2, , xt} Khi â, N sinh bði {β(x1), β(x2), , β(xt)}n¶n N l  húu h¤n sinh Tø â suy ra M2 l  Noether

(⇐ ); X²t N l  mæun con cõa M, ta s³ chùng minh N húu h¤n sinh

Ta câ N1 = M1 ∩ N l  mët mæun con cõa M1 n¶n N1 l  húu h¤n sinh.Gi£ sû N1 = R(x1, x2, , xt) X²t N2 = M1 +N

M 1 V¼ M2 l  Noether n¶n N2

húu h¤n sinh Gi£ sû N2 = (β(y1), β(y2), , β(ys)) vîi y1, y2, , ys ∈ N

Ta s³ chùng minh N sinh bði (x1, x2, , xt, y1, y2, , ys) L§y z ∈ N, ta

H» qu£ 2.1.6 N¸u M1, M2, , Mt l  c¡c mæun Noether th¼ ⊕t

M»nh · 2.1.8 Cho M l  mët R-mæun Noether Khi â R/Ann(M)

Khi â ta câ

Kerϕ = {a ∈ R|ϕ(a) = 0} = {a ∈ R|(ax1, , axt) = (0, , 0)}

K¸t qu£ ch½nh cõa möc n y l  ành lþ nêi ti¸ng sau ¥y cõa Hilbert

ành lþ 2.1.10 (ành lþ cì sð Hilbert) Cho R l  mët v nh Noether.Khi â a thùc nhi·u bi¸n R[x1, x2, , xn] công l  v nh Noether

Chùng minh Cho R l  mët v nh Noether N¸u ta chùng minh ÷ñc v nh

a thùc mët bi¸n R[x] l  Noether th¼ b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p ta d¹

d ng suy ra t½nh Noether cho v nh a thùc nhi·u bi¸n º ch¿ ra R[x]

l  v nh Noether, ta s³ chùng minh r¬ng måi i¶an kh¡c khæng cõa nâ l húu h¤n sinh Cho I l  mët i¶an kh¡c khæng tòy þ cõa R[x] X²t tªpcon I0 cõa R:

I0 = a ∈ R ∃f ∈ I : f = axm + a1xm−1 + + am

Nâi c¡ch kh¡c I0 l  tªp hñp t§t c£ c¡c h» sè cao nh§t cõa c¡c a thùcthuëc I Ta d¹ d ng kiºm tra ÷ñc r¬ng I0 l  mët i¶an cõa R V¼ R

l  v nh Noether n¶n I0 l  húu h¤n sinh Gi£ sû I0 = (a1, a2, , an), ai ∈

R,vîi i = 1, , n Khi â tçn t¤i nhúng a thùc fi(x) ∈ I, i = 1, , n câh» sè cao nh§t ch½nh l  ai °t deg(fi(x)) = ri v  r = max {r1, , rn}.B¬ng c¡ch nh¥n th¶m xr−r i v o fi(x) vîi chó þ r¬ng xr−r ifi(x) ∈ I,khæng m§t t½nh têng qu¡t ta suy ra câ thº gi£ thi¸t th¶m r¬ng r =

r1 = = rn Ti¸p töc °t J = (f1(x), , fn(x)) l  i¶an chùa trong I;

M = R + xR + + xrR v  N = I ∩M N¸u xem M = R+xR+ +xrRnh÷ l  R-mæun th¼ M ch½nh l  tªp t§t c£ c¡c a thùc f(x) ∈ R[x] câdegf (x) ≤ r, n¶n nâ câ mët h» sinh húu h¤n tr¶n M l  1, x, , xr V¼

R l  v nh Noether v  câ h» sinh húu h¤n n¶n M l  R-mæun Noether.Suy ra R-mæun con N cõa M l  húu h¤n sinh N¸u ta ch¿ ra r¬ng

I = J + N th¼ rã r ng I l  húu h¤n sinh v  ành lþ ÷ñc chùng minh.Thªt vªy, cho g(x) ∈ I, degg(x) = m l  mët a thùc tòy þ vîi khai triºng(x) = axm+ b1xm−1+ + bm, 0 6= a ∈ I N¸u m ≤ r th¼ f(x) ∈ N Tr¡il¤i, gi£ sû m > r V¼ a ∈ I0, n¶n tçn t¤i c¡c ph¦n tû ui ∈ R, i = 1, , nsao cho ta câ khai triºn a = Pn

i=1uiai Khi â a thùc:

g(x) = P1(x) + G1(x), P1(x) ∈ J, degG1(x) ≤ m − 1

N¸u v¨n cán degG1(x) > r th¼ b¬ng ph÷ìng ph¡p nh÷ vøa thüc hi»n(thay v¼ g(x) ta x²t G1(x)) ta s³ t¼m ÷ñc c¡c a thùc: G2(x) ∈ I vîideg G2(x) ≤ m − 2 v  P2(x) ∈ J sao cho G1(x) = P2(x) + G2(x) Tø ¥ysuy ra g(x) = P1(x) + P2(x) + G2(x).

