Lấy ngẫu nhiên 6 áo.. Tính xác suất trong 6 áo được lấy ra có áo số 3 nhưng không có áo số 4.. Từ lô thứ nhất lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ sang lô thứ hai, sau đó từ lô thứ hai lấy ra 2
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC và ĐÁP ÁN THAM KHẢO NĂM 2012
Môn thi : TOÁN KINH TẾ ( ĐH KINH TẾ - LUẬT)
Bài 1
Có 10 cái áo lần lượt đánh số bởi các số 1,2,…,9,10 Lấy ngẫu nhiên 6 áo Tính xác suất trong 6 áo được lấy ra có áo số 3 nhưng không có áo số 4
Giải
Số cách chọn ra 6 áo từ 10 cái áo là C106 (cách)
Số cách chọn ra 5 chiếc áo từ 8 chiếc áo số 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (không có mặt áo số 3 và áo số 4) là C85 (cách) Do đó, số cách chọn
ra 6 chiếc áo từ 10 cái áo đánh số 1, 2, 3, , 9, 10 sao cho có áo số 3 và không có áo số 4 là C11× C85 (cách)
Vậy xác suất cần tìm bằng C11× C85
C106 = 4
15
Bài 2
Có hai lô sản phẩm, mỗi lô có 10 sản phẩm Lô thứ nhất gồm 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B Lô thứ hai gồm 7 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B Từ lô thứ nhất lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ sang lô thứ hai, sau đó từ lô thứ hai lấy ra 2 sản phẩm
a) Tìm qui luật phân phối xác suất của số sản phẩm loại A được lấy ra từ lô thứ hai
b) Xây dựng hàm phân phối xác suất của số sản phẩm loại A được lấy ra từ lô thứ hai
Giải
a) Kí hiệu C0, C1, C2 lần lượt là các biến cố có 0, 1, 2 sản phẩm loại A trong 2 sản phẩm lấy từ lô thứ nhất chuyển sang lô thứ hai Kí hiệu A0, A1, A2 lần lượt là các biến cố có 0, 1, 2 sản phẩm loại A trong 2 sản phẩm lấy ra từ lô thứ hai Ta có sơ đồ cây như sau:
Dễ dàng tính được xác suất của các biến cố C0, C1, C2: P(C0)=C8
0C22
C102 = 1
45; P(C1)=C8
1C12
C102 =16
45; P(C2)=C8
2C20
C102 =28 45
Và P(A0| C0)=C7
0C52
C122 = 5
33;P(A0| C1)=C8
0C42
C122 = 1
11;P(A0| C2)=C9
0C32
C122 = 1
22
Khi đó, xác suất có 0 sản phẩm A trong 2 sản phẩm lấy ngẫu nhiên từ lô thứ hai là:
P(A0)= P(C0)P(A0| C0)+ P(C1) P(A0| C1)+ P(C2)P(A0| C2)=
= 1
45*
5
33+16
45*
1
11+28
45*
1
22= 1
297+ 16
495+ 14
495= 19 297 Tương tự, ta có
P(A1)= P(C0)P(A1| C0)+ P(C1) P(A1| C1)+ P(C2)P(A1| C2)=
= 1
45*
C17C51
C122 +16
45*
C81C14
C122 +28
45*
C91C13
C122
= 1
45*
35
66+16
45*
16
33+28
45*
9
22= 7
594+ 256
1485+14
55=1303 2970
Và
P(A2)= P(C0)P(A2| C0)+ P(C1) P(A2| C1)+ P(C2)P(A2| C2)=
= 1
45*
C72C50
C122 +16
45*
C82C40
C122 +28
45*
C92C30
C122
= 1
45*
7
22+16
45*
14
33+28
45*
6
11= 7
990+ 224
1485+ 56
165=1477 2970
Vậy qui luật phân phối số sản phẩm A được lấy từ lô thứ hai là (kí hiệu X là số sản phẩm A có được)
A2
Trang 2b) Hàm phân phối xác suất F(x) =P{X≤ x}
*) Nếu x<0 thì F(x)=0
*) Nếu 0≤x<1 thì F(x)=P{X=0}=19/297
*) Nếu 1≤x<2 thì F(x)=P{X=0}+P{X=1}=19/297+1303/2970 =1493/2970
*) Nếu 2≤x thì F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=19/297+1303/2970+ 1477/2970=1
Tóm lại
F(x)=
0 nêu x< 0
19
297 nêu 0≤ x < 1
1493
2970 nêu1≤ x < 2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
Bài 3 Số liệu thống kê về doanh số bán của một cửa hàng như sau :
Doanh số(triệu đồng/ngày) 35-45 45-55 55-65 65-75 75-85 85-95 95-105 105-115
a) Ước lượng doanh số bán trung bình của cửa hàng với độ tin cậy 99%
b) Trước đây doanh số bán trung bình của cửa hàng là 70 triệu đồng / ngày Số liệu bảng trên thu nhập được sau khi cửa hàng này áp dụng phương pháp bán hàng mới Hãy cho nhận xét về phương pháp bán hàng mới ấy với mức ý nghĩa 1%
c) Những ngày có doanh số bán trên 75 triệu đồng là những ngày bán đắt hàng Hãy ước lượng tỉ lệ những ngày bán đắt hàng ở cửa hàng này với độ tin cậy 95%
