Đề thi và đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017

Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017

Trần Nam Dũng (Chủ biên)

ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI

Olympic Gặp gỡ Toán học 2017

TP.HCM - Tháng 7/2017

Nhóm thực hiện gồm các huấn luyện viên của Gặp gỡ Toán học IX - 2017

Huỳnh Phước Trường Phạm Tiến Kha, Nguyễn Văn Huyện, Tống Hữu Nhân, Nguyễn Trần Hữu Thịnh, Phạm Quốc Thắng, Phạm Thị Hồng Nhung, Chu Thị Thu Hiền, Trần Dương Việt Hoàng, Lương Văn Khải

Trong quá trình biên tập tài liệu này chúng tôi có nhận được lời giải, nhận xét quý giá của hai anh Võ Quốc Bá Cẩn, Lê Phúc Lữ ở các bài phương trình hàm và đa thức Chân thành cảm ơn hai anh

Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên

Olympic Gặp gỡ Toán học 2017

Đề thi khối 10

Bài 1 An và Bình là hai bạn học cùng lớp chuyên toán Khi Bình hỏi địa chỉ nhà An, để thử

tài bạn, An đã cho những thông tin như sau “Nhà tớ ở trên đường Trần Hưng Đạo Số nhà

tớ là một số có 3 chữ số khác nhau Từ 3 chữ số này có thể tạo ra 5 số có 3 chữ số khác nhau khác nữa và điều thú vị là tổng của 5 số này đúng bằng 2017”.

Em hãy giúp Bình tìm số nhà của An

Bài 2 Cho a; b; c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2

C b2C c2 D 3 Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

a b.a C c/ C

b c.b C a/ C

c a.c C b/ 

3

2:

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại C Gọi F là chân đường cao hạ từ C xuống AB.

Đường tròn !/ tiếp xúc với đoạn FB tại điểm P , đường cao CF tại điểm Q và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm R Chứng minh rằng các điểm A; Q; R thẳng hàng và

AP D AC

Bài 4 Người ta tô màu m ô vuông trên bảng ô vuông 1001  1001 sao cho

(a) Trong hai ô vuông kề nhau luôn có ít nhất một ô được tô màu;

(b) Cứ 6 ô vuông liên tiếp trên cùng hàng hoặc cùng cột lại có ít nhất hai ô kề nhau được

tô màu

Tìm giá trị nhỏ nhất của m để có thể thực hiện được cách tô thoả mãn cả hai điều kiện trên

— HẾT —

3

Olympic Gặp gỡ Toán học 2017

Đề thi khối 11

Bài 1 Cho ba số thực không âm x; y; z Chứng minh rằng

1 xy yz zx 6 6 2p

6
1 minfx; y; zg/ :

Bài 2 Tìm tất cả các hàm f W R ! R thoả mãn điều kiện

f x2/ C f xy/ D f x/f y/ C yf x/ C xf x C y/; 8x; y 2 R:

Bài 3 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  2, luôn tồn tại số nguyên x sao cho

x3C 2017 chia hết cho 3nnhưng không chia hết cho 3nC1.

Bài 4 Cho tam giác ABC và điểm P di động trên cạnh BC Trên AC , AB lần lượt lấy Q,

Rsao cho PQ song song với AB, PR song song với AC

a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AQR luôn đi qua một điểm cố định

X khác A khi P di động trên BC

b) Kéo dài AX cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai K Chứng minh rằng X là trung điểm của AK

— HẾT —

4

Olympic Gặp gỡ Toán học 2017

Đề thi khối 12

Bài 1 Cho số thực a và xét dãy số fxng thoả mãn

x1D 1; x2 D 0; xnC2 D x

2

nC xnC12

4 C a; 8n  1:

a) Chứng minh rằng với a D 0 thì dãy fxng hội tụ

b) Tìm số thực a lớn nhất sao cho dãy fxng hội tụ

Bài 2 Cho hai đa thức P.x/ D x3 4x2C 39x 46và Q.x/ D x3

C 3x2C 4x 3. a) Chứng minh rằng P x/; Q.x/ đều có các nghiệm dương duy nhất, đặt các nghiệm đó lần lượt là ˛; ˇ

b) Chứng minh rằng f˛g > fˇg2

, trong đó ký hiệu fxg là phần lẻ của số thực x

Bài 3 Cho đường tròn O/ và dây cung BC khác đường kính Điểm A thuộc cung lớn BC:

Lấy điểm S đối xứng với O qua BC: Lấy điểm T trên OS sao cho AT; AS đối xứng nhau qua phân giác góc BAC

a) Chứng minh rằng T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC

b) TB; T C cắt O/ ở các điểm thứ hai E; F tương ứng AE; AF lần lượt cắt BC ở M; N Giả sử SM cắt tiếp tuyến của O/ tại C ở X, SN cắt tiếp tuyến của O/ tại B

ở Y Chứng minh rằng AX; AY đối xứng nhau qua phân giác góc BAC

Bài 4 Có một nhóm n > 4 người thỏa mãn các điều kiện

(i) 2 người quen nhau thì không có người quen chung;

(ii) 2 người không quen nhau thì có đúng 2 người quen chung

a) Chứng minh rằng 8n 7là số chính phương

b) Tìm n nhỏ nhất thỏa đề bài

— HẾT —

5

Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên

Khối 10

Bài 1 An và Bình là hai bạn học cùng lớp chuyên toán Khi Bình hỏi địa chỉ nhà An, để

thử tài bạn, An đã cho những thông tin như sau “Nhà tớ ở trên đường Trần Hưng Đạo Số nhà tớ là một số có 3 chữ số khác nhau Từ 3 chữ số này có thể tạo ra 5 số có 3 chữ số khác nhau khác nữa và điều thú vị là tổng của 5 số này đúng bằng 2017”.

Em hãy giúp Bình tìm số nhà của An

Lời giải Gọi số nhà của An là abc, trong đó a; b; c đôi một khác nhau thuộc tập hợp

f1; 2; : : : ; 9g Khi đó, 5 số có 3 chữ số tạo được từ các chữ số a; b; c và khác với abc là acb, bca, bac, cab, cba

Theo giả thiết, ta có

bca C acb C


C cba D 2017;

điều này tương đương với

222.a C b C c/ D abc C 2017: (1) Mặt khác, ta có 2017  19 mod 222/ nên abc D 222k 19; k 2 Z Với chú ý rằng

100 < abc < 999, ta suy ra k 2 f1; 2; 3; 4g

Với k D 1, ta có abc D 203, không thoả (1) Tương tự, ta có k D 3; k D 4 không thoả (1) Khi k D 2, ta có abc D 425, thoả (1) Vậy số nhà của An là 425

Bài 2 Cho a; b; c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2

C b2C c2 D 3 Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

a b.a C c/ C

b c.b C a/ C

c a.c C b/ 

3

2:

Lời giải 1 Sử dụng bất đẳng thức AM–GM cho 3 số dương, ta có

a b.a C c/ C

b c.b C a/C

c a.c C b/  3

3

s

abc b.a C c/c.b C a/a.c C b/

p.a C b/.b C c/.c C a/:

(2)

Lại có

3

p a C b/.b C c/.c C a/  .a C b/ C b C c/ C c C a/3

D 2

3.a C b C c/  2

3 p 3.a2C b2C c2/;

Olympic Gặp gỡ Toán học 2017

kết hợp với giả thiết a2

C b2

C c2

D 3, ta được

3

p a C b/.b C c/.c C a/  2: (3)

Từ (2) và (3), ta có

a b.a C c/ C

b c.b C a/ C

c a.c C b/ 

3

2: Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a D b D c D 1

Lời giải 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz kết hợp với AM-GM ta được

a b

a C c C

b c

b C a C

c a

c C b 

r a

b Cr bc Cr ca

!2

2 a C b C c/ 

9 2.a C b C c/: Mặt khác

a C b C c  p3.a2

C b2

C c2

/ D 3:

Do đó

a

b a C c/ C

b

c b C a/ C

c

a c C b/ 

3

2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a D b D c D 1

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại C Gọi F là chân đường cao hạ từ C xuống AB.

Đường tròn !/ tiếp xúc với đoạn FB tại điểm P , đường cao CF tại điểm Q và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm R Chứng minh rằng các điểm A; Q; R thẳng hàng và AP D AC

Lời giải Gọi I là tâm của !/ Do !/ tiếp xúc CF tại Q nên IQ song song AB và I là

trung điểm OR Mặt khác, ta có IQ D OR=2 D OA=2 nên suy ra A; Q; R thẳng hàng

P

C

R

Q

O I

8

Olympic Gặp gỡ Toán học 2017

Ta có FQRB là tứ giác nội tiếp vì †QFB D †QRB D 90ı, do đó 4AQF  4ABR Điều này cho ta AQ
AR D AF
AB Mặt khác, ta lại có AC2

