Sáng Kiến Kinh Nghiệm : 2000 – 2001 Trang 1 DẠY TOÁN HỌC CÓ SỰ KẾT HP VỚI LỊCH SỬ TOÁN HỌC Huỳnh Trung Nam GV: Trường THPT Nguyễn Trung Trực - An Giang A. ĐẶT VẤN ĐỀ : Dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng, làm cho học sinh học tập hứng thú trong mỗi giờ lên lớp và say mê môn mình dạy là điều trăn trở của hầu hết giáo viên. Riêng toán học là môn khoa học không thể thiếu được trong xã hội loài người và toán học hiển nhiên trở thành môn học chính trong nhà trường phổ thông. Thế nhưng đa số học sinh lại cho rằng môn toán học khó, khô khan . và các em trở thành học toán trong tình trạng bò thúc ép của thực tế thi cử. Là một giáo viên dạy toán, tìm cách làm cho tất cả học sinh say mê học toán, học toán bằng tư duy và sáng tạo là điều mà tôi luôn suy nghó trên từng trang giáo án, trong từng giờ lên lớp. Đầu năm học 2000 – 2001, Bộ giáo dục và đào tạo ban hành bộ sách giáo khoa hợp nhất năm 2000, trong bộ sách này sau các chương có phần “chỉ dẫn lòch sử”. Từ nội dung này đã gợi cho tôi một ý niệm: “Ứng dụng lòch sử toán học trong quá trình giảng dạy” để làm cho học sinh học toán bằng sự hứng thú và đam mê. Từ ý niệm đến thực tiển không xa và tôi đã thực hiện phương pháp dạy học này ngay trong năm học 2000 – 2001. Nhưng do bước đầu thực hiện, nguồn tư liệu còn hạn chế, nên tôi không thể áp dụng cho tất cả các tiết dạy trên lớp được. Sau đây tôi xin trình bày hướng giải quyết vấn đề của mình và những thành công ban đầu để các đồng nghiệp tham khảo. B. NỘI DUNG, BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT: I.Quá trình phát triển kinh nghiệm : 1. Biện pháp cụ thể đã thực hiện: Thông thường khi thực hiện một tiết dạy, tôi làm như sau : - Nhắc lại các kiến thức cũ có liên quan nội dung bài mới. - Thường vào bài mới bằng câu : “Tiếp theo hôm nay chúng ta học bài: ”. - Trình tự thực hiện các nội dung theo sách giáo khoa. - Củng cố, dặn dò. 2. Biện pháp mới : Đối với một tiết dạy có sự kết hợp với lòch sử toán, tôi thực hiện như sau: - Nhắc lại các kiến thức cũ có liên quan nội dung bài mới. Sáng Kiến Kinh Nghiệm : 2000 – 2001 Trang 2 - Vào bài mới từ một sự kiện lòch sử toán học có liên quan với nội dung bài mới ( Đối với những bài chưa tìm được sự kiện lòch sử toán học liên quan, tôi vẫn thực hiện như biện pháp đã làm trước đây ). - Trình tự thực hiện các nội dung theo sách giáo khoa. Nhưng những lúc học sinh không tập trung hoặc làm việc căng thẳng, tôi liền dành chút thời lượng kể cho các em nghe về các giai thoại, cuộc đời, sự nghiệp hoặc những lời nói . của các nhà toán học tiêu biểu. - Củng cố, dặn dò. Nội dung nguồn tư liệu về lòch sử toán học mà tôi đã áp dụng và đònh hướng trong dạy học toán theo các hướng sau: a) Dùng các yếu tố lòch sử toán học liên quan đến nội dung bài dạy để tạo hứng thú học tập cho học sinh và phát huy được tính tích cực học tập cho các em : Khi dạy bất cứ một nội dung toán học nào tôi luôn tự hỏi :”Có một sự kiện lòch sử nào liên quan đến bài học này không ?” và “Với yếu tố lòch sử này làm thế nào để phát huy được tính tích cực học tập của học sinh ?”