Tìm hiểu về đồ thị.DOC

Tìm hiểu về đồ thị

Chơng 1 một số vấn đề cơ bản của đồ thị

I Các định nghĩa đồ thị

1 Định nghĩa đồ thị

Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh này, các loại đồ thị khác nhau đợc phân biệt bởi kiểu và số lợng cạnh nối hai đỉnh nào đó của đồ thị

Giả sử X là tập hữu hạn, không rỗng các phần tử nào đó và U ⊆ X ì X Bộ G =

<X, U> đợc gọi là đồ thị hữu hạn Mỗi phần tử x∈X gọi là một đỉnh và mỗi phần tử u = (x,y) ∈ U gọi là một cạnh của đồ thị G = <X, U>

Xét một cạnh u ∈ U khi đó tồn tại 2 đỉnh x, y ∈ X sao cho u = (x, y), ta nói rằng x nối với y hoặc x và y thuộc u

- Nếu cạnh u = (x, y) mà x và y là hai đỉnh phân biệt thì ta nói x, y là hai đỉnh

kề nhau

- Nếu u = (x, x) thì u là cạnh có hai đỉnh trùng nhau ta gọi đó là một khuyên

- Nếu u = (x, y) mà x,y là cặp đỉnh có phân biệt thứ tự hay có hớng từ x đến y thì

u là một cung, khi đó x là gốc còn y là ngọn hoặc x là đỉnh ra, y là đỉnh vào

- Khi giữa cặp đỉnh (x, y) có nhiều hơn một cạnh thì ta nói những cạnh cùng cặp

đỉnh là những cạnh song song hay là cạnh bội

a Tại đỉnh y có một khuyên b Một cung có hớng từ x sang y

c Cặp đỉnh (x, y) có 2 cạnh song song

Hình 1.1

Trong thực tế ta có thể gặp nhiều vấn đề mà có thể dùng mô hình đồ thị để biểu diễn, nh sơ đồ một mạng máy tính, sơ đồ mạng lới giao thông, sơ đồ thi công một công trình

9

y

Ví dụ: Xét một mạng máy tính, có thể biểu diễn mạng này bằng một mô hình

đồ thị, trong đó mỗi máy là một đỉnh, giữa các máy đợc nối với nhau bằng các dây truyền, chúng tơng ứng là các cạnh của đồ thị Một mô hình mạng máy tính

nh hình 1.2 trong đó có các máy tính A, B, C, D tơng ứng là các đỉnh, giữa 2

máy đợc nối trực tiếp với nhau thì tơng ứng với 1 cặp đỉnh kề nhau

Hình 1.2 Ví dụ về một đồ thị

2 Đồ thị đơn

Đồ thị G = <X, U> đợc gọi là đồ thị đơn nếu giữa hai đỉnh bất kỳ đợc nối với nhau bởi không quá một cạnh (cung), tức là đồ thị không có cạnh bội, không có khuyên

Hình 1.2 là một ví dụ về đồ thị đơn

3 Đa đồ thị

Đồ thị G = <X, U> đợc gọi là đa đồ thị nếu nó có ít nhất một cặp đỉnh đợc nối với nhau bởi hai cạnh (hai cung) trở lên

4 Giả đồ thị

Là đồ thị có ít nhất một khuyên, có thể chứa cạnh bội, cạnh đơn Tóm lại đây

là loại đồ thị tổng quát nhất

Hình 1.3 a Đa đồ thị b Giả đồ thị

II Các loại đồ thị

1 Đồ thị vô hớng

10

C

D

C

D

C

D

Đồ thị G=<X,U> đợc gọi là đồ thị vô hớng nếu tất cả các cạnh e ∈ U mà cặp

đỉnh thuộc nó e = (x,y) ∈ X không phân biệt thứ tự Đồ thị vô hớng là đồ thị không có bất kỳ một cung nào

Ví dụ: nh hình 1.3.a là biểu diễn của một đồ thị vô hớng.

