ôn thi toán vào lớp 10

Trường THCS số I Bình Nguyên Giáo viên: Nguyễn Hồng QuangChủ đề : CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA I.. Phương pháp giải: Có hai khả năng để pt 1 có nghiệm: Dạng 2: Tim điều kiện của tham số m để

Trang 1

Trường THCS số I Bình Nguyên Giáo viên: Nguyễn Hồng Quang

Chủ đề : CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA

I M ục tiêu :

- Củng cố định nghĩa, các khái niệm về căn bậc hai, căn bậc ba

- Học sinh có kỹ năng biến đổi biểu thức có chứa các căn thức bậc hai, bậc ba

- Học sinh biến đổi thành thạo các loại bài tập về rút gọn biểu thức đơn giản, biết tìm điều kiện có nghĩa, biết so sánh các căn bậc hai, biết chứng minh một số hệ thức

- Đối với học sinh giỏi biết tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, biết tìm giá trị nguyên, biết vận dụng các bất đẳng thức : cauchy, Bu-nhia-cốp-xki,bất đắng thức về giá trị tuyệt đối, biết sử dụng công thức căn phức tạp

II Chuẩn bị : Bảng phụ tổng hợp các kiến thức của chương I, MTBT.

III Thời lượng : Chương này được thực hiện trong 6 tiết.

- 2 tiết đầu : củng cố lý thuyết và ví dụ cơ bản

- 2 tiết giữa : Làm các bài tập mang tính tổng quát và đa dạng

- 2 tiết sau : Bài tập dành cho các em tự giải( bài tập tự luyện)

Trang 2

Chủ đề 1: §1.CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT

n

x x x

b

a b

3.Biến đổi đồng nhất các phân thức đại số:

- Cộng hai phân thức cùng mẫu thức:

M

B A M

B M

- Cộng và trừ hai phân thức khác mẫu thức:

MN

BM AN N

C A D

D A C

D B

A D

- Đổi dấu của phân thức:

B

A B

Trang 3

5 Biến đổi đồng nhất các căn thức:

A

A2 =

B A B

B

A B

A

= ( Với A≥0 , B > 0 )

),

0,

0(

)(

)

;0(

)(

)0(

)0,

0.(.1

)0,

0(

)0,

0(

)0(

2 2

2 2 2

B A B

A B

A

B A

C B A

C

B A A

B A

B A C B A C

B B

B A B A

B B

A B A B B A

B A

B A B

A

B B A B A

2

A A B

A± = + − ± − − (A > 0, B > 0; A 2 –B > 0 ) B: CÁC BÀI TOÁN:

1 Tính giá trị của biểu thức:

1

+

++ b a

với a =

32

1

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức: A = x - y với: x = 6−2 5,y = 9+4 5 kq:A = - 3

Bài 5: Cho biểu thức A=

y x

+

− )(2

; với x > 0; y > 0 Rút gọn biểu thức A, rồi tính giá trịcủa biểu thức khi x = 3 ; y = (1 - 3 )2 kq: A = 2

2.Thực hiện phép tính:

Bài 1: Thực hiện phép tính:

b) ( 2+1)( 3+1)( 6+1)(5−2 2− 3) Kq: 10

Trang 4

Bài 2: Thực hiện phép tính:

a)

12

13:324

12

1:31

5152

1

714

10352

3

1015

−

−+

+

b)

124

2482)32)(

12

3 Chứng minh đẳng thức:

Bài 1: Chứng minh hằng đẳng thức:

2 3

33

z x y y y

zy z xy x

−

+

=

−+

−

−+

2 5

2 3 4

=+

−

+

−+

−

x x x

x x x x

HD: -Tử phân tích thành x(x3 + x - 1) - 2(x3 + x - 1) +3 -Mẫu phân tích thành x2(x3 + x - 1) - (x3 + x - 1) + 1

Bài 3: a) Chứng minh hằng đẳng thức:

