Quá trình phân nhánh và ứng dụng

Nhưng trong khuôn khổ luậnvăn em trình bày ba quá trình phân nhánh cơ bản là: quá trình Galton -Watson, quá trình Markov, quá trình phụ thuộc tuổi và một số ứng dụngđơn giản của quá trìn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THU

QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Lí thuyết xác suất và thống kê toán học

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TẠ NGỌC ÁNH

HÀ NỘI - 2017

Mục lục

1.1 Định nghĩa 3

1.2 Mômen 5

1.3 Tính chất cơ bản của hàm sinh 6

1.4 Xác suất tuyệt chủng 8

1.5 Các định lý giới hạn 10

1.5.1 Các định lý về tỉ lệ 13

1.5.2 Trường hợp dưới tới hạn 14

1.5.3 Trường hợp tới hạn 16

1.5.4 Trường hợp siêu tới hạn 19

1.5.5 Tính chất cấp 2 của Zn/mn 21

1.6 Quá trình Q 23

2 Quá trình phân nhánh Markov thời gian liên tục 26 2.1 Định nghĩa 26

2.2 Phương trình hàm 27

2.3 Hàm sinh 29

2.4 Xác suất tuyệt chủng và mômen 30

2.5 Ví dụ 32

2.6 Nhúng vào quá trình Galton - Watson 33

2.7 Định lý giới hạn 35

2.7.1 Trường hợp trên tới hạn λ > 0 35

2.7.2 Trường hợp tới hạn λ = 0 36

2.7.3 Trường hợp dưới tới hạn 38

3 Quá trình phụ thuộc tuổi 39

3.1 Giới thiệu 39

3.2 Xác suất tuyệt chủng 41

3.3 Mômen 43

3.4 Tiệm cận của F (s, t) 44

3.4.1 Trường hợp tới hạn 44

3.4.2 Không tới hạn : trường hợp Malthusian 45

3.4.3 Không tới hạn: trường hợp sub-exponential 46

3.5 Các định lý giới hạn 46

3.5.1 Trường hợp tới hạn 46

3.5.2 Trường hợp dưới tới hạn 47

3.5.3 Trường hợp trên tới hạn 48

4 Ứng dụng 50 4.1 Chuỗi phản ứng PCR và quá trình phân nhánh 50

4.1.1 Cơ chế hoạt động của PCR 50

4.1.2 Mô hình toán học 51

4.1.3 Ước lượng thống kê của tỉ lệ đột biến 52

4.2 Khuếch đại gen 53

4.2.1 Khuếch đại gen và kháng thuốc 53

4.2.2 Quá trình Galton - Watson cho mô hình khuếch đại và suy giảm gen 54

4.2.3 Mô hình toán học của mất sức đề kháng 55

Mở đầu

Quá trình phân nhánh là một quá trình ngẫu nhiên mô tả sự phát triểncủa một quần thể Các cá thể sinh sản và chết đi độc lập với nhau theomột số phân bố xác suất nào đó

Quá trình phân nhánh có nhiều ứng dụng trong sinh học quần thể, sinhhọc phân tử, sinh y, dân số học,

Có nhiều kiểu quá trình phân nhánh: thời gian không liên tục (quátrình Galton - Watson), thời gian liên tục (quá trình Markov, quá trìnhphụ thuộc tuổi, quá trình Bellman - Harris) Nhưng trong khuôn khổ luậnvăn em trình bày ba quá trình phân nhánh cơ bản là: quá trình Galton -Watson, quá trình Markov, quá trình phụ thuộc tuổi và một số ứng dụngđơn giản của quá trình phân nhánh

Luận văn “Quá trình phân nhánh và ứng dụng” gồm: Mở đầu, bốnchương nội dụng, kết luận và tài liệu tham khảo

Em xin cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học,Phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia

Hà Nội, các thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp cao học chuyên ngành Lýthuyết xác suất và thống kê toán học, khóa học 2013 - 2015 đã giúp đỡ emtrong suốt quá trình học tập Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn TS TạNgọc Ánh người đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành luận văn thạc sĩnày

Hà Nội, ngày 29 tháng 11 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Thu

- δij là ký hiệu delta Kronecker.