2 Đồ thị có hớng

Đồ thị G = <X, U> đợc gọi là đồ thị có hớng nếu tất cả các cạnh e ∈ U mà cặp

đỉnh thuộc nó e = (x, y) ∈ X có phân biệt thứ tự Đồ thị có hớng là đồ thị mà mọi e = (x, y) ∈ X đều là cung

Hình 2.1 Đồ thị có hớng

3 Đồ thị hỗn hợp

Đồ thị G=<X,U> vừa có cạnh vô hớng, vừa có cạnh có hớng thì nó đợc gọi là

đồ thị hỗn hợp, loại đồ thị này rất ít khi đợc dùng tới

Chú ý rằng vấn đề phân chia đồ thị và các thuật ngữ về đồ thị chỉ mang tính tơng đối, hiện nay vẫn còn cha mang tính thống nhất chuẩn trên nhiều tài liệu.

III Một số khái niệm và tính chất cơ bản của đồ thị

1 Bậc đồ thị

1.1 Bậc đồ thị vô hớng

Cho đồ thị vô hớng G = <X,U> Xét 1 đỉnh x ∈ X đặt m(x) là số cạnh thuộc

đỉnh x khi đó m(x) đợc gọi là bậc của đỉnh x Nếu x có một khuyên thì m(x) đợc cộng thêm 2

- Nếu m(x) = 0 thì đỉnh x đợc gọi là đỉnh cô lập

- Nếu m(x) = 1 thì đỉnh x đợc gọi là đỉnh treo

Ta đặt

thì m(G) đợc gọi là bậc của đồ thị vô hớng G = <X, U>

11

∑

∈

= X x m(x) m(G)

1.2 Bậc đồ thị có hớng

Cho đồ thị có hớng G= <X,U> xét 1 đỉnh x ∈ X, ta ký hiệu m+(x) là số các cung vào của đỉnh x, còn m-(x) là số các cung ra khỏi x Khi đó ta gọi m+(x) là bậc vào của đỉnh x còn m-(x) là bậc ra của đỉnh x

- Nếu m+(x) + m-(x) = 0 thì đỉnh x đợc gọi đỉnh là cô lập

- Nếu m+(x) + m-(x) = 1 thì đỉnh x đợc gọi là đỉnh treo

Ta đặt

Khi đó m(G) đợc gọi là bậc của đồ thị có hớng G = <X,U>

Trong đồ thị có hớng thì m+(x) = m-(x) = U 

Ví dụ:

- Xét đồ thị vô hớng nh trong hình 1.3.a ta có:

m(G) = m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 2 + 5 + 2 + 1 = 10

- Xét đồ thị có hớng trong hình 2.1 ta có:

m(G) = [m+(A) + m+(B) + m+(C) ] + [m-(A) + m-(B) + m-(C)]

= [1 + 2 + 1] + [2 + 1 +1] = 8

Định lý:

Cho đồ thị hữu hạn G = <X,U> khi đó bậc của đồ thị G bằng 2 lần số cạnh

của đồ thị, tức là m(G) = 2U .

Chứng minh:

Ta thấy một cạnh thuộc 2 đỉnh, nếu xoá một cạnh thì bậc của G giảm đi 2, nếu xoá một khuyên u = (x, x) thì bậc của G cũng giảm đi 2, còn nếu xoá hết cạnh, hết khuyên thì bậc của đồ thị bằng 0 Từ đó suy ra định lý

Hệ quả: Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị G = <X,U> là một số chẵn

Chứng minh:

Gọi A và B tơng ứng là tập đỉnh bậc lẻ và tập đỉnh bậc chẵn của đồ thị Ta có:

Do vế trái chẵn nên tổng vế phải cũng là số chẵn Mà tổng bậc của các đỉnh

bậc chẵn (x∈A) là số chẵn nên tổng bậc của các đỉnh bậc lẻ (x∈Β) phải là số chẵn, do tất cả các số hạng của nó là số lẻ, nên tổng này phải gồm một số chẵn các số hạng Vì vậy số đỉnh bậc lẻ phải là số chẵn

12

∑

∈

=

X x X

x

(x) m (x) m m(G)

∑

∑

∑

∈

∈

∈

+

=

=

B x A

x X

x

m(x) m(x)

m(x) 2m

2 đờng đi và chu trình

2.1 Đờng đi

Xét đồ thị G = <X,U> với

- Tập đỉnh X = {x1,x2, ,xn}

- Tập cạnh U = {u1,u2, ,um}

Tập hợp các đỉnh kề nhau từ xi đến xj đợc gọi là 1 đờng đi, kí hiệu

xixi1xi2 xj ≡ xiuixi1ui1xi2ui2 ujxj

Trong đó các cạnh, các đỉnh trong đờng đi có thể lặp lại

Độ dài của đờng đi bằng số các cạnh (hoặc cung) trong đờng đi đó.

