Cuối năm có thêm 2 em đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng 5 4 số học sinh còn lại.. Kẻ tia om là tia phân giác của xoy.. ĐỀ CHÍNH THỨC.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 6
THANH OAI Năm học 2011 - 2012
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không thể thời gian giao đề)
Câu 1 (6 điểm)
1 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
a, (2x−5)(y−6)=17
b, 4x + 3 chia hết cho (x− 2)
2 Rút gọn phân số:
5
999
9
1999
(100 chữ số 9 ở tử, 100 chữ số 9 ở mẫu)
Câu 2 (4 điểm)
Ở lớp 6A số học sinh giỏi trong học kỳ I bằng
3
2
số học sinh còn lại
Cuối năm có thêm 2 em đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng
5
4
số học sinh còn lại Tính số học sinh của lớp?
Câu 3 (4 điểm)
Tìm số tự nhiên a để phân số
13 4
11 5
−
−
a
a
có giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu?
Câu 4 (4 điểm)
Cho góc vuông xoy Kẻ tia oz sao cho xoz =
5
1 xoy Kẻ tia om là tia phân giác của xoy Tính moz ?
Câu 5 (2 điểm)
Tìm số nguyên tố p và q sao cho: 7p + q và pq + 11 đều là các số nguyên tố
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 6
Năm học: 2011 – 2012
Câu 1
1. a, Vì x, y là các số nguyên nên 2x−5 và y−6 đều là các số nguyên
Ta biết Ư(17) = ±1 ,±17 nên:
=
=
↔
=
−
=
−
23 y
3 x 17
6
y
1 5 x
2
hoặc
=
=
↔
−
=
−
−
=
−
-11 y
2 x 17
6 y
1 5 x 2
(thỏa mãn)
b, Ta có: 4x+3(x -2)↔4(x-2)+11(x-2)↔11(x -2)
=
=
=
=
↔
=
=
=
=
↔
13 x
3 x
1 x
-9 x
11 2 -x
1 2 -x
-1 2 -x
-11 2 -x
(thỏa mãn)
2 1999 9 = 2000 0 - 1
100 chữ số 9 100 chữ số 0
999 5 = 1000 0 - 5 = 5 (2000 0 - 1)
100 chữ số 9 101 chữ số 0 100 chữ số 0
Vậy
5
1 5
999
9
1999
=
Câu 2
Lớp 6A có số học sinh giỏi trong học kỳ I bằng
3
2
số học sinh còn lại
tức là bằng
5
2 3 2
2
= + tổng số học sinh lớp 6A.
Cuối năm có thêm 2 em đạt học sinh giỏi nên số học sinh giỏi bằng
5 4
số học sinh còn lại tức là bằng
9
4 5 4
4
= + tổng số học sinh lớp 6A.
Trang 3Điều đó có nghĩa là 2 em học sinh sẽ chiếm
45
2 5
2 9
4− = tổng số học sinh lớp 6A
Vậy số học sinh của lớp 6A là 45
45
2 :
2 = học sinh
Câu 3
Đặt A =
13 4
11 5
−
−
a
a
Nếu A đạt GTLN thì 4A cũng đạt GTLN
4A
13 4
21 5
13 4
21 ) 13 4 ( 5 13 4
) 11 5
( 4
− +
=
−
+
−
=
−
−
=
a a
a a
a
− +
↔
13 4
21 5
21
−
↔
a max ↔(4a−13)min.
Vì a là số tự nhiên nên (4a−13)min khi và chỉ khi a = 0.
Vậy với a = 0 thì phân số
13 4
11 5
−
−
a
a
có giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất
đó là
13
11
Câu 4
Ta có xoz =
5
1 xoy = 900 180
5
1
=
x
Chia làm 2 trường hợp sau:
TH1: Tia oz nằm trong góc vuông xoy
Vì tia om là tia phân giác của góc x
xoy nên mox =450 m
Vì tia oz nằm trong góc vuông xoy và
xoz=180 < mox nên suy ra:
moz =450 −180 =270
O y
:
TH2 Tia oz nằm ngoài góc vuông xoy
Vì tia om là tia phân giác của góc x
xoy nên mox =450 z
Vì tia oz nằm ngoài góc vuông xoy và m
xoz=180 < mox nên suy ra:
moz =450 +180 =630
O y
z
Trang 4Câu 5
Nếu p, q cùng lẻ thì 7p + q là chẵn suy ra 7p + q không phải là số
nguyên tố Do đó p hoặc q sẽ bằng 2
Xét p = 2:
- Nếu q = 3 thì 7p + q =17 và pq + 11= 17 đều là số nguyên tố
- Nếu q>3⇒q=3k +1 hoặc q=3k+2
Với q=3k+1→7p+q=14+3k +1=15+3k 3 không là số nguyên tố Với q=3k+2→pq+11=2(3k+2)+11=6k+15 3là hợp số
Vậy p = 2 và q = 3.
Xét q = 2:
- Nếu p = 3 thì 7p + q =23 và pq + 11= 17 đều là số nguyên tố
- Nếu p>3⇒p=3k +1 hoặc p=3k+2
Với p=3k+1→7p+q=7(3k +1)+2=9+21k 3 là hợp số
Với p=3k+2→pq+11=(3k+2)2+11=6k+15 3là hợp số
Vậy q = 2 và p = 3.
Kết luận: Vậy có 2 cặp duy nhất thỏa mãn là (p ;q)=(2 ;3);(3 ;2)