524572

1.3

2162

8

632

x x

x

3

13

1

42:31

23

a) Với giá trị nào của x thì giá trị của biểu thức A được xác định Rút gọn biểuthức A

b) Tính giá trị của A với x = 6019

c) Với giá trị nào của x thì A < 0 ?d) Với giá trị nào của x thì A có giá trị nguyên ?HD: a) A xác định khi x≠0 ; x≠-1 ; x≠ 1

Trang 5

A =

x

x x x

x x

x

x x x x

x

3

13

1

42:)

1(3

)1(96)1)(

2

+

−+

+

−+++

=

x

x x x

x x

x

3

13

1

)21(2:)1(

−

=

x

x x x

x x

x

x x

3

13

)21(2

1

)1(3

)21)(

21(

−

++

−+

=

3

13

)1(3

3

13

213

13

x x x

x x x x

x x x

x

b) A = 2006 c) A < 0 khi x -1 < 0, tức là x < 1 Kết hợp với các điều kiện nêu trên, biểu thức Mnhận số trị âm với mọi giá trị của x < 1 trừ các giá trị

2

1 , 0 , -1

d) A có số trị nguyên khi x -1 : 3 tức là x -1 = 3k (k Z∈ ) x Suy ra x có dạng 3k+ 1 Khi x có dạng 3k+1 thì x≠0 ; x≠-1 ; x≠

2

1

Bài 2: Cho hai biểu thức:

B =

y x

xy y

(x > 0,y > 0)a) Rút gọn B và C

31

1

+

−

++

−+ x x x x

x

b) Cm D - 1 ≤0 ⇒D ≤1

Bài 4: Cho E =

32

a) Tìm điều kiện của x để E có nghĩa

b) Rút gọn E bằng cách loại dấu căn ở mẫu thức

c) Tính giá trị của E tại x = 23 -12 3 HD: a) đk của x để E có nghĩa là: x ≥ 2 , x ≠11 b) E = x−2+3 c) E= 2 3

Bài 5: Cho F =

12

221

a) Tìm điều kiện của x để F có nghĩab) Tính F2

c) Rút gọn F

Trang 6

0221

02

x

x x

012222

x

x x

0)12(

2

x x

221

2211

222

2211

2

22

x x

x

x x

)32

1(neu -

)3(

1

Vo

x

x neu

Bài 6: Xét biểu thức

G =

x

x x

−

3

122

36

5

92

a) Tìm điều kiện của x để G có nghĩa b) Rút gọn G

c) Tìm các giá trị của x sao cho G < 1

d) Tính giá trị nguyên của x sao cho G cũng là số nguyên

−

+

−+

−

x

x x

x

3

122

36

5

92

x x

x

)3)(

2(

)12)(

2()3)(

3(

x x

=

)3)(

2(

)1)(

2(

x x

030

x x

Trang 7

d) Ta có G =

3

413

1

−+

=

−

+

x x

Trang 8

a a

152

Bài 5: Tìm x, biết: a) 3+ x =3 b) 3 x =36 kq: a) x = 36 b) x = 144

Bài 6: Rút gọn biểu thức:

a)

53

5353

53

−

+++

−

)52(

4)

52(

11

4

1

Bài 8: ( Dành cho HSG).Tìm số x nguyên để biểu thức

433

1

−+

x x

Trang 9

•Với x là số nguyên thì x−3là nguyên Vậy để

3

4

−

phải là ước của 4

Mặt khác, theo định nghĩa căn bậc hai thì x≥0 và x ≥0

3

−

x là ước của 4 Ta thấy 4 có các số là: ±4 ;±2; ±1

Với ước là 4, ta có x −3= 4; suy ra x = 49;

Với ước là -4, ta có x −3=−4; không tồn tại x;

Với ước là 2, ta có x −3= 2 ; suy ra x = 25;

Với ước là -2, ta có x −3=−2; suy ra x =1;

Với ước là 1, ta có x −3=1; suy ra x = 16;

Với ước là -1, ta có x −3=−1; suy ra x = 4

Bài 9: Cho biểu thức

H =

ab

a b b a b

a

ab b

−

−+ ) 4

a) Tìm điều kiện để H có nghĩa b) Khi H có nghĩa, Chứng tỏ giá trị của H không phụ thuộc vào a

HD: a) Điều kiện để H có nghĩa là a > 0 , b > 0 và a≠b

b) H = -2 b Vậy giá trị của H không phụ thuộc vào a mà chỉ phụ thuộc

x x

3

13:9

41)2(2

3

+

−

=++

−

x

x x

x

có giá trị âm

Do 2( x+2) dương nên 4 - x phải âm.Ta tìm được x > 16.