- Phân bố xác suất {pk} là toàn bộ dữ liệu của bài toán

Quá trình có thể được miêu tả như là sự phát triển thành quần thể củacác cá thể Bắt đầu tại thời điểm 0 với số lượng cá thể là Z0, mỗi cá thể(sau một đơn vị thời gian) sẽ phân tách độc lập thành các cá thể khác,tạo ra được một lượng ngẫu nhiên con theo quy luật xác suất {pk} Nhưvậy, số lượng các cá thể ở thế hệ thứ nhất Z1 là tổng của Z0 biến ngẫunhiên(bnn) độc lập có phân bố xác suất {pk} Cũng như vậy, thế hệ thứ

2, 3, được sinh ra Tất cả các cá thể là độc lập với nhau Số lượng cáthể trong thế hệ thứ n là bnn Zn

Từ (1.1) ta thấy nếu Zn = 0 thì Zn+k = 0 ∀k ≥ 0 Do đó 0 là trạngthái ổn định và khi đó thì quá trình trở thành tuyệt chủng.

Chú ý 1.1.2 Khi muốn chú ý đến số lượng cá thể khởi đầu, chúng ta sẽđặt

trong đó m là số con cái trung bình của một cá thể.

Từ quy luật của chuỗi ta có

EZn = XPn(1, j)j = fn0(1) = fn−10 (1)f0(1)

= · · · = [f0(1)]n = mn (1.6)Tương tự từ công thức

1.3 Tính chất cơ bản của hàm sinh

Các tính chất của hàm sinh fn(s) chứa các tính chất của hàm chuyển

Pn(i, j), do đó thay vì nghiên cứu giới hạn của {fn(s)} ta nghiên cứu giớihạn của {Zn} Chúng ta bắt đầu nghiên cứu các vấn đề này bằng các tínhchất cơ bản sau:

Cho t là một số thực Từ định nghĩa f (t) là một chuỗi với các hệ sốkhông âm {pk} và p0 + p1 < 1 suy ra f (t) có các tính chất sau

1 f (s) là lồi và tăng trong [0, 1]

2 f (0) = p0; f (1) = 1

3 nếu m ≤ 1 thì f (t) > t với t ∈ [0, 1)

4 nếu m > 1 thì f (t) = t có một nghiệm trong [0, 1)

Đặt q là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

và do đó (1.8) trở thành

f (s) − q

f (s) − 1 =

1m

s − q

Định lý 1.4.2 Xác suất tuyệt chủng của quá trình {Zn} là nghiệm không

âm, nhỏ nhất q của phương trình

số lượng con trung bình của một cá thể.

Quá trình G - W là một xích Markov, trạng thái của nó là số lượng cáthể hiện tại Chúng ta chia ra làm hai trạng thái “tạm thời” (transient) và

Định nghĩa 1.4.4 Nếu m < 1, m = 1, m > 1 thì quá trình được gọitương ứng là dưới tới hạn (subcritical), tới hạn (critical) và siêu tới hạn(supercritical).

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu các định lý giới hạn của Zn Từ

đó cho thấy sự phân bố của quần thể trong tương lai Chúng ta bắt đầuvới việc trình bày cách dạng định lý giới hạn sẽ được nghiên cứu Từ tínhchất cộng tính đã được đề cập đến trong Mục 1.1, cụ thể cho Zn = i, quátrình ngẫu nhiên {Zn+k, k = 0, 1, 2, } là tổng của i bản sao độc lập củaquá trình {Z0 = 1, Z1, Z2, } Sử dụng tính chất Markov ta có:

n→∞Wn = W(h.k.n)

Như vậy, trong trường hợp tới hạn và dưới tới hạn W = 0 vì q = 1 Do

đó, W chỉ có thể không suy biến khi m > 1 Điều này là đúng nếu ta bổsung giả thiết phương sai của số lượng con cháu là hữu hạn

Trong trường hợp dưới tới hạn, có hai cách để nghiên cứu Zn với n lớn.

Rõ ràng nhất là giả sử quá trình là một trường hợp không suy biến bởiđiều kiện tuyệt chủng của quá trình Ta có

Ở phần sau chúng ta sẽ chỉ ra rằng hàm này hội tụ tới một hàm sinh, và

sẽ nghiên cứu tính chất của giới hạn

Trường hợp tới hạn đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết Trongtrường hợp này chúng ta sẽ thấy điều kiện để hàm sinh dần tới 0 khi

n → ∞, tức là điều kiện để chuỗi {Zn | Zn > 0} dần tới ∞ theo phân bố.Một ý tưởng như tỉ lệ phân kì được đưa ra bởi việc tính mômen:

và do đó kì vọng có điều kiện là tăng tuyến tính Điều này dẫn đến nghiêncứu điều kiện của quá trình

