MỆNH đề và tập hợp in

Định nghĩa: Mệnh đề logic gọi tắt là mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.. Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng.. Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến

Trang 1

Chương I: Mệnh đề và Tập hợp Biên soạn: GV: Nguyễn Văn Duyên (ĐT: 0984.279.649)

MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

§1 MỆNH ĐỀ & MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

A Lý thuyết:

I Định nghĩa: Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định đúng hoặc một câu

khẳng định sai

Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng

Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai

(Mệnh đề thường được kí hiệu bằng chữ cái in hoa như: P, Q, R, S, …)

Ví dụ 1: Tất cả các câu sau là mệnh đề:

a/ Hà Nội là thủ đô của Việt Nam b/ 1 + 1 = 2 c/ 18 chia hết cho 5

Ví dụ 2: Tất cả các câu sau là không là mệnh đề:

a/ Bây giờ là mấy giờ? b/ Hãy đọc cuốn sách này thật kĩ

c/ x + 1 = 2 d/ x + 2y = 3z

Mở rộng : Người ta gán cho mệnh đề đúng giá trị chân lý bằng 1 , sai bằng 0.(gọi tắt là chân trị của

mệnh đề đúng bằng 1, sai bằng 0)

II Các phép toán về mệnh đề :

1 Phép phủ định & Mệnh đề phủ định :

Cho mệnh đề P:Mệnh đề “không phải P” : được gọi là mệnh đề phủ định của P

Kí hiệu: P ; Bảng chân trị :

Ví dụ 3: Cho mệnh đề Q “hôm nay là thứ 2” Khi đó mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là “hôm nay

không phải là thứ 2”

2 Phép hội & Mệnh đề hội:

Cho mệnh đề P,Q:Mệnh đề “P và Q” : được gọi là mệnh đề hội của P và Q

Kí hiệu: P ^ Q ; Bảng chân trị: đúng khi cả hai đều đúng

3 Phép tuyển & Mệnh đề tuyển:

Cho mệnh đề P,Q:Mệnh đề “P hoặc Q” : được gọi là mệnh đề tuyển của P,Q

Kí hiệu: P v Q ; Bảng chân trị: chỉ sai khi cả hai đều sai

4 Phép kéo theo & Mệnh đề kéo theo:

Cho hai mệnh đề P và Q Mệnh đề “nếu P thì Q”: được gọi là mệnh đề kéo theo của P,Q

Kí hiệu: PQ ; Bảng chân trị : Chỉ sai khi P đúng, Q sai

(Nếu có P thì có Q, ngược lại nếu có Q thì chưa chắc là có P)

+ Ta nói Q là điều kiện cần để có P

+ Hay P là điều kiện đủ để có Q

5 Mệnh đề đảo, Mệnh đề phản & Mệnh đề phản đảo :

Mệnh đề kéo theo “PQ” (1)

i Mệnh đề QP :đgl Mệnh đề đảo của MĐ (1)

ii Mệnh đề P => Q :đgl Mệnh đề phản của MĐ (1)

iii Mệnh đề Q =>P :đgl Mệnh đề phản đảo của MĐ (1)

6 Mệnh đề tương đương :

Cho hai mệnh đề P,Q Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q”: được gọi là mệnh đề tương đương của

P,Q

Kí hiệu: PQ ; Bảng chân trị : Chỉ Đúng khi cả hai cùng đúng hoặc cả hai cùng sai

Trang 2

(PQĐúng nếu P Q

Q P





 

 đúng )

*Mở rộng: Các luật Logic:

i Luật giao hoán:

ii Luật kết hợp:

iii Luật phân phối:P(QR) ( PQ)(PR)

iv Luật DeMorgan: P   Q P Q ; P   Q P Q

v Luật kéo theo: P  Q P Q

III Mệnh đề chứa biến:

Mệnh đề chứa biến là một câu mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề, nhưng khi ta thay các biến

đó bởi các phần tử thuộc tập xác định X thì nó trở thành mệnh đề

Ta kí hiệu P x là một mệnh đề chứa biến  

Ví dụ 4 : P x = “ x chia hết cho 5” chưa là mệnh đề  

+ Nếu x5 thì P 5 là MĐ đúng

+ Nếu x6 thì P 6 là MĐ sai

IV Lượng từ: (kí hiệu)  (đọc là „với mọi‟) và  (đọc là „tồn tại‟)

i Nếu với mọi x A, x có tính chất P thì ta ghi “x A, x có tính chất P”

ii Nếu tồn tại ( có ít nhất một) x A, x có tính chất P thì ta ghi “x A, x có tính chất P”