Bài 11: Chứng minh các đẳng thức sau:

Trang 10

)52(

4)

52(

−

b b a

b b

ab c

b a

11

111

Bài 13: Tính

a) A =

32

32)32(

+

−+

−

+

xy

xy y x xy

y x xy

y x

1

21

:1

1a) Rút gọn K;

b) Tính giá trị của K với x =

32

1

11

12

2

1

x x x

x x x x

a) Rút gọn L;

b) Tìm gía trị của x để L > - 6

HD: a) Đkxđ: x > 0 ; x 1≠ Đặt x =a;L=−2 x(0<x≠1) b) 0< x < 1 v à 1< x < 9

Trang 11

Bài 16: Cho biểu thức:

−+

2

12

2

x x

x x x

x x

x

x x

−

+++

)3(2323

58−

429221

9)

1(221

91

1

911

8)

=

−

=

−++

≥

−+++

=

++

−

=+

+

=

x

x x

x

x x

x N c

52

−

−+

x x x

21

12

:

11

1

Trang 12

ì biểu thức Q không thoả mãn Vậy Q > 1

−

13

23

1:19

83

1

11

3

1

m

m m

a) Rút gọn R ;b) Tính các giá trị của m đ ể R = 1

b) R = 1 ⇔m=1

S =

x x

x x x

x

−

−+

−

21a) Tìm điều kiện của x để biểu thức S xác định;

x x

x

.1

21

2T

1x0;

x

b) T =1

Trang 13

§2 CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

- Nếu a = 0 thì phương trình (*) có dạng 0x + b = 0

• Nếu b≠0 thì phương trình (*) vô nghiệm

• Nếu b = 0 thì phương trình (*) có vô số nghiệm

2 Phương trình bậc hai một ẩn số :

a) Xét phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠0) có biệt thức ∆ = b2 - 4ac

- Nếu ∆> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

3) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích

u.v = P thì u và v là nghiệm của phương trình bậc hai x2 - Sx + P = 0 (đkiện S2 - 4P≥0)

3 Một số dạng toán liên quan đến phương trình ax 2 + bx + c = 0 (1) trong đó a, b, c phụ thuộc

vào tham số m.

Dạng 1: Định giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm.

Phương pháp giải: Có hai khả năng để pt (1) có nghiệm:

Dạng 2: Tim điều kiện của tham số m để phương trình (1) có hai nghiêm phân biệt.

Phương pháp giải:Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có 1 nghiệm.

Phương pháp giải: Có hai khả năng xảy ra để phương trình (1) có 1 nghiệm:

Trang 14

Dạng 4:

a) Với giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu.

Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm cùng dấu

P

a

Giải tìm m

b) Với giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương.

Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm cùng dương

S P

a

Giải tìm m

c) Với giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm.

Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm cùng âm

S P

a

Giải tìm m

d) Với giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm trái dấu

0

c a hoac P

a

Giải tìm m

e) Với giá trị nào của m để phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau.

Phương pháp giải: Pt (1) có hai nghiệm đối nhau

S P

a

Giải tìm m

g) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị

tuyệt đối lớn hơn.