. Sau đây là một số ví dụ , mà tôi đã áp dụng trong chương trình Toán 11. Ví dụ 1: Khi dạy phần : “Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng” Sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000 lớp 11, trang 97. - Đầu tiên chúng tôi giới thiệu : Nhà toán học Gauss-người Đức khi còn là một cậu bé bảy tuổi đã làm bất ngờ các bạn học trong lớp và cả thầy giáo khi giải bài toán sau đây: “Tính tổng S=1+2+3+ .+100” trong vòng vài giây. Bây giờ các em hãy giải bài toán này xem. - Sau khi để học sinh nêu các cách giải của mình, tôi nêu cách tính của Gauss. Gauss nhận xét rằng tổng của hai số của từng cặp số cách đều phía đầu và phía cuối dều bằng nhau, nghóa là : 1+100 = 2+99 = .= 50+51=101. Có 50 cặp như vậy, nên : S= 101.50 = 5050. - Tôi cho tiếp hai bài tập : “Tính tổng S = 2+4+6+ .+98” và “Tính tổng S = 8+12+16+20+24+28”. Học sinh cũng dùng cách của Gauss tính được hai tổng trên một cách nhanh chóng. - Tôi nêu câu hỏi : Các dãy số 1,2,3, .,98,99,100 2,4,6, .,94,96,98 8,12,16,20,24,28 có tính chất gì chung ngoài chúng là số nguyên dương ? Học sinh dễ dàng phát hiện chúng là các cấp số cộng. - Khi đó, tôi nêu bài toán tổng quát :” Cho cấp số cộng u 1 , u 2 , u 3 , .,u n-2 , u n-1 , .Hãy tìm công thức tính tổng S = u 1 +u 2 + .+ u n . Sau đó, đề nghò học sinh hãy suy nghó tìm cách chứng minh công thức (đúng) mà học sinh đã đề nghò. Sáng Kiến Kinh Nghiệm : 2000 – 2001 Trang 3 Ví dụ 2 : Khi dạy bài : “Giới hạn dãy số”, Sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000 lớp 11, trang 106. Trước khi vào bài mới tôi giới thiệu cho các em : “Nghòch lý Zenon (495-435 trước công nguyên)”: Achille là một nhân vật nổi tiếng về sức khoẻ, chạy đuổi theo một con rùa ở trước ông ta 100 m với vận tốc gấp 10 lần con rùa. Quãng đường Achille chạy Quãng đường rùa chạy 100 m 10 m 10 m 1 m 1 m 1/10 m Điều đó có nghóa là Achille càng gần rùa nhưng không bao giờ bắt kòp rùa. Nhưng trong thực tế thì : Quãng đường rùa chạy được là : S n = n 10 1 . 10 1 10 1 110 2 +++++ S n = 10 1 1 10 1 1 10 − − + n Khi n → ∞ thì : S n = 9 100 10 9 1 10 =+ (m) Sau khi rùa chạy được 100/9 m thì Achille đuổi kòp rùa. Để giải thích nghòch lý đó ta phải nhờ đến lý thuyết giới hạn. Ví dụ 3 : Khi dạy bài: “Hàm số liên tục”, Sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000 lớp 11, trang 131. Để tạo hứng thú cho học sinh, tôi đặt câu hỏi cho các em như sau: “Cho hai vòng tròn qua tâm của nhau, hai vòng tròn này có cắt nhau không ?” O. O’ Tất nhiên học sinh sẽ trả lời rằng chúng cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Sau đó tôi cho học sinh biết là ngày xưa nhà toán học cổ Hy Lạp là Euclid cũng có cùng nhận xét như các em. Tuy nhiên, sau Euclid nhiều nhà toán học cho rằng phải có thêm điều kiện nữa mới kết luận rằng chúng luôn cắt nhau. Các em cho biết đó là điều kiện gì ? Sau cùng tôi giải thích cho học Sáng Kiến Kinh Nghiệm : 2000 – 2001 Trang 4 sinh, hai đường tròn luôn cắt nhau khi chúng là những đường cong liên tục. Tiết học này chúng ta sẽ làm rõ ý nghóa về đường cong liên tục. b) Làm rõ nguồn gốc về sự ra đơì của bộ phận toán học mới: Khi dạy một bộ phận toán học mới nào, giáo viên nên giới thiệu cho các em nghe về sự phát minh ra nó. Điều đó làm cho các em hiểu sâu xa hơn về nguồn gốc, bản chất .của bộ phận toán học mới này. Nó cũng tạo cho các em sự tò mò, tìm hiểu và say sưa nghiên cứu những điều mới lạ còn ẩn náu trong nội dung huyền ảo của toán học. Sau đây là một số ví dụ : Ví dụ 1: Khi dạy bài : Lograit : Giáo viên có thể giới thiệu tóm tắt về sự phát minh ra Logarit vào thế kỷ XVII của John Napier (1550-1617). Ví dụ 2: Khi dạy Hình học giải tích lớp 12, ta giới thiệu cho các em về sự phát minh ra hình học giải tích của Descartes (1596-1650) và Fermat (1601- 1665) ở thế kỷ XVII. Ví dụ 3: Khi dạy Chương vi–tích phân lớp 12, ta giới thiệu sơ lược về sự phát minh ra “Phép tính vi-tích phân” của Isaac Newton (1643-1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) vào cuối thế kỷ XVII. c) Khi dạy các đònh lý Thales, đònh lý Pythagoras, bất đẳng thức Cauchy . : Giáo viên có thể giới thiệu sơ lược về cuộc đời và sự nghiệp của các nhà toán học : Thales (624-548 tr CN), Pythagoras (khoảng 600-570 tr CN), Cauchy (1789-1857) . Qua những câu chuyện về cuộc đời và sự nghiệp của các nhà toán học mà tên tuổi đã được gắn liền với công trình đã phát minh, nó làm cho học sinh càng thâm thuý hơn câu nói của Cauchy: “Con người sẽ mất, những công trình của họ vẫn ở lại” và từ đó các em sẽ cố gắng hơn nữa trong học tập, để xứng đáng là những người thừa hưởng những công trình toán học vô giá. d) Dùng các lời phát biểu, những lời khuyên của các nhà toán học để góp phần giáo dục đạo đức công dân : Giáo dục đạo đức, cũng như hình thành nhân cách cho học sinh có hiệu quả tích cực là việc làm không chỉ của riêng giáo viên bộ môn dạy giáo dục công dân mà là nhiệm vụ của mọi giáo viên trong nhà trường xã hội chủ nghóa. Để thực hiện nhiệm đó, giáo viên dạy toán cần trích dẫn các ý kiến, các lời khuyên của các nhà toán học đối với sự nghiệp khoa học và phong cách nghiên cứu khoa học. Sau đây, tôi xin giới thiệu một số câu nói hay và một số phương châm sống và làm việc của một số nhà toán học : • Pythagoras : - Chỉ nên làm việc gì mà kết quả không khiến bạn buồn rầu và không làm bạn hối hận. - Không nên làm những cái bạn chưa biết, nhưng hãy đọc tất cả những điều bạn cần biết và khi đó bạn mới có thể sống một cách an tâm. Sáng Kiến Kinh Nghiệm : 2000 – 2001 Trang 5 - Chớ coi thường sức khỏe. Hãy dành thời gian thích hợp cho việc ăn, uống, luyện tập khi cơ thể đòi hỏi. - Hãy sống giản dò, chớ học đòi xa hoa. - Đừng nhắm mắt khi muốn ngủ, khi chưa ngẫm nghó kỹ càng về hành vi và công việc ngày hôm qua. - Đừng bước qua cái cân (đừng làm mất sự công bằng). - Đừng ngồi trên cái gối êm (đừng thoả mãn với kết quả đã đạt được). - Đừng dập lửa bằng gươm (đừng bức bách ai khi họ đang giận). - Không nên chứa chim én trong nhà ( tức là những kẻ lắm điều và nhẹ dạ, không thuỷ chung). • Newton : Newton là một nhà bác học hết mực khiêm tốn: “Tôi không biết mình có thể làm xuất hiện được gì trên thế gian này; đối với bản thân tôi tự thấy mình như một đứa bé chơi đùa trên bãi biển, vui sướng mỗi khi nhặt được cái vỏ sò đẹp, trong khi đại dương bao la của chân lý vẫn là những bí ẩn dưới mắt tôi”. Để tỏ lòng tôn trọng các bậc tiền bối ông bảo rằng:” Ông có được cái nhìn xa hơn người khác vì ông biết đứng trên vai người khổng lồ”. Khi nói về thái độ nghiên cứu của mình, ông bảo: “Tôi thường xuyên chăm chú theo dõi đối tượng nghiên cứu của mình và kiên tâm chờ đợi, từ khi sự việc bắt đầu cho đến khi sự việc được sáng tỏ dần và trở thành hoàn toàn rõ ràng”. • Leibniz : “Có hai điều cho tôi lợi ích nhất. Thứ nhất là tôi đã tự học mọi khoa học. Thứ hai là tôi luôn luôn lao vào tìm kiếm những điều mới mẻ ngay từ lúc mới hiểu được những khái niệm đầu tiên của mỗi khoa học”. g) Kể cho học sinh các câu chuyện về cuộc sống và sự nghiệp của các nhà toán học : Ngoài việc kể cho học nghe các câu chuyện về các nhà toán học mà tên họ gắn liền với công trình phát minh, như đã trình bày ở phần trên. Giáo viên có thể kể cho các em về các giai thoại, các gương vượt khó trở ngại để xây dựng nên những công trình khoa học phục vụ nhân loại của các nhà toán học, nhằm hình thành ở các em những hoài bão khoa học lớn, ước mơ cống hiến càng nhiều cho đất nước. Chẳng hạn, gương vượt khó của Kepler (1571- 1630), gương dám đấu tranh cho chân lý khoa học như Copernicus, gương lao động sáng tạo phi thường như Newton, Leibniz, Euler (1707-1783), Cauchy . h) Kể về những thành tựu toán học của Việt Nam : Giáo viên nên kể cho học sinh nghe về cuộc sống và sự nghiệp của các nhà toán học nước nhà như : GS Hoàng Tụy, GS Lê Văn Thiêm, GS Nguyễn Cảnh Toàn, GS Đặng Đình Áng , .Kể về các thành công của các học Sáng Kiến Kinh Nghiệm : 2000 – 2001 Trang 6 sinh Việt Nam trong các kỳ thi quốc tế và của các sinh viên Việt Nam đang du học nước ngoài .Tất cả những điều ấy có tác dụng rất tốt đến việc xây dựng niềm tự hào dân tộc, lòng yêu nước cho học sinh. Từ đó các em sẽ cố gắng học tập tốt và luôn rèn luyện đạo đức để sau này góp phần đưa đất nước có thể “ sánh vai cùng các cường quốc năm châu .” 3. Chuyển biến sự việc: - Giáo viên dẫn chuyện hấp dẫn, chính xác thì tiết học diễn ra rất sôi nổi, học sinh học tập rất hứng thú. Phát huy được khả năng tư duy toán học của học sinh. - Giáo viên không có sự chuẩn bò tư liệu chu đáo, sẽ làm mất rất nhiều thời gian tiết dạy, song vẫn làm cho học sinh chăm chú theo dõi bài, lớp học vẫn diễn ra theo hướng tích cực. 4. Kiểm chứng kết quả thực hiện: a) Thống kê: Sau đây tôi xin nêu số liệu về kết quả học tập của lớp tôi phụ trách là 11A 2 Trường THPT Nguyễn Trung Trực (đây là lớp tập trung học sinh trung bình, yếu) từ đầu năm 2000-2001 đến giữa học kỳ II:  Số liệu thống kê qua kiểm tra miệng đối với 3 bài học có áp dụng lồng lòch sử toán học và các bài học khác trong chương trình toán 11 như sau : - Bài 1 : phần : “Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng” - Bài 2 : “Giới hạn dãy số” - Bài 3 : “Hàm số liên tục” Bài Số lượng HS trả bài Điểm trên 5 Điểm dưới 5 Số lượng (hs) Tỷ lệ Số lượng (hs) Tỷ lệ 1 3 3 100% 0 0% 2 3 3 100% 0 0% 3 2 1 50% 1 50% Khác 30hs/15 bài 14 46,67% 16 53,33%  Kết quả thống kê một số bài kiểm tra 1 tiết ở các giai đoạn khác nhau: Lần thứ Tổng số Điểm Ghi chú 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I:Đầu năm 42 0 3 4 5 6 8 8 4 3 1 0 16,67% 26,19% 38,10% 16,67% 2,38% II: Cuối HKI 42 0 2 2 1 3 12 9 7 3 2 1 Sáng Kiến Kinh Nghiệm : 2000 – 2001 Trang 7 9,52% 9,52% 50% 23,81% 7,15% III: Giữa HKII 39 0 2 1 1 1 10 10 7 4 2 1 7,69% 5,13% 51,28% 28,21% 7,69% b) Phân tích đánh giá kết quả: α) Kiểm tra miệng: Qua kết quả của kiểm tra miệng, cho thấy ở các bài dạy có ứng dụng lòch sử toán, học sinh nắm vững bài, về nhà chòu học bài . β) Kiểm tra một tiết: - Học sinh yếu kém giảm: + Kém : giảm từ 16,67 % còn 7,69 % + Yếu : giảm từ 26,19 % còn 5,13 % - Học sinh trung bình, khá, giỏi tăng: + Trung bình :tăng từ 38,10% đến 51,28 % + Khá :tăng từ 16,67 % đến 28,21% + Giỏi :tăng từ 2,38 % đến 7,69 % Qua số liệu thống kê cho thấy học sinh đã dần dần thích học môn toán và đã có sự tiến bộ trong từng bài kiểm tra. II. Kiểm nghiệm lại kết quả: 1. Kết quả của biện pháp mới: Dạy toán học có sự kết hợp với lòch sử toán học, làm cho học sinh có sự hứng thú từ khi bắt đầu tiết học. Và trong cả tiết học, học sinh luôn làm việc liên quan với toán học dù đó là những giây phút thư giản ngắn ngủi. Phương pháp này dần làm cho học sinh học toán trở thành sự đam mê và các em đạt được sự tiến bộ trong học toán đấy là điều tất nhiên. 2. Phạm vi tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm: a) Đối với bản thân : Hiểu biết về lòch sử phát triển của môn mình dạy là một vấn đề hết sức cần thiết đối với người thầy giáo. Dạy toán học có sự kết hợp với lòch sử toán học, tạo điều điện cho tôi có dòp nghiên cứu sâu về lòch sử toán học và góp phần nâng cao hiệu quả trong giờ lên lớp. b) Đối với học sinh: Trong giờ học toán học có sự kết hợp của lòch sử toán học, làm cho việc học toán của học sinh trở thành niềm vui, là sự hứng thú . Cũng từ lòch sử toán: những gương lao động sáng tạo, tinh thần lao động hăng say và nghiêm túc cũng như đức tính khiêm tốn của các nhà toán học . làm cho học sinh có những hoài bão, ước mơ và luôn phấn đấu học tập tốt, rèn luyện đạo đức để trở thành công dân có ích cho nước nhà. Sáng Kiến Kinh Nghiệm : 2000 – 2001 Trang 8 c) Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn: Dạy học có sự kết hợp với lòch sử toán học, không yêu cầu cao về kiến thức, kinh nghiệm và tay nghề của người giáo viên, nên nó là một phương pháp dễ thực hiện. Từ những kết quả tốt ban đầu, anh em trong tổ đã nhận thấy đây là phương pháp tích cực, nó giúp anh em có điều kiện nghiên cứu kiến thức tổng quan về lòch sử toán học và góp phần không nhỏ cho sự thành công trong tiết dạy. Vì thế một số anh em đã bắt đầu áp dụng lòch sử toán học vào tiết dạy lớp của mình và đã đạt được những kết quả khả quan. 3. Nguyên nhân thành công và tồn tại: a) Nguyên nhân thành công : - Bản thân, tôi đã được học rất kỷ môn lòch sử toán học do Thầy Nguyễn Phú Lộc – Bộ môn toán, khoa sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ hướng dẫn và được trang bò một số sách tham khảo cần thiết về lòch sử toán học. - Các chương bài ở sách giáo khoa hợp nhất năm 2000 đều có phần chỉ dẫn lòch sử, đây là phần tài liệu rất quan trọng giúp giáo