Chuong 5 co luu chat

57 CHƯƠNG 5 KHÁI NIỆM THUYẾT ĐỒNG DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THỨ NGUYÊN Trong công nghiệp, đặc biệt là công nghiệp hóa học, thường hay đề cập đến các chế độ thủy động của dòng lưu c

57

CHƯƠNG 5 KHÁI NIỆM THUYẾT ĐỒNG DẠNG

VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THỨ NGUYÊN

Trong công nghiệp, đặc biệt là công nghiệp hóa học, thường hay đề cập đến các chế

độ thủy động của dòng lưu chất, mà các chế độ này thường được nghiên cứu bằng thực nghiệm

Công việc nghiên cứu thực nghiệm bắt đầu bằng chương trình thực nghiệm, trong đó các thông số cụ thể được xác lập trên mô hình

Mô hình mà một thiết bị được thu nhỏ, cho phép thực hiện các quá trình thực nghiệm khác nhau và đề từ đó giúp ta xác định các quy luật cần tìm Còn thiết bị công nghiệp là thiết

bị đạt quy mô sản xuất thực tế

Do vậy từ mô hình chuyển sang thiết bị thực tế cần được giải quyết theo nguyên tắc đồng dạng và phương pháp phân tích thứ nguyên Tính đồng dạng được đánh giá thông qua những đại lượng đặc trưng

1 NGUYÊN TẮC ĐỒNG DẠNG

1.1 Xác định số đồng dạng

1.1.1 Định số đồng dạng hình học

Ký hiệu ℓ: Chiều dài kích thước hình học; m

A: Diện tích hình học; m2 V: Thể tích hình học; m3

MH – Mô hình (viết tắt từ mô hình) TB: Thiết bị công nghiệp (viết tắt từ thiết bị)

MH

TB k

ℓ

ℓ

ℓ = ; Định số đồng dạng hình học chiều dài

MH

TB A

A

A

k = ; Định số đồng dạng diện tích hình học (5 -1)

MH

TB V

V

V

k = ; Định số đồng dạng thể tích hình học Giữa các định số đồng dạng hình học có mối quan hệ như sau:

k2 A

58

k3 V

kℓ, kA, kV: Chỉ rõ độ dài hình học, diện tích hình học, thể tích hình học trên mô hình

nhỏ hơn trên thiết bị công nghiệp bao nhiêu lần

1.1.2 Định số đồng dạng động học:

Mỗi hiện tượng xảy ra đều biểu thị dưới dạng động học, chẳng hạn như đối với dòng

chảy ổn định trong giáo trình này, phổ đường dòng của trường vận tốc tại các điểm của không gian là đồng dạng với nhau cho nên

Định sốđồng dạng vận tốc của dòng đó có thể viết:

MH

TB v

v

v

Tương tựđịnh sốđồng dạng của gia tốc:

ℓ k

k

=

Định số đồng dạng của khối lượng riêng:

MH

TB k

ρ

ρ

=

Định số đồng dạng của độ nhớt động lực:

MH

TB k

µ

µ

=

1.1.3 Định số đồng dạng động lực học

Hiện tượng động lực học thể hiện bằng tác dụng của mọi lực Định số đồng dạng đánh giá bằng tỉ số của các lực cùng bản chất

MH

TB F

F

F

Quan hệ giữa động học và động lực có thể dựa vào định luật Newton

F = m.a; N

Ở đây m = ρ.V

a: gia tốc Tức là: F = ρ.V.a; N

MH MH MH

TB TB TB MH

TB

a V

a V F

F

ρ

ρ

=

=

2 v 2

v

2 3

k k k

k

k k k

ℓ ℓ ℓ

ρ

ρ

=

=

(5 -7)

Dựa vào (5 -7) ta có thể chọn các điều kiện đồng dạng

Ví dụ: Nếu biết kF, biết kρ, có thể chọn kℓ suy ra tính được kv Ngoài ra công thức (5 -7)

cũng là một dạng của định số đồng dạng lực quán tính kqt

59

1.2 Các chun số đồng dạng

Định nghĩa thế nào là chuNn sốđồng dạng?

