BÀI GIẲNG CƠ HỌC ĐẤT

GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ĐÁT GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ĐÁT GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ĐÁT GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ĐÁT GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ĐÁT GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ĐÁT GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ĐÁT GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ĐÁT GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ĐÁT GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ĐÁT GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ĐÁT GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ĐÁT GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ĐÁT GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ĐÁT GIÁO TRÌNH CƠ HỌC ĐÁT

Chương III: phân bố ứng suất trong đất

do trọng lượng bản thân của đất

I một số vấn đề cơ bản

1 áp lực nước lỗ rỗng vμ ứng suất hiệu quả

Khi ứng suất bên ngoμi truyền lên khối đất bão hoμ, áp lực nước lỗ rỗng sẽ tăng tức thời Điều đó lμm cho nước lỗ rỗng có xu hướng chảy thoát khỏi hệ lỗ rỗng, áp lực nước lỗ rỗng sẽ giảm đi vμ ứng suất tác dụng truyền cho kết cấu hạt của đất Tại một thời điểm sau khi đặt tải, ứng suất tổng tác dụng sẽ cân bằng bởi hai thμnh phần nội ứng suất

- áp lực nước lỗ rỗng (u): lμ áp lực gây ra trong chất lỏng (nước, hoặc hơi nước

vμ nước) chứa đầy lỗ rỗng Chất lỏng trong lỗ rỗng có thể truyền ứng suất pháp nhưng không truyền được ứng suất tiếp, vì thế không tạo được sức chống cắt Vì vậy đôi khi còn gọi lμ áp lực trung tính

- ứng suất hiệu quả (σ’): lμ ứng suất truyền cho kết cấu đất qua chỗ tiếp xúc giữa các hạt Chính thμnh phần ứng suất nμy đã điều khiển cả biến dạng thay

đổi thể tích vμ sức chống cắt của đất vì ứng suất pháp vμ ứng suất tiếp truyền qua được chỗ tiếp xúc hạt với hạt Terzaghi (1943) chỉ ra rằng, với đất bão hoμ, ứng suất hiệu quả có thể xác định theo sự chênh lệch giữa ứng suất tổng vμ áp lực nước lỗ rỗng:

Giả sử xác định ứng suất tại một điểm A như

hình (3-1) vμ xem như ứng suất thẳng đứng tại

A

Hình 3-1

Trong điều kiện hiện trường tự nhiên không có dòng thấm, áp lực nước lỗ rỗng thuỷ tĩnh được đặc trưng bởi mặt nước ngầm hay mức nước ngầm Nếu mặt nước

ngầm nằm sâu dưới mặt đất (dn) thì tại độ sâu (z ) , áp lực nước lỗ rỗng thuỷ tĩnh tính theo công thức:

3 4

ứng suất (kN/m 2 ) ứng suất tổng ứng suất nước lỗ rỗng ứng suất hiệu

0 57.6 77.6 167.6

0

0 9.81x1 = 9.8 9.81x6 = 58.8

0 57.6 67.8 108.8

Ví dụ 2:

Tại một công trường, lớp cát bụi trên mặt dμy 5m nằm trên lớp bùn sét dμy 4m, phía dưới lμ

đá không thấm Hãy vẽ sơ đồ ứng suất hiệu quả / ứng suất tổng cho các điều kiện sau đây: a) mặt nước ngầm bằng mặt đất

b) mặt nước ngầm ở độ sâu 2.5m, lớp cát bụi ở trên mặt nước ngầm được bão hoμ bằng nước mao dẫn

Trọng lượng đơn vị của cát bụi lμ 18.5kN/m 3 ; của sét lμ 17.7kN/m 3 ;