*Chú ý rằng trong đồ thị có hớng, trên một cung uv chẳng hạn thì đờng đi chỉ

có thể đi từ gốc (u) đến ngọn (v) không thể đi ngợc lại

2.2 Chu trình

Xét một đờng đi từ xi - xj Nếu xi ≡ xj thì đờng đi này đợc gọi là một chu trình

Nh vậy chu trình là một đờng đi có đỉnh xuất phát và đỉnh kết thúc trùng nhau Chú ý rằng đờng đi trong đồ thị có hớng không đợc đi ngợc chiều mũi tên

- Đờng đi (chu trình) đợc gọi là đơn nếu nó đi qua mỗi cạnh không quá một lần

- Đờng đi (chu trình) đợc gọi là sơ cấp nếu nó đi qua mỗi đỉnh đúng một lần

Hình 3.1

Ví dụ nh ở hình 3.1 ADBE là một đờng đi sơ cấp từ A đến E độ dài 3;

ABCDBE là đờng đi không sơ cấp ( qua B 2 lần) từ A đến E độ dài 5; ABDAB

là một đờng đi không đơn (chứa cạnh AB 2 lần) từ A đến B độ dài 4; ABDA Là

1 chu trình đơn và sơ cấp độ dài 3; CC là đờng đi độ dài 0

Xét đồ thị có hớng nh hình 2.1 thì ABCB là một đờng đi độ dài 3; CBA không

là một đờng đi vì không có cung đi từ B đến A

Định lý:

Nếu trong đồ thị G = <X,U> các đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn 2 ( ∀x ∈ X | m(x) ≥ 2 ) thì trong G tồn tại ít nhất một chu trình

Chứng minh:

Xét tất cả các đờng đi đơn Vì đồ thị là hữu hạn cho nên số các đờng đi đơn là hữu hạn Chọn một đờng đi là dài nhất nào đó ví dụ từ xi1 đến xij +1 (xem hình vẽ

13

C

D

E

dới đây) Theo giả thiết m(x)≥ 2 nên tồn tại ít nhất một đỉnh xi0 và một cạnh nối

đỉnh xi1 và xi0 Đỉnh xi0 thuộc một trong các đỉnh trên đờng đi đã chọn chẳng hạn

xij vì đờng đi là dài nhất, nên chứng tỏ tồn tại một chu trình trong đờng đi

3 Đồ thị liên thông

Cho đồ thị G = <X,U> Hai đỉnh phân biệt x,y ∈ X đợc gọi là liên thông nếu tồn tại một đờng đi nối các đỉnh x, y với nhau Đồ thị G đợc gọi là liên thông nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ trong đồ thị đều là liên thông

Ví dụ nh hình 3.1 là một đồ thị liên thông vì luôn có đờng đi nối hai đỉnh bất

kỳ của đồ thị, còn đồ thị nh hình 3.2 là không liên thông vì không có đờng đi từ

A tới D hoặc từ D tới F v.v

Xét 2 đồ thị liên thông

G1 = <X1, U1> và G2 = <X2, U2>

Trong đó: X1 ∩ X2 = ∅

và U1 ∩ U2 = ∅

Khi đó: X = X1 ∪ X2

U = U1 ∪ U2

Thì G = <X,U> là đồ thị có 2 thành phần liên thông G1, G2

Hình 3.3

Ví dụ nh đồ thị trong hình 3.3 có ba thành phần liên thông sau:

G1 = <X1, U1> với X1= {A,B,C} và U1 = {AB, AC, CB}

G2 = <X2, U2> với X2= {D, E} và U2 = {DE}

G3 = <X3, U3> với X3= {F} và U3 = ∅

Cho đồ thị có hớng G = <X, U>

- G đợc gọi là đồ thị liên thông yếu nếu đồ thị vô hớng tơng ứng với nó là liên thông

- G là liên thông một chiều nếu với hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ của G luôn

có đờng đi x - y hoặc đờng đi y - x.

14

xi0

x i1 xi2 x

i3 x

ij x

ij+1

F

C

E D

n p b

c

- G là liên thông mạnh (liên thông 2 chiều) nếu hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ

của G đều có đờng đi x - y và đờng đi y - x.

