Câu 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều.. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.. Mà AI là hình chiếu vuông góc của SI trên ABC Theo định ba đường vuông góc suy ra SI ⊥ BC tại
Trang 1CÁC BÀI TẬP DẠNG KHÓ CỦA ÔN TỐT NGHIỆP NĂM 2011
*.Chủ đề: Thể tích khối chóp.
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều Biết cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA = a và góc giữa mặt bên
(SBC) và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Bài giải
Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA là đường cao của hình chóp S.ABC
Do đó: 1 1
+ SA = a
+ Gọi I là trung điểm cạnh BC
Ta có: ( SBC ) ( ∩ ABC ) = BC (1)
Vì ABC là tam giác đều nên AI ⊥ BC tại I (2)
Mà AI là hình chiếu vuông góc của SI trên (ABC)
Theo định ba đường vuông góc suy ra SI ⊥ BC tại I (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: Góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) là góc SIA∧ = 600
Ta lại có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AI ⇒ ∆ SAI vuông tại A, có:
0
tan
AI
∧
Vì ABC là tam giác đều và AI là đường cao nên 3 2 2
.
Do đó:
2
ABC
Vậy:
V = a = = (đvtt)
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều Biết cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA = a và góc giữa cạnh bên
SB và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Bài giải
Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA là đường cao của hình chóp S.ABC
Do đó: 1 1
+ SA = a
+ Ta có AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC)
⇒ Góc giữa cạnh SB và mặt đáy (ABC) là góc SBA∧ = 600
Ta lại có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AB ⇒ ∆ SAB vuông tại A, có:
0
tan
AB
∧
Vì ABC là tam giác đều cạnh
3
a
nên
2
3
ABC
Vậy:
V = a = (đvtt)
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông Biết cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA a = và góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Bài giải
Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA là đường cao của hình chóp S.ABC
S
A
B
C I
S
A
B
C
Trang 2Do đó: 1 1
+ SA = a
+ Ta có: ( SCD ) ( ∩ ABCD ) = CD (1)
Vì ABCD là hình vuông nên AD ⊥ CD (2)
Mà AD là hình chiếu vuông góc của SD trên (ABCD)
Theo định ba đường vuông góc suy ra SD ⊥ CD (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: Góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD) là góc SDA∧ = 450
Ta lại có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AD ⇒ ∆ SAD vuông tại A và có SDA∧ = 450
SAD
⇒ ∆ vuông cân tại A ⇒ AD SA a = =
Do đó: SABCD = AD2 = a2
Vậy:
3 2
1
.
a
V = a a = (đvtt)
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông Biết cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA a = 2 và góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Bài giải
Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA là đường cao của hình chóp S.ABC
Do đó: 1 1
+ SA = a
+ Ta có AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)
⇒ Góc giữa cạnh SC và mặt đáy (ABCD) là góc 0
45
Ta lại có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AD ⇒ ∆ SAD vuông tại A và có 0
45
SAC
⇒ ∆ vuông cân tại A ⇒ AC SA a = = 2
Vì ABCD là hình vuông và AC là đường chéo nên 2.