Để chứng minh các định lí giới hạn ta cần một số kết quả của hàmchuyển Markov P (i, j)

1.5.1 Các định lý về tỉ lệ

Trong mục này chúng ta sẽ đưa ra các định lý về tỉ lệ của hàm chuyển

Và nó sẽ là công cụ hữu ích để chứng minh các định lí giới hạn trong phầntiếp theo

Định lý 1.5.5 {πj, j = 1, 2, } luôn thỏa mãn phương trình

1.5.2 Trường hợp dưới tới hạn

Khi m < 1 thì xác suất tuyệt chủng là bằng 1 Để mô tả các giới hạntrong trường hợp này Kolmogorov (1938) và Yaglom (1947) đã đưa ranhững điều kiện của Zn để {Zn > 0} Kết quả chính của mục này là hệquả của định lí 1.5.14 Nó phát biểu rằng khi m < 1 thì phân bố của

{Zn | Zn > 0} hội tụ tới một phân bố chính xác

Đặt T là thời gian tuyệt chủng của quá trình G-W, tức là



= γB(s) + (1 − γ) (1.22)Chứng minh Giả sử m ≤ 1 thì P {T < ∞} = 1 và do đó

Bn(s) = E(sZn | n < T < ∞) = E(sZn | n < T )

Do đó những lập luận trong trường hợp dưới giới hạn cho f (s) cũng đúngcho f∗(s) Thay f bởi f∗ vào (1.24) được (1.22) 

Hệ quả 1.5.8 (Định lý Yaglom) Nếu m < 1 thì P {Zn = j | Zn > 0}

hội tụ khi n → ∞ tới một phân bố xác suất có hàm sinh B(s) thỏa mãnphương trình

B[f (s)] = mB(s) + (1 − m)

1.5.3 Trường hợp tới hạn

Khi m = 1 thì Zn → 0 với xác suất 1 Hay giới hạn xác suất bj củachuỗi phân bố có điều kiện {Zn | Zn > 0} là 0 và do đó quá trình nàyphân kì tới ∞ Chúng ta sẽ thấy rằng cần thêm điều kiện để quá trình hội

tụ tới một giới hạn không suy biến

Cách tiếp cận của chúng ta là dùng giải tích để nghiên cứu kĩ các giớihạn của fn(t) Chúng ta đã biết fn(t) ↑ 1, và bây giờ ta sẽ tìm hiểu về tỉ

lệ hội tụ Chúng ta bắt đầu bằng một bổ đề cơ bản quan trọng

Bổ đề 1.5.9 Nếu m = E(Z1) = 1 và σ2 = Var(Z1) < ∞ thì

lim

n→∞

1n

Chứng minh (Kesten, Ney, Spitzer (1966))

Cách chứng minh này liên quan đến phương pháp ước lượng trực tiếp

Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có

lim

t→1

f (1) − t(1 − t)2 = lim

t→1

f0(t) − 12(t − 1) =

bổ đề đặt t = 0 và chú ý rằng P {Zn > 0} = 1 − fn(0), chúng ta sẽ cóđược tỉ lệ hội tụ tới 0.

lim

n→∞Ehe−α(Znn ) | Zn > 0i= 1

1 + ασ22. (1.31)

Ta thấy vế phải của (1.31) là biến đổi Laplace của (1.30) Nhưng kì vọng

có điều kiện trong (1.31) là

σ22

Phần này chúng ta sẽ nghiên cứu kĩ hơn trạng thái củaZn và phát triểncác tính chất giới hạn tốt hơn, sử dụng giả thiết yếu hơn phần đầu.

Chúng ta bắt đầu với chuỗi Wn = Zn

mn hội tụ hầu khắp nơi (h.k.n).Chúng ta đã biết rằng P {W = 0} = 1 khi m ≤ 1 Khi m > 1 thì σ2 < ∞

là điều kiện đủ để P {W = 0} < 1 Levinson (1959) đã đưa ra nhận xétđầu tiên rằng nếu σ2 = ∞ thì P {W = 0} có thể bằng 1 nhưng khôngmạnh như khi σ2 < ∞

Các điều kiện cần và đủ cho bởi định lý sau đây chỉ hơi mạnh hơn sựtồn tại của giá trị trung bình Đối với sự phân bố của W, nó hoàn toànliên tục trên tập số thực dương và có hàm mật độ dương, liên tục

Trong toàn bộ phần này ta sẽ luôn giả sử rằng Z0 = 1, m > 1 và

pj 6= 1 ∀j

Định lý 1.5.14.

