điều kiện đủ để đa thức là tổng bình phương và ứng dụng

Tuy nhi¶n, æng khæng chùng minh ÷ñc cho tr÷íng hñptêng qu¡t... Tuy nhi¶n, æng khæng chùng minh ÷ñc cho tr÷íng hñp têngqu¡t... Kovacec, Positive semidefinite diagonal minus tailforms are

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› VI›T NAM

Möc löc

1.1 Mð ¦u v· a thùc 51.2 Ma trªn nûa x¡c ành d÷ìng v  têng b¼nh ph÷ìng c¡c a

thùc 81.3 a thùc nûa x¡c ành d÷ìng v  têng b¼nh ph÷ìng 13

2 i·u ki»n õ º a thùc l  têng b¼nh ph÷ìng v  ùng

Líi nâi ¦u

Cho f ∈ R[X] := R[X1, , Xn] l  a thùc n bi¸n bªc m Hiºn nhi¶n,mët a thùc f l  têng b¼nh ph÷ìng th¼ nâ l  nûa x¡c ành d÷ìng v¼ b¼nhph÷ìng trong R l  khæng ¥m V§n · °t ra l : Khi n o, mët a thùcnûa x¡c ành d÷ìng f ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng têng b¼nh ph÷ìng?

• N¸u n = 1 v  f l  nûa x¡c ành d÷ìng th¼ f l  têng b¼nh ph÷ìng(xem M»nh · 1.3)

• Sylvester (1850) ¢ ch¿ ra r¬ng: N¸u f l  a thùc nûa x¡c ànhd÷ìng bªc 2 th¼ f l  têng b¼nh ph÷ìng

N«m 1888, Hilbert ¢ chùng minh hai ành lþ quan trång l :

• N¸u f l  a thùc nûa x¡c ành d÷ìng 2 bi¸n bªc 4 th¼ f l  têngb¼nh ph÷ìng

• C¡c tr÷íng hñp cán l¤i, luæn tçn t¤i a thùc f l  nûa x¡c ànhd÷ìng nh÷ng khæng l  têng b¼nh ph÷ìng

Hilbert ¢ khæng ÷a ra v½ dö cö thº cho a thùc l  nûa x¡c ànhd÷ìng m  khæng l  têng b¼nh ph÷ìng V½ dö nêi ti¸ng ¦u ti¶n ÷ñc ÷a

ra cho v§n · n y l  a thùc Motzkin (1960)

s(X, Y ) = 1 − 3X2Y2 + X4Y2 + X2Y4

N«m 1893, Hilbert ¢ chùng minh mët a thùc nûa x¡c ành d÷ìng

c¡c h m húu t¿ Tuy nhi¶n, æng khæng chùng minh ÷ñc cho tr÷íng hñptêng qu¡t V¼ vªy, nâ trð th nh b i to¡n thù 17 trong 23 b i to¡n cõaHilbert ÷ñc ÷a ra n«m 1900 B i to¡n n y ¢ ÷ñc tr£ líi bði EmilArtin (1927).

Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n l  thæng qua vi»c so s¡nh c¡c h» sè cõac¡c ìn thùc câ bªc cao nh§t vîi c¡c h» sè câ bªc th§p hìn cõa mët athùc, º ÷a ra i·u ki»n õ cho a thùc â l  têng b¼nh ph÷ìng Sau

â, ùng döng c¡c i·u ki»n n y x¡c ành mët sè cªn d÷îi cõa a thùcnh÷ sau:

ành ngh¾a

f∗ := inf {f (a)|a ∈ Rn} ,

fsos := supr r ∈ R, f − r l  SOS

.Nhªn th§y fsos ≤ f∗ Vi»c t½nh f∗ l  khâ n¶n thay v¼ vi»c t½nh trücti¸p f∗ ta i t¼m cªn d÷îi cõa nâ Chóng ta s³ ch¿ ra r¬ng: n¸u th nhph¦n thu¦n nh§t bªc 2d cõa a thùc f l  mët iºm trong cõa tªp t§tc£ c¡c a thùc n bi¸n bªc 2d l  têng b¼nh ph÷ìng th¼ s³ câ sü chån lüaphò hñp cho k v  r sao cho a thùc f(kX) − r thäa m¢n i·u ki»n õ

