Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp cấu trúc, đối tượng rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính. Người ta thường kể đến trong toán học rời rạc lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole. Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc với các tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như số học modulo m, lý thuyết nhóm hữu hạn, lý thuyết mật mã, ... Trong các cấu trúc, đối tường rời rạc không có một cấu trúc nào là cơ bản thực sự, bởi vì hầu hết cấu trúc có thể được định nghĩa thông qua hầu như bất kỳ các kiểu khác. Do vậy, trong modul này, nội dung sẽ trình bày những cấu trúc cơ bản và quan trọng nhất. Điều này cũng đúng với vị trí của modul (vì người học sẽ tiếp cận modul Toán rời rạc 2 nói về lý thuyết đồ thị cũng như về ngôn ngữ hình thức)
Trang 1Chương 6 Cây và cây khung của đồ thị
1 CÂY VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA CÂY
Định nghĩa1
Ta gọi cây là đồ thị vô hướng liên thông không có chu trình Đồ thị không có chu trình được gọi là rừng
Như vậy, rừng là đồ thị mà mỗi thành phần liên thông của nó là một cây
Thí dụ 1 Trong hình 1 là một rừng gồm 3 cây T1, T2, T3
Hình 1 Rừng gồm 3 cây T1, T2, T3
Có thể nói cây là đồ thị vô hướng đơn giản nhất Định lý sau đây cho ta một số tính chất của cây
Trang 2Định lý 1 Giả sử G=(V,E) là đồ thị vô hướng n đỉnh Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương:
(1) T là cây;
(2) T không chứa chu trình và có n-1 cạnh;
(3) T liên thông và có n-1 cạnh;
(4) T liên thông và mỗi cạnh của nó đều là cầu;
(5) Hai đỉnh bất kỳ của T được nối với nhau bởi đúng một đường đi đơn;
(6) T không chứa chu trình nhưng hễ cứ thêm vào một cạnh ta thu được đúng một chu trình
2 CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ
Định nghĩa 2 Cho đồ thị vô hướng liên thông G=(V,E) cây khung T=(VT,ET) của nó được xác định
như sau:
Tập đỉnh của cây T cũng là tập đỉnh của đồ thị G tức là: VT = V
Tập cạnh của cây T là tập con của tập cạnh của đồ thị G tức là: ET V
Nói cách khác, từ đồ thị G ta bỏ bớt các cạnh đi cho thành 1 cây, thì đó là một cây khung của đồ thị Như vậy 1 đồ thị có thể có nhiều cây khung
Ví dụ:
Hình 2 Đồ thị và 2 các cây khung của nó (nó còn có các cây khung khác)
Trang 33 BÀI TOÁN TÌM CÂY KHUNG NHỎ NHẤT
Bài toán cây khung nhỏ nhất của đồ thị là một trong số những bài toán tối ưu trên đồ thị tìm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của đời sống Trong mục này chúng ta trình bày những thuật toán
cơ bản để giải bài toán này Trước hết chúng ta phát biểu nội dung bài toán
Cho G=(V,E) là đồ thị vô hướng liên thông Mỗi cạnh e của đồ thị G được gán với một trọng số không
âm c(e), gọi là độ dài của nó Giả sử T=(VT,ET) là cây khung của đồ thị G Ta gọi độ dài c(T) của cây khung T là tổng độ dài các cạnh của nó:
c(T) = c(e)
e ET Bài toán đặt ra là trong tất cả cây khung của đồ thị G hãy tìm cây khung với độ dài nhỏ nhất Cây khung như vậy như vậy được gọi là cây khung nhỏ nhất của đồ thị và bài toán đặt ra được gọi là bài toán cây khung nhỏ nhất
Để minh hoạ cho những ứng dụng bài toán cây khung nhỏ nhất, dưới đây, ta phát biểu hai mô hình thực tế tiêu biểu của nó
Bài toán xây dựng hệ thống đường sắt Giả sử ta muốn xây dựng một hệ thống đường sắt nối n
thành phố sao cho hành khách có thể đi từ bất kỳ một thành phố nào đến bất kỳ một trong các thành phố còn lại Mặt khác trên quan điểm kinh tế đòi hỏi là chi phí xây dựng hệ thống đường phải nhỏ nhất Rõ ràng đồ thị mà đỉnh là các thành phố còn các cạnh là các tuyến đường sắt nối các thành phố tương ứng với phương án xây dựng tối ưu phải là cây Vì vây, bài toán đặt ra dẫn về bài toán tìm cây khung nhỏ nhất trên đồ thị đầy đủ n đỉnh, mỗi đỉnh tương ứng với một thành phố, với độ dài trên các các cạnh chính là chi phí xây dựng đường ray nối hai thành phố tương ứng (chú ý là trong bài toán này