• Nếu EZ1log Z1 < ∞ thì EW = 1

• Nếu EZ1log Z1 = ∞ thì EW = 0 hoặc P {W = 0} = 1

Nhận xét 1.5.15 1 Định lý trên nói rằng nếu EZ1log Z1 = ∞ thì

P {lim Zn

mn = 0} = 1

Từ đó dẫn đến khả năng tồn tại chuỗi tiêu chuẩn khác {cn} sao cho

{Zn/cn} hội tụ tới một giới hạn không suy biến Tuy nhiên chúng ta vẫncần chứng minh rằngcn ∼ mn khi EZ1log Z1 < ∞ Ngoài ra phương phápchứng minh trực tiếp định lý trên cũng được áp dụng cho các quá trìnhtổng quát hơn ở Chương 3 Vì vậy chúng ta nghiên cứu định lý 1.5.15 độclập và sau đó sẽ tổng quát nó ở Định lý 1.5.16

Chú ý rằng Wn hội tụ h.k.n tới W

ϕn(u) ≡ Ee−uWn → Ee−uW ≡ ϕ(u), u ≥ 0

trong đó ϕ(u) được chỉ ra thỏa mãn phương trình cơ bản

ϕ(u) = f (ϕ(u

Đây là chìa khóa để chứng minh định lý 1.5.15[K.B.Athreya, P.E.Ney(1972)]

Định lý 1.5.16 Giả sử {Zn; n = 0, 1, 2, } là một quá trình GW với

1 < m < ∞ Thì luôn luôn tồn tại một chuỗi hằng số {cn} với cn → ∞

và c−1n cn+1 → m khi n → ∞, sao cho bnn Wn = c−1n Zn→W h.c.c với

thì Znm−n hội tụ theo quy luật tới một giới hạn không suy biến (định

lý 1.5.16) Hơn nữa, chúng ta cũng thấy rằng EW < ∞ nếu và chỉ nếuP

pjj log j < ∞ Do đó chúng ta có: Ppjj log j < ∞ khi và chỉ khi

cn ∼ const · mn [ Seneta (1969)]

2 Phương trình hàm (1.32) thường khó có thể giải chính xác ϕ(z) vàthậm chí nếu có giải được thì cũng hiếm khi có thể đảo ngược ϕ(z) để cóđược hàm phân phối của W Tuy nhiên chúng ta có thể sử dụng (1.32) đểxác định tất cả các mômen của W có cấp ≥ 2 (khi chúng tồn tại)

3 Giả sử{Zn(m); n = 0, 1, 2, }, m = 2, 3, là một chuỗi của quá trìnhphân nhánh với chỉ số trung bình m và được định nghĩa trên không gian

xác suất như nhau Giả sử Z1(m)

σm

hội tụ tới một bnn Z khi m → ∞ trong

đó σm = VarZ1(m)/Z0 ≡ 1) Đặt W(m) là giới hạn h.c.c của Zn(m)/mn

σm

!2

+ 2E Z

(m) 1

Trong phần 1.5.4 chúng ta thấy rằng không có giới hạn nào của chuỗi

{Zn/mn; n = 0, 1, } là một mac-tin-gan không âm, hội tụ h.c.c tới mộtb.n.n W Do đó ta xấp xỉ Zn bởi mnW với n đủ lớn Điều này đặt ra câuhỏi về tầm quan trọng của hiệu Zn − mnW Trong phần này chúng ta sẽ

xây dựng một biểu diễn đơn giản cho Zn− mnW và sử dụng nó để trả lờicâu hỏi này.

Không gian xác suất (Ω,F, P ) vẫn ký hiệu là không gian cơ bản củaquá trình phân nhánh {Zn, n = 0, 1, 2, } Giả sử P {Z0 = 1} = 1

Định lý 1.5.18 Giả sử p0 = 0 và P∞

j=1pj(j log j) < ∞ thì với mỗi n

tồn tại a tập An ∈ F với P {An} = 1 và biến ngẫu nhiên Wn(j)(w) với

j = 1, 2, , Zn(w) sao cho với mỗi w trong An:

Hệ quả 1.5.20 Giả sử p0 = 0 và P∞

j=1pj(j log j) < ∞ thì tồn tại a tập

A trong F sao cho P {A} = 1 và các bnn Wn(j)(w) với j = 1, 2, , Zn(w);

n = 0, 1, 2, sao cho với w ∈ A:

EW(j) = 1 và Var(1 − W(j)) = σ

2

m2 − m.