÷ñc ÷a ra trong H» qu£ 2.1 v  H» qu£ 2.2 i·u n y cho ph²p chóng

ta x¡c ành ÷ñc 2 cªn d÷îi cho fsos â l  rL v  rF K (xem ành lþ 2.5

v  ành lþ 2.6) Düa v o ành lþ 2.1 ta x¡c ành ÷ñc mët cªn d÷îi núacõa fsos â l  rdmt (xem ành lþ 2.7)

Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, ph¦n k¸t luªn, danh möc t i li»u thamkh£o v  hai ch÷ìng nh÷ sau:

Ch÷ìng 1 "a thùc nûa x¡c ành d÷ìng v  têng b¼nh ph÷ìng" tr¼nh

b y têng quan v· b i to¡n biºu di¹n a thùc nûa x¡c ành d÷ìng th nhtêng b¼nh ph÷ìng

Ch÷ìng 2 "i·u ki»n õ º a thùc l  têng b¼nh ph÷ìng v  ùng döng"ch÷ìng n y chóng ta tr¼nh b y c¡c i·u ki»n õ º a thùc câ thº biºudi¹n d÷îi d¤ng têng b¼nh ph÷ìng v  ùng döng c¡c i·u ki»n â v o b ito¡n tèi ÷u a thùc.

Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh t¤i Vi»n To¡n håc, Vi»n H n l¥mKhoa håc v  Cæng ngh» Vi»t Nam, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Hç Minh

To n T¡c gi£ ch¥n th nh c£m ìn th¦y To n ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n,gióp ï t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu theo · t icõa luªn v«n

Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  l m luªn v«n, nhí c¡c b i gi£ng cõa c¡cTh¦y, Cæ trong Vi»n To¡n Håc, Vi»n H n L¥m Khoa Håc v  Cæng Ngh»Vi»t Nam, t¡c gi£ ¢ trau dçi th¶m nhi·u ki¸n thùc phöc vö cho cængvi»c håc tªp v  nghi¶n cùu cõa b£n th¥n T¡c gi£ xin b y tä láng c£m

ìn s¥u s­c tîi c¡c Th¦y, Cæ

T¡c gi£ ch¥n th nh c£m ìn sü hªu thu¨n tø gia ¼nh, sü ëng vi¶nlîn tø bè, mµ, Ban gi¡m hi»u, c¡c Th¦y, Cæ trong tr÷íng THCS Li¶nKh¶ v  c¡c b¤n trong lîp Cao håc K20 ¢ t¤o måi i·u ki»n v  gióp ïcho t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp v  nghi¶n cùu ð Vi»n To¡n håc

H  Nëi th¡ng 8 n«m 2014

Håc vi¶n

é Thà Thanh Nga

trong â méi fi ∈ R[X] l  a thùc thu¦n nh§t bªc i, i = 1, , n.

Mët a thùc f thäa m¢n f(tX) = tdf (X) ÷ñc gåi l  a thùc thu¦nnh§t bªc d

a thùc f ÷ñc gåi l  têng b¼nh ph÷ìng n¸u f(X) = Pk

câ húu h¤n nghi»m Gi£ sû, m»nh · óng vîi n − 1 bi¸n.

(i) Gi£ sû f1 6= 0 Theo M»nh · 1.1, tçn t¤i x ∈ Rn sao cho f1(x) 6= 0.Khi â

M°t kh¡c, c¡c ph¦n tû câ bªc 2d trong têng f2

N¸u X 6= 0, ta câ: f(X) = 0 ⇔ F (X) = 0 Cho X ti¸n tø 0 → +∞ h m

sè F (X) gi£m ng°t tø +∞ → −1 V¼ vªy, cho x > 0, h m sè F tri»tti¶u t¤i duy nh§t mët iºm p

Ta ph£i chùng minh, n¸u x0 l  mët nghi»m cõa f th¼ q = |x0| ≤ p Thªtvªy, gi£ sû q > p ta câ f(q) > 0 M°t kh¡c, x0 l  nghi»m cõa f n¶n

bi

bn

ti

!

(ii) Måi gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u khæng ¥m.

(iii) A = UTU, vîi U l  mët ma trªn c§p n × n n o â

(iv) A l  mët tê hñp tuy¸n t½nh khæng ¥m cõa c¡c ma trªn d¤ng xxT,vîi x ∈ Rn

Chùng minh

(i) ⇒ (ii) Do A èi xùng n¶n c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A l  thüc L§y d

l  mët gi¡ trà ri¶ng cõa A, t÷ìng ùng vîi vectì ri¶ng x Khi â Ax = dxn¶n

xTAx = xTdx = dxTx = dkxk2

V¼ xTAx ≥ 0 v  x 6= 0 n¶n d ≥ 0

(ii) ⇒ (iii) V¼ A l  ma trªn èi xùng n¶n A = C−1DC, vîi C l  matrªn trüc giao (CT = C−1), D l  ma trªn ÷íng ch²o (c¡c ph¦n tû ÷íngch²o cõa D l  c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A)

zn+3 = X1X2, , z2n+1 = X1Xn, z2n+2 = X2X3, , zC(n+d,d) = Xnd L÷u

þ r¬ng sè ìn thùc Xd+1

1 Xdn

n vîi d1 + + dn ≤ d v  di ≥ 0 l C(n + d, d) = (n + d)!

d!n! .

sè cõa c¡c a thùc pj(X), vîi j = 1, , m nh÷ sau:

Ta câ A = SΛS−1, vîi S l  ma trªn trüc giao v  Λ l  ma trªn ÷íngch²o gçm t§t c£ c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A

uT1, uT2, , uTC(n+d,d) l  c¡c vectì cët cõa (S√Λ) Ta th§y

L÷u þ: N¸u trong a thùc ban ¦u khæng chùa sè h¤ng tü do th¼

ta câ thº bä z1 = 1 i trong khi lªp ma trªn z

√ 2

1

√ 6 1

√

3 0 √2

6 1

√ 3

1

√ 2

−1

√ 6

1

√ 2

0 0 √2

2

0 √12

−1

√ 2

√ 2

2

√ 2

−1

√ 2

Ta câ i·u ph£i chùng minh.

(iii) ⇒ (i) Hiºn nhi¶n 2

Ng÷ñc l¤i, ta công câ thº ÷a mët a thùc thu¦n nh§t v· d¤ng khængthu¦n nh§t: f (1, Xe 1, , Xn) = f (X1, , Xn).

M»nh · 1.4 [4, M»nh · 1.2.4] °t Vd,n l  khæng gian vectì cõa t§tc£ c¡c a thùc n bi¸n bªc ≤ d x¡c ành trong Rn, Fd,n l  khæng gianvectì cõa t§t c£ c¡c a thùc n bi¸n bªc d x¡c ành trong Rn nh x¤

Gi£ thi¸t d ch®n, deg(f) ≤ d

(i) Gi£ sû f ≥ 0 tr¶n Rn ta câ:

l  têng b¼nh ph÷ìng cõa c¡c a thùc thu¦n nh§t bªc d

2.N¸u f =e

a thùc f l  nûa x¡c ành d÷ìng nh÷ng khæng l  têng b¼nh ph÷ìng Tuynhi¶n, æng ¢ khæng ÷a ra v½ dö cö thº cho a thùc l  nûa x¡c ànhd÷ìng khæng l  têng b¼nh ph÷ìng V½ dö nêi ti¸ng ¦u ti¶n ÷ñc ÷a racho v§n · n y l  a thùc Motzkin (1960)

fi2 p döng H» qu£ 1.1, ta th§y méi a thùc fi câ bªc khæng qu¡ 3

Do â c¡c ìn thùc câ m°t trong fi l 

N¸u X, Y xu§t hi»n trong fi th¼ X2, Y2 s³ xu§t hi»n trong s(X, Y ).

T÷ìng tü vîi X2, Y2 v  X3, Y3 Do vªy fi câ d¤ng sau

V½ dö 1.4 ÷ñc ÷a ra bði Schm¨udgen (1979)

r(X, Y ) = 200[(X3−4X)2+(Y3−4Y )2]+(Y2−X2)X(X+2)[X(X−2)+2(Y2−4)]

V½ dö 1.5 ÷ñc ÷a ra bði Berg, Christensen v  Jensen (1979)

thu¦n nh§t n bi¸n bªc d K½ hi»u P

d,n l  tªp con cõa Pd,n bao gçm c¡c

a thùc l  têng b¼nh ph÷ìng

ành lþ cõa Hilbert (1888) ÷ñc chùng minh l¤i mët c¡ch ìn gi£n

hìn nh÷ sau:

= X6 + Y4Z2 + Y2Z4 − X2Y2Z2

l  a thùc thuëc P6,3\P

6,3.Thu¦n nh§t hâa a thùc cõa Choi - Lam



= W4 + X2Y2 + Y2Z2 + X2Z2 − 4XY ZW

l  a thùc thuëc P4,4\P

4,4.N¸u d ≥ 6 v  n ≥ 3 th¼

trong â A = (aij) l  ma trªn èi xùng N¸u f ≥ 0 tr¶n Rn th¼ ma trªn A

l  nûa x¡c ành d÷ìng V¼ vªy, A câ thº ph¥n t½ch d÷îi d¤ng A = UTU

Do â,

l  têng b¼nh ph÷ìng.

Chùng minh P4,3 = P

4,3 l  mët v§n · phùc t¤p ÷ñc chùng minhbði nhâm t¡c gi£: J Bochnak, M Coste, M - F Roy (1998) 2

N«m 1893, Hilbert ¢ chùng minh mët a thùc nûa x¡c ành d÷ìng

2 bi¸n b§t ký luæn biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng têng b¼nh ph÷ìng cõa c¡c

h m húu t¿ Tuy nhi¶n, æng khæng chùng minh ÷ñc cho tr÷íng hñp têngqu¡t V¼ vªy, nâ trð th nh b i to¡n thù 17 trong 23 b i to¡n cõa Hilbert

Ch֓ng 2

i·u ki»n õ º a thùc l  têng

b¼nh ph÷ìng v  ùng döng

Nëi dung cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b y mët sè i·u ki»n õ º a thùc

l  têng b¼nh ph÷ìng (vi¸t t­t l  SOS) v  tø â s³ ch¿ ra mët v i cªnd÷îi cõa a thùc

2.1 i·u ki»n õ º a thùc l  têng b¼nh ph÷ìng

Trong ph¦n n y ta tr¼nh b y hai ành lþ quan trång º mët a thùcthu¦n nh§t l  têng b¼nh ph÷ìng Sau â l  i·u ki»n cho mët a thùcb§t k¼ l  têng b¼nh ph÷ìng

Mët a thùc b§t k¼ f ∈ R[X]câ thº vi¸t d÷îi d¤ng f(X) = P

α∈N nfαXα,trong â Xα := Xα1

l  thu¦n nh§t hâa cõa a thùc f.

Thæng qua vi»c so s¡nh c¡c h» sè cõa X2d

.(iii) E l  têng b¼nh ph÷ìng cõa c¡c nhà thùc.

(iv) E l  SOS

M Ghasemi v  M Marshall ¢ mð rëng k¸t qu£ n y cho a thùc thu¦nnh§t bªc 2d b§t k¼ nh÷ sau:

ành lþ 2.2 [2, ành lþ 2.1] Gi£ sû f ∈ R[X] l  a thùc thu¦n nh§tbªc 2d v 

f2d,i ≥ X

α∈∆

|fα|αi2d, i = 1, , n.

Khi â f l  SOS

l  SOS, do

f2d,i ≥ X

α∈∆

|fα| αi2d, i = 1, , n.

2.2, ta câ fel  SOS Ti¸p theo sû döng M»nh · 1.4 ta ÷ñc f l  SOS.V½ dö 2.2 p döng H» qu£ 2.1 cho a thùc f(X, Y, Z) = X4 + 3Y4 +2Z4 + 3Y2Z2 − 2X2Y + 1 ta câ f l  SOS.

ành lþ 2.3 [2, ành lþ 2.3] Gi£ sû f ∈ R[X] l  a thùc thu¦n nh§tbªc 2d v 

Thu¦n nh§t hâa a thùc f sau â ¡p döng ành lþ 2.3 v  M»nh · 1.4,

ta câ i·u ph£i chùng minh 2

V½ dö 2.4 a thùc f(X, Y, Z) = 28X6 + 29Y 6 + 30Z6 − XY Z + 40 l SOS theo H» qu£ 2.2

Chó þ 2.1 Hai i·u ki»n ÷a ra trong ành lþ 2.2 v  ành lþ 2.3 l khæng thº so s¡nh ÷ñc Hìn núa, â l  c¡c i·u ki»n õ nh÷ng khængph£i l  i·u ki»n c¦n Thªt vªy, ta x²t c¡c v½ dö minh håa sau:

(i) f(X, Y, Z) = X4+Y4+4Z4+4XZ3 l  SOS theo ành lþ 2.2 nh÷ngkhæng thäa m¢n i·u ki»n cõa ành lþ 2.3.

(ii) f(X, Y, Z) = X4 + Y4 + Z4 + √

8XY Z2 l  SOS theo ành l½ 2.3nh÷ng khæng thäa m¢n i·u ki»n cõa ành l½ 2.2

(iii) f(X, Y, Z) = X2Z2+ XY Z2+ 2Y2Z2− 2Y Z3+ Z4 l  SOS nh÷ngc£ 2 i·u ki»n cõa ành l½ 2.2 v  ành l½ 2.3 ·u khæng thäa m¢n

Ti¸p theo, ta nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc v· ph¦n trong cõa mët tªp hñp.Cho V = {f ∈ R[X] : deg(f ) ≤ 2d}l  khæng gian vectì húu h¤n chi·uvîi kfk = max

H» qu£ 2.3 g(X) = X2d

1 + + Xn2d ∈ P0

2d,n.Chùng minh

Ta ph£i chùng minh: g ∈ P0

2d,n ⇔ ∃ε > 0 : S(g, ε) ⊂ P

2d,n, trong âS(g, ε) = {f ∈ R[X] : kg − f k < ε}

Thªt vªy, gi£ sû f(X) = g(X) + h(X), trong â h(X) ∈ V l  a thùcthu¦n nh§t bªc 2d câ gi¡ trà tuy»t èi cõa h» sè ≤ ε, vîi ε > 0 õ nhä

n o â Suy ra kg − fk = k−hk = maxα |hα| < ε Ta l¤i câ f l  SOS (theo

inh lþ 2.2 ho°c inh lþ 2.3) Do â S(g, ε) ⊂ P

2d,n Vªy g ∈ P0

2d,n.Chó þ 2.2 Cho f l  a thùc thu¦n nh§t bªc 2d

H» qu£ 2.4 N¸u f l  mët a thùc thu¦n nh§t bªc 2d v  ε := max {ε1, ε2} >

p döng ành l½ 2.2 (n¸u ε = ε1) ho°c ành l½ 2.3 (n¸u ε = ε2) cho

M»nh · 1.3) Vi»c x¡c ành f∗ hay fsos khæng ph£i l  mët v§n · d¹

d ng V¼ vªy, chóng ta i ÷îc l÷ñng mët sè cªn d÷îi cõa fsos tø vi»c ùngdöng c¡c i·u ki»n õ ¢ ÷ñc ÷a ra ð ph¦n tr÷îc

ành lþ 2.4 [4, ành lþ 10.7.1] i·u ki»n c¦n º fsos 6= −∞ l  f2d ∈

P

2d,n v  i·u ki»n õ º fsos 6= −∞ l  f2d ∈ P0

2d,n.V½ dö 2.5 [4, V½ dö 10.7.3]

(i) a thùc Motzkin: s(X, Y ) = 1 − 3X2Y2 + X2Y4 + X4Y2 câ f∗ =

V¼ f2d ∈ P0

2d,n n¶n tçn t¤i ε > 0 sao cho f2d− ε(X2d

1 + + Xn2d) = g vîi

N¸u {α ∈ ∆| |α| < 2d} = ∅ th¼ ˆf − rL = ˆf − f0 l  SOS, do â f − rL

công l  SOS N¸u {α ∈ ∆| |α| < 2d} 6= ∅ th¼ k > 0 êi bi¸n Xi 7→ kXi

thäa m¢n i·u ki»n (2.3) cõa H» qu£ 2.1 cho a thùc ˆf (kX) − rL Do

â, a thùc ˆf (kX) − rL l  SOS Suy ra, a thùc ˆf − rL l  SOS Vªy athùc f − rL l  SOS 2

p döng H» qu£ 2.2 cho a thùc f − r, vîi r l  mët sè thüc n o â

Ta th§y r¬ng: f − r l  SOS khi v  ch¿ khi

Ta câ thº sû döng þ t÷ðng trong chùng minh cõa ành lþ 2.5 º t¼m

ra mët cªn d÷îi kh¡c cho fsos sû döng H» qu£ 2.2 nh÷ sau:

Sau khi êi bi¸n ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng ε = 1 v  g = f2d−(X2d

1 + +Xn2d),trong â g ∈P

2d,n.N¸u {α ∈ ∆| |α| < 2d} = ∅ th¼ bi = 0 (i = 1, , 2d − 1) Suy ra k = 0(theo ành ngh¾a cõa C(t2d)) n¶n rF K = f0 Do â ta câ thº gi£ thi¸t{α ∈ ∆| |α| < 2d} 6= ∅, suy ra k > 0 êi bi¸n Xi 7→ kXi ta câ

trong â t := |{α ∈ ∆| |α| < 2d}| v  ε > 0 sao cho

Cho ∆0 = {α ∈ ∆| |α| < 2d} Sau khi êi bi¸n ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng

ε = 1 T÷ìng tü nh÷ trong chùng minh cõa ành lþ 2.2 ta câ f =

rα ≥ (2d − |α|)

"



fα2d

(i) N¸u {α ∈ ∆| |α| < 2d} = ∅ th¼ rL = rF K = rdmt = f0

(ii) Cho f(X, Y ) = X6+Y6+7XY −2X2+7, ta câ rL ≈ −1.124, rF K ≈

−0.99, rdmt ≈ −1.67 V¼ vªy rF K > rL > rdmt

(iii) Cho f(X, Y ) = X6+Y6+4XY +10Y +13, ta câ rL ≈ −0.81, rF K ≈

−0.93, rdmt ≈ −0.69 V¼ vªy rdmt > rL > rF K

(iv) Cho f(X, Y ) = X4 + Y4 + XY − X2 − Y2 + 1, ta câ rL ≈

−0.125, rF K ≈ −0.832, rdmt ≈ −0.875 V¼ vªy rL > rF K > rdmt

Chó þ 2.4 º t½nh rL, rF K, rdmt, ta c¦n bi¸t ε v  h» sè fα(|α| < 2d)

Ta s³ t½nh c¡c cªn d÷îi â nh÷ th¸ n o n¸u b i to¡n ch¿ cho bi¸t fα Khi

â ta s³ sû döng H» qu£ 2.4 cho th nh ph¦n thu¦n nh§t bªc 2d cõa athùc f tùc l  f2d nh÷ sau:

N¸u ε := max {ε1, ε2} > 0, trong â

2d,n v  dòng gi£ thi¸t â º t¼mcªn d÷îi cõa fsos Ta câ thº nâi g¼ n¸u gi£ thi¸t ch¿ câ f2d ∈ P0

Chùng minh.

Lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh cõa ành l½ 2.5, 2.6, 2.7 nh÷ng

a thùc thu¦n nh§t g khæng cán l  SOS m  l  nûa x¡c ành d÷ìng 2K½ hi»u R[X]2d−1 l  tªp c¡c a thùc câ bªc cao nh§t l  2d − 1

Chó þ 2.6 Chóng ta ¢ bi¸t, n¸u a thùc p ∈ P0

2d,n v  g ∈ R[X]2d−1th¼ (p + g)∗ 6= −∞ N¸u a thùc p ∈ P0

2d,n v  g ∈ R[X]2d−1 th¼(p + g)sos 6= −∞ Nh÷ng câ mët i·u ¡ng l÷u þ l : p ∈ P2d,n khængph£i l  x¡c ành d÷ìng tùc l  tçn t¤i 0 6= a ∈ Rn sao cho p(a) = 0 Chog(X) =

C¥u häi °t ra l : Mët a thùc b§t ký p ∈ ∂P

2d,n câ tçn t¤i g ∈

R[X]2d−1 sao cho (p + g)sos = −∞ hay khæng ?

C¥u tr£ líi l  "câ" ¢ ÷ñc chùng minh bði Hilbert (1888)

K¸t luªn

Luªn v«n ¢ tr¼nh b y c¡c v§n · sau:

1 Tr¼nh b y têng quan v· b i to¡n biºu di¹n a thùc nûa x¡c ành d÷ìng

tε

T i li»u tham kh£o

[1] C Fidalgo and A Kovacec, Positive semidefinite diagonal minus tailforms are sums of squares, Math Zeitschrift 269 (2009), 629-645.[2] M Ghasemi and M Marshall, Lower bounds for a polynomial interms of its coefficients, Arch Math, 95 (2010), 343-353

[3] M Laurent, Sums of Squares, moment matrices and Optimizationover polynomials, The IMA Volumes in Mathematics and its Appli-cations Volume 149 (2009), 157 - 270

[4] M Marshall, Positive Polynomials and Sum of Squares, ical Surveys and Monographs, 146, 2008

Mathemat-[5] V V Prasolov, Polynomials, Algorithms and Computation in ematics, 11, 2004