CHUYÊN đề HÌNH học KHÔNG GIAN

f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song  Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng...  Phương pháp tính trực tiếp bằng việc sử dung c

ÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔN

G

GIAN

STT Dạng bài Số bài tập rèn luyện Thời gian rèn luyện Ghi chú Bản thân

A

b c

vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:

2 Các hệ thức lượng trong tam giác thường

a) Định lí hàm số cosin

b) Định lí hàm số sin

c) Công thức tính diện tích của tam giác

N K

M

A

N M

A C

B

1 . 2

ABC

a S

a h

D

ìïï = ïïï

Þ í

ïï = ïï ïî

A B

C D

Þ í ï

= = ïïî

d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

4 Diện tích của đa giác

a/ Diện tích tam giác vuông

 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích

2 cạnh góc vuông

b/ Diện tích tam giác đều

 Diện tích tam giác đều:

34

SD =

 Chiều cao tam giác đều:

32

hD =

c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật

 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình

phương

 Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân

2 2

/ /

AMN ABC

.

1 . 2

d/ Diện tích hình thang

- Diện tích hình thang:

SHình Thang

12

=

.(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e/ Diện tích hình bình hành

- Diện tích hình bình hành :

SHình bình hành

=đáy x chiều cao

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông

góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo

 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc

nhau tại trung điểm của mỗi đường

Lưu y: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính diện

tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác

II HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1. QUAN HỆ SONG SONG

a/ Chứng minh đường thẳng

a Tiêu chuẩn vuông góc

+ Đường thẳng (d) vuông góc mặt phẳng (P) khi (d) vuông góc với

hai đường thẳng giao nhau của (P)

+ Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi góc tạo bởi

hai mặt phẳng đó bằng 900

b Các định lý về tính vuông góc

b a d

P

+ Định lý ba đường vuông góc: Giả sử d ⊂ ( )P

và d không vuông góc (P), ∆ ⊂( )P

,d’ là hình chiếu của d lên (P) Khi đó ∆ ⊥

+ Giả sử (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau,

thì Δ sẽ vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong mp(P)

+ Giả sử (P) và (Q) cùng vuông góc với (R) trong đó

a/ Góc giữa hai đường thẳng

 Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương

với hai đường thẳng đó:

2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên

2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến

( )

·

(( );a b ) =( , )a b¶ =f

d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

 Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng

d M D =MH

e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)

này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia

f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng

g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó d

A

B

C H O

chứa d' và song song với d

 Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

( ) ( )a , b

lần lượt chứa dvà d'

4 Hinh Chóp Đều

a/ Định nghĩa.

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao

trùng với tâm của đa giác đáy.

Nhận xét:

- Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các mặt bên tạo với đáy

các góc bằng nhau

- Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

b/ Hai hình chóp đều thường gặp

* Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABC. Khi đó:

- ĐáyABC là tam giác đều

- Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

- Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều

+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều

+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy

* Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABCD.

'

d

C D S

O

- ĐáyABCDlà hình vuông

- Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

Chiều cao của khối chóp

2/ Thể tích khối lăng tru:

Chiều cao của khối chóp

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là

C’

C A

c

b a

là diện tích hai đáy và chiều cao.

• Một số phương pháp xác định đường cao

1.Nếu hình chóp có đường thẳng hạ từ đỉnh vuông góc với đáy thì đó là đường cao

2.Nếu hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao là đường hạ từ đỉnh vuônggóc với giao tuyến của 2 mặt đó

3.Nếu hình chóp có 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của 2 mặt bên đó chính làđường cao của khối chóp

4.Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chânđường cao của khối chóp là tâm của đa giác đáy

5.Nếu hình chóp có các mặt bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy một góc thì chân đường caohạ từ đỉnh là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy

6.Nếu hình chóp có 2 mặt bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy một góc thì chân đường cao hạtừ đỉnh xuống đáy thuộc đường phân giác của góc tạo bởi giao tuyến của 2 cạnh bên đó vớiđáy

7.Nếu hình chóp có 2 cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy một góc thì chân đường caohạ từ đỉnh xuống đáy thuộc đường trung trực của cạnh giới hạn bởi 2 cạnh bên đó với đáy

Bài toán 1: Tính thể tích

 Phương pháp tính trực tiếp bằng việc sử dung công thức thể tích

Khi tính thể tích khối đa diện đầu tiên cần quan tâm hai yếu tố quan trọng xác định thể tích là: chiều cao và diện tích đáy dựa trên các công cụ đã học như các hệ thức lượng trong tam giác thường, hệ thức lượng trong tam giác vuông,…

• VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 (Đề thi TSĐH Khối A năm 2010)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm củacác cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và

SH =

3

a

Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a

( )

SH ⊥ ABCD

Bước 3: Tính diện tich đáy

Ví dụ 2 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD

cao do có tính chất cạnh bên

Bước 2: Xác định chiều cao

Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao củakhối chóp là tâm của đa giác đáy

Bước 3: Tính diện tich đáy

2 3

Gọi H là tâm của tam giác ABC

, M là trung điểm của BC

S ABC ABC

V = SH S

Vì ABC

là tam giác đều nên AM ⊥BC

Trong tam giác vuông ACM

,

AM ⊥BC SH ⊥BC

nên SM ⊥BC

Do đó, Góc giữa mặt phẳng (SBC)

và mặt phẳng ( ABC)

bằng góc giữa SM và AM hay góc

cao do có tính chất cạnh bên

Bước 2: Xác định chiều cao

Nếu hình chóp có các cạnh bêncùng tạo với đáy một góc bằngnhau thì chân đường cao của khốichóp là tâm của đa giác đáy

Bước 3: Tính diện tich đáy

Trong tam giác vuông SHM

là tam giác đều cạnh a, BCD

là tam giác vuông cân tại D, mặt

phẳng (ABC) (⊥ BCD)

Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Gọi H là trung điểm của BC.

Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥BC

Bước 2: Xác định chiều cao

Bước 3: Tính diện tich đáy

Ví dụ 5 Cho hình chóp S ABCD.

có đáyABCD

là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp

(SAB) ABCD SAD ABCD SA ABCD SAB SAD SA

2 153

Bước 2: Xác định chiều cao

Nếu hình chóp có 2 mặt bên cùngvuông góc với đáy thì giao tuyến của 2 mặt bên đó chính là đường cao của khối chóp

Bước 3: Tính diện tich đáy

Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABC.

có đáy ABC

là tam giác vuông tại A,

AB a BC= = a

Các cạnhbên SA SB SC= = =2a

Tính thể tích khối chóp S ABC

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

vì các đường xiên SA SB SC= =

nên các hình chiếu tương ứng HA HB HC= =

Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

mà tam giác ABC

vuông tại A nên H là trung điểm của

1

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc hợp đáy góc bằng

nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Ví dụ 7: (Đề TSĐH khối A năm 2009)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a, CD=a, góc giữa haimặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 gọi I là trung điểm của AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI)cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính S ABCD.

V

Gọi H là hình chiếu của I trên BC

Từ giả thiết suy ra SI vuông góc với mặt đáy Ta có thể dễ dàng

3 155

mặt phẳng ( ABC D' ')

hợp đáy góc

045

Tính thể tích khối hộp chữ nhật đó

Theo ĐL Pitago ta có:

BC = AC −AB = a⇒ S = AB BC = a

(đvdt)

Nên góc giữa mặt phẳng (ABC D' ')

và đáy là góc

· ' 450

CBC =

Suy ra, tam giác vuông cân nên CC'=BC=3a

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là

+ Quy về tính thể tích một khối chóp đặc biệt

+ Chia nhỏ thành nhiều khối chóp để tính

+ Bù thêm vào khối đa diện phức tạp để được khối đa diện dễ

tính thể tích

Bài tập tự luyện

Bài 1 (Đề thi TN THPT 2009) Cho hình chóp S ABC

có mặt bên SBC

là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và góc A của tam giác ABC bằng

0120

Tính thể tích của khối chóp S ABC

theo a

Đáp số:

3

236

S ABC

Bài 2 (Trích đề thi ĐH khối D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, BA = 3a, BC = 4a; Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết B =

Bài 3 (Trích đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng

60o Gọi I là trung điểm của cạnh AB Biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng(ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Đáp số:

3

2 155

5

Tính thể tích khối chóp SABCD

Bài 6 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD = 4a, các cạnh bên bằngnhau và bằng

Bài 8 Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với

mặt đáy Tam giác SAB vuông tại S, góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 30o Tính theo

a thể tích khối chóp SABCD

Bài 9 Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vuông cạnh

3

a

, tam giác SBCvuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng SD tạo với

mặt phẳng (SBC) một góc 60o Tính thể tích khối chóp SABCD

 Phương pháp sử dung tỉ số diện tích, thể tích và tính chất khoảng cách

Thông thường, khi tính diện tích đáy ta có thể linh hoạt sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác hay tính toán dựa trên việc thêm bớt các đa giác dễ tính diện tích Ngoài ra, ta có thể

Khi tính thể tích, việc linh hoạt sử dụng các tính chất về khoảng cách

giúp ta có thể giải quyết bài toán khá nhanh gọn Công cụ thường dùng là các tính chất khoảng cách đó là:

• Cho hình chóp

.

• Cho hình chóp S ABC S M , , ∈d/ /( ABC) ⇒V M ABC. =V S ABC.

Kết quả được mở rộng cho khối chóp đa giác

 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1.(Đề TSĐH khối D năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn

AC, 4

AC

AH =

Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và

tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

Bài giải Sơ đồ con đường

Trong tam giác vuông SAH

cân tại C mà CM là đường cao hạ từ C của ∆SAC

nên M là trung điểm của SA

3 2

Bước 2: Xác định chiều cao

Nếu hình chóp có đường thẳng hạ từ đỉnh vuông góc với đáy thì đó là đường cao

Bước 3: Tính diện tich đáy

Ví dụ 2.(Đề TSĐH khối D năm 2009)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C =3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tíchkhối tứ diện IABC

Dễ dàng tính được

AC a= BC = a

Ta có I là trọng tâm tam giác AA’C’ nên

23

I ABC

M ABC

V

Gián tiếp : Tỉ số cạnh

Bước 2: Xác định chiều cao

Nếu hình chóp có đường thẳng hạ từ đỉnh vuông góc với đáy thì đó là đường cao

Bước 3: Tính diện tich đáy

Ví dụ 3

Trên cạnh

,

SA SB

của hình chóp SABC

lần lượt lấy điểm D và E sao cho

12

SD SE

DA = EB =

Mặtphẳng qua DE và song song với SC chia khối chóp SABC

thành hai phần Tính tỉ số thể tích của haiphần đó

Dễ dạng xác định được thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua DE,song song với SC và hình chóp SABC

chính là hình bình hành

ABDEFG A DFG B DEF ABDF SABC

Do đó, tỉ số thể tích của hai phần là:

2027

Lưu ý: Công thức trên chỉ được áp dụng cho khối chóp tam giác,còn với khối chóp đa giác khi

áp dụng cần chia nhỏ khối đa diện thành nhiều khối chóp tam giác để tính tỉ số

Sử dụng định lý Cosin cho các tam giác

Do đó, tam giác BMN vuông tại B

Vì AB=AM=AN nên hình chiếu của A

trên (BMN) là tâm H của đường tròn

ngoại tiếp VBMN

, H cũng chính là trung điểm của MN

Bước 3: Tính diện tich

đáy

Ví dụ 2.

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' '

Các mặt phẳng

Ví dụ 3 (Đề thi dự bị ĐH khối D năm 2008)

Cho tứ diện

Gián tiếp : Chia tứ diện

thành 2 phần để áp dụng tỉsố thể tích

 Xét tỉ số cạnh

Bước 2: Lập tỉ số và cộng

2 tỉ số thể tích tương ứng

Bài tập tự luyện

Bài 1 (Trích đề thi khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lầnlượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a

Đáp số:

3 3.96

(ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và

SC, I là giao điểm của BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIB

Đáp số:

3 2.72

ABIN

a

V =

Bài 3 (Trích đề khối A - 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

B, AB = BC = 2a; Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC).Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N Biết gócgiữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o Tính VSBCNM

(ABCD) và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của SA và SD Tính VSBCNM Đáp số: VSBCNM

3.3

 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA=a Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC)

S.ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ (ABCD) Qua O kẻ

OI vuông góc với AB

 PP1: Tỉ số đồng dạng

 PP2: Xác định trực tiếp đường cao

Bước 2: Lộ trình con đường

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC=4a;

mp(SBC) vuông góc với mp(ABC) Biết SB=2a, SBC=30 Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a

Kẻ SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ (ABC) Xét ∆SHB ta có:

Ví du 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC=BAD = 90, BA=CB=a, AD=2a.

Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA=a Gọi H là hình chiếu của A lên SB Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) theo a

Gọi I là trung điểm của AD ta có CI = AD

⇒∆ACD vuông tại C hay AC ⊥ CD

Vị dụ 4: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chử nhật AB=a, AD=a

Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa mp(ADD’A’) và (ABCD) bằng 60 Tính khoảng cách từ điểm B’ đến mp(A’BD)