Tóm tắt lý thuyết môn toán 12

Khối lăng trụ khối chóp, khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ hình chóp, hình chóp cụt kể cả hình lăng trụ hình chóp, hình chóp cụt ấy.. Hình đa diện là

MỤC LỤC

A Phần I: GIẢI TÍCH Trang 02

I Chương I: Ứng dụng của đạo hàm Trang 02

II Chương II: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit Trang 6III.Chương III: Nguyên hàm và tích phân Trang 11Nguyên hàm Trang 11Tích phân Trang 13Ứng dụng của tích phân Trang 14IV.Chương IV: Số phức Trang 15

B Phần II: HÌNH HỌC Trang 16

I.Chương I: Khối đa diện Trang 16

II Chương II: Khối tròn xoay Trang 17 III.Chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian Trang 18

Mặt cầu Trang 19Mặt phẳng Trang 20Đường thẳng Trang 21

C Phần III: Các phím thường dùng trên máy tính FX 570VN Plus Trang 24

Phần I: GIẢI TÍCH

CHƯƠNG I : ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN

A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1/ Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

Cho hàm sô y  f x có tập xác định là miền D.

 f(x) đồng biến trên D  f' x 0,xD

 f(x) nghịch biến trên D  f' x 0,xD

(chỉ xét trường hợp f / (x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)

1 Nếu   0thì f(x) luôn cùng dấu với a.

2 Nếu   0thì f(x) có nghiệm

2

b x a

 và f(x) luôn cùng dấu với a khi

2

b x a

Cho sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (x0 – h; x0 + h) với h > 0

+Nếu y/ đổi dấu từ dương sang âm qua x0 hàm số đạt cực đại tại x0,

+Nếu y/ đổi dấu từ âm sang dương qua x0 hàm số đạt cực tiểu tại x0

Qui t ắc tìm cực trị = dấu hiệu I :

Chú ý:

1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0

3) Nếu f(x) cĩ đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 

/ 0 /

0

( ) 0( )

y x đổi dấu qua x

Dấu hiệu II:

Qui tắc tim cực trị = dấu hiệu II:

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho

+ Kết luận cực trị ?

Cho hàm f(x) cĩ đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x0  (a;b)

+Nếu

/ 0 //

0

( ) 0( ) 0

0

( ) 0( ) 0

Nếu y//(xi) > 0 thì hàm số đạt CT tại xi

Nếu y//(xi) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại xi

*Cực trị của hàm hữu tỉ :

Nếu h/s ( )

( )

u x y

* Điều kiện để hàm bậc 3 cĩ cực trị (cĩ cực đại,cực tiểu):

*Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 cĩ cực trị (cĩ cực đại, cực tiểu):

y’= 0 cĩ hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu

A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1) Định nghĩa : Cho hàm số f xác định trên D ( D R)

a) Nếu  x0 D f x: ( )f x( ),0  x D thì số M=f(x0) được gọi là GTLN của hàm số f trên D

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên D Dựa vào BBT để kết luận

( Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên D)

3) Cách tìm GTLN-GTNN của hàm số f liên tục trên đoạn [a,b]

+ Tìm các điểm x1,x2, , xn thuộc (a;b) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm+ Tính f(x1), f(x2), , f(xn), f(a )và f(b)

+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên

[ , ] [ , ]

BÀI 5: ĐỒ THỊ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

I.DẠNG ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3 : y=ax3+bx2+cx+d.

II D Ạ N

IV PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các trường

hợp sau

1/ Tại điểm có toạ độ (x 0 ;f(x 0 )) :

B1: Tìm f ’(x)  f ’(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0;f(x0))là: y = f (x ) (x–x/ 0 0) + f(x0)

2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x 0 :

B1: Tìm f ’(x)  f ’(x0), f(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là: y = f (x ) (x–x/ 0 0) + f(x0)

3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độ y 0 :

B1: Tìm f ’(x)

B2: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm

B3:Do tung độ là y0f(x0)=y0 giải phương trình này tìm được x0 f /(x0)

B4: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là: y = f (x ) (x–x/ 0 0) + y0

4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:

B1: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm

B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :

f (x0)=k (*)

B3: Giải phương trình (*) tìm x0  f(x0)  phương trình tiếp tuyến

Chú ý:

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0).a= -1/a

V: TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ

Bài toán Cho hai đồ thị  C :yf x và  L :yg x Tìm tọa độ giao điểm của hai đường

Chú ý : số nghiệm của phương trình  1 bằng số giao điểm của hai đồ thị  C và  L

CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT

Bài 1: LŨY THỪA



 , n N *0



a a lima r n lim ( , *)

N n Q r

 Với n lẻ và bR:Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là n b

 Với n chẵn và b<0: Không tồn tại căn bậc n của b;

 Với n chẵn và b=0: Có một căn bậc n của b là số 0;

 Với n chẵn và b>0: Có hai căn bậc n của a trái dấu nhau, kí hiệu giá trị dương là n b , còn giá trị âm là

a khi n leû

a khi n chaün

BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỪA

1 Khái niệm “Hàm số y = x, với R, được gọi là hàm số luỹ thừa.”

* Chú ý:

+ Với  nguyên dương, tập xác định là R.

+ Với  nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là R\{0}

+ Với  không nguyên, TXĐ D = (0; + )

2 Đạo hàm của hàm số luỹ thừa.

Hàm số y = x, R có đạo hàm với mọi x > 0 ta có:

* Sự biến thiên: Hàm số đồng biến trên (0 ;+) Hàm số nghịch biến trên (0 ;+)

x

(e x ) / = e x (e u ) / = u / e u (a x ) / = a x lna (a u ) / = u / a u lna

a) Cho x, y>0 và 0<a ≠ 1

*a>1 thì logax > logay  x>y

*0<a<1 thì logax > logay  x<y

*logax = logay  x=y

log b  0Trong 2 số a và b một số lớn hơn 1 số còn lại thuộc (0;1)

3/ Các qui tắc biến đổi: với a, B, C > 0 ; a  1 ta có:

 loga(B.C) = logaB + logaC  loga B

C

 

 

  = logaB  logaC loga B = logaB

4/ Công thức đổi c ơ số : với a, b, c > 0 ; a, c  1 ta có:

logca.logab = logcb hoặc log ba log bc

a) Định nghĩa: Hàm số mũ là hàm số cho bởi biểu thức y = ax với a > 0 ; a  1

b) Giới hạn

0

1 lim x 1

x

e x

*Đạo hàm: (ax) / = ax.lna>0 x (ax) / = ax.lna <0 x

*Chiều biến thiên: Hàm số luôn luôn đồng biến Hàm số luôn luôn nghịch biến

*Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang Trục Ox là tiệm cận ngang

* Dạng đồ thị: Đồ thịhàm số mũ đi qua các điểm (0;1) và (1;a), nằm phía trên trục hoành

2/ Hàm số Logarit:

a)ĐN: Hàm số logarít là hàm số cho bởi biểu thức y = logax với a > 0 ; a  1

b) Đạo hàm của các hàm số logarit

*Chiều biến thiên: Hàm số luôn luôn đồng biến Hàm số luôn luôn nghịch biến

*Tiệm cận: Trục oy là tiệm cận đứng Trục oy là tiệm cận đứng

*Dạng đồ thị Đồ thị hàm số mũ đi qua các điểm (1;0) và (1;a), nằm phía trên trục hoành

Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1/ Phương trình c ơ bản:

Phương trình mũ c ơ bản : a b (0x    a 1 )

 Nếu b>0, ta có ax  b xloga b

 Nếu b0 phương trình vô nghiệm

Tổng quát: af (x)= b (với 0<a≠1, b > 0) f(x) = logab

 

 

 

Dạng 5:.(log )a x 2loga x0 +.af (x); Đặt: t = logax

Dạng 6:.logax+ logxa+ = 0 Đặt: t = logax thì logxa=1

t

c)Logarit hoá, mũ hoá:af (x)  bg(x)  f (x) g(x).log b  a

Bài 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1/ Bất phương trình c ơ bản:

Bất phương trình mũ c ơ bản :

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a > bx (hoặc ax < b, ax  b, ax ≥ b) với 0<a≠1

Giải bất phương trình mũ dạng: a > bx

 Nếu b0, tập nghiệm của phương trình là R

 Nếu b>0, thì x log neu a>1

a > b

log neu 0<a<1

a a

1/ Một số phương pháp giải bất phương trình mũ và loga:

Giải tương tự phương trình mũ, loga

Chú ý:

 Nếu a  thì 1 a f x( ) a g x( )  f x( )g x( )

 Nếu 0a1 thì a f x( )a g x( )  f x( )g x( )

 Nếu a  thì log1 a f x( ) log a g x( ) f x( )g x( ) 0

 Nếu 0a1 thì loga f x( ) log a g x( ) 0 f x( )g x( )

Chương III: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

b)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản:

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp ( u  u x

2

/ /

bc ad d

tan1cos

tan1cos

cot1.sin

x

a

ln

1log /  (x0)

/ /

log

ln

a

u u

u a

 (u>0)

 

a u

u u

a

ln.log /  / (u0)2) Bảng nguyên hàm:

4.2 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN: công thức nguyên hàm từng phần

u x v x dx u x v x( ) '( )  ( ) ( ) v x( ).u'(x)dx Vắn tắt: udv uv  vdu

Chú ý : 1/ Thường sử dụng pp từng phần khi nguyên hàm có dạng tích của 2 dạng hàm số khác nhau

hoặc chỉ có mỗi hàm số logarit

2/ Thứ tự ưu tiên khi đặt u: “Nhất lôgarit, nhì đa thức, tam mũ, tứ lượng”

3.Phương pháp đổi biến số:

3.1 Đổi biến số dạng I : Tính tích phân dạng        '  

f x dx f u t u t dt g t dt G t với G(t) là một nguyên hàm của g(t)

II 4 Phương pháp tích phân từng phần: công thức TPTP:

2/ Thứ tự ưu tiên khi đặt u là: “Nhất lôgarit, nhì đa thức, tam mũ, tứ lượng giác”

III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Cho (C); (C1); (C2) là những đường cong liên tục trên đoạn [a; b]

1 Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi :

Nếu thiếu cận x=a hoặc x=b thì giải pt hđgđ : f(x)=0 tìm nghiệm, suy ra cận x=a hoặc x=b

2.Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi:

Nếu thiếu cận x=a hoặc x=b thì giải pt hđgđ : f(x)=g(x) tìm nghiệm, suy ra cận x=a hoặc x=b

3.Thể tích của khối tròn xoay :

Khi cho hình phẳng giới hạn bởi

x = a; x = b (a<b)

quay quanh trục Ox ta được vật thể tròn

xoay (T) có thể tích: V = 

b 2 a

 Đơn vị ảo i i2 = -1  i3 = -i  i4 = 1

 a gọi là phần thực và b là phần ảo của số phức z; a b  ,

+ Nếu a 0 z bi , z gọi là số thuần ảo

+ Nếu b 0 z a , z gọi là số thuần thực

+ Nếu a 0 và b 0 z0, z gọi là số thuần thực hay thuần ảo đều được

 Số phức zđược biểu diễn bởi điểm M a b ; trên mặt phẳng tọa độ Oxy

 z OM  a2b2

gọi là môđun của số phức z

 Số phức z  a bi gọi là số phức liên hợp của số phức z

 Số thực a được xem là một số phức có phần ảo là 0

b

 Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại số thôngthường với chú ý rằng i 2 1.

 Các quy tắc đại số đã áp dụng trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức

 Cho z a bi  Khi đó : z z 2 ; .a z z a2b2 z2

6 Căn bậc hai và phương trình bậc hai :

a) Định nghĩa căn bậc hai của số thực a.

*a=0 => a có một căn bậc hai là 0

* a là số thực dương Khi đó a có hai căn bậc hai là : a và  a

* a là số thực âm Khi đó a có hai căn là : i a và i a

b) Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trong tập số phức :

i i

CHƯƠNG 1: THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

1 Khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ

(hình chóp, hình chóp cụt) kể cả hình lăng trụ (hình chóp, hình chóp cụt) ấy

2 Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thoả mãn hai tính chất:

a)Hai đa giác phân biệt chỉ có thể: hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ cómột cạnh chung

b)Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

3 Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

4 Điểm trong – Điểm ngoài : Điểm không thuộc khối đa diện gọi là điểm nằm ngoài khối đa diện,

điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện gọi là điêm nằm trong khối đa diện

5 Miền trong và miền ngoài: Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền

không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứahoàn toàn một đường thẳng nào đấy

6 Khối đa diện lồi: Khối đa diện (H) đgl khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H)

luôn thuộc (H)

7 Khối đa diện đều: là khối đa diện lồi có các tính chất sau:

-Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh

-Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt

Khối đa diện đều như vậy đgl khối đa diện đều loại (p; q)

Định lí: Chỉ cĩ 5 loại khối đa diện Đĩ là các loại [3; 3], [4; 3], [3; 4], [5; 3], [3; 5].

Bảng tĩm tắt của 5 loại khối đa diện đều

8.THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN:

8.1.THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V Bhvới :

: chiều cao

B diện tích đáy h





a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V=abc với a, b, c là ba kích thước

b) Thể tích khối lập phương: V=a3 với a là độ dài cạnh

.3

V  B h với :

: chiều cao

B diện tích đáy h







8.3.TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý

lần lượt thuộc SA, SB, SC ta cĩ:

– OI: đường cao

– OM: đường sinh

– Phần mặt trịn xoay sinh ra bởi OM: mặt xung quanh

2 Khối nĩn trịn xoay

Phần khơng gian được giới hạn bởi một hình nĩn trịn xoay kể cả hình nĩn đĩ đgl khối nĩn trịn xoay.

– Điểm ngồi: điểm khơng thuộc khối nĩn

– Điểm trong: điểm thuộc khối nĩn nhưng khơng thuộc hình nĩn

3 Hình trụ trịn xoay

Cho chữ nhật ABCD quay hình đĩ xung quanh đường thẳng chứa 1 cạnh, chẳng hạn

AB, thì đường gấp khúc ADCB tạo thành 1 hình đgl hình trụ trịn xoay

– Hình trịn (A,AD)và (B;BC) gọi là mặt đáy

– AB: đường cao

– DC: đường sinh

– Phần mặt trịn xoay sinh ra bởi DC: mặt xung quanh

4 Khối trụ trịn xoay

Phần khơng gian được giới hạn bởi một hình trụ kể cả hình trụ đĩ đgl khối trụ trịn xoay.

– Điểm ngồi: điểm khơng thuộc khối trụ

– Điểm trong: điểm thuộc khối trụ.nhưng khơng thuộc hình trụ

5.Mặt cầu (Hình cầu): Mật cầu tâm O bán kính R là tập hợp các điểm M trong

khơng gian cách O một khoảng khơng đổi R.(R>0)

6 Khối cầu: Phần khơng gian giới hạn bởi mặt cầu, kể cả mặt cầu đĩ gọi là khối cầu.

– Điểm ngồi: điểm khơng thuộc khối cầu

– Điểm trong: điểm thuộc khối cầu nhưng khơng thuộc hình cầu

7.2: Khối nĩn

2

: với

R

3

CHƯƠNG III: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ

TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ

6.Độ dài vec tơ:

3.Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng :

M là trung điểm của đoạn AB

4.Tọa độ trọng tâm tam giác

G trọng tâm tam giác ABC

3 điểm A,B,C không thẳng hàng  AB k AC

hoặc:3 điểm A,B,C không thẳng hàng  AB AC,   0 

2.D x;y;z là đỉnh hình bình hành ABCD AD BC 

3 Diện tích hình bình hành ABCD:S  ABCD     AB AD,  

hoặc:S  ABCD 2SABC AB AC, 

Dạng 2:Phương trình dạng x2y2z2 2ax 2by 2cz0; điều kiện a2b2c2 d 0

là phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính r a2b2c2 d

II Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:

r R

a/ IH R mp :  và mặt cầu (S) không có điểm chung

b/ IH R mp :  và mặt cầu (S) có 1 điểm chung duy nhất ( mp  tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H ) 

 H : Gọi là tiếp điểm mp  : Gọi là tiếp diện  

Điều kiện mp  :Ax By Cz D    0 tiếp xúc mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kinh r: d I ,   r

c/ IH R mp :  cắt mặt cầu (S) theo 1 đường tròn (C) có phương trình: (C):

 Khi IH d I ,  0 :mp  cắt mặt cầu (S) theo đường tròn lớn tâm H I, bán kính '



r r

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1/ Vectơ n  0 được gọi là VTPT của mp   n 

2/ Nếu a b, là cặp vectơ không cùng phương và có giá nằm trên  hoặc song song với  thì :na b; 



là 1VTPT của mp 

3/ Mặt phẳng  đi qua điểmM x y z ,VTPT 0; ;0 0 nA B C; ;  có phương trình tổng quát dạng

 0  0  0 0

A x x B y y C z z 

 Ax By Cz D   0 : phương trình tổng quát của mặt phẳng

4/ Chú ý: Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng

Tính chất của mặt phẳng (P) Phương trình của mặt phẳng (P)

Phương trình các mặt phẳng tọa độ mpOxy z  - VTPT : 0 k  0;0;1 

(P) qua các điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0),C(0 ; 0 ; c)