Dap an bai on tong hop do thi so 4

Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng PQ khi m thay đổi... Viết phơng trình 3 tiếp tuyến đó... Viết phơng trình tiếp tuyến này và cho biết hoành độ tiếp điểm.

Bài ôn tập tổng hợp số 4

Cho hàm số: y = x4 + 4ax3 + bx2 + a(a - 1)x + 1 - 2a

 Phần I: Cho a = 0, ta đợc hàm: y = x4 + bx 2 + 1  C b

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi b = -4

y = x4 - 4x2 + 1 a) TXĐ: D = R

b) Chiều biến thiên:

 Giới hạn:

xlim y

  

 Bảng biến thiên:

y’ = 4x3 - 8x y’ = 0  x 0 y 1









-3

1

-3

+

 Khoảng đồng biến:  2;0 ;  2;

Khoảng nghịch biến:   ; 2 ; 0; 2

Điểm cực đại: A0;1

Điểm cực tiểu: B 2; 3  C 2; 3 

 Điểm uốn: y” = 12x2 - 8

3  y =

-11 9

 Gọi (dm) là tiếp tuyến của (C) tại M có hoành độ xM = m chứng minh rằng hoành độ điểm chung của (C) và (dm) phơng trình: (x - m)2(x2 + 2mx + 3m2 - 4) = 0 Tìm tất cả các giá trị m để tiếp tuyến (dm) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P, Q khác M Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng PQ khi m thay đổi

LG:

y’(m) = 4m3 - 8m

 d(m): y = (4m3 - 8m)(x - m) + m4 - 4m2 + 1

Xét phơng trình hoành độ giao điểm: x4 - 4x2 + 1 = (4m3 - 8m)(x - m) + m4 - 4m2 + 1

phân biệt x  m  f m  0

0





 

2

2

2 m

3







(*)

c) Vẽ:

x-22y11

O

x

y 1

2 2

2 3

2 3



2

 -2

11 9



-3

Nhận xét: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

 xP; xQ là 2 nghiệm của phơng trình (1) Theo viét:  P Q

2

P Q







I là trung điểm của phép quay tâm 

I

2











Do (*) 

I

I

2 x

3

















Vậy quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng PQ khi m thay đổi là đờng cong có phơng trình:

y = -7x4 + 12x2 + 1 với hoành độ các điểm thoả mãn

2 x 3









  Xác định k để đờng thẳng y = k cắt (C) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng

Đờng thẳng y = k cắt (C) tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng

 x4 - 4x2 + 1 = k có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

 x4 - 4x2 + 1 - k = 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Đặt x2 = t: (1)  t2 - 4t + 1 - k = 0 (2)

Giả sử (2) có 2 nghiệm 0 < t1 < t2  (1) có 4 nghiệm phân biệt: ± t ; ±1 t2

4 nghiệm trên lập thành cấp số cộng  t1 = 9t2

Vậy (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

 

1 2







 

1 2

1 2





 



Giải hệ (3) (5) (6)ta đợc

2

1

2 t 5 18 t

5 11 k

5

























thoả mãn (2)

5

 thì đờng thẳng y = k cắt (C) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng

 Tìm điểm A  Oy sao cho qua A có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến với (C) Viết phơng trình 3 tiếp tuyến đó

A  Oy  A(0; a) Gọi d là đờng thẳng đi qua A có hệ số góc k

 d: y = kx + a

d là tiếp tuyến của (C)   

 

3





 Thay (2) và o(1) ta đợc: x4 - 4x2 + 1 = 4x4 - 8x2 + a

 f(x) = 3x4 - 4x2 + a = 0 (3

Qua A kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến (C)  hệ (1), (2) có 3 nghiệm phân biệt  (3) có 3 nghiệm phân biệt

 (3) có nghiệm x = 0  a = 0 thay vào (3) ta đợc: 3x4 - 4x2 = 0 





 d1: y = 0

d2,3: y = 8 x

3



 phần II: Cho a = 1, ta đợc hàm: y = x4 + 4x 3 + bx 2 - 1 ( C b' )

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  '

4

C của hàm số khi b = 4

 '

4

C : y = x4 + 4x3 + 4x2 - 1

a) TXĐ: D = R

b) Chiều biến thiên:

 Giới hạn: xlim y  

 Bảng biến thiên: y’ = 4x3 + 12x2 + 8x = (x2 + 3x + 2)

y’ = 0 







Khoảng đồng biến: (-2; -1) và (0; +) Khoảng nghịch biến: (-; -2) và (-1; 0)

Điểm cực đại: A(-1; 0)

Điểm cực tiểu: B(-2; -1) C(0; -1)

 Điểm uốn:

y” = 12x2 + 24x + 8 y” = 0 









 Chứng minh  '

4

C có một trục đối xứng Suy ra giao điểm của  '

4

Gọi I(-1; 0)

 Đổi hệ trục toạ độ Oxy sang hệ trục IxY (IY // Oy)









thay vào  '

4

Y = (X - 1)4 + 4(X - 1)3 + 4(X - 1)2 - 1 = X4 - 8X2 = g(X)