Hình 3.4

ở hình 3.4 đồ thị H1 là liên thông mạnh, giả sử cặp đỉnh (A,C) ta có chiều đi

từ C tới A, và đồng thời cũng có chiều đi từ A tới C, và bất kỳ các cặp đỉnh khác cũng tơng tự nh vậy H2 là liên thông một chiều vì xét cặp đỉnh (A,D) có chiều

đi từ D tới A nhng không có chiều đi từ A tới D H3 là liên thông yếu vì tồn tại cặp đỉnh (B,C) không có chiều đi B - C cũng không có chiều đi C - B, nhng đồ thị vô hớng tơng ứng là liên thông

4 Đồ thị con và đồ thị bộ phận

Cho đồ thị G = <X,U>

- Nếu trong đồ thị đó ta bỏ đi một số đỉnh nào đó và các cạnh xuất phát từ đỉnh

đó thì phần còn lại của đồ thị đợc gọi là đồ thị con của đồ thị G đã cho, hoặc là nếu D = <X',U'> là đồ thị con của G = <X,U> thì X' ⊆ X và U' ⊆ U

- Nếu trong đồ thị G ta bỏ đi một số cạnh nhng giữ nguyên các đỉnh thì phần còn lại của đồ thị đợc gọi là đồ thị bộ phận của đồ thị G

IV Các dạng biểu diễn của đồ thị

1 Biểu diễn hình học của đồ thị

Để có cái nhìn trực quan ta thờng biểu diễn đồ thị bằng hình học, một đồ thị có thể biểu diễn trên một mặt phẳng hoặc trong không gian Phơng pháp biểu diễn

nh sau: Biểu diễn các đỉnh của đồ thị bằng các điểm (hay vòng tròn nhỏ, ô vuông nhỏ) và nối hai điểm bằng một đờng (cong, thẳng, mũi tên) khi cặp điểm đó ứng với một cạnh (cung) của đồ thị

Ví dụ 1: Cho đồ thị G = <X,U> trong đó

X = {A, B, C, D, E} và U = {AB, AC, AD, AE, BD, CD, CE}

15

C

D

C

D

C

D

D E

C

E B

A

n p b

c

a) b)

Hình 4.1

Hình 4.1.a và hình 4.1.b đều là biểu diễn hình học của đồ thị G đã cho ở trên

2 Sự đẳng cấu

Với mỗi đồ thị thì có thể có nhiều dạng biểu diễn hình học, có nhiều đồ thị tởng chừng khác nhau nhng đó là cách biểu diễn hình học khác nhau của cùng một đồ thị, sự đẳng cấu cho phép chúng ta kết luận đợc điều đó

Định nghĩa: Xét 2 đồ thị G1 = (X1, U1) và G2 = <X2, U2>

Hai đồ thị này đợc gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại 1 song ánh từ X1 vào X2 và

từ U1 vào U2 sao cho nếu có cạnh e = (u, v) ∈ U1 tơng ứng với cạnh e' = (u', v') ∈

U2 thì cặp đỉnh u, v ∈ X1 cũng là tơng ứng cặp đỉnh u', v' ∈ X2

Ví dụ xét 2 đồ thị G1 và G2 nh hình 4.2

Hình 4.2

Ta có f : G1 → G2

f(a) = m f(c) = n

f(d) = q f(b) = p

Nếu a, b ∈ X1 kề nhau thì f(a), f(b) ∈ X2 kề nhau

Vậy đây là 2 đồ thị đẳng cấu với nhau, ta có thể xem G1 và G2 thực chất chỉ là 1 chỉ có điều biểu diễn ở dạng hình học khác nhau, các tên đỉnh khác nhau

Để xét 2 đồ thị có đẳng cấu không là việc khó, tuy nhiên để xét 2 đồ thị không

đẳng cấu với nhau thì đơn giản hơn

Đối với 2 đồ thị đẳng cấu thì các đồ thị đó có những tính chất bất biến nh sau:

- Số đỉnh bằng nhau

- Số cạnh bằng nhau

- Bậc các đỉnh tơng ứng cùng nh nhau

- 2 Ma trận kề cũng nh nhau

- Các chu trình cũng nh nhau

16

p

q

c

d

3 Một số đồ thị đặc biệt

Do tính chất, dạng biểu diễn có những nét đặc thù riêng biệt nên ta phân loại một số đồ thị thành các dạng đặc biệt sau:

3.1 Đồ thị đều

Là một đồ thị mà mọi đỉnh có cùng bậc, nếu bậc này bằng k thì đó là đồ thị k -

đều

Hình 4.3 a: G- 1 đều; b: G - 2 đều; c: G - 2 đều; d: G - 3 đều.