163.3 88.3

-24.5

5 z

9 63.8 163.3

24.5 92.5 46.3 mực nuớc ngầm

ứng suất (kN/m 2 ) ứng suất tổng ứng suất nước lỗ

rỗng

ứng suất hiệu quả

0 92.5 163.3

0 9.81x5 = 49.1 9.81x9 = 88.3

0 43.4 75.0

rỗng

ứng suất hiệu quả

0 46.25 92.5 163.3

-9.81x2.5 = -24.5

0 9.81x2.5 = 24.5 9.81x6.5 = 63.7

-24.5 46.25 68.0 99.6

3 ảnh hưởng của dòng thấm tới ứng suất có hiệu

- Khi không có dòng thấm thì ứng suất có hiệu tại A được xác định như sau:

σ’ = (γbh.h1 + γbh.h2) - γn.(h1 + h2 + h)

h h

h h

2 1 2

=

Nếu Gradient thuỷ lực rất cao thì n ( i n)

h h

2 1

nghĩa lμ sẽ không có ứng suất tiếp xúc giữa các hạt đất vμ kết cấu của đất sẽ bị phá hoại

Như vậy, ảnh hưởng của dòng thấm tới ứng suất có hiệu lμ :

thấm J sẽ lμm giảm ứng suất giữa các hạt đất dẫn tới lμm giảm ứng suất

Bμi 2: ứng suất do tải trọng tập trung

gây ra

Trong thực tế tải trọng công trình bao giờ cũng thông qua đáy móng mμ truyền tải trọng xuống đất nền dưới dạng tải trọng phân bố trên một diện tích nhất định chứ không ở dạng tải trọng tập trung Tuy nhiên, bμi toán xác định ứng suất trong

đất dưới tác dụng của tải trọng tập trung có một ý nghĩa rất cơ bản về mặt lý thuyết

vμ lμ cơ sở để giải quyết các bμi toán tính ứng suất khi tải trọng phân bố trên những diện tích theo những hình dạng khác nhau

Có ba trường hợp cơ bản cần xem xét: Lực tập trung thẳng đứng tác dụng trên mặt đất, lực tập trung nằm ngang tác dụng trên mặt đất vμ lực tập trung nằm ngang dưới mặt đất Bây giờ ta đi xét từng bμi toán cụ thể:

I Lực tập trung thẳng đứng tác dụng trên mặt đất (Bμi toán boussineque):

1 Điều kiện bμi toán:

- Xét nền đất đồng nhất, đẳng hướng, mặt đất nằm ngang

- Điểm M có toạ độ (x,y,z) trong nền đất như hình vẽ chịu tác dụng của tải trọng tập trung thẳng đứng P (kN) trên mặt đất

z

M

Mặt đất0

P(kN)

zx τ

τ zy xz τ xy τ yx

τ τ yz

Hình 3.2-1: Trạng thái ứng suất tại điểm M

- Xác định trạng thái ứng suất tại M do tải trọng tập trung P gây ra

Tại M luôn tồn tại một trạng thái ứng suất với các thμnh phần ứng suất pháp σx, σy,

σz vμ các thμnh phần ứng suất tiếp τxy=τyx, τxz=τzx, τzy=τyz Các thμnh phần ứng suất nμy do tải trọng bản thân đất vμ tải trọng ngoμi gây ra Trong bμi 1 chúng ta đã xác

định được các thμnh phần ứng suất do tải trọng bản thân đất gây ra, trong bμi nμy

chúng ta sẽ đi xác định các thμnh phần ứng suất trên do tải trọng ngoμi dưới dạng lực tập trung thẳng đứng tác dụng trên mặt đất gây ra

2 Các giả thiết tính toán:

Để xác định ứng suất do tải trọng tập trung thẳng đứng tác dụng lên mặt đất gây lên thì giáo sư người pháp J Boussinesq đã giải vμ đưa ra được các biểu thức tính toán dựa trên các giả thiết sau:

- Nền đất lμ một môi trường đồng nhất, đẳng hướng

- Nền đất lμ một bán không gian vô hạn biến dạng tuyến tính

=> Quan hệ ứng suất vμ biến dạng lμ quan hệ đường thẳng (theo định luật Hooke)

z

M

Mặt đất0

xy

- Cho R một số gia rất nhỏ dR, ta có điểm M1

- Theo giả thiết 3, áp dụng định luật Hooke ta có:

- Dưới tác dụng của lực P điểm M có một chuyển vị S theo phương R Qua thực nghiệm ta thấy rằng S tỷ lệ nghịch với R (R cμng lớn thì S cμng nhỏ) vμ S tỷ lệ nghịch với β hay tỷ lệ thuận với cosβ (0 ≤β ≤900) Từ nhận xét trên ta có thể viết:

RA

RdRR

AdR

dRR

AR

AdR

SS

- Để xác định AB ta dựa vμo điều kiện cân bằng tĩnh (∑Z = 0):

0cos

2 / 0

RP(kN)

σ

Hình 3.2-3

ở đây:

dF – Diện tích mặt đới cầu

cos2

2 / 0

ưAB ππ∫ β βdβP

03

cos2

+ Gọi σ’R lμ ứng suất hướng tâm tác dụng trên mặt phẳng nằm ngang đi qua điểm M (hình 3.2-4 )

+ Gọi FR lμ diện tích mặt cắt phân tố tại M có phương vuông góc với OM + Gọi F’R lμ diện tích mặt cắt phân tố tại M theo phương ngang

σ '

F R

R F'

τ zy z σ M

Hình 3.2-4

Khi đó lực tác dụng lên phân tố theo phương OM lμ:

R R R

Thay giá trị σR từ 3.2-12 vμo 3.3-14 vμ cosβ=z/R

4 2

2

3'

R

zP

2

3),'cos(

'

2

3),'cos(

'

2

3),'cos(

'

R

xzPX

R

yzPY

R

zPZ

R R

zx

R R

zy

R R

z

πσ

στ

πσ

στ

πσ

σσ

cos(σ’R ,Z) = z/R; cos(σ’R ,Y) = y/R; cos(σ’R ,X) = x/R

- Lμm tương tự đối với các mặt của phân tố đất ta sẽ có ứng suất của các mặt khác như sau:

−

−+

−

−

−+

=

2 3

5

2 3

2 3

2 2

5 2

2 3

2 3

2 2

5 2

)(

)2(3

212

3

)(

)2()

(3

212

3

)(

)2()

(3

212

3

zRR

zRxyR

xyzP

zRR

zRyz

RR

zRzRR

zyP

zRR

zRxzRR

zRzRR

zxP

xy

y

x

μπ

τ

μπ

σ

μπ

R

zP

z y

πσσσ

+

=

RR

zE

P

2

)1(

3

2

μπ

+

=

)()1(22

)1(

xR

xzE

P

πμ

+

=

)()1(22

)1(

yR

yzE

P

πμ

z =

σ

Với

2 / 5 2

])(1[

12

3

zr

r – Khoảng cách từ điểm đang xét tới trục Oz

k – Hệ số tra bảng phụ thuộc vμo r/z đ−ợc tra theo bảng 3-1 trong SGK

**) Nếu tại mặt đất có nhiều lực tập trung cùng tác dụng P1, P2, P3 nh− hình vẽ Thì ứng suất nén σz tại điểm bất kỳ cho các mặt phẳng nằm ngang song song với mặt phẳng biên có thể tính bằng công thức cộng tác dụng:

3 2

2 2 2

Pkz

Pkzσ

=

i i

1 2

1 σ

(3.3-19)

II Lực tập trung nằm ngang tác dụng trên mặt đất

Khi có tải trọng tập trung Q nằm ngang tác dụng trên măt đất thì ứng suất nén thẳng đứng tại điểm M bất kỳ lμ:

5 2

2

3

R

xzQ

b

xp

b Giải bμi toán:

- Chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh− hình vẽ, điểm M có toạ độ lμ (x0, y0,z0)

- Trong phạm vi HCN lấy vi phân dF=dxdy, toạ độ (x,y,0)

- Khi đó tải trọng phân bố trên diện tích dF coi nh− tải trọng tập trung:

- áp dụng kết quả bμi toán Boussinesq ta có ứng suất tại M do lực dP tác dụng lμ:

dxdyR

zp

3 0

2

3d

2 / 2 /

2 / 5 2 0 2 0 2 0

3 0

])

()[(

2

3

b

b

l

l z

zyyx

x

dxdyz

pπ

Như vậy muốn tính được σz ta phải biết được toạ độ của điểm M Thay giá trị toạ

độ điểm M vμo CT 3.4-2 rồi khai triển tích phân ta thu được σz do tải trọng phân bố

đều trên diện tích HCN

- Trong thực tế để tiện tính toán ta sử dụng các công thức tra bảng sau:

+ Các điểm nằm dưới tâm diện tích chịu tải hình chữ nhật M(0,0,z):

pk

+ Các điểm nằm dưới góc diện tích chịu tải hình chữ nhật M(±b/2, ±l/2, z):

)1(

- Ta tính σz tại điểm M tại độ sâu zo trên đường thẳng đứng đi qua O nằm trong phạm vi tác dụng tải trọng abcd, Ta chia abcd thμnh 4 hình chữ nhật mỗi hình chịu tải riêng biệt vμ coi mỗi hình đó như một diện tích chịu tải riêng biệt

gd

k k

k g aeoh g oebf g ofcg g ogdh

- Nếu điểm O nằm ngoμi phạm vi tác dụng tải trọng, ta giả định các diện tích

chịu tải ảo nh− hình trên vμ tính σz theo CT 3.4-2:

p k k

b Giải bμi toán:

- Chọn hệ trục Oxyz có trục Ox nằm trên mặt đất, hướng theo chiều tăng tải trọng phân bố, gốc O trùng với góc có p=0 như hvẽ Điểm M có toạ độ lμ (x0,y0,z0)

- Trong phạm vi HCN lấy vi phân dF=dxdy, toạ độ (x,y,0)

- Khi đó tải trọng phân bố trên diện tích dF coi như tải trọng tập trung:

zb

p

3 0

2

3d

x

xdxdyz

b

p

0 0

2 / 5 2 0 2 0 2 0

3 0

])

()[(

2

3

π

Như vậy muốn tính được σz ta phải biết được toạ độ của điểm M Thay giá trị toạ

độ điểm M vμo CT 3.4-2 rồi khai triển tích phân ta thu được σz do tải trọng phân bố tam giác trên diện tích HCN

- Trong thực tế để tiện tính toán ta sử dụng các công thức tra bảng sau:

+ Các điểm nằm dưới góc móng có p lớn nhất:

Bμi 4: phân bố ứng suất trong trường

hợp bμi toán phẳng

1 Tải trọng đường thẳng (bμi toán Flamant)

a Xét bμi toán:

- Xét tải trọng đường phân bố đều có cường độ p (kN/m) trên mặt đất

- Xác định trạng thái ứng suất tại M dưới nền đất do tải trọng gây ra

b Giải bμi toán:

- Chon hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ Điểm M có toạ độ (x0,0,z0)

- Lấy vi phân dy trên trục Oy, toạ độ (0,y,0)

- Khi đó tải trọng phân bố trên dy coi như tải trọng tập trung: dP = pdy

- áp dụng bμi toán Boussinesq ta có ứng suất tại M do lực dP tác dụng lμ:

dyR

zp

3 0

2

3d

3 0

][

2

3

zyx

dyz

p

Như vậy muốn tính được σz ta phải biết được toạ độ của điểm M Thay giá trị toạ

độ điểm M vμo CT 3.4-2 rồi khai triển tích phân ta thu được σz do tải trọng đường phân bố đều trên trục Oy ta có

2 2 0 2 0

3 0

).(

2

zx

zp

- Lμm tương tự ta có:

2 2 0 2 0 0 2 0

).(

2

zx

zxp

0 2 0

2 0 0

)(

.2

zx

zxp

c Nhận xét:

- Về mặt thực tế bμi toán nμy không gặp nhiều

- Về mặt lý thuyết nó có ý nghĩa quan trọng, kết quả của bμi toán nμy được dùng lμm cơ sở để giải các bμi toán phẳng khác

2 Tải trọng phân bố đều trên diện tích hình băng

b Giải bμi toán:

- Chon hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ Điểm M có toạ độ (x0,0,z0)

- Trên bề rộng b của diện tích băng tại toạ độ (x,0,0) lấy phân tố có chiều rộng

z p

z x x

z dP

0

2 0

3 0 2

2 0

2 0

3 0

])[(

2])[(

2d

+

ư

=+

ư

=

ππ

- Đặt các góc β, β1, β2 như hình vẽ

+ Quy ước về dấu đối với các góc β như sau: lấy dấu "+" khi điểm xét nằm bên trái đường trục thẳng đứng qua vị trí của góc β Như vậy các góc β1, β2 lấy dấu

"+" khi điểm xét nằm ngoμi phạm vi mép móng, lấy dấu "-" khi điểm xét nằm trong phạm vi mép móng

2

2 4

4 0 2

4

3 0

cos

2cos

.2

β β

β

βπ

β

βπ

R

z p R

zd z p

2 1

2

)2()2cos1(2)2cos1(cos

2

β β

β β

β

β

ββπ

ββπ

ββπ

1 2

)2sin2(2

βββ

2

βπ

(cos2

p k

p k

zx xz x z

3 2 1

σ

(3.5-12)

Trong đó: k1, k2, k3 lμ các hệ số tra bảng 3.9 trang 108 giáo trình Cơ học đất

phụ thuộc vμo z0/b vμ x/b

3

1

ββ

πσ

ββ

πσ

p

x0

Như vậy ứng suất pháp σx, σz trong trường hợp nμy lμ ứng suất chính

)2sin2(

)2sin2(

3

1

ββ

πσσ

ββ

πσσ

3 Tải trọng phân bố tam giác trên diện tích hình băng

a Xét bμi toán:

- Xét tải trọng đường phân bố hình tam giác trên diện tích hình băng có bề rộng b cường độ lớn nhất p (kN/m)

- Xét điểm M (x0,0,z0) dưới nền đất

- Xác định trạng thái ứng suất tại M do tải trọng hình tam giác trên diện tích hình băng gây ra

p

R

- Chọn hệ trục Oxyz có trục Ox nằm trên mặt đất, hướng theo chiều tăng tải trọng phân bố, gốc O trùng với góc có p=0 như hvẽ Điểm M có toạ độ lμ (x0,0,z0)

- Trên bề rộng b của diện tích băng tại điểm có toạ độ (x,0,0) lấy phân tố có chiều rộng dx

- Khi đó tải trọng phân bố trên dx coi như tải trọng đường:

z x p

z x x

z x dP

0

2 0

3 0 2

2 0

2 0

3 0

] ) [(

.

2 ] ) [(

2

d

+

ư

= +

ư

=

π π

dx z x x

x z

2 0

3 0

])

[(

2

π

- Trong thực tế để tiện sử dụng ta dùng các công thức tra bảng sau:

p k

p k

p k

t zx xz

t x

t z

3 2 1

σ

(3.5-18)

Trong đó: kt1, kt2, kt3 lμ các hệ số tra bảng 3.11a vμ 3.11b trang 112 giáo trình

Cơ học đất phụ thuộc vμo z0/b vμ x/b

p lμ cường độ tải trọng phân bố lớn nhất

IV do tải trọng phân bố hình thang trên diện tích hình băng

- Với tải trọng phân bố hình thang gẫy khúc (mặt cắt nền đường đắp, mặt cắt đê…)

ta có thể tính được ứng suất tại 1 điểm nằm dưới nền đường theo những phương pháp sau:

*) Phương pháp công ứng suất:

*) Phương pháp tra biểu đồ Osterberg:

- Theo Osterberg với tải trọng biến đổi tuyến tính ta có thể tính được ứng suất trong đất theo công thức sau:

pI

Trong đó: p - cường độ của tải trọng phân bố (Hình vẽ)

I = f(a/z;b/z) - Hệ số tra biểu đồ Osterberg phụ thuộc vμo a/z vμ b/z

a, b: Chiều dμi tương ứng của tải trọng tam giác vμ hình chữ nhật

z : Độ sâu điểm xét

- Trong công thức trên I được xác định bằng cách cộng đại số các hệ số tương ứng với tải trọng bên trái It vμ bên phải Ip của đường thẳng đứng đi qua điểm đang xét

pI

Bμi 5: Phân bố ứng suất dưới đáy móng

1 ứng suất dưới đáy móng vμ các nhân tố ảnh hưởng

a Khái niêm:

ứng suất đáy móng lμ thμnh phần ứng suất pháp tuyến tại mặt phẳng đáy móng trong nền đất do tải trọng công trình gây ra

Biết được trạng thái ứng suất tiếp xúc của các điểm tại mặt phẳng đáy móng ta sẽ

vẽ được biểu đồ phân bố ứng suất tiếp xúc dưới đáy móng

dạng cùng cấp với khả năng biến dạng của đất nền áp lực dưới đáy móng phân

bố hoμn toμn giống tải trọng tác dụng trên móng

* Móng cứng: Lμ móng có biến dạng vô cùng bé so với biến dạng của đất

nền áp lực dưới đáy móng được phân bố lại

+ Nền đất (tên, trạng thái đất)

- Để xác định ứng suất dưới đáy móng ta dựa vμo hai phương pháp tính toán sau:

+ Phương pháp giải tích (phương pháp chính xác)

+ Phương pháp gần đúng (tính theo các công thức trong SBVL)

2 Phương pháp chính xác

a) Các giả thiết:

- Nền lμ bán không gian vô hạn đμn hồi, đồng nhất

- Móng coi tuyệt đối cứng

- Đáy móng luôn tiếp xúc với nền đất Đất lμ vật

liệu không chịu kéo

b) Xét bμi toán:

- Xét móng có diện tích F đặt trên mặt đất

- Tìm ứng suất phân bố dưới đáy móng

c) Giải bμi toán:

- Chọn hệ trục toạ độ Oxyz bất kỳ

- Lấy phân tố bất kỳ trong phạm vi đáy móng có toạ độ (x,y) Diện tích phân

z E

P

2

)1(

3 2 0

νπ

RE

P w

0 ) ( )(

),(1

yyx

x

dxdyyxpC

dw

ư+

w

2 0 2

0 ) ( )(

),(1

w

2 0 2

0 ) ( )(

),(1

F

yMdxdyyx

F

xMdxdyyx

(3.6-6)

Trong đó: P, Mx, My lần lượt lμ tải trọng tập trung, mô men quanh trục x, trục y do

tải trọng công trình truyền xuống

A, B, D các hệ số của phương trình chuyển vị

- Giải hệ phương trình 3.6-5 vμ 3.6-6 ta tìm được p(x,y) tại bất kỳ điểm nμo

ra được nghiện chính xác cho trường hợp móng elip vμ móng hình tròn Đối với móng hình vuông, hình chữ nhật ta thường áp dụng phương pháp gần

Tải trọng P tác dụng lệch tâm theo cả hai phương

Ta có ứng suất dưới đáy móng phân bố dạng hình

thang hoặc tam giác vμ có giá trị:

y

y x

x B

A

W

M W

M F

=

Trong đó: Mx=P.ex – Mô men quanh trục x-x

My=P.ey – Mô men qunh trục y-y

ex, ey - Độ lệc tâm của lực P đối với trục x-x, y-y

Wx=bl2/6 – Mô men quán tính của đáy móng đối với trục x-x

Pb

max

σ min

P ey

b

y