D AF
AB và AP2 D

AQ
AR, do đó AC2 D AP2, suy ra AC D AP

Bài 4 Người ta tô màu m ô vuông trên bảng ô vuông 1001  1001 sao cho

(a) Trong hai ô vuông kề nhau luôn có ít nhất một ô được tô màu;

(b) Cứ 6 ô vuông liên tiếp trên cùng hàng hoặc cùng cột lại có ít nhất hai ô kề nhau được tô màu

Tìm giá trị nhỏ nhất của m để có thể thực hiện được cách tô thoả mãn các điều kiện trên

Lời giải Ta chứng minh rằng, trong 5 ô vuông liên tiếp cùng hàng hoặc cùng cột, có ít nhất

ba ô được tô màu

Thật vậy, từ (a) suy ra không thể có hai ô không tô màu kề nhau Trong 5 ô liên tiếp chỉ có nhiều nhất ba ô không tô màu, nếu trường hợp nhiều nhất này xảy ra thì các ô không tô màu rơi vào vị trí thứ 1; 3 và 5 Như vậy ô liền trước ô thứ 1 và ô liền sau ô thứ 5, nếu có, chắc chắn phải được tô màu; và ta sẽ có 6 ô liên tiếp tô màu xen kẽ, trái giả thiết (b) Nhận xét được chứng minh

Ta dễ dàng chia bảng ô vuông thành các hình chữ nhật 1  5, và 1 ô vuông còn dư Giả sử ô còn dư không tô màu, ta có m  601200

Ta chứng minh m nhỏ nhất bằng 601200 bằng cách chỉ ra cách tô màu thỏa yêu cầu bài toán như sau:

.

.

.

.

.

Vậy giá trị m nhỏ nhất thoả yêu cầu đề bài là 601200 Bài toán được giải quyết

9

Khối 11

Bài 1 Cho ba số thực không âm x; y; z Chứng minh rằng

1 xy yz zx 6 6 2p

6
1 minfx; y; zg/ : (1)

Lời giải Giả sử x > y > z Bất đẳng thức (1) trở thành

1 xy yz zx 6 6 2p

6
.1 z/:

Từ giả thiết dễ thấy xy C yz C zx  3z2nên ta chỉ cần chứng minh

1 3z2 6 6 2p

hay là

3z2C 2p6 6
z C 5 2p6 > 0;

hoặc

1

3.3z Cp6 3/2 >0:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x D y D z D 1 q2

3:Chứng minh hoàn tất

Bài 2 Tìm tất cả các hàm f W R ! R thoả mãn điều kiện

f x2/ C f xy/ D f x/f y/ C yf x/ C xf x C y/; 8x; y 2 R: (3)

Lời giải Thay x D 0 vào (3), ta được

2f 0/ D f 0/ f y/ C y/ ; 8y 2 R:

ı Nếu f 0/ ¤ 0 thì ta có f y/ D 2 y; 8y 2 R Hàm này thoả mãn các yêu cầu của bài toán

ı Xét trường hợp f 0/ D 0 Thay y D 0 vào (3), ta được

f x2/ D xf x/; 8x 2 R: (4)

Từ đây, ta có xf x/ D f x2

/ D xf x/, suy ra f x/ D f x/ với mọi x ¤ 0 Hơn nữa ta có f 0/ D 0 nên f là hàm lẻ

Tiếp theo, thay y bởi y vào (3), ta được

f x2/ f xy/ D f x/f y/ yf x/ C xf x y/; 8x; y 2 R: (5) Cộng hai kết quả (5) và (3) lại, kết hợp với (4), ta được

2xf x/ D xf x C y/ C xf x y/;

Olympic Gặp gỡ Toán học 2017

suy ra

2f x/ D f x C y/ C f x y/; 8x ¤ 0; 8y 2 R: (6)

Do f 0/ D 0 và f lẻ nên 2f 0/ D 0 D f 0 C y/ C f 0 y/ Từ đây, ta suy ra (6) cũng đúng với x D 0 Bây giờ, thay x D y vào (6), ta được f 2x/ D 2f x/ Do đó, với mọi x; y 2 R, ta có

f xCy/ D 2f  x C y

2



D f  x C y

2 Cx y

2



Cf  x C y

2

x y 2



D f x/Cf y/: Như vậy f cộng tính Kết hợp với (4), ta có

f .x C 1/2

 D x C 1/f x C 1/ D x C 1/ Œf x/ C f 1/

và

f .x C 1/2

 D f x2

C 2x C 1/ D f x2/ C 2f x/ C f 1/ D xf x/ C 2f x/ C f 1/: Đối chiếu hai kết quả, ta có f x/ D xf 1/ với mọi x 2 R Thay trở lại (3), ta được

f x/ D x hoặc f x/ D 0

Tóm lại, ta có ba hàm số thoả mãn yêu cầu là f x/ D 2 x, f x/ D 0 và f x/ D x

Bài 3 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  2, luôn tồn tại số nguyên x sao

cho x3

C 2017 chia hết cho 3nnhưng không chia hết cho 3nC1

Lời giải Ta chứng minh bằng quy nạp Với n D 2, ta chọn x D 1 Giả sử tồn tại y sao

cho y3

C 2017 chia hết cho 3nnhưng không chia hết cho 3nC1.

Trước hết, ta có nhận xét sau đây

Nhận xét Giả sử a không chia hết cho 3 và m  2 Khi đó,

.a C 3m 1/3  a3C 3ma2C 32m 1a C 33m 3  a3C 3m.mod 3mC1/:

Do y3

C2017 chia hết cho 3nnên y3C2017 đồng dư 0; 3nhoặc 2
3nmodulo 3nC1 Do 2017 không chia hết cho 3 nên y không chia hết cho 3 Áp dụng nhận xét trên cho hai bộ a; m/ D y; n/và a; m/ D y C 3n 1; n/, suy ra y C 3n 1/3C 2017 hoặc y C 2
3n 1/3C 2017 phải chia hết cho 3nC1

Như vậy tồn tại x0không chia hết cho 3 sao cho x3

0C2017 chia hết cho 3nC1 Nếu x3

0C2017 không chia hết cho 3nC2 thì bài toán được giải quyết Nếu x3

0C 2017 chia hết cho 3nC2, ta chứng minh x1 D x0C 3nthoả mãn Ta có

.x03C 3n/3  x03C 3nC1x02C 32nC1x0C 33n 

(

x30 mod 3nC1/

x30C 3nC1 6 x03 mod 3nC2/:

Do đó x3

1C 2017 chia hết cho 3nC1 nhưng không chia hết cho 3nC2.

Theo nguyên lý quy nạp, ta có điều cần chứng minh

11

Olympic Gặp gỡ Toán học 2017

Bình luận Phần lớn các bạn học sinh không làm được bài toán này, có lẽ vì các bạn tập

trung vào các câu còn lại vốn dĩ thuộc các chủ đề “gần gũi” hơn Bạn đọc có thể thử sức với bài toán tổng quát hơn sau:

Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho với mọi n  2, luôn tồn tại số nguyên

xsao cho x3

C k chia hết cho 3nnhưng không chia hết cho 3nC1

Bài 4 Cho tam giác ABC và điểm P di động trên cạnh BC Trên AC , AB lần lượt lấy

Q, R sao cho PQ song song với AB, PR song song với AC

a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AQR luôn đi qua một điểm cố định X khác A khi P di động trên BC

b) Kéo dài AX cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai K Chứng minh rằng X là trung điểm của AK

Lời giải.

a) Dễ thấy khi P trùng C thì AQR/ đi qua A; A và C , tức là đường tròn !1/qua A; C và tiếp xúc AB Tương tự khi P trùng B thì AQR/ biến thành đường tròn !2/qua A; B và tiếp xúc AC

A

Q

R

X

Gọi X là giao điểm của !1/và !2/thì X cố định Ta chứng minh AQR/ đi qua X

Do 4ABX  4AXC nên AX=BX D AC=BC Mặt khác, do

AC

AB D PR

BR D AQ

BR nên AX=BX D AQ=BR Kết hợp với việc BR; BX/  AC; AX/ mod /; suy ra 4BRX  4AQX, do đó

.RB; RX /  QA; QX/ mod /:

12

Olympic Gặp gỡ Toán học 2017

Vậy tứ giác AQXR nội tiếp, tức là AQR/ đi qua điểm X cố định khi P thay đổi

b)

A

X

K

Cách 1 Ta có

sin.AB; AX / sin.AX; AC / D sinsin.AB; AX /

.BX; BA/ D BX

AX D AB

AC; nên AX là đường đối trung của 4ABC Theo kết quả ở câu (a) thì 4ABX  4AXC nên

XA2 D XB
XC Hơn nữa,

.XB; XK/  XB; AX/  AX; XC /  XK; XC / mod /:

Ta cũng có

.KB; KX /  CB; CA/  CB; CX/ C CX; CA/

 CB; CX/ C AK; AB/

 CB; CX/ C CK; CB/

 CK; CX/ mod /:

Do đó 4XBK  4XLC nên XK2

D XB
XC Như thế XA2 D XK2 hay XA D XK Vậy X là trung điểm của AK Bài toán đã được giải xong

Cách 2 Do X cố định nên ta chỉ cần xét trường hợp P là trung điểm của BC Khi đó, Q; R

lần lượt là trung điểm của AC; AB

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có AQOR là tứ giác nội tiếp Theo câu (a), ta cũng có AQXR là tứ giác nội tiếp, do đó †AXO D †AQO D 90ı Như vậy ta

có OX ? AK, hay X là trung điểm của AK

Bình luận Đa số các bạn không xác định được điểm cố định hoặc xác định sai dẫn đến

không giải được bài toán Ở dạng toán này, nếu tinh ý di chuyển điểm P về phía B hay C

13

Olympic Gặp gỡ Toán học 2017

thì ta lập tức có đường tròn đi qua A tiếp xúc với AB và đường tròn đi qua A tiếp xúc với

AC, giao của chúng chính là điểm cố định cần tìm Có một số bạn còn sử dụng những kiến thức mà không chắc đúng như phép vị tự quay, tọa độ barycentric, Các bạn hãy suy nghĩ theo hướng đơn giản trước, đừng áp dụng những công cụ quá phức tạp dễ dẫn đến bế tắc Sau đây nhóm xin đưa ra một số bài tập đề nghị dành cho bạn đọc:

Bài toán 1 Cho 4ABC và điểm P di động trên cạnh BC Trên AC , AB lần lượt lấy Q,

Rsao cho PQ đối song AB và PR đối song AC

(a) Chứng minh rằng AQR/ luôn đi qua điểm Y cố định khi P thay đổi

(b) AY đường đẳng giác của AY đối với 4ABC cắt BC lần lượt tại L, M Chứng minh rằng Y LM / tiếp xúc YBC /

(c) Chứng minh rằng điểm X được đề cập ở Bài 4 liên hợp đẳng giác với điểm Y trong

4ABC

Bài toán 2 Cho 4ABC và điểm P di động trên cạnh BC Trên AC lấy Q, Q0 sao cho

PQđối song AB và PQ0song song AB Trên AB lấy R, R0sao cho PR song song AC và

PR0đối song AC

(a) Chứng minh rằng các đường tròn AQR/, AQ0

R0

/lần lượt đi qua điểm cố định T ,

T0khi P thay đổi

(b) Khi P di động trên BC , gọi AX là điểm cố định được đề cập ởBài 4 Gọi P0và P00

lần lượt di động trên CA và AB, ta định nghĩa các điểm tương tự là BX và CX Chứng minh rằng các điểm AX, BX, CX, T , T0cùng thuộc một đường tròn

14

Khối 12

Bài 1 Cho số thực a và xét dãy số fxng thoả mãn

x1D 1; x2 D 0; xnC2 D x

2

nC xnC12

4 C a; 8n  1:

a) Chứng minh rằng với a D 0 thì dãy fxng hội tụ

b) Tìm số thực a lớn nhất sao cho dãy fxng hội tụ

Lời giải.

a) Với a D 0, ta có dãy số

x1 D 1; x2 D 0; xnC2 D x

2

nC xnC12

4 ; 8n  1:

Bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng xn 2 Œ0; 1; 8n  1, và do đó

xnC2 D x

2

nC x2nC1

4  xnC1C xn

4 ; 8n  1:

Ta chứng minh bằng quy nạp rằng

xn 1 3=2/n 1; 8n  1 (1) Thật vậy, với n D 1; 2 thì bất đẳng thức đúng Giả sử (1) đúng đến n D k  2, khi đó

xkC2 xk C xkC1

4  1

4

 1 3=2/k 1 C 1

.3=2/k



D 1 3=2/kC1
27

32 <

1 3=2/kC1;

do đó (1) đúng với n D k C 1

Như vậy ta có 0 < xn  3=2/ .n 1/; 8n  1, và do đó dãy fxng hội tụ với giới hạn L D 0 b) Giả sử dãy fxng hội tụ Gọi L là giới hạn của dãy số thì L là nghiệm của phương trình

x D x

2

2 C a , x2 2x C 2a D 0:

Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi 0

D 1 2a  0, tức là a  1=2

Khi a D 1=2, ta có

x1 D 1; x2D 0; xnC2 D x

2

nC x2 nC1

4 C 12; 8n  1:

Bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng xn 2 Œ0; 1; 8n  1