S P

Trang 15

Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mản một trong các điều kiện sau:

a) a1x1 + b1x2 = c1 b) x1 + x2 = k

c) x + x =n

2 1

11

d) x1 + x2 ≥h e) x1 + x2 = t

Phương pháp giải:

a) Trường hợp: a 1 x 1 + b 1 x 2 = c 1 :

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 : ∆≥0 (*)

Giải hệ (1) và (3) tìm x1 và x2 thay vào (2) giảitìm m Chọn m thoả mãn điều kiện (*)

b) Trường hợp x 1 + x 2 = k

k x x x

nx x x n x

x + = ⇔ 1 + 2 = 1 2 ⇔− =

2 1

11

(5) Giải tìm m Chọn m thoả mãn (*).

d) Trường hợp: x 1 + x 2 ≥h⇔S2 −2P−h≥0 (6) giải tìm m thoả mãn (*).

e) Trường hợp x 1 + x 2 = t ⇔S3 −3PS =t (7) giải tìm m Chọn m thoả mãn (*).

Dạng 7:

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

phương pháp giải: Ta chứng minh ∆≥0với mọi giá trị của m

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m

phương pháp giải: Ta chứng minh ∆>0với mọi giá trị của m

c) Chứng minh rằng phương trình (1) vô nghiệm với mọi giá trị của tham số m

phương pháp giải: Ta chứng minh ∆<0với mọi giá trị của m

x x

x

22

31

122

+

−

x x

=

−

=+

=

)3(

)2(

)1(

1 2 1 1 1

2 1

c x b x a

a

c x x P

a

b x x S

Trang 16

2 Phương trình bậc hai một ẩn số:

Bài 1: Cho hai phương trình x2 + x + a = 0 , x2 + ax + 1 = 0

Tìm các giá trị của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.HD: Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình;

01

a = 1: cả hai phương trình trở thành x2 + x + 1 = 0 có∆= 1 - 4 = -3 < 0 Phươngtrình vô nghiệm , a =1 (loại)

x0 = 1 thay vào (1) ta có 12 +1 + a = 0 ⇔a = -2, a = -2 cả hai phương trình có mộtnghiệm chung là 1 Vậy a = - 2 là giá trị cần tìm

Bài 2: Cho phương trình x2 - (2m - 3)x + m2 -3m = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi

b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: 1< x1 < x2 < 6

HD: a) ∆ = (2m - 3)2 - 4(m2 - 3m) = 4m2 -12m + 9 - 4m2 +12m = 9, ∆= 9 > 0 Phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khi m thay đổi

2

332

2

33

Ta có : 1 < x1 < x2 < 6 Do đó 1 < m - 3 < m < 6 ⇔ 4 < m < 6

Bài 3: Cho phương trình: (m + 1)x2 - 2(m + 2)x + m - 3 = 0 (có ẩn số là x)

a) Định m để phương trình có nghiệm

b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18

Với m ≠ -1 ; ∆'= (m + 2)2 - (m + 1)( m - 3) = 6m + 7 Phương trình có nghiệm ⇔

'

∆ ≥ 0 ⇔6m + 7 ≥ 0 ⇔m ≥ -

6

7 Kluận: Phương trình có nghiệm ⇔ m ≥ -

67

b) Điều kiện m ≥ -

6

7 ; m ≠ -1

=

1

3

1

)2(2

2 1

m

m x x P

m

m x

x S

.Do đó: (4x1+1)(4x2+1) = 18 ⇔

1

)2(81

)3(

+

+++

−

⇔

m

m m

1

m m

Vậy m = 7 thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn (4x1+1)(4x2+1) = 18

Bài 4: Cho phương trình x2 - (2m+1)x + m2 + m - 6 = 0

a) Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm

50

3

3−x =

x

Trang 17

HD: ∆=(2m+1)2 −4(m2 +m−6)=4m2 + 4m +1 - 4m2 - 4m + 24 =25, ∆ = 25= 5.Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

2

51

2

51

03

m

32

=++

⇔

=++

⇔

)2( 107

33

)1( 10733

1073

2 2

m m

Giải (1) ta được:

2

51

;2

51

2 1

−

=+

trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mản x13 −x23 =50

Bài 5: Các nghiệm x1, x2 của một phương trình bậc hai thỏa mãn

−

=

−+

12)(

02

2 1 2 1

m x

x x mx

x x x x

a) Tìm phương trình bậc hai đã nói

b) Với giá trị nào của m thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt đềudương