N¸u deg G2(x) ≤ r th¼ qu¡ tr¼nh tr¶n ÷ñc døng l¤i, n¸u khæng th¼ saunhi·u nh§t l  m − r b÷îc ta s³ t¼m ÷ñc c¡c a thùc G(x) ∈ I câdegG(x) ≤ r v  P (x) ∈ J sao cho g(x) = P (x) + G(x) ∈ J + N Tø ¥ysuy ra I ⊆ J + N Bao h m thùc ng÷ñc l¤i l  hiºn nhi¶n

H» qu£ 2.1.11 V nh a thùc nhi·u bi¸n K[x1, , xn] câ h» sè tr¶n mëttr÷íng luæn l  v nh Noether

Nhªn x²t 2.1.12 Ta công câ thº chùng minh r¬ng R l  v nh Noetherth¼ v nh lôy thøa h¼nh thùc R[[x]] công l  Noether

V½ dö 2.1.13 X²t ph÷ìng tr¼nh x2 = 2 câ nghi»m x = √2; x = −√

2.Khi â Z[√

2] l  Noether

Thªt vªy, x²t ¡nh x¤ :

ϕ : Z[x] → Z[

√2]

Cho t÷ìng ùng a 7→ a; x 7→ √2 Ta d¹ chùng minh ÷ñc ϕ l  to n ¡nh

v  Z[x] l  Noether n¶n Z[√

2] l  Noether

2.2 ×îc cõa 0 trong v nh Noether

Ta luæn gi£ sû r¬ng R l  v nh Noether giao ho¡n câ ìn và

ành ngh¾a 2.2.1 Ph¦n tû r ∈ R ÷ñc gåi l  ÷îc cõa 0M trong M n¸utçn t¤i 0 6= m ∈ M sao cho rm = 0

Ta k½ hi»u zdR(M ) l  tªp hñp t§t c£ c¡c ph¦n tû r l  ÷îc cõa 0 trongM

D÷îi ¥y ta ành ngh¾a i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t nh÷ sau:

ành ngh¾a 2.2.2 Mët i¶an nguy¶n tè p ∈ Spec(R) ÷ñc gåi l  i¶annguy¶n tè li¶n k¸t cõa M n¸u tçn t¤i x thuëc M sao cho p = 0:Mx, t÷ìng

÷ìng vîi vi»c tçn t¤i mët çng c§u nhóng R/p → M

Ta k½ hi»u AssRM l  tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M

Chùng minh (i) Gi£ sû r¬ng p = (0 : x), vîi x ∈ M v  x 6= 0, l  ph¦n

tû cüc ¤i cõa F Tø gi£ thi¸t x 6= 0 ta câ p ⊂ R Gi£ sû th¶m r¬ng

a, b ∈ R sao cho b ∈ R\p nh÷ng ab ∈ p Do abx = 0 nh÷ng bx 6= 0

Rã r ng, ta câ (0 : x) ⊆ (0 : bx) (v¼ l§y t ∈ (0 : x) th¼ tx = 0 do âbtx = 0 hay t(bx) = 0 n¶n t ∈ (0 : bx)) V¼ p l  ph¦n tû tèi ¤i, ta

câ p = (0 : x) = (0 : bx) Tø gi£ thi¸t abx = 0, ta câ a ∈ p Do â

p ∈ Spec(R)

(ii) Rã r ng r¬ng måi i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t ·u n¬m trong tªp c¡c

÷îc cõa 0 Ng÷ñc l¤i, n¸u ax = 0 vîi x 6= 0 th¼ a ∈ Ann(x) ∈ F v  theo(i) th¼ tçn t¤i mët i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M chùa Ann(x)

ành ngh¾a 2.2.5 (Tªp gi¡) Cho R l  v nh Noether v  M l  R-mæunNoether Khi â ta ành ngh¾a tªp gi¡ cõa M, kþ hi»u l  Supp(M) nh÷sau:

Supp (M ) = {p ∈ Spec (R) |Mp 6= 0}

nõ thọa mÂn mởt cĂc iÃu kiằn tữỡng ữỡng nh lỵ 2.1.2.Mởt vnh R ữủc gồi l vnh Noether náu nõ l mởt R-mổun Noether. Vẵ dử 2.1.4 Mởt trữớng, mởt vnh chẵnh l mởt vnh Noether. .. l  Noether v  ch¿ M1 v  M2 l  Noether

Chùng minh Ta coi M1 l  mæun cõa M v  M2 = M/M1

(⇒ ); M l  Noether. .. Hilbert) Cho R l  mët v nh Noether. Khi â a thùc nhi·u bi¸n R[x1, x2, , xn] cơng l  v nh Noether

Chùng minh Cho R l  mët v nh Noether Náu ta chựng minh