Đề thi chọn HS Giỏi

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC.. Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại D.. a/ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp BIC.. b/ Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của đường tròn

PGD KRÔNG BÚK

TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG

THI HS GIỎI – Năm học 07-08 Môn Toán 9 – Thời gian 150 phút

ĐỀ BÀI:

Bài 1: (2đ) Rút gọn biểu thức A x2 x1 x 2 x1

Bài 2 (3đ) Cho biểu thức

2a 1 2a

B

a/ Rút gọn B

b/ Chứng minh rằng 2

3

B

Bài 3: (3đ) Với a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a.b = c.d =1.

Chứng minh bất đẳng thức: a b c d     4 2a b c d   

Bài 4 (3đ) Chứng minh rằng:

là số hữu tỷ

Bài 5 (3đ) Cho ba số x, y, z thỏa mãn

1 1

   





  

 Hãy tính tổng x y z 

Bài 6 (3đ) Cho ABC AB AC   Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại D

a/ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp BIC

b/ Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ABC với các cạnh AB, BC K là hình chiếu vuông góc của C xuống đường thẳng AI Chứng minh M, N, K thẳng hàng

Bài 7 (3đ) Cho ABC Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại E Chứng minh rằng với mọi điểm P trên canh BC, ta luôn có diện tích P ED khônh lớn hơn 1

4 diện tích ABC

Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích P ED đạt giá trị lớn nhất

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIỎI TOÁN 9 – Năm học: 07 – 08.

Bài 1 (2đ).

         

ĐK: x 1

     

      Với 1  x 2 A x1 1  x1 1 2  0,25đ

Với x 2 A x1 1  x1 1 2  x1 0,25đ

Bài 2 (3đ) a/ Rút gọn biểu thức M ở trong ngoặc (…)

Ta có:

M

a







1

a B

a



  



(ĐKXĐ: 0, 1, 1

4

a a a ) b/ Vì

1

1 2

2

a

   



(1)

a

a a  a    a Mặt khác: a a  nên chia cả 2 vế của 1 0 (1) cho 3 1

2 a a ta có:

3 1

a





  và vì a 1 nên dấu “=” không xảy ra

Vậy 3

2

B  với 0; 1; 1

4

a a a

1,5 đ

2đ

1đ

Bài 3 (3đ) ta có:

4 2

0

      

(luôn đúng với , , ,a b c d 0 à ab=cd 1v  )

Bài 4 (3đ) Ta có:

 2  2 2  2  2 2  2  2 2  2  2 2

Mỗi số hạng của C có dạng: M 12 12 12

   Trong đó a b c  0

Mà

2.a b c

M

 

(Vì a b c  0)

1 1 1

a b c

   là một số hữu tỷ  C là số hữu tỷ

Bài 5 (3đ) Theo đề ra ta có x 1; y 1; z 1 0,5đ

Nên x3x y2; 3y z2; 3z2 0,5đ

Đẳng thức xảy ra

0 0 0

z

     

   



1 1 1

x y z







2 2 2

x x

y y

z z

 



  





 Vậy x y z x   2y2z2 1 0,5đ

Bài 6 (3đ)

a/

 

D

 

Mà

 

 

   

2

;

DB DI



D

 là tâm đường tròn ngoại tiếp BIC

2

B

BI MN MNB  mà

  

    

0

3

90

2 2 2

2 2

A B C

A B MNB

  

Chứng minh 4 điểm I, N, K, C cùng nằm trên một đường tròn

1đ

1,5đ

0,5đ

hoặc hoặc hoặc

1đ

(1)

(T/c góc ngoài tam giác)

1 3

2 1

2

D K

M

N I A

1đ

1đ

1đ

1,5đ

0,5đ

0,25đ

 

CNK CIK

  (cùng chắn KC )

Mà   

2 2

A B CIK   (T/c góc ngoài tam giác)

     4

2 2

A C CNK

Từ (3), và (4)  MNB CNK

B, N, C thẳng hàng

M, K ở hai nửa mặt phẳng bờ BC

Bài 7 (3đ)

Kẻ AH BC

AH cắt DE tại K

Đặt AH = h, AK = k

D

2

P E ABC

P

k h k

k







Áp dụng bất đẳng thức 2 ab a b  a b, 0

Dấu “=” xảy ra khi a b

 Tổng không đổi thì tích lớn nhất khi a b

Ta có k + h – k = h không đổi k0,h k 0

 tích k(h – k) lớn nhất khi

2

h

k h k   k 

 

2

D 2

4

4 P E 4 ABC

h

h



D

P E

S lớn nhất khi

2

h

k  tức DE là đường trung bình ABC

M, N, K thẳng hàng

k K

H

E A

D

P

0,5đ

0,25đ

1đ

0,25đ

1đ

0,75đ