Cho biết ϕ(1,96) = 0,4750;ϕ(2) = 0,4772;ϕ(2,32) = 0,4898;
ϕ(2,58) = 0,4951;ϕ(3) = 0,49865;ϕ(x) = 0,5∀x ≥ 5
Giải
a) Bước 1
Gọi X là doanh số bán trung bình của một 1 cửa hàng theo mẫu khảo sát
X=1
n∑xini=75, 5 (triệu đồng/ngày)
s2= 1
n−1 ( )xi− X 2
ni
∑ ⇒ s = s2 = 18,3883 ( triệu đồng/ngày)
Bước 2 Với n = 100 > 30 tra bảng Laplace ta có ϕ z( )α/2 = γ
2⇔ zα/2= 2,58
Bước 3 Tính độ chính xác ε = zα/2 s
n= 4,7442 ( triệu đồng/ngày)
Bước 4 Với độ tin cậy 99% thì khoảng ước lượng doanh số bán trung bình của 1 cửa hàng là µ ∈ X ± ε( )= 70,7558; 80,2442( ) ( triệu đồng/ngày)
b) Bước 1
Gọi
µ0 là doanh số bán trung bình của một cửa hàng trước đây (
µ0 = 70 ( triệu đồng/ ngày) ) Gọi µ là doanh số bán trung bình của một cửa hàng theo phương thức bán hàng mới
H0: µ = µ0
H1: µ ≠ µ0
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Bước 2
Theo câu a) ta có X=1
n∑xini=75, 5 (triệu đồng/ngày); s = s2 = 18,3883 ( triệu đồng/ngày)
Bước 3 Với n = 100 > 30 tra bảng Laplace ta có ϕ z( )α/2 =1− α
2 ⇔ zα/2= 2,58
Trang 3Bước 4 Tính giá trị so sánh Z=(X− µ0)
s n= 2,991
Bước 5 Do Z> zα/2 nên ta bác bỏ H0
Kết luận Với mức ý nghĩa 1% thì phương thức bán hàng mới đã mang lại hiệu quả
c)
Bước 1 Gọi fA là tỉ lệ những ngày bán đắt hàng
fA=mA
n = 55
100= 0,55
Bước 2 Tra bảng Laplace ϕ z( )α/2 = γ
2⇔ zα/2= 1,96
Bước 3 Tính độ chính xác ε = zα/2 fA(1− fA)
n = 0,0975
Bước 4 Vậy với độ tin cậy 95% thì tỉ lệ những ngày bán đắt hàng là pA∈ f( A± ε)= 0,4525; 0,6475( )
Bài 4
Một xí nghiệp cần sản xuất 3 loại sản phẩm I, II, III với lợi nhuận lần lượt là 2 triệu đồng, 3 triệu đồng, 5 triệu đồng cho mỗi đơn vị sản phẩm Để sản xuất 3 loại mặt hàng này cần dùng các loại tài nguyên A, B, C theo tỉ lệ sau đây :
Mỗi sản phẩm I cần 1 kg A, 2 kg B và 3 kg C Mỗi sản phẩm II cần 2 kg A, 3 kg B và 1 kg C Mỗi sản phẩm III cần 1 kg A, 4 kg B và
2 kg C Kho dự trữ hiện có 43 kg B sắp hết hạn sử dụng, 48 kg C trong đó có 27 kg sắp hết hạn sử dụng, 35 kg A Cần phải sử dụng hết các tài nguyên sắp hết hạn sử dụng Người ta phải xác định số sản phẩm I, II, III cần sản xuất để thu được lợi nhuận cao nhất Viết bài toán qui hoạch tuyến tính tương ứng với bài toán thực tiễn nêu trên
Giải
Gọi x1,x2,x3 lần lượt là số lượng sản phẩm loại I, II, III
Từ dữ kiện đề bài đã cho ta tóm tắt vào bảng sau:
Sản phẩm
Do yêu cầu của đề bài là phải sử dụng hết các tài nguyên sắp hết hạn sử dụng nên chúng ta có phương trình sau:
2x1+ 3x2+ 4x3= 43;
Ngoài ra trong tổng số 48kg C thì chỉ có 27 kg sắp hết hạn sử dụng nên ta có thể hiểu là số lượng tài nguyên C sẽ phải sử dụng ít nhất
là 27 kg và tối đa là hết 48kg Mặt khác có 35kg A vẫn còn hạn sử dụng nên từ đây chúng ta có các phương trình sau:
x1+ 2x2+ x3≤ 35;
27≤ 3x1+ x2+ 2x3≤ 48
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Hàm mục tiêu của bài toán là thu được lợi nhuận cao nhất tương ứng
f (x)= 2x1+ 3x2+ 5x3→ max
Khi đó vấn đề thực tiễn của bài toán được phát biểu thành bài toán như sau:
Tìm các biến số x1,x2,x3 sao cho:
f (x)= 2x1+ 3x2+ 5x3→ max
Với các điều kiện
2x1+ 3x2+ 4x3= 43,
x1+ 2x2+ x3≤ 35,
3x1+ x2+ 2x3≥ 27,
3x1+ x2+ 2x3≤ 48
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
x1,x2,x3≥ 0
Bài 5
Giải bài toán :
f (x)= −2x2− x3+ 3x5→ max với ràng buộc
x1+ 2x2+ 3x3− x5= 7
−2x3+ x4+ 4x5= 12 8x2− 4x3+ 3x5+ x6= 10
⎧
⎨
⎪
⎩
Giải
Trang 4Ta thay f(x) bằng g(x) = - f(x) = 2x2+ x3− 3x5→ min
Xuất phát từ PACB x0= 7, 0, 0, 12, 0, 10( ) Ta xây dựng bảng đơn hình như sau:
Hệ số Ẩn cơ bản Phương án x1 x2 x3 x4 x5 x6 λi
Lời giải thu được là x*= 0,0,4,0,5,11( ) với gmin= −11 Từ đó fmax= 11
**HẾT**