Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.. Viết phương trình tiếp tuyến với C, biết tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox.. Tìm toạ độ điểm diện tích bằng nhau.. Giáo viên chọ
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN; ĐỀ 06-BN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (2 điểm) Cho hàm số :y 2xx 11
1* Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2* Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox
Câu II (1 điểm)
1 0
z z
2* Giải phương trình: cos 2 cosx x sinx 1 0
Câu III* (0,5 điểm) Giải phương trình: 2
4log x log x 2
Câu IV (1 điểm) Giải bất phương trình x 1 x2 2 3 x 4 x2
Câu V* (1 điểm) Tính tích phân sau
1
0
x
x
Câu VI(1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh
a, hình chiếu vuông góc của A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa
4
Câu VII( 1điểm)
Trong mp(Oxy) cho 4 điểm A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5) Tìm toạ độ điểm
diện tích bằng nhau
Câu VIII*(1điểm)
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa
độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC)
Câu IX* (0,5điểm) Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ Giáo viên
chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ
Câu X (1điểm) Tìm m để hệ phương trình
có nghiệm thực
…… HẾT
Trang 2ĐÁP ÁN
I.1(1d) TXĐ: D = R\ {-1/2}
Sự Biến thiên:
,
2
3
0
2 1
x
Nên hàm số nghịch biến trên ( ; 1) ( 1; )
2 va 2
+ Giới hạn ,tiệm cận:
1
2 lim x y 1
2 lim x y ĐTHS có tiẹm cận đứng : x = -1/2 lim 1 2 x y lim 1 2 x y đTHS có tiệm cận ngang: y = -1/2 + Bảng biến thiên :
x -1/2
, y
-y -1/2
-1/2
0,25
Đồ Thị :
0,25
Trang 3
I.2(1d)
, 0 2
1 A
2
1 x k y
x 1 k x 1
x 1 k co ù nghieäm 2x 1
0,25
) 2 ( k
1 x 2 3
) 1 ( 2 1 x k 1 x 2 1 x 2
Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là
1
3 x
0,25
1 (x 1)(2x 1) 3(x )
2
2
2
0,25
y
x 0
I -1/2
1 1 -1/2
Trang 4Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 121 x12
0,25
II.1(0,5d) Ta có: 1 4 3 3i2căn bậc hai của là i 3 0,25
Phương trình có nghiệm: 1 1 3 1 3 , 2 1 3
i
II.2(0,5đ) cos 2 cosx x sinx 1 0
cos 2 0
1 sin
x
x
4 2
k
+) Với
2 1
2
x k
III.(0,5d) Điều kiện x > 0.
1 2
2
(1) 4log x log x 2 4log x 2log x 2 0 Đặt t log 2x
Pt có dạng 2
1
2
t
t
0,25
1 2
1
2
1 2
2
Vậy phương trình có nghiệm 1
2
x và x 2
0,25
IV(1d)
Điềukiện:
2
2
3 41
8
x
Bất phương trình đã cho tương đương với
1 2 (1 ) 2 3 4
0,5
Trang 52 2 3(x x) (1 x) 2 (x x )(1 x) 0
2
5 34
9
x
x
Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là
5 34 3 41
.
0,5
V(1d)
Đặt 3x ta được 1 t
t
x dx tdt
Đổi cậnx 0 t 1;x 1 t 2
0,5
Khi đó
2
t t
VI(1d)
M
Gọi M là trung điểm BC ta thấy:
BC O
A
BC AM
Kẻ MH AA' ,(do A
nhọn nên H thuộc trong đoạn AA’.)
AM A HM
AM A BC
) ' (
) ' (
.Vậy HM là đọan vuông góc chung của AA’và BC, do đó
4
3 )
BC , A'
0,5
Xét 2 tam giác đồng dạng AA’O và AMH, ta có:
AH
HM AO
O A
'
suy ra
3
a a 3
4 4
3 a 3
3 a AH
HM AO O '
Thể tích khối lăng trụ:
12
3 a a 2
3 a 3
a 2
1 BC AM O ' A 2
1 S
O ' A V
3
0,5
VII(1d) Viết phương trình đường AB: 4x 3y 4 0 và AB 5
Viết phương trình đường CD: x 4y 17 0 và CD 17
0,25
A
B
C
C’
B’
A’
H
O
Trang 6Điểm M thuộc có toạ độ dạng: M ( ;3t t 5) Ta tính được:
( , ) 13 19 ; ( , ) 11 37
0,25
Từ đó: S MAB S MCD d M AB AB d M CD CD( , ) ( , ).
9 7
3
Có 2 điểm cần tìm là: ( 9; 32), ( ; 2)7
3
0,5
VIII(1d) *Từ phương trình đoạn chắn suy ra pt tổng quát của mp(ABC) là:2x+y-z-2=0 0.25
*Gọi H là hình chiếu vuông góc của O l ên (ABC), OH vuông góc với
(ABC) nên OH //n( 2 ; 1 ; 1 ) ;HABC
Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có t=
3
1
3
1
; 3
1
; 3
2
H
0,5
*O’ đỗi xứng với O qua (ABC) H là trung điểm của OO’ )
3
2
; 3
2
; 3
4 (
IX(0,5d) 3
11 165
Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là 2 1 1 2
5 6 5 6 135
C C C C
Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 135 9
165 11
0,25
Điều kiện:
2 2
y
y y
0,25
0,25
Trang 7Đặt v 1 x2 v[0; 1] (2) v2 + 2v 1 = m.
Hàm số g(v) = v2 + 2v 1 đạt min ( )[0;1] g v 1; m [0;1ax] g v( ) 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 m 2
0,25
