Đa thức tổng bình phương và ứng dụng

Đồng thời tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy côtrong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôih

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Th.S TRẦN VĂN TUẤN

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến ThS Trần Văn Tuấn - Người trực tiếp tận tình hướng dẫn,chỉ bảo và định hướng cho tôi trong suốt quá trình tôi làm bài khóaluận của mình Đồng thời tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy côtrong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôihoàn thành tốt bài khóa luận này để có kết quả như ngày hôm nay.Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bảnthân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, cácbạn sinh viên và bạn đọc

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 04 năm 2017Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Hồng Hạnh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêngtôi dưới sự hướng dẫn của thầy ThS Trần Văn Tuấn Trong khinghiên cứu, hoàn thành bản khóa luận này tôi đã tham khảo một sốtài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài: “Đa thức tổng bìnhphương và ứng dụng” là kết quả của việc nghiên cứu và nỗ lựchọc tập của bản thân, không trùng lặp với kết quả của các đề tàikhác Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 4 năm 2017Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Hồng Hạnh

Mục lục

1.1 Không gian metric đầy và nguyên lý ánh xạ co 6

1.1.1 Không gian metric đầy 6

1.1.2 Nguyên lý Banach về ánh xạ co 7

1.2 Hệ phương trình vi phân 10

1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 10

1.2.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân 13

1.2.3 Bổ trợ một số kiên thức về ma trận 18

2 Đa thức tổng bình phương và ứng dụng 21 2.1 Đa thức tổng bình phương 21

2.1.1 Đa thức và một số khái niệm liên quan 21

2.1.2 Đặc trưng của đa thức SOS 26

2.1.3 Điều kiện để một đa thức có biểu diễn SOS 30

2.2 Ứng dựng của đa thức SOS vào việc kiểm tra tính ổn định của hệ phương trình vi phân 35

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình vi phân là một chuyên ngành thiết yếu của toán học

và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học - kĩ thuật và côngnghệ, nó được coi như cầu nối giữa lý thuyết và ứng dụng [4, 5] Cácnghiên cứu về phương trình vi phân được bắt đầu từ rất sớm bởinhiều nhà toán học [5] Các câu hỏi cơ bản quan trọng được quan tâmnghiên cứu liên quan tới phương trình vi phân đó là sự tồn tại nghiệm,

sự duy nhất và tính ổn định của nghiệm của bài toán Cauchy, xembài toán 1.1 Câu hỏi về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toánCauchy được chứng minh bởi nhiều nhà toán học dưới các điều kiệnkhác nhau liên quan tới vế phải, xem [5]

Vào 1882, trong luận án tiến sĩ của mình, xem [5] Lyapunov đãthiết lập các điều kiện cần và đủ về sự tồn tại của hàm Lyapunov đểkiểm tra trạng thái cân bằng của bài toán Cauchy là ổn định Ý tưởng

cơ bản của Lyapunov là tìm hàm khả vi liên tục V mà − ˙V ≥ 0 tronglân cận của trạng thái cân bằng Tuy nhiên, Lyapunov không đưa ramột phương pháp cụ thể nào để xây dựng các hàm Lyapunov như vậy.Gần đây, xem [7], trong luận án tiến sĩ của mình Parrilo đã đề xuất

ý tưởng mới: “Thay vì tìm hàm V mà − ˙V ≥ 0 ta tìm hàm V mà − ˙Vbiểu diễn được dưới dạng tổng bình phương (SOS) của các đa thức”.Một trong những công cụ hữu hiệu để kiểm tra một đa thức có biểudiễn SOS đó là bất đẳng thức ma trận tuyến tính Do đó, bài toánnghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân qui về bài

toán tối ưu.

Xuất phát từ quan sát trên cùng với sự hướng dẫn tận tình củaTh.S Trần Văn Tuấn, tôi xin chọn đề tài: “Đa thức tổng bìnhphương và ứng dụng” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

1 Giới thiệu về các đa thức tổng bình phương (SOS) và sự phântích một đa thức không âm thành tổng của hữu hạn các đa thứcSOS

2 Ứng dụng đa thức SOS vào bài toán nghiên cứu tính ổn địnhnghiệm của hệ phương trình vi phân

3 Đối tượng nghiên cứu

• Tìm hiểu về cách biểu diễn của đa thức tổng bình phương, kiểmtra khi nào một đa thức không âm có thể biểu diễn dạng đa thứctổng bình phương và ngược lại

• Nghiên cứu về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân,tìm ra mối liên hệ giữa việc xây dựng đa thức SOS và hàm vôhướng Lyapunov từ đó vận dụng cho việc kiểm tra tính ổn địnhcủa hệ phương trình vi phân

4 Phạm vi nghiên cứu

• Đa thức, đa thức biểu diễn được dưới dạng tổng các bình phương

và các đặc trưng của nó

• Hệ phương trình vi phân và tính ổn định nghiệm của hệ phươngtrình vi phân theo phương pháp hàm Lyapunov.

5 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích các bài giải minh họa, tíchcực nghiên cứu dưới sự chỉ bảo của thầy giáo hướng dẫn

6 Cấu trúc đề tài

Khóa luận được trình bày trong hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Đa thức tổng bình phương và ứng dụng vào kiểm tratính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân

Hà Nội, tháng 04 năm 2017Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Hồng Hạnh

C[a, b] Tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b].

Rn Không gian Euclide n chiều,

với x = (x1, x2, , xn) là các phần tử trong Rn,chuẩn Euclide kxk =

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian metric đầy và nguyên lý ánh xạ

co

Định nghĩa 1.1 Cho không gian metric M = (X, d) Dãy điểm(xn) ⊂ X được gọi là dãy cơ bản trong M , nếu

Thật vậy, giả sử x(n) = x(n)1 , x(n)2 , , x(n)k , (n = 1, 2, ) là dãy

cơ bản tùy ý trong không gian Eukleides Rk Theo định nghĩa dãy cơbản, (∀ε > 0) (∃ n0 ∈ N∗) (∀m, n ≥ n0) d(x(n), x(m)) < ε, hay

Định nghĩa 1.3 Cho hai không gian metric M1 = (X, d1),

M2 = (Y, d2) Ánh xạ A : M1 → M2 gọi là ánh xạ co, nếu tồn

tại số α, α ∈ [0, 1) sao cho

d2(Ax, Ax0) ≤ αd1(x, x0), ∀x, x0 ∈ X

Định lý 1.1 (Định lý 1.4.2, [3], trang 29)(Nguyên lý

Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metricđầy M = (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động ¯x duy nhất, nghĩa

đó tồn tại lim

n→∞xn = ¯x ∈ X Ta có

d(A¯x, ¯x) ≤ d(A¯x, xn) + d(xn, ¯x) = d(A¯x, Axn−1) + d(xn, ¯x)

≤ αd(xn−1, ¯x) + d(xn, ¯x), ∀ n = 1, 2,

Cho n → ∞ ta được d(A¯x, ¯x) = 0 hay A¯x = ¯x, nghĩa là ¯x là điểm bấtđộng của ánh xạ A.

Giả sử tồn tại điểm ¯y ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ A, thì

d(¯x, ¯y) = d(A¯x, A¯y) ≤ αd(¯x, ¯y) =⇒ (1 − α)d(¯x, ¯y) ≤ 0

=⇒ d(¯x, ¯y) = 0, (0 ≤ α < 1) =⇒ ¯x = ¯y

Vì vậy ¯x là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A

Định lý được chứng minh

Ví dụ 1.2 Giải và biện luận phương trình sau

x + asinx = π, a là tham số, |a| < 1

Phương trình đã cho tương ứng với

0

2

sinx − x

0

2

... 2

Đa thức tổng bình phương ứng dụng< /h3>

Trong chương giới thiệu khái niệm đa thức tổng bìnhphương SOS với đặc trưng khơng âm nó, từ tìm biểu diễn

cụ thể đa thức SOS kiểm... đưa ứng dụng trực tiếp việcbiểu diễn đa thức SOS xét tính tính ổn định hệ phươngtrình vi phân lấy sở từ phương pháp hàm Lyapunov

2.1 Đa thức tổng bình phương< /h3>

2.1.1 Đa thức. .. hạn đa thức Motzkindạng Đa thức M (x, y) = x2y4 + x4y2 − 3x2y2 + vành đa thứcR[x, y] không âm không SOS Thật vậy, áp dụng