Ví dụ 5 : “ x R x: 2 1 0” Mệnh đề sai

“ x Z x: 2 1 0” Mệnh đề đúng

Quy tắc phủ định mệnh đề có chứa kí hiệu , 

Mệnh đề Phủ định

x A, x có tính chất P x A, x không có tính chất P

x A, x có tính chất P x A, x không có tính chất P

Ví dụ 6 : Cho mệnh đề P là " x R x:  2 0", khi đó: :"P  x R x:  2 0" P đúng, P sai

Cho mệnh đề Q là " x R x: 23x 2 0", khi đó: Q:"x x: 23x 2 0" Q sai, Q đúng

B Phương Pháp Giải Toán:

Vấn đề 1: Xác định mệnh đề - Tính đúng sai của mệnh đề:

Căn cứ trên định nghĩa mệnh đề và tính đúng sai của chúng

 P, P không cùng tính đúng sai

 PQ chỉ sai khi P đúng Q sai

 PQ đúng khi PQ và QP đều đúng

 x X, P(x) đúng khi P(x 0 ) đúng với mọi x 0 X

 x X, P(x) đúng khi có x 0 X sao cho P(x 0 ) đúng

Trang 3

Vấn đề 2: Xác định mệnh đề đảo – Mệnh đề phủ định của mệnh đề:

 Mệnh đề phủ định của P là “không phải P”

 Mệnh đề phủ định của “ x X, P(x)” là “ x X, P(x)”

 Mệnh đề phủ định của “ x X, P(x)” là “ x X, P(x)”

 Mệnh đề QP là mệnh đề đảo của mệnh đề PQ

BÀI TẬP ÁP DỤNG

I BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: Câu nào sau đây là mệnh đề câu nào không phải là mệnh đề?Nếu là mệnh đề thì nó đúng hay sai?

a Đây là đâu? b Phương trình: 2

5 6 0

x  x  vô nghiệm

c x 3 5 d 24 - 1 là số nguyên tố

e Hôm nay trời đẹp quá! f 2 là số vô tỉ

g x + 2014 là một số âm h n là số chẵn nếu và chỉ nếu n2 chia hết cho 4

i nR, x2  x 2 0 k n , n3n không là bội của 3

l Thành phố Paris là thủ đô của nước Pháp m.Tổng 3 góc của 1 tam giác là 1800

Bài 2:Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau,(nếu có thể cho biết tính đúng sai của chúng)

a Mọi học sinh trong lớp 10CT đều học giỏi môn Toán

b Có một học sinh lớp 9CT được 10 điểm môn toán tuyển sinh

c Nhà toán học Cauchy là người Pháp

d 2014 là số chính phương

e Có vô số số nguyên tố

f 3 là số hữu tỉ

g 210 – 1 chia hết cho 11

Bài 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM Xét 2 mệnh đề:

P : “Tam giác ABC vuông tại A”

Q: “Trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC”

a Phát biểu mệnh đề PQvà cho biết mệnh đề này đúng hay sai

b Phát biểu mệnh đề PQvà cho biết mệnh đề này đúng hay sai

Bài 3: Các mệnh đề sau đúng hay sai, giải thích.Nếu sai hãy sửa lại để có một mệnh đề đúng

a ABCD là hình vuông  ABCD là hình bình hành

b ABCD là hình thoi  ABCD là hình chữ nhật

c Hai tam giác bằng nhau chúng có diện tích bằng nhau

d Tam giác ABC đều tam giác ABC cân và có một góc bằng 600

Bài 4: Cho mệnh đề chứa biến   2

:" "

P x xx Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a P 1 b 1

3

P 

 

  c  x ,P x  d  x ,P x  e  x Z,P x 

Bài 5: Xác định tính đúng sai (chứng minh )và cho biết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a A:" x ,x3 x2" b B:"x ,x x 1 "

c 2

,x 2x

x

   d  2 

, x 2

  

Trang 4

e x ,x2 x 1 0 f  x Q, 4x2 1 0

g  x :x x 1 h 2

i  n ,n n 1 là một số chính phương j  2

, 1

   không chia hết cho 4 l  2 

, n 1 8

n

m r ,x2 x 1 0 n *  

, 1 2 3 11

Bài 6: Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây và xét tính đúng sai của chúng

a A: 2

,x 0

x

  e 2

,x 0

x

b C: ,1 x 1

x x

    f ,1 x 1

x x

c E:

2 4

2

x

x x

x

 g

2 4

2

x

x x

x



d G: x ,x23x20 h x ,x23x20

Bài 7: Hãy cho biết tính đúng sai của các mệnh đề sau và hãy sửa lại để thu được mệnh đề đúng:

x





 b

,

Z

c x1,| x1| x 1  d x =1 là nghiệm của phương trình ( 2)(x 1) 3

( 1)(x 1) 2

x x

e Phương trình x x 2 2 x 2 cĩ nghiệm

f Phương trình 1 1 3

3 3

x

  cĩ nghiệm

Bài 8: Cho tam giác ABC Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng

a Nếu ABBCCA thì ABC là tam giác đều

b Nếu ABBC thì ACBBAC

c Nếu BAC900 thì ABC là tam giác vuơng

Bài 9: Dùng bảng chân trị hãy chứng minh:

a A  B A B

b A  B A B

c A  B A B

d A  B A B

e A  B B A

Trang 5

§2 ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC

Định lý

 Các định lý trong toán học là các mệnh đề đúng.Thường được phát biểu dưới dạng :

 x X P x, ( )Q x( ) (1)

Đều kiện cần & điều kiện đủ:

Xét định lý có dạng “AB” A gọi là giả thiết, B gọi là kết luận của định lý

Ta có thể phát biểu:

A là điều kiện đủ để có B

Hoặc B là điều kiện cần để có A

Chứng minh định lý:

- Bài toán chứng minh định lý dạng:  x X P x, ( )Q x( ) (1)

Cách 1: Chứng minh trực tiếp:

Nguyên tắc: Xác định giả thiết (viết rõ cái đã có) P(x),kết luận(cái cần chứng minh) Q(x)

Từ giả thiết ta phân tích, dùng suy luận, kiến thức toán học đã biết để chỉ ra Q(x) đúng

Trình bày:

Bước 1: Lấy x tùy ý thuộc X mà P(x) đúng

Bước 2: Dùng dùng suy luận và kiến thức toán học đã biết để chỉ ra rằng Q(x) đúng

Cách 2:Chứng minh phản chứng (tức thay vì ta chứng minh khẳng định của định lý là đúng,ta

chứng minh rằng nếu khẳng định của định lý là sai thì sẽ dẫn đến mâu thuẫn

Nguyên tắc: - Xác định rõ P(x),Q(x)

- Viết mệnh đề phủ định của nó:  x X P x, ( )Q x( )   x X P x, ( )Q x( )

- Chỉ ra mâu thuẫn của mệnh đề đã phủ định này

Trình bày:

Bước 1: Giả sử tồn tại x thuộc X sao cho P(x) đúng và Q(x) sai.(tức là mệnh đề (1) sai)

Bước 2: Dùng suy luận và kiến thức toán học đã biết để đi đến mâu thuẫn

Với bài toán chứng minh ( )P x Q x( )ta chỉ cần: Giả sử Q(x) sai, ta suy ra vô lý(kết hợp với P(x))

Phương pháp chứng minh bằng quy nạp:

Xét định lý có dạng *

, (n)

 

Bước 1 (bước cơ sở):Chỉ ra rằng mệnh đề P(1) đúng //có thể là P(a)

Bước 2 (bước quy nạp): ta cm  n N P*, (n)P(n 1) đúng

Tức: Giả sử P(n) đúng ta chứng minh P(n+1) cũng đúng

BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu các định lý sau:

a Nếu hai tam giác đồng dạng thì chúng có các góc bằng nhau

b Nếu ABCD là hình thoi thì ABCD có hai đường chéo vuông góc

c Nếu a = b thì a2 =b2

Trang 6

Bài 2: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu các định lý sau:

a Nếu n2 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3

b Nếu tam giác ABC cân tại A thì đường trung tuyến từ đỉnh A cũng là đường cao

Bài 3: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để phát biểu các định lý sau:

a Tam giác ABC vuông tại A nếu và chỉ nếu AB2 + AC2 = BC2

b Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối của nó bằng 1800

Bài 4:Chứng minh các định lý sau bằng phản chứng:

a Nếu a, b là 2 số dương thì a b 2 ab

b 2 là số vô tỷ

c Nếu n là số tự nhiên và n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5

d Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn

e  n N, n2 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3

f  n N, n2 chia không hết cho 3 thì n không chia hết cho 3

g Nếu A2 + B2 = 0 thì A=0 và B=0

h Nếu x và y là hai số thực với x 1và y 1 thì x y xy 1

i Nếu x và y là hai số thực với x1và y1 thì x2y22(xy) 2

j Nếu tổng số của 99 số bằng 100 thì có ít nhất một số lớn hơn 1

k Nếu n là số nguyên lẻ thì 3n + 2 cũng là số nguyên lẻ

Bài 5:Chứng minh rằng:

a a b   0 a 0 hoặc b0

b Nếu a1và b1thì ab  1 a b

c Nếu ab chia hết cho 7 thì a hoặc b chia hết cho 7

d Nếu n là số tự nhiên lẻ thì n2 – 1 chia hết cho 4

e Với mọi số tự nhiên n, nếu 5n + 4 là số lẻ thì n là số lẻ

f Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a hoặc b nhỏ hơn 1

g Nếu abc < 0 thì ít nhất một trong ba số a,b,c phải âm

h Nếu một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc trong nhỏ hơn 600

i Nếu nhốt n con thỏ vào k cái chuồng (k < n) thì có 1 chuồng nhiều hơn 1 con thỏ.(Nguyên lý

Dirichlet)

j p là số vô tỉ (với p là số nguyên tố)

Bài 6: Cho a.b.c  0, chứng minh rằng có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm :

2

ax  bx c   2

bx  cx   a

2

cx  ax b  

Bài 7: Cho các số a, b, c thỏa các điều kiện : 0 (1)

0 (2)

ab bc ca abc

  



   



 



Chứng minh a  0, b  0, c  0

Trang 7

Bài 8: Chứng minh rằng “Nếu a, b, c là ba số dương thì a3 + b3 + c3  3abc”

Bài 9:Chứng minh rằngnN* ta luơn cĩ:

a

2

) 1 (

2

1    n n

n

b

6

) 1 2 )(

1 (

2

12  2   2  n n n

n

c

4

) 1 (

2

1

2 2

3 3





d 135 (2n1)n2

e 1.42.7 n.(3n1)n(n1)2

f

1 )

1 (

1

3 2

1 2

1







n

n n

n

g n32n chia hết cho 3

§3 TẬP HỢP

1 Tập hợp

 Tập hợp là một khái niệm cơ bản của tốn học, khơng định nghĩa

 Cách xác định tập hợp:

+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu mĩc { … }

+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp

 Tập rỗng: là tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu 

2 Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau

 A B      x A x B

A A A , ;  A A, ; AB B C,   A C

 A B A B và B A  

3 Một số tập con của tập hợp số thực

 N*N Z Q R  

 Khoảng: ( ; )a b x R a x b   ; ( ;a  ) x R a x  ; ( ; ) b x R x b  

 Đoạn: [ ; ]a b x R a x b   

 Nửa khoảng:[ ; )a b x R a x b   ;( ; ]a b x R a x b   ;

[ ;a  ) x R a x  ;( ; ] b x R x b  

4 Các phép tốn tập hợp

 Giao của hai tập hợp: A B x x A và x B  

 Hợp của hai tập hợp: A B x x A hoặc x B  

 Hiệu của hai tập hợp: A B\ x x A và x B  

Phần bù: Cho BAthìC B A B A  \ Hay B     

A

C x / x A x B

Trang 8

AB AB

\

A B

\

A X

C  X A

X

A A

B

A

B B

A

BÀI TẬP ÁP DỤNG

§ BÀI TẬP VỀ TẬP HỢP BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê

    2  2  

| 2x 1 x x 1 2x 3x 1 0

A x        2 

| 6 5 1 0

B x x  x    2 2  2  

| 2x x x 2 x 12 0

C x   x x      2   

| 2 vµ 4

Ex | x 2 vµx2 F x | x 3

 2 

|x 9 0

G x       2  

| x 1 x 6x 5 0

H  x      2 

I  x x   x     2  

| 2 1 5 6 0

J    x  x 

Kx|x2 víik k va  3 x 3   2   

| 4 vµ 10

Mx |x3 víik k v a 1 k5   2  2    

|x 1 0 vµx 4x 3 0

Bài 2: Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau đây

 2 

| 6 5 1 0

A x x  x   2 

| 2 5 3 0

B x x  x   2 

| 2 5 3 0

C x x  x  | 1 , , 1

D x    

Bài 3: Cho tập hợp   2    3  

Hãy liệt kê tất cả các tập con của tập hợp A chứa đúng 2 phần tử

Bài 4: Hãy xét quan hệ bao hàm các tập hợp sau:

A là tập hợp các tam giác

B là tập hợp các tam giác đều C là tập hợp các tam giác cân

Bài 5: Cho hai tập hợp:

An |n là ước của 6  Bn |n là ước chung của 6 và 18 

Hãy xét quan hệ bao hàm của hai tập hợp trên

Bài 6: Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau đây

A là tập các hình tứ giác B là tập các hình bình hành

C là tập các hình vuông D là tập các hình chữ nhật

Bài 7: Viết các tập hợp sau đây bằng cách nêu tính chất đặc trưng của chúng

Trang 9

2, 6,12, 20, 30, 1, , , , ,

4 9 16 25

, , , , , 2, , , , ,

Bài 8: Tìm tập hợp X sao cho X A và X B, trong đó: Aa b c d e, , , ,  và Ba c e f, , , 