Là tập hợp các đại lượng có thứ nguyên tác động vào một hiện tượng vật lý để tạo thành đại lượng không thứ nguyên thì được gọi là chuNn sốđồng dạng

Tác giả nào tìm ra chuNn số đồng dạng nào thì chuNn số ấy sẽ mang tên của tác giả đó Trong khuôn khổ giáo trình này, ta chỉ làm quen các chuNn số đồng dạng sau đây: ChuNn số Reynolds, chuNn số Frud; ChuNn số Euler; chuNn số Max là những chuNn số thường gặp trong chuyên ngành quá trình và thiết bị hóa học, sinh học và môi trường

1.2.1 Chun số Reynolds (Re)

ChuNn số Reynolds là tỉ số giữa lực quán tính trên lực ma sát, viết dưới dạng:

1 k

k k

=

µ

ρ

ℓ

Tập hợp các đại lượng có thứ nguyên:

v: Vận tốc ; m/s

ℓ: độ dài hình học; m

ρ: Khối lượng riêng lưu chất: kg/m3

µ: Độ nhớt động lực lưu chất: kg/m.s

Sẽ tạo thành một đại lượng không thứ nguyên – Idem

Idem

v

µ

ρ

Chú ý: Trong công thức (5 – 9) ℓ là đại lượng hình học biểu thị độ dài (m) còn trong công thức (4 -5) d cũng là đại lượng hình học biểu thị đường kính ống; (m) Vì cùng thứ nguyên (m) nên vẫn gọi

µ

ρ

= v. .

µ

ρ

= v.d.

Vậy Re là tên của tác giả Reynolds được gọi là chuNn số đồng dạng Reynolds, nó đặc trưng cho tính đồng dạng thủy động lực học của dòng chảy, là một trong những đặc tính quan trọng nhất của môn cơ lưu chất

1.2.2 Chun số Frud (Fr)

ChuNn số Frud là tỉ số giữa lực quán tính trên trọng lực hay còn gọi là chuNn số đồng dạng trọng lực – Viết tắt là Fr

Ta có trọng lượng khối lưu chất:

60

Viết dưới dạng định số đồng dạng:

ℓ 3 g

Tập hợp các đại lượng có thứ nguyên

ρ: Khối lượng riêng lưu chất: kg/m3 g: gia tốc trọng trường: m/s2

V: thể tích lưu chất; m3

Nếu gọi định sốđồng dạng lực quán tính kqt =kρ.k2ℓ.k2v (Từ công thức 5 - 7)

Đem cân bằng lực quán tính và trọng lực ta có:

v 2

2 k k

g.k k

Từ đây rút ra: 1

k k

k g v

2

= ℓ

Hoặc:

MH

MH 2 TB

TB 2

g

v

g

v

ℓ

Idem l

g

v Fr

2

=

= Khi lập mô hình, theo chuNn số Frud tức là khi kg = 1 từ (5 - 13) ta có kv = kℓ

1.2.3 Chun số Euler

ChuNn số Euler là tỉ số giữa áp lực và lựa quán tính Viết tắt là Eu

v

P Eu

ρ

Tập hợp các đại lượng có thứ nguyên:

ρ: Khối lượng riêng lưu chất; kg/m3 P: áp suất; N/m2

v: vận tốc dòng lưu chất; m/s Thiết lập định số đồng dạng: 1

k k

k 2 v

ρ

Nghĩa là khi đồng dạng thì:

2 MH MH

MH 2

TB TB

TB

v

P v

P

ρ

= ρ

Khi thực hiện trên mô hình ta lưu ý chọn điều kiện sao cho phù hợp:

Ví dụ: Giả thiết dòng chảy trên mô hình và trên thiết bị chọn kρ = 1 và ReTB = ReMH thì

sẽ xảy ra 2 trường hợp sau

61

• Nếu kµ = 1 – Từ (5 – 8) ta có: vTB.ℓTB =vMH.ℓMH hoặc

v k

1

Điều vày nghĩa là nếu mô hình hoá theo Re thì vận tốc dòng chảy trên mô hình phải

tăng lên kℓ lần, điều đó khó thực hiện

• Nếu thay đổi độ nhớt thấp hơn, lúc đó theo (5 -8) ta có:

MH

MH MH TB

TB

v

υ

= υ

ℓ ℓ

Hoặc:

MH TB

TB MH MH

TB

v

v k

υ

υ

=

= ℓ

ℓ

Và:

v k

k

1.2.4 Chun số Max - Ma

Ứng dụng trong dòng chảy của lưu chất bị nén (chủ yếu là chất khí) đặc biệt trong

trạng thái nén đoạn nhiệt nó liên quan đến tính chất đàn hồi và tính giản nở của lưu chất

Tập hợp các đại lượng có thứ nguyên

y: Vận tốc truyền sóng âm trong môi trường lưu chất; m/s, với định số đồng dạng ky v: vận tốc dòng chảy; m/s