viên thành công khi áp dụng lòch sử toán cho tiết dạy. - Tâm lý đa số học sinh thường thích nghe những câu chuyện, những sự kiện, những giai thoại .của toán học dưới dạng một câu chuyện kể. b) Nguyên nhân tồn tại : - Dạy học toán có sự kết hợp với lòch sử toán sẽ làm mất thời gian nhất đònh trong tiết dạy. Điều này làm một số giáo viên ngần ngại áp dụng phương pháp dạy học này. - Nguồn tư liệu về lòch sử toán học rất hiếm, làm cho giáo viên gặp nhiều khó khăn trong quá trình tham khảo. - Một số giáo viên không có năng khiếu dẫn chuyện, làm cho bước đầu thực hiện phương pháp này chưa thực sự thu hút học sinh, đòi hỏi có thời gian tích luỹ thêm kinh nghiệm. 4. Bài học kinh nghiệm: Qua thực tế thực hiện tiết dạy có áp dụng lòch sử toán, bản thân tôi cũng như các anh em trong tổ rút ra một số bài học kinh nghiệm như sau: - Đòi hỏi giáo viên phải tham khảo tư liệu về lòch sử một cách đầy đủ chính xác và có sự chuẩn bò chu đáo trước khi lên lớp. - Giáo viên không nên lạm dụng việc áp dụng lòch sử toán trong tiết dạy, biến tiết dạy toán trở thành tiết kể chuyện. C. KẾT LUẬN: Trong nhà trường phổ thông, giáo viên toán biết sử dụng hợp lý nguồn tư liệu về lòch sử toán học vào tiết dạy học toán, thì đây là một biện pháp rất tốt để góp phần đạt được mục tiêu đào tạo cấp thiết của nhà trường Sáng Kiến Kinh Nghiệm : 2000 – 2001 Trang 9 là: “Hình thành cho học sinh động cơ học tập đúng đắn, xây dựng cho các em những hoài bão và ước mơ đẹp cũng như giáo dục thế hệ trẻ ngay từ khi ngồi trong ghế nhà trường những đức tính cần thiết cho một người lao động chân chính”. Sau đây tôi xin giới thiệu một số sách về lòch sử toán học để các đồng nghiệp tiện tham khảo: 1. Nguyễn Phú Lộc – Bộ môn toán, khoa sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ: Giáo trình Lòch sử toán, 1998. 2. Haward Eves: Giới thiệu lòch sử toán học (người dòch Trần Tất Thắng), NXB Khoa học kỷ thuật – công ty thiết bò trường học TP. HCM, 1993. 3. K.A Rup-ni-cop ( Vũ Tuấn, Phạm Gia Đức, Hoàng Chúng dòch) : Lòch sử toán học, NXB Giáo Dục, 1967. 4. Lê Minh Triết (Chủ biên ) : Từ điển các danh nhân khoa học kỹ thuật thế giới, NXB Trẻ , TP.HCM, 1966. 5. Lê Hải Châu: Danh nhân toán học, NXB Giáo Dục, 1989. 6. Nguyễn Đức Thuần: Sơ lược về lòch sử toán ( tài liệu lưu hành nội bộ ), tủ sách ĐH sư phạm HN 1, 1976. 7. Hoàng Chúng, Võ Ứng Đoài, Nguyễn Văn Bàng: Phương pháp tổng quát giảng dạy toán ở trường phổ thông, NXB Giáo Dục, HN, 1960. 8. Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thức Trình: Giáo dục học môn toán, NXB Giáo Dục, 1981. 9. Đặng Hấn (Sách dòch): kể chuyện về những nhà toán học, NXB Văn học, 1997. 10.Hội toán học VN: Thông tin toán học, tập 1 số 1, tháng 10. 1997 (lưu hành nội bộ) 11.Hội toán học VN: Thông tin toán học, tập 1 số 2, tháng 12. 1997 (lưu hành nội bộ) . sinh say mê học toán, học toán bằng tư duy và sáng tạo là điều mà tôi luôn suy nghó trên từng trang giáo án, trong từng giờ lên lớp. Đầu năm học 2000 –. tìm công thức tính tổng S = u 1 +u 2 + .+ u n . Sau đó, đề nghò học sinh hãy suy nghó tìm cách chứng minh công thức (đúng) mà học sinh đã đề nghò. Sáng