1.6 Quá trình Q

Phần này chúng ta sẽ nghiên cứu điều kiện của quá trình {Zn} khôngtuyệt chủng trong tương lai xa và tuyệt chủng trong tương lai xa hơn bằngcách xây dựng quá trình {Q} từ quá trình {Zn}

(i) Nếu m > 1 thì quá trình Q là lặp dương (positive recurrent)

(ii) Nếu m = 1 thì quá trình Q là tạm thời (transient)

(iii) Nếu m < 1thì quá trình Q là lặp dương nếu và chỉ nếu P

(k log k)pk <

∞

Cũng như trong quá trình G-W, trường hợp m = 1 đóng vai trò đặcbiệt trong quá trình Q Trong suốt trạng thái chuyển của nó, Zˆn → ∞ vớixác suất 1 Nhưng Zˆn/n sẽ hội tụ tới 1 quy luật giới hạn không suy biến.

Định lý 1.6.4 Nếu m = 1 và σ2 < ∞ thì (2σ2) ˆZn/n
hội tụ theo phân

Bổ đề 1.6.5 Nếu Fn phân bố trên [0, ∞) với kỳ vọng µn, hội tụ yếu tớimột phân bố F với kỳ vọng µ > 0 và µn → µ thì

Gn(x) = 1

µn

Z x 0

Ta muốn nvà n + k có độ lớn tương ứng Để thuận lợi quá trình được viếtlại {Z[nt] | Zn > 0} trong đó 0 ≤ t ≤ 1 Để cho đơn giản ta bỏ dấu ngoặcvuông nhưg nt vẫn phải luôn hiểu là [nt]

Định lý 1.6.6 Nếu m = 1 và f00(1) < ∞ thì với mỗi t < 1 cố định

{Znt/n | Zn > 0} hội tụ theo phân bố tới một biến ngẫu nhiên U + V khi

n → ∞ Trong đó U và V là các bnn độc lập có hàm mật độ mũ với tham

Định nghĩa 2.1.1 Một quá trình ngẫu nhiên{Z(t, w), t ≥ 0} trên khônggian xác suất (Ω,F, P ) được gọi là quá trình phân nhánh Markov thời gianliên tục nếu

(i) Không gian trạng thái của nó là tập hợp các số nguyên không âm.(ii) Nó là một xích Markov dừng với

với ∀i ≥ 0 và |s| ≤ 1.

Tính chất (i) và (ii) cho thấy Z(t) là một quá trình Markov thời gianliên tục trên tập số nguyên Còn (iii) là tính chất cơ bản của quá trìnhphân nhánh

tham số a Khi đó, nó sinh được k con với xác suất pk, k = 0, 1, Các cáthể là độc lập với nhau Do đó

Pij(τ ) = iapj−i+1τ + o(τ ) khi τ → 0 nếu j ≥ i − 1, j 6= i (2.7)

Pij(τ ) = 1 − iaτ + o(τ ) khi τ → 0 (2.8)và

Pij(τ ) = o(τ ) khi τ → 0 nếu j < i − 1 (2.9)

Do đó, nếu quá trình ở trạng thái i tại một thời điểm cho trước Nó tiếptục ở trạng thái đó một khoảng thời gian nữa theo phân bố mũ với tham

số ia Sau đó nó chuyển sang trạng thái j ≥ i − 1 với xác suất pj−i+1 Nó

ở trạng thái j một khoảng thời gian theo phân bố mũ với tham số ja rồichuyển sang trạng thái k ≥ j − 1 với xác suất pk−j+1, Quá trình đượcxây dựng như vậy được gọi là quá trình tối thiểu Hàm chuyển của quátrình phải thỏa mãn (2.4), (2.5) và (2.6) Mặc dù (2.4), (2.5) và (2.6) luôn

có nghiệm thỏa mãn P

jPij ≤ 1 nhưng nghiệm này không phải duy nhất

Vì vậy ta cần bổ sung giả thiết

(i) Quá trình không phát triển ồ ạt và nhanh chóng (không bùng nổ).(ii) Phương trình (2.4), (2.5) và (2.6) có nghiệm duy nhất Pij(t) thỏa

ds

f (s) − s = ∞.

Ta có các kết quả sau

Định lý 2.2.1 Giả thiết không bùng nổ là điều kiện cần và đủ đểP {Z(t) <

∞} ≡ 1 trong đó Z(t) là quá trình tối thiểu