CHUYÊN đề HÌNH học KHÔNG GIAN

B C S  ư ực tiếp bằng việc sử d ng công th c thể tích Khi tính thể tích khối đa diện đầu tiên cần quan tâm hai yếu tố quan trọng xác định thể tích là: chiều cao và diện tích đáy dựa t

a Tiêu chuẩn vuông góc

Đ ng th ng (d) vuông góc m t ph ng (P) khi (d) vuông góc v ng th ng giao nhau

P

- t bê v t : SHO

5 Thể Tích Khối a iện

ể ối : 1

.3

 Một số ươ á xác đị đường cao

5.N u hình chóp có các m t bên b ng nhau ho c cùng t o v t góc t ng cao h t

nh là tâm c ng tròn ngo i ti p

6.N u hình chóp có 2 m t bên b ng nhau ho c cùng t o v t góc t ng cao h t

nh xu t u ng phân giác c a góc t o bởi giao tuy n c a 2 c bê v

7.N u hình chóp có 2 c nh bên b ng nhau ho c cùng t o v t góc t ng cao h t

nh xu t u ng trung trực c a c nh gi i h n bởi 2 c bê v

Bài toán 1: Tính thể tích

B

C S

 ư ực tiếp bằng việc sử d ng công th c thể tích

Khi tính thể tích khối đa diện đầu tiên cần quan tâm hai yếu tố quan trọng xác định thể tích là: chiều cao

và diện tích đáy dựa trên các công cụ đã học như các hệ thức lượng trong tam giác thường, hệ thức

lượng trong tam giác vuông,…

Vì SH   ABCD nên ng cao c a hình chóp

Gọi H là tâm c a hình vuông ABCD

Vì S ABCD là hình p u nên SH   ABCD 

60 0

A

C

B S

M H

ư c 3: Tính di t

Ví dụ 3: Tính thể tích kh p t u S.ABC, bi t c b ng a và các c nh bên h p 600

Gọi H là tâm c a tam giác ABC, M tru iểm c a BC

Vì S ABC p u nên SH   ABC 

D

C A

do có tính ch t m t bên vu ng góc v i

ư c 2: X nh chi u cao

N u hình chóp có m t m t bên vuông góc v t ng cao là

ng h t nh vuông góc v i giao tuy n c a 2 m t

do có tính ch t m t bên vu ng góc v i

ư c 2: X nh chi u cao

N u hình chóp có 2 m t bên cùng vuông góc v t tu n c a

Gọi H là hình chi u c a S trên m t ph ng  ABC 

v ng xiên SA  SB  SC nên các hình chi u

t ng HA  HB  HC

H t ng tròn ngo i ti p tam giác

ABCmà tam giác ABCvuông t i A nên H tru ểm c a BC

do có tính ch t c nh bên b ng nhau

ư c 2: X nh chi u cao

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

p B áy ABCD là hình thang vuông t i A,D; AB=AD=2a, CD=a, góc gi a hai m t

ph ng (SBC) và (ABCD) b ng 600 gọ I tru ểm c a AD Bi t hai m t ph ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD) Tính VS ABCD.

Gọi H là hình chi u c a I trên BC

T gi thi t suy ra SI vuông góc v i m t t ể d dàng tính

do có tính ch t m t bên vu ng góc v i

ư c 2: X nh chi u cao

N u hình chóp có 2 m t bên cùng vuông góc v t o tuy n c a

dựa vào tính ch t c a kh i hình

ư c 2: X nh chi u cao

p ch nh t nên

ng cao sẽ ng

ư c 3: Tính di t

Bài tập tự luyện

Bài 1 Đ thi TN THPT 2009) Cho hình chóp S ABC có m t bên SBC t u c nh a, c nh

bên SA vuông góc v i m t v A c a tam giác ABC b ng 1200 Tính thể tích c a kh i chóp

vuông t i A và D, AB = AD = 2a, CD = a; Góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABCD) b ng 60o Gọi I là

tru ểm c a c nh AB Bi t (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD) Tính thể tích kh i

Khi tính thể tích, việc linh hoạt sử dụng các tính chất về khoảng cách

giúp ta có thể giải quyết bài toán khá nhanh gọn Công cụ thường dùng là các tính chất khoảng cách đó là:

D C

S

H M

 Cho hình chóp S ABC S M , ,  d / /  ABC   VM ABC.  VS ABC.

Kết quả được mở rộng cho khối chóp đa giác

 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1.(Đề TSĐH khối D năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD ABCD là hình vuông c nh a, c nh bên

SA = a; hình chi u vuông góc c nh S trên m t ph ng (ABCD) ể H t u n AC,

Trong tam giác vuông SAH và SCH

3a 2a

nên .

.

23

c nh:

Lưu ý: Công thức trên chỉ được áp dụng cho khối chóp tam giác,còn với khối chóp đa giác khi áp dụng

cần chia nhỏ khối đa diện thành nhiều khối chóp tam giác để tính tỉ số

 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1.Cho t di n ABCD có AB  a AC ,  2 , a AD  3 , a BC  a 3, BD  a 10, CD  a 19 Tính VABCD

Sử d nh lý Cosin cho các tam giác ABC ABD ACD , , t c

L y M  AC N ,  AD sao cho AM=AN=a

ư c 1: Chọ p p p Gián tiếp : X c t

s thể tích

ABMN ABCD

D C

ư c 3: Tính di t

Ví dụ 2

Cho kh tr t u ABC A B C ' ' ' Các m t ph ng  ABC ' ,   A B C ' '  tr thành

4 ph n Tính tỷ s thể tích c a 4 ph

Gọi V1 VC MNC. '; V2  VC MNB A'. ' '; V3  VC MNBA. ; V4  VMNABB A' '

V

V    V V V  V 

V y V V V V1: 2: 3: 4  1: 3: 3: 5

ư c 1: Chọ p p p Gián tiếp : X c t

Ví dụ 3 (Đề thi dự bị ĐH khối D năm 2008)

Cho t di n ABCD M N P , , , l t thu c BC BD AC , , sao cho BC  4 BM BD ,  2 BN , 3

AC  AP, m t ph ng (MNP) cắt AD t i Q Tính tỷ s thể tích hai ph n kh i t di n ABCD b chia bởi

m t ph ng (MNP)

K Q

B

C

D A

M

N P

ABIN

a

B 3 r kh i A - 2011) p B B t vu t i B, AB =

BC = 2a; Hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABC) Gọ tru ểm

c a AB, m t ph ng qua SM và song song v i BC cắt AC t i N Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 60o Tính VSBCNM

 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví d 1 p u B y ABCD là hình vuông tâm O c nh b ng a, SA=a Tính

kho ng cách t ể O n mp(SAB)

B p u nên SO  (ABCD) Qua O kẻ OI

Ví d 2: p B B t vu t i B, AB=3a, BC=4a; mp(SBC)

vuông góc v i mp(ABC) Bi t SB=2a 3,

 SBC=300 Tính kho ng cách t ể B n mp(SAC) theo

t nh vuông góc v i giao tuy n c a 2

2 .tan60

0 = a 3

2 B’ ∥ ’B

 d(B;(SAH)) = BK = a 2

3 d(E;(SAH))

d(B;(SAH)) =

ES

BS =

12

I H

N M

D'

C' B'

A'

D

C B

A

 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ1 p B vu nh a, SA  a , SA  (ABCD) Tính kho ng

cách gi a SB và AC

Trong m t ph ng (ABCD) dựng  qua B song song v i

Ví dụ3 Cho hình t di u ABCD c nh a = 6 2 ã v t n vuông góc

 Bài toán dựng hình và ch ng minh vuông góc

 Sử d ng quan hệ vuông góc

Bài t p tự luy n

Bài 1 (Trích đề thi khối A – 2012) p B t u nh a Hình chi u

vuông góc c a S lên m t ph B ể t u nh AB sao cho HA = 2HB Góc gi a SC và

A

Bài 5 Đ k B 2002 p p B 1B1C1D1 c nh a Tìm kho ng cách gi a hai

c nh SC Tìm kho ng cách gi ng th ng SA và BM Đáp số: d(SA, BM) = 2 6

3Bài 8 p B B t vu t i B, AB = a, BC = 2a, c nh SA vuông góc v v = 2 k ng cách gi ng th ng AB và SC

Cho hình chóp t B vu nh a M t bên SAD là tam u và ở trong

m t ph ng vuông góc v ọi M, N, P l t tru ểm c a SB, BC, CD Ch ng minh AM

A

C

B

D S

P N M

E

H

D

C B

A S

A S

T (3) và (4) suy ra: BP   MAN   AM  BP p

Ví d 2 Đ k B 2007

Cho hình chóp t u S.ABCD c b ng a Gọ E ểm i x ng c ể qu tru ểm

c a SA Gọi M, N l t tru ểm c a AE, BC Ch ng minh MN  BD

B 3 ng kh B 2009 p t u S.ABCD, c b ng a.C nh bên

b nga 2 Gọi M, N, P l t tru ểm c a SA, SD, DC.Ch ng minh r ng MN  SP

B 4 p B tr B t vu t i C, hai m t bên (SAC) và (SAB) cùng vuông góc v ọi D, E l t là hình chi u c a A trên SC và SB Ch ng minh

(SAB)  (ADE)