ta giả thiết là không xây dựng tuyến đường sắt có các nhà ga phân tuyến nằm ngoài các thành phố)
Bài toán nối mạng máy tính Cần nối mạng một hệ thống gồm n máy tính đánh số từ 1 đến n Biết
chi phí nối máy i với máy j là c[i,j], i,j = 1, 2, ,n ( thông thường chi phí này phụ thuộc vào độ dài cáp nối cần sử dụng) Hãy tìm cách nối mạng sao cho tổng chi phí nối mạng là nhỏ nhất
3.1 Thuật toán Kruskal
Cho đồ thị vô hướng liên thông có trọng số G=(V,E) Thuật tóan tìm ra cây khung nhỏ nhất Tmin=(Vmin,Emin) Các bước làm như sau:
Bước khởi đầu:
Tập đỉnh của cây Tmin là tập đỉnh của đồ thị G, tức là: Vmin = V
Tập cạnh của cây Tmin là rỗng: Emin =
Trang 4ước lặp: Mỗi lần lặp chọn 1 cạnh cho cây (Lặp lại cho đến khi chọn đủ số cạnh bằng số đỉnh trừ 1)
Xét cạnh có trọng số nhỏ nhất trong các cạnh chưa xét
Nếu cạnh này không tạo thành chu trình với các cạnh đã chọn trước đó, thì chọn nó vào cây Ngược lại thì bỏ qua không chọn
Thí dụ 3.Tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị cho trong hình 3 dưới
Hình 3 Đồ thị để tìm cây khung nhỏ nhất
Bước khởi tạo Đặt Tmin=
Bước lặp:
Xét cạnh (3,5) chọn vào cây
Xét cạnh (4,6) chọn vào cây
Xét cạnh (4,5) chọn vào cây
Xét cạnh (5,6) không chọn vào cây
Xét cạnh (3,4) không chọn vào cây
Xét cạnh (1,3) chọn vào cây
Xét cạnh (2,3) chọn vào cây
Đã chọn đủ 5 cạnh, được Tmin = (3,5) , (4,6) , (4,5) , (1,3) , (2,3) Chính là tập cạnh của cây khung nhỏ nhất cần tìm
Trang 53.2 Thuật toán Prim
Thuật toán Prim còn được gọi là phương pháp lân cận gần nhất Trong phương pháp này bắt đầu từ một đỉnh tuỳ ý của đồ thị, đầu tiên ta nối s với đỉnh lân cận gần nó nhất, chẳng hạn là đỉnh y Nghĩa là trong số các cạnh kề của đỉnh s, cạnh (s,y) có độ dài nhỏ nhất Tiếp theo trong số các cạnh kề với hai đỉnh s hoặc y ta tìm cạnh có độ dài nhỏ nhất, cạnh này dẫn đến đỉnh thứ ba z, và ta thu được cây bộ phận gồm 3 đỉnh và 2 cạnh Quá trình này sẽ tiếp tục cho đến khi ta thu được cây gồm tất cả các đỉnh của đồ thị, đó chính là cây khung nhỏ nhất cần tìm
Cho đồ thị vô hướng liên thông có trọng số G=(V,E) Thuật tóan tìm ra cây khung nhỏ nhất Tmin=(Vmin,Emin) Các bước làm như sau:
Bước khởi đầu:
Tập đỉnh của cây Tmin là 1 đỉnh tùy í s: Vmin = {s}
Tập cạnh của cây Tmin là rỗng: Emin =
ước lặp: Mỗi lần lặp chọn 1 đỉnh và 1 cạnh cho cây (Lặp lại cho đến khi chọn hết đỉnh của đồ thị)
Tìm ra đỉnh gần cây Tmin hiện tại nhất
Thêm vào cây Tmin đỉnh này, và cạnh ngắn nhất nối đỉnh này với cây
Trang 6Thí dụ 4.Tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị cho trong hình 3 dưới
Hình 3 Đồ thị để tìm cây khung nhỏ nhất
Bước khởi tạo Đặt Vmin= , Emin =
Bước lặp:
Vmin= , Emin =
Vmin= , Emin =
Vmin= , Emin =
Vmin= , Emin =
Vmin= , Emin =
Kết thúc
Trang 7Bài tập
Một địa đạo gồm 9 căn hầm và các đường hầm với độ dài như hình vẽ dưới
a) Cần đi tham quan tất cả các đường hầm, sao cho mỗi đường hầm chỉ đi qua đúng một lần, thì phải trổ cửa lên mặt đất ở những hầm nào, để số lần phải xuống-lên mặt đất là ít nhất Chỉ ra các con đường đi tham quan Nếu muốn chỉ trổ duy nhất một cửa hầm mà có thể đi như yêu cầu, thì phải đào thêm ít nhất những đường hầm nào nữa?
b) Nếu chỉ yêu cầu giữa các hầm có thể đi tới nhau được Hãy đưa ra phương án phải đào những đường hầm nào trong các đường hầm đã cho, để tổng chiều dài các đường hầm phải đào là nhỏ
nhất Nói rõ đã áp dụng thuật tóan nào
140
40
100
50
120
180
50
60
110
70
30
220
140
1
3
7
6
9
5
2
4
8