2
AC
Do đó: SABCD = AD2 = a2
Vậy:
3 2
a
V = a a = (đvtt)
Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC Biết cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Bài giải Gọi O là tâm của tam giác ABC
Ta có: SO là đường cao của hình chóp S.ABC
Do đó: 1 1
+ Vì ∆ ABCđều cạnh a nên
2
3 4
ABC
a
+ Gọi I là trung điểm cạnh BC
Ta có: ( SBC ) ( ∩ ABC ) = BC (1)
Vì ABC là tam giác đều nên AI ⊥ BC tại I (2)
Mà AI là hình chiếu vuông góc của SI trên (ABC)
Theo định ba đường vuông góc suy ra SI ⊥ BC tại I (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: Góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) là góc SIO∧ = 300
Ta lại có SO ⊥ ( ABC ) ⇒ SO OI ⊥ ⇒ ∆ SOI vuông tại O, có:
S
B
C
D A
S
D A
S
A
B
C I
o
Trang 30 1 3 1
OI
∧
Câu 6: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD Biết cạnh đáy bằng a, gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 300 Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a
Bài giải Gọi O là tâm của hình vuơng ABCD
Ta cĩ: SO là đường cao của hình chĩp S.ABC
Do đĩ: 1 1
+ Vì ABCD là hình vuơng cạnh a nên SABCD = AB2 = a2
+ Gọi I là trung điểm cạnh CD
Ta cĩ: ( SCD ) ( ∩ ABCD ) = CD (1)
Vì ABCD là hình vuơng cĩ tâm là O nên OI ⊥ CD tại I (2)
Mà OI là hình chiếu vuơng gĩc của SI trên (ABCD)
Theo định ba đường vuơng gĩc suy ra SI ⊥ CD tại I (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: Gĩc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD) là gĩc 0
30
SIO∧ =
Ta lại cĩ SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ OI ⇒ ∆ SOI vuơng tại O, cĩ:
OI
∧
2
BC
Vậy:
3 3 2
.
V = a = = (đvtt)
*.Chủ đề: Phương trình – bất phương trình mũ và lơgarit.
Câu 1: Giải các phương trình sau:
1) ( 2 − 3 )x+ ( 2 + 3 )x= 4
Giải
Ta cĩ:
( 2 − 3 ) ( 2x − 3 )x = [( 2 − 3 ).( 2 + 3 )]x
= =
t
pt:
2
1
t
+ = ⇒ + =
* Với 2 3 ( 2 3 )x 2 3
( 2 3 )
x
−
* Với t = − 2 3 ⇒ ( 2 − 3 )x = − 2 3
( 2 3 )
x
−
Vậy: Nghiệm của phương trình là x = ± 2
2) log (4 x + 2).log 2 1x =
Giải Điều kiện: 2 0 2
x
< ≠ < ≠
1
log 2x
2 0
2
x
x
= −
=
(loại) (nhận)
Vậy: Nghiệm của pt là: x = 2
Câu 2: Giải các bất phương trình sau:
x
x x ≤
−
Giải
1
2 3
2
x
3 ( ) 2
x
t = (t > 0), ta cĩ:
t
−
3 2
t t
< <
⇔
≥ ( thỏa điều kiện)
S
D A
Trang 42
( )
x
x
x x
< < <
≥
≥
Vậy: n0 bpt là: 0
1
x x
<
≥
2
x
x
+
Giải
Điều kiện: x > 0
2 2
1
2
x bpt
x
−
log
2 2
1
1
2
x
x
< −
≥
Vậy: Nghiệm của bpt là:
1 2 2
x x
<
≥
*.Chủ đề: Tìm GTLN – GTNN của hàm số: f x ( ) 2sin = x + sin 2 x trên đoạn 3
2
π
Giải Tập xác định: D = R Xét đoạn 3
2
π .
Ta có: f x ′ ( ) 2cos = x + 2cos 2 x
+ f x ′ ( ) 0 = ⇔ 2cos x + 2cos 2 x = 0
2
2
3 0;
2 1
0;
2
x x
x
x
π π
= ∈
= ∈
0;
2
∀ ∈ Khi đó: f (0) 0 = ; f ( ) 0 π =
( )
2
0;
2
3 3 ( )
2
Maxf x
π
3
x = π
0;3
2
Minf x
π
= −
2
x = π
*.Chủ đề: Nguyên hàm.
Câu 1: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f x ( ) sin 4 cos 2 = x 2 x, biết 9
( )
Giải
Ta có:
2
1 1
Câu 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x ( ) = x2(3 − x )10, biết 9
( )
Giải
Trang 5Đặt 3 2 2
Vậy: ∫ f x dx ( ) = ∫ (3 ) − t t2 10( − dt ) = − ∫ ( 9 t10+ 6 t11− t dt12)
11 12 13
C
C