Bài 9: Chứng minh rằng với Ax |x là ước của 6 và  Bx |x là ước của 18 thì  AB

Bài 10: Cho A 2,5 ; B 5,x ; Cx y, ,5 Tìm các cặp số  x y để ; A B C

Bài 11: Cho A1, 2,3, 4 ; B2, 4,3 ; C 2,3 ; D2,3,5

a Tìm tất cả các tập X sao cho CX B

b Tìm tất cả các tập Y sao cho C Y A

Bài 12: Cho Ax x| là ước nguyên dương của 12 ;  Bx |x5

C1, 2,3 và Dx |x1x2x40

a Tìm tất cả các tập X sao cho DX A

b Tìm tất cả các tập Y sao cho C Y B

§ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 13: Cho A1, 2,3, 4 B2, 4, 6 C1,3,5

Xác định các tập hợp sau: AB A, B A, C A, C C, B C, B

Bài 14: Cho Ea b c d, , , , Fb c e g, , , ,Gc d e f, , , 

Chứng minh rằng: EFG  EF  EG

Bài 15: Cho A1, 2,3, 4,5 ; B2, 4, 6,8 Hãy xác định: A B B\ , \ A

Bài 16: Cho Aa e i o, , , ; X a b c d e i o f, , , , , , ,  Hãy xác định A

X

C

Bài 17: Cho Ex |x8; A1,3,5, 7 ; B1, 2,3, 6

a Tìm C C C E B, E A, E BC E A b Chứng minh: C E A B C E A B

Bài 18: Cho

Xác định các tập hợp sau: AB A B B A A, \ , \ , B

Bài 19: Cho Ax |x7 và B1, 2,3, 6, 7,8

a Xác định các tập hợp sau: AB A, B A B B A, \ , \

b Chứng minh rằng: AB \ AB  A B\   B A\ 

Bài 20: Chứng minh nhận định sau:

a A B A và A B B

b Ax |xlµ íc cña 6 , Bx |xlµ íc cña18 thì AB

c ABC  AB  AC

d P A BP A P B  với P X là tập hợp các tập con của X  

e Với Ax | lµ béi cña 3vµ 4x ,Bx | lµ béi x cña12 thì ta có AB

Trang 10

Bài 21: Cho  2    2 2  

|x 4 ; | 5x 3x x 2x 3 0

A x  B x    

a Liệt kê A, B

b Chứng minh rằng: AB \ AB  A B\   B A\ 

Bài 22: Cho tập hợp:

|1 7 | 9 5 6 0 | lµ sè nguyªn tè kh«ng qu¸ 5

a Chứng minh rằng: AEvµBE b Tìm A; B; A B

E E E

C C C 

Bài 23: Chứng minh rằng:

a Nếu ACvµ BD th× AB  CD 

b A\BC  A B\   A C \ 

c A\BC  A B\   A C \ 

§ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ

Bài 24: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số

a 3;1  0;4 b  3;1  0;4 c   ;1 2; d  ;1 2;

Bài 25: Cho A  2;3 vµ  B1;5 Xác định các tập hợp: AB A, B A B B A , \ , \

Bài 26: Cho x | x 4;Bx | 2   x 1 3

Viết các tập sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng: AB A B B, \ , \ A, \AB 

Bài 27: Cho Ax | 3 x5 và Bx | 1 x5

Xác định các tập hợp: AB A, B A B B A , \ , \

Bài 28: Cho Ax |x2 và Bx | 1 x5

Xác định các tập hợp: AB A, B A B B A , \ , \

Bài 29: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số

a \    0;1  2;3  b \    3;5  4;6 

c 2;7 \ 1;3 d     1;2   3;5 \ 1;4 

Bài 30: Cho Ax |1x5, Bx | 4x7 và Cx | 2x6

a Xác định các tập hợp: AB A, C B, C A, C A, \BC 

b Gọi Dx | a x b Xác định ,a b để D  A B C

Bài 31: Viết phần bù trong các tập hợp sau:

Ax | 2  x 10 Bx | x 2 Cx | 4 x 2 5

|x 3hoÆc x 6 , | 25 0

a Tìm khoảng – đoạn – nửa khoảng sau đây: A B B A\ , \ , \AB, \AB, \A B\ 

b Cho Cx |xa;Dx |xb Xác định ,a b biết rằng CBvµDB là các đoạn

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	907,09 KB