Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.. Viết phương trình tiếp tuyến với C, biết tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox.. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực n
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
1 x 2
1 x y
1* Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2* Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox
Câu II (1 điểm)
1* Giải phương trình sau trên tập số phức 2
1 0
z z
2* Giải phương trình: cos 2xcosx sinx 1 0
4log x log x 2
x x x x
Câu V* (1 điểm) Tính tích phân sau
1
0
x
x
Câu VI(1 điểm)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa AA’ và BC là a 3
4
Câu VII( 1điểm)
Trong mp(Oxy) cho 4 điểm A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ( ) : 3 x y 5 0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau
Câu VIII*(1điểm)
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’
đối xứng với O qua (ABC)
Câu IX* (0,5điểm) Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ Giáo viên chọn ngẫu
nhiên 3 học sinh để làm trực nhật Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và
nữ
Trang 2ĐÁP ÁN
I.1(1d) TXĐ: D = R\ {-1/2}
Sự Biến thiên:
,
2
3
0
x
0,2
5
+ Giới hạn ,tiệm cận:
1 2 lim x y
1 2 lim x y ĐTHS có tiẹm cận đứng : x = -1/2 lim 1 2 x y lim 1 2 x y đTHS có tiệm cận ngang: y = -1/2 0,2 5 + Bảng biến thiên :
x -1/2
, y - -
y -1/2
-1/2
0,25
Đồ Thị :
0,25
Trang 3
I.2(1d)
Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là
, 0 2
1 A
Phương trình tiếp tuyến () qua A có dạng
2
1 x k y
() tiếp xúc với (C) /
k x
x 1
k co ù nghieä m 2x 1
0,25
) 2 ( k 1 x 2 3
) 1 ( 2
1 x k 1 x 2
1 x
2
Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là
2
1
3 x
0,25
1 (x 1)(2x 1) 3(x )
và x 1 x 1 3 0,25
y
x
0
I -1/2
1
1 -1/2
Trang 4II.1(0,5d) Ta có: 2
căn bậc hai của là i 3 0,25
Phương trình có nghiệm: 1 1 3 1 3 , 2 1 3
i
II.2(0,5đ) cos 2xcosx sinx 1 0
cos 2 0
1 sin
x
x
k
+) Với
2 1
2
x k
III.(0,5d) Điều kiện x > 0
1 2
2 (1) 4 log x log x 2 4 log x 2 log x 2 0 Đặt t log2 x
Pt có dạng 2
1
2
t
t
0,25
1 2
1
2
t x x nhan
1 2
2
t x x nhan
Vậy phương trình có nghiệm 1
2
x và x 2
0,25
IV(1d)
Điềukiện: 2
2
8
x
(*)
Bất phương trình đã cho tương đương với
3(x x) (1 x) 2 (x x )(1 x) 0
0,5
Trang 52 2 2
2
9
x
x
Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là
.
0,5
V(1d)
Đặt 3x 1 t ta được
2
t
x dx tdt
Đổi cậnx 0 t 1;x 1 t 2
0,5
Khi đó
2
t t
0,5
VI(1d)
M
Gọi M là trung điểm BC ta thấy:
BC O A
BC AM
' BC(A'AM)
Kẻ MH AA' ,(do A
nhọn nên H thuộc trong đoạn AA’.)
AM A HM
AM A BC
) ' (
) ' (
.Vậy HM là đọan vuông góc chung của
AA’và BC, do đó
4
3 )
BC , A'
0,5
A
B
C
C’
B’
A’
H
O
Trang 6VII(1d) Viết phương trình đường AB: 4x 3y 4 0 và AB 5
Viết phương trình đường CD: x 4y 17 0 và CD 17
0,25
Điểm M thuộc có toạ độ dạng: M ( ;3t t 5) Ta tính được:
( , ) 13 19; ( , ) 11 37
0,25
Từ đó: S MABS MCD d M AB AB( , ) d M CD CD( , ).
9 7
3
Có 2 điểm cần tìm là: ( 9; 32), ( ; 2)7
3
0,5
VIII(1d) *Từ phương trình đoạn chắn suy ra pt tổng quát của mp(ABC) là:2x+y-z-2=0 0.25
*Gọi H là hình chiếu vuông góc của O l ên (ABC), OH vuông góc với
(ABC) nên OH//n( 2 ; 1 ; 1 ) ;HABC
Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có t=
3
1
suy ra )
3
1
; 3
1
; 3
2
H
0,5
*O’ đỗi xứng với O qua (ABC) H là trung điểm của OO’ )
3
2
; 3
2
; 3
4 (
IX(0,5d) 3
11 165
Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là 2 1 1 2
5 6 5 6 135
C C C C
Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 135 9
165 11
0,25
3 3 2 0 (1)
Điều kiện:
2 2
y
0,25
Đặt t = x + 1 t[0; 2]; ta có (1) t3 3t2 = y3 3y2 0,25
Trang 7Hàm số f(u) = u3 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:
(1) y = t y = x + 1 (2) 2 2
1
v x v[0; 1] (2) v2 + 2v 1 = m
Hàm số g(v) = v2
+ 2v 1 đạt
[ ] g v [ ax] g v
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 m 2
0,25