So sánh áp lực của lưu chất và lực quán tính, ta viết:

kℓ

2

.ky

2

kρ = kρ kℓ

2 kv

2

k

k

2 y

2

k

k

y

v =

y

v

=

2 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THỨ NGUYÊN

- Phương pháp phân tích thứ nguyên là một phương pháp tính toán, thông qua các thứ nguyên tham gia trong hệ mà tìm ra các công thức hoặc các phương trình toán

học mô tả hiện tượng vật lý khi có các yếu tố tác động vào

- Thường thì các đại lượng vật lý được biểu diễn bằng các đơn vị cơ bản Được

gọi là thứ nguyên

Có 3 hệđơn vị cơ bản, có thứ nguyên như sau:

• Đơn vị cơ bản chiều dài, thứ nguyên: [L]

• Đơn vị cơ bản khối lượng, thứ nguyên: [M]

• Đơn vị cơ bản thời gian, thứ nguyên: [T]

62

- Mỗi đại lượng vật lý được biểu diễn dưới dạng

Đại lượng vật lý = [L]a.[M]b.[T]c Trong đó a, b, c là số mũ của các thứ nguyên, tìm bằng thực nghiệm

Ví dụ:

• Với vận tốc v, thì a = 1, b = 0, c = -1 ⇒ v = [L]1

.[T]-1

• Với khối lượng riêng ρ, thì a = -3; b = 1; c = 0 ⇒ρ = [M]1.[L]-3

• Với độ nhớt động lực µ, thì a = -1; b =1; c = -1⇒µ = [L]-1.[M]1.[T]-1

- Nói tóm lại muốn giải một bài toán đồng dạng bằng phương pháp phân tích

thứ nguyên thì ta dựa vào công cụ đó là định lý Pi

Định lý Pie

“Quan hệ hàm số giữa n biến số của một hiện tượng, mà các biến số đó chứa m thứ nguyên, thì có thể biểu diễn bằng hiệu số (n – m) tạo ra các nhóm đại lượng không thứ nguyên, khi cân bằng hết thứ nguyên thì ta có chuNn sốđồng dạng”

Ngày nay, thông qua định lý này giứp ta giải quyết được nhiều bài toán đồng dạng,

thường gặp trong các ngành khoa học khác nhau

63

3 BÀI TẬP VÍ DỤ

Khi nghiên cứu dòng chảy của lưu chất trong ống, thấy có sự tác động của 5 yếu tố sau

đây:

Ởđây v: vận tốc dòng chảy; m/s

d: đường kính ống dẫn lưu chất; m

ρ: khối lượng riêng lưu chất; kg/m3 µ; độ nhớt động lực của lưu chất; kg/m.s

ε: độ nhám gia công ống; m Theo Furie (1882) để tìm ra mối quan hệ đó thì biểu diễn chúng dưới dạng tích số như sau:

τ = C.va.db.ρc

.µd.εe

Trong đó: C, a, b, c, d, e: Hằng số và các số mũ tìm bằng thực nghiệm

Dựa vào định lý Pie ta viết

n – m = 5 – 3 = 2

Tức là phải tìm ra 2 đại lượng không thứ nguyên

Gọi τ là ứng suất dòng chảy do ma sát gây ra, xác định bằng thực nghiệm theo công

thức:

2

v2 λρ

= τ

Có thứ nguyên [M]1.[L]-1.[T]-2 Phân tích thứ nguyên các đại lượng (biến số)

[M]1.[L]-1.[T]-2 = [L]a.[T]-a x [L]b x [M]c.[L]-3c x [M]d .[L]-d.[T]-d x [L]e

Giải theo cân bằng số mũ ta có:

Với M: 1 = c + d

Với L: -1 = a + b – 3c – d + e

Với T: -2 = -a – d

Tìm a, b, c theo d và e, (hoặc tính lặp)

Cụ thể là: a = 2 –d

b = - (d + e)

c = 1 –d

Thế vào (5 -20) ta có

64











 ε

=

Qua (5 – 22) phát biểu rằng sự ma sát dòng chảy đồng dạng với chế độ chảy Re và

thừa số hình dạng

ε

d (xem chương 4 – công thức 4 10)

Bài toán này không giải được khi các đại lượng (biến số) nhỏ hơn số thứ nguyên tức là

n < m Nếu gặp trường hợp này thì sử dụng các phương pháp giải khác phức tạp hơn, như dùng hệ phương trình vi phân toàn phần hoặc các phương pháp khác

65

4 CÂU HỎI ÔN TẬP

1 Định sốđồng dạng là gì?

2 ChuNn sốđồng dạng là gì?

3 Ứng dụng thuyết đồng dạng?

4 Định nghĩa thứ nguyên?

5 Nêu phương pháp biểu diễn một đại lượng theo thứ nguyên?

6 Ứng dụng phương pháp phân tích thứ nguyên?

7 Nội dung định lý Pie?

8 Nêu trình tự giải một bài toán đồng dạng theo phương pháp phân tích thứ nguyên?