Ta thấy: g(-X) = g(X)  hàm số Y = g(X) là hàm số chẵn   '

4

trục đối xứng



-1

0

-1

+



c) Vẽ:

xy

x O

y

-1

1 2

9 16

Nhận xét: Đồ thị nhận đ ờng thẳng x = -1 làm trục đối xứng

 Xét phơng trình: X4 - 8X2 = 0 

 giao điểm của  '

4

C và Ox là: A(-1; 0) B2 2; 2 2  1 C2 2;2 2 1

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  '

0

C của hàm số khi b = 0

 '

0

C : y = x4 + 4x3 - 1

a) TXĐ: D = R

b) Chiều biến thiên:

 Giới hạn:

xlim y

  

 Bảng biến thiên:

y’ = 4x3 + 12x2 y’ = 0  x = 0 y 1





y

+

-28

+

Khoảng đồng biến: (-3; +)

Khoảng nghịch biến: (-; -3)

Điểm cực tiểu: A(-3; -28)



  Chứng minh tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến tiếp xúc  '

0

C tại 2 điểm phân biệt Viết phơng trình tiếp tuyến này và cho biết hoành độ tiếp điểm

Bài náy quá khó với trơng trình học phổ thông

 Dựa vào kết quả câu , hãy biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x4 + 4x3 - 8x + m =

0

 xác định b để  '

b

C có một trục đối xứng

Gọi trục đối xứng của  '

b

C là: x = a

Đổi hệ trục toạ độ Oxy sang hệ trục IxY: Ix  Ox; IY // Oy

 









 Y = (X + a)4 + 4(X + a)3 + b(X + a)2 – 1

=… = X = X4 + (a + 1)X3 + (6a2 + 12a + b)X2 + (4a3 + 12a2 + 2ab)X + a4 + 4a3 + a2b - 1 = g(X)

Do x = a là trục đối xứng  Y = g(X) là hàm chẵn  g(-X) = g(X)















 Kết luận: với b = 4 thì  '

b

C có trục đối xứng

 Xác định b để hàm số có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.

y’ = 3x3 + 12x2 + 2bx = x(3x2 +12x + 2b)

y” = 12x2 + 24x + 2b

y’ = 0 

 

2









 TH1: (1) có nghiệm x = 0  b = 0 theo câu (2) đồ thị có một cực tiểu

c) Vẽ: x = -1  y = -1

x

y -2

-1

-17

-28 -3

 TH2: (1) có nghiệm x  0

- Nếu (1) có 2 nghiệm phân biệt  đồ thị có ít nhất 2 cực trị (loại)

- Nếu (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm  b  6 (*)

 y’ = 0  x = 0

Để x = 0 là hoành độ điểm cực tiểu  y”(0) > 0  2b > 0  b > 0 (**)

Kết hợp (*) và (**)  b > 0 thì hàm số có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại

 Tìm b để hàm số có 3 điểm cực trị Viết phơng trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị của  '

b

C

trong trờng hợp này

Hàm số có 3 cực trị  (1) có 2 nghiệm phân biệt x  0 

 

 







Gọi A(x0; y0) là điểm cực trị  y’(x0) = 0

Kết luận: phơng trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị của  '

b

 Xác định b để  '

b

C có 2 điểm uốn Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm uốn của  '

b

C

trong trờng hợp này

 y” = 12x2 + 24x + 2b

 '

b

C có 2 điểm uốn  y” = 0 có 2 nghiệm phân biệt  ’ > 0  144 - 24b > 0  b < 6

2

Gọi A(x0; y0) là điểm uốn  y”(x0) = 0

2

Vậy phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm uốn của  '

b

 Xác định b để x4 + 4x3 + bx2 - 1  0 với x  1

LG:

x4 + 4x3 + bx2 - 1  0 với x  1

 bx2  -x4 - 4x3 + 1 với x  1

 b 

2

x

Xét hàm số: f(x) =

2

x



f’(x) = 0 







g’(x) = 2

3x 2x 1 g’(x) = 0 

1 x 3







 



g

-

2

22 27

+

Dựa trện bảng biến thiên  đồ thị y = g(x) cắt Ox tại 1 điểm  g(x) = 0 có 1 nghiệm g(x) là hàm số liên tục trên R

g(-2).g(-1) = -2 < 0

 x0  (-2; -1) là nghiệm của phơng trình: g(x) = 0

Với x  1  f(x)  -4

 (1) nghiệm đúng với x  1  b  -4

Kết luận: với b  -4 thì x4 + 4x3 + bx2 - 1  0 với x  1

 Xác định b sao cho  '

b

C cắt Ox tại điểm có hoành độ lớn hơn 1

 '

b

C cắt Ox tại điểm có hoành độ lớn hơn 1  x4 + 4x3 + bx2 - 1 = 0 có nghiệm x > 1

 b =

2

x

có nghiệm x > 1 Xét hàm số: f(x) =

2

x

Dựa trên bảng biến thiên câu 9)  b < -4 thì  '

b

C cắt Ox tại điểm có hoành độ lớn hơn 1

-