HD: a) Từ giả thiết, ta tìm được:

12

2 1

m

m x

x

m

m x

x

2

122

)12(2

−

++

=

∆

⇔

)4( 02

12

)3( 02

122

)2( 0)

2(

)3)(

12(

m

m P

m

m S

m

m m

2

1

;3

m m

Trang 18

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số HD: a) (x -1)(x - 2)(x + 3)(x + 4) = 24 ⇔ (x2+2x−3)(x2 +2x−8)=24

−

321

252

55

)(

=t t t x

11422

5

2 , 1

3(433

)1(

nghiệm với mọi m Pt có hai nghiệm đối nhau

03

m m

11

(hai nghiệm đối nhau là x = ± 2)

Bài 8: Giải các phương trình

104

Bài 9: Chứng minh rằng: x2 + ( m + 1)x + m = 0 luôn luôn có nghiệm, nhưng không thể

có hai nghiệm dương

HD:∆ = (m+1)2−4m= m2 +2m+1−4m= (m−1)2 ≥ 0 Pt luôn có nghiệm vớimọi m

•Nếu m < 0 pt có hai nghiệm trái dấu tức là không thể có hai nghiệm dương,

•Nếu m > 0 thì S = -(m+1) < 0 nên pt có hai nghiệm âm tức là không thể có hai nghiệmdương

•Nếu m = 0 thì pt có hai nghiệm trái dấu: x = 0 và x = -1 Vậy với mọi m pt luôn cónghiệm nhưng không thể có hai nghiệm dương

Bài 10: Cho phương trình (m-2)x2 – 3x + m + 2 = 0

a) Giải phương trình (1) với m = 1

b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm

Trang 19

Bài 11: Định giá trị của tham số m để phương trình x2 + m(m + 1)x + 5m + 20 = 0

Có một nghiệm x1= -5 Tìm nghiệm kia

Bài 12: Cho phương trình x2 + mx + 3 = 0

a) Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm bằng 1 Tìm nghiệm kia

Bài 13: Cho phương trình x2 – 8x + m + 5 = 0

a) Xác định mọi giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.b) Với giá trị nào thì phương trình có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia? Tìm cácnghiệm của phương trình trong trường hợp này

Bài 14: a) Định m để phương trình chỉ có một nghiệm mx2 + 2(m-1)x +2 = 0

b) Tìm nghiệm của phương trình trong các trường hợp đó

Bài 15: Cho phương trình x2 + (m + 1)x + 5 – m = 0

a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng -1 Tìm nghiệm kia

b) Giải phương trình khi m = -6

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

d) Với m tìm được ở câu c) Viết hệ thức giữa x1 và x2 độc lập đối với m

Bài 16: Cho phương trình x2 + (4m + 1 )x + 2(m – 4) = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x2 – x1 = 17.b) Tìm m để biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá trị nhỏ nhất

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghịêm không phụ thuộc m

Bài 17: Cho phương trình : x2 – 2(m + 3)x + 4m -1 = 0

a) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài18: Chứng minh rằng phương trình x2 - (m - 2)x - 2m = 0 luôn luôn có nghiệm với

mọi tham số m

Bài 19:Với giá trị nào của a, tổng các nghiệm của phương trình x2 + (2 - a - a2)x -a2 = 0

bằng không?

Bài 20:Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0

a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình đã cho luôn có hai nghiệm Tìm cácnghiệm của phương trình đã cho theo m

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu

c) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho Tìm m sao cho x1 + x2 đạtgiá trị nhỏ nhất

Bài 21:Cho phương trình ẩn x: 2x2 + (2m - 1)x + m -1 = 0

a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình đã cho luôn có nghiệm Tìm m đểphương trình đã cho có một nghiệm x = 2

b) Tìm m để cả hai nghiệm của phương trình đều là số âm

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	1,08 MB