Trờng hợp riêng nh đồ thị hình 4.3.b và hình 4.3.c là những đồ thị vòng ký

hiệu Cn (n là số đỉnh)

3.2 Đồ thị đầy đủ

Đồ thị đầy đủ n đinh, ký hiệu Kn là đơn đồ thị vô hớng mà mọi cặp đỉnh phân

biệt luôn kề nhau Xem ví dụ nh hình 4.4 dới đây hoặc 1 trờng hợp riêng của đồ

thị đều G - 3 là những đồ thị đầy đủ

Hình 4.4 a - đồ thị đầy đủ K 2 ; b - đồ thị đầy đủ K 4

3.3 Đồ thị bánh xe:

Ký hiệu Wn, thu đợc từ đồ thị vòng có n đỉnh bằng cách bổ sung một đỉnh mới nối tất cả các đỉnh đã có

Hình 4.5 Các dạng đồ thị bánh xe

17

3.4 Một vài ứng dụng của đồ thị đặc biệt

ở các mạng cục bộ (LAN), các máy tính thờng đợc kết nối theo một cách thức nào đó gọi là hình trạng (topolopy) Dựa theo đặc điểm của các totolopy này mà

ta có thể mô hình bằng 1 số dạng đồ thị đặc biệt Ví dụ với mạng LAN các máy tính đợc kết nối theo topolopy hình sao (Star) sau đây:

Hình 4.6

ở dạng này, tất cả các máy đợc nối vào một thiết bị trung tâm có nhiệm vụ nhận tín hiệu từ các máy và chuyển đến máy đích của tín hiệu Từ đặc điểm này

có thể mô hình bằng một đồ thị bộ phận của đồ thị bánh xe W6 nh hình 4.7.a

a) Dạng sao b) dạng vòng c) dạng hỗn hợp d) dạng đầy đủ (Complete)

Hình 4.7 Một số topolopy của LAN

ở mạng LAN ta cũng thờng có các dạng topolopy khác nh dạng chu trình (loop) hoặc gọi là vòng ở dạng này mỗi máy nối đúng với 2 máy khác Mạng cục bộ với cấu trúc vòng tròn đợc mô hình bằng các đồ thị đặc biệt dạng vòng Cn

nh hình 4.7.b, thông báo gửi từ máy này sang máy khác theo chu trình vòng

tròn cho tới khi tới đợc máy đích Hoặc 1 dạng nữa là dạng hỗn hợp, đó là sự kết hợp của dạng hình sao và hình vòng Topolopy kiểu này là một đồ thị bánh xe

Wn (hình 4.7.c) Mạng cục bộ dạng bánh xe các máy có thể truyền vòng quanh

theo vòng tròn hoặc có thể qua bộ phận trung tâm Ngoài ra ngời ta cũng thờng hay bố trí mạng sao cho các máy đều kết nối trực tiếp với nhau, với kiểu này có thể mô hình bằng đồ thị đầy đủ Kn (hình 4.7.d)

4 Biểu diễn đồ thị trên máy tính

18

Lĩnh vực đồ thị có nhiều ứng dụng trong thực tế, có thể mô hình nhiều ứng dụng bằng đồ thị và sử dụng máy tính để giải quyết các bài toán về ứng dụng đó Nên việc biểu diễn và lu trữ đồ thị trên máy tính là một vấn đề khá trọng tâm, phơng thức biểu diễn từng loại đồ thị trên máy tính ảnh hởng đến các giải thuật, phơng pháp giải quyết các ứng dụng trên máy tính

4.1 Biểu diễn bằng ma trận kề

Phơng pháp này dựa trên mối quan hệ giữa các cặp đỉnh, mỗi đồ thị đợc đặt

t-ơng ứng với một ma trận vuông cấp n (n là số đỉnh của đồ thị) Gọi ma trận kề là

A = (aij ) i,j = 1 n

+ Trờng hