Đề cương ôn tập học kì 2 lớp 11

Tìm số hạng đầu và công sai của CSC đó... Xác định công sai và số hạng đầu của một CSC hoặc CSN * Phương pháp xác định công sai và số hạng đầu của một CSC: - Ta thiết lập một hệ phương t

TÀI LIỆU CỦA KYS – ÔN THI THPT 2018

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH LỚP 11 CHƯƠNG III: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 CẤP SỐ CỘNG

a) Định nghĩa:  un là cấp số cộng d; n N*

nu1nu

u     

2

uu

u k 1 k 1

k      (trừ số hạng đầu và số hạng cuối)

d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho (un) là một CSC Khi đó

2

d1n12un2

nu1unnu

1ku.1ku

2k

u    

hay

1ku.1k

uk

u    (trừ số hạng đầu và số hạng cuối)

d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho (un) là một CSN Khi đó

1qkhi

;q1

nq11unu

II CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

1 Dạng 1 Chứng minh một dãy số là một cấp số cộng, cấp số nhân

* Phương pháp chứng minh một dãy số là một CSC:

Để chứng minh dãy số (u n) là một CSC ta xét hiệu H u n1u n

- Nếu H là hằng số thì (u n) là một CSC có công sai d H

- Nếu H phụ thuộc vào n thì (u n) không là CSC

Ví dụ: Chứng minh dãy số  un với 20n 9

n

u   là một CSC Tìm số hạng đầu và công sai của CSC đó

Giải:

120

9-20n-91n20nu1

n

n

u Vậy  un là một CSC với u111 và d = 20

* Phương pháp chứng minh một dãy số là một CSN:

Để chứng minh dãy số (u n) là một CSN ta xét thương  1 , 1

n u

u T n n

- Nếu T là hằng số thì (u n) là một CSN có công bội qT

- Nếu T phụ thuộc vào n thì (u n) không là CSN

Ví dụ: Xét xem dãy số  un với  1.5 1

n

u  n n có là một CSN không? Nếu là CSN tìm số hạng đầu và công bội

Giải:

2.51

5.1

115.111

n

n n

2 Dạng 2 Xác định công sai và số hạng đầu của một CSC hoặc CSN

* Phương pháp xác định công sai và số hạng đầu của một CSC:

- Ta thiết lập một hệ phương trình mà u1và d phải thỏa Giải hệ này ta được u1và d

Ví dụ: Tìm số hạng đầu và công sai của CSC  un biết

4

5 3 2

u u

u u u

82

10326

53

104

1 1 1

1

1 1

1

d

u d

u

d u d

u d u

d u d u d u

Vậy  un đã cho có u1 1,d 3

* Phương pháp xác định công bội và số hạng đầu của một CSN:

- Ta thiết lập một hệ phương trình mà u1và q phải thỏa Giải hệ này ta được u1và q

Ví dụ: Cho CSN  un có u2 4,u4 16 và công bội q < 0 Tìm số hạng đầu và số hạng thứ sáu của CSN đó

4

4

16

4

16

4 16

4

1 2

1 2

1

1 3

1 1 4

2

u q q

q u

q q u q u q

u

q u u

u

Vậy  un đã cho có u1   2 ;u6 u1.q5  (  2 ).(  2 )5  64

3 Dạng 3 Dùng công thức u n và S n của CSC, CSN để chứng minh hay tính tổng

* Phương pháp dùng công thức u n và S n của CSC để chứng minh hay tính tổng

Ta thường dùng linh hoạt các công thức:

- Nếu (u n) là một CSC có công sai d thì d u n1u n

(2)

Giải:

Ta có VT(2) = a2ac.ca2acc2 c2a2acc2aacc22abVP(2) Vậy a22bcc22ab

* Phương pháp dùng công thức u n và S n của CSN để chứng minh hay tính tổng

Ta thường dùng linh hoạt các công thức:

- Nếu (u n) là một CSN có công bội q thì  1 , 1

n u

u q n n

9

910

10

n-10

110110

99

n 3

3.Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng Chứng minh: a2  2bc   c2 2ab

4 Tìm u1, q của cấp số nhân biết:

2,

1,

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

a) Giả sử f x L g x M

x x x

Khi đó

)0(,)

)

(

lim

,)

g

x

f

M L x g

x x x x

2 ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN MỘT BÊN

L x f x

f L

x

f

x x x

x x

0

x g x f x x

0

x f x x lim ( )

0

x g x x Dấu của

) ( lim

x f x x

xx x  (với n > 0)

5 HÀM SỐ LIÊN TỤC

a) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 K

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0nếu lim ( )  0

0

x f x f x

b) Một số định lý cơ bản:

ĐL 1:

- Hàm số đa thức liên tục trên R

- Hàm phân thức hữu tỉ và các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng

ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại x0 là những hàm số liên tục tại

0

x (trường hợp thương thì mẫu phải khác 0 tại x0)

ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên  a; b và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm

- Nếu tử hay mẫu có chứa căn thức thì nhân tử và mẫu với lượng liên hợp của tử hoặc mẫu

và cũng rút gọn thừa số xx0ở tử và mẫu ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định Cần chú ý các công thức biến đổi sau:

2 2

3 3 2

2

;

b ab a

b a b

a b

Giải:

84

8.442

lim2

42

2lim

2

16

2 2

2

2 2

2 3

x

x x x

x x

x

x x

x

2

16lim 3 2

31

321

3lim

1321

134lim1

13

2

lim

1 2

1 2

x

x x

x

8

31

132

* Dạng 

:

- Chia cả tử và mẫu cho x k với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu

- Sau đó dùng các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương cùng giới hạn

a)

42

2163

x b) 3

2210

15lim

x

x x

0 0 3 4 2 1

2 16 3 lim 4 2

2 16 3

lim

4 2

4 3 2

x x x

x

x x

x

42

2163

2 0

0 0 0 2

10

1 5 1 lim 2

10

1 5 lim

3

3 2 3

x x

x x

210

15

1

lim

x x

11

21lim

1

2lim

1

31

lim1

31

1

lim

2 1

2 1

3 2 1 3

2 1

x x

x x x

x x x

x x x

   

4

32232134

13lim

2134

13lim

2134

4134lim2

13

4

lim

2

2 2

2 2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

x x

x x

4

32134

- Để khử dạng này thì ta cần thực hiện một số biến đổi như đưa thừa số vào trong dấu căn,

quy đồng mẫu số, ta có thể đưa giới hạn đã cho về dạng quen thuộc

Ví dụ: Tìm giới hạn sau:  

11

x x

lim11

11

lim1111lim

11

1

2 2

1 2

1 2

x

x x x x x

x

x x

x x x

x

x

x x

x x

11

11

- Dạng I: Cho h/s 1 0

( )( )

2khi2

4)

(

2

x

x x

x x

B1: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn

B2: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao

Ví dụ: Tìm điều kiện của số thực a sao cho hàm số  

2

2

1 1

3.4 Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0 Để c/m PT có k nghiệm trên  a b; :

B1: Tính f(a), f(b)  f(a).f(b) < 0

B2: Kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x) trên  a b;

B3: Kết luận về số nghiệm của PT trên  a b;

Ví dụ: CMR phương trình 7 5

x  x   có ít nhất một nghiệm Xét hàm số   7 5

Bài 3: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):

4

x

x x





 c) 3

2 1 lim

3

x

x x

2

x

x x

1lim

1

x

x x





  g)

2 3

9lim

1 2

x

x x





  h) 4

2 1 3lim

2

x

x x

2 1 lim 9.

3

x

x x

2

x

x x

x

x x

7 3

x

x x

; 2

1 1 lim 2   2    2   2  

9) -1/2 10) 11/17 11)27 12)3/2 13) -1/56

Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng

0

sin lim 1

x

x x

3

x

x x x

 c)

2 0

Bài 11: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

2khi2

4)

(

2

x

x x

ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ;

c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục

Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:

( )

3 2

x

khi x x

d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 1), (1; +) và bị gián đọan tại x = 1

Bài 13: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0

a)  

2

2

1 1

c) 3 2

2x 3x  5 0 có ít nhất một nghiệm

d) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)

e) x33x2 1 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt

x x

x

x x

x

x

2 2

2 2

cot1sin

1

'

cot

tan1cos

U

U U

U U U

U U U

2 '

2 '

sin

'cot

cos

''

tan

sin'cos

cos''sin

2 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM (Ký hiệu U = U(x), V=V(x))

U V   U V    U.V'U'.VV'.U

(k.U) k.U   (k là hằng số) 2

V

V'.UU'.V

3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP: g(x) = f[U(x)] , g'x = f ' u U x

4 ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ

Đạo hàm cấp 2: f  (x) f (x)

Đạo hàm cấp n:  

 

) ( )

( ( 1)

) (

x f x

5 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:

y = f’(x 0 ) (x – x 0 ) + f(x 0 )

Lưu ý:

f’(x0) = hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C): y = f(x) tại điểm Mx0, f x0 

II CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

1 Dạng 1: Tính đạo hàm, đạo hàm cấp cao của các hàm số Sử dụng các quy tắc và bảng

ĐS: a) y’=3x2 b) y’= 6x c) y’ =

12

x

y





2 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)

* Loại 1: Tiếp tuyến tại điểm Mx0,f x0 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:

y = f’(x 0 ) (x – x 0 ) + f(x 0 ) (*)

* Loại 2: Tiếp tuyến với hệ số góc k

+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng d cho trước:

Phương pháp:

B1: Tiếp tuyến d’ // d nên k d' k d

B2: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm Khi đó ta có f’(x0)= k d (3)

B3: Giải (3) tìm x0 Từ đó suy ra f(x0)

B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập

+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d cho trước

Phương pháp:

B1: Tiếp tuyến d’ // d nên

d d

k

k '   1

B2: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm Khi đó ta có f’(x0)= k d (4)

B3: Giải (4) tìm x0 Từ đó suy ra f(x0)

B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập

* Loại 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước

B2: Cho d đi qua A ta được y A y0  f' x0 x A x0 (5)

B3: Giải (5) tìm x0 y0? Suy ra pt tiếp tuyến cần viết

Ví dụ: Gọi (C) là đồ thị hàm số:

x x f

y ( )  1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) a) Tại điểm có hoành độ bằng -2

b) Tại điểm có tung độ bằng 3

c) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : y =

3 4 22

10

x x

y  4.y(x32)(x1)

5.y5x2(3x1) 6 2 3

)5( 

56

y 12

1

3 5





x x

322

Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

1) y3sin2 x.sin3x 2) 2

)cot1

sin 2

sin 1 -







x x

y

cos sin

cos sin

y  

)2sin

c bx ax y

c bx ax y

Áp dụng:

1 2

4 3

22

y

32

432

x x y

( ) sin cos

f x  x x và ( ) 1cos 4

4

g x  x Chứng minh: f x'( )g x'( ) ( x )

Bài 7: Giải phương trình: f’(x) = 0 biết rằng:

a) f(x) = cos x + sin x + x b) f(x) = 3 sin x  cos x  x

4 x

3 x

- Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8

Bài 10: Chứng minh rằng f x'( )0  x , biết:

y x

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1

Bài 12: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)

a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2

c) Viết phtrình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2

Bài 13: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : 3 2

yx  x  Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) a) Tại M (0;2)

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =1

7x – 4

d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;0)

Bài 14: Cho đường cong (C): 2

2

x y x





 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

a) Tại điểm có hoành độ bằng 1

b) Tại điểm có tung độ bằng 1

3

c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là  4

d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;2)

Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

x y

3)  

 

2

3 2

7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x

8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x

Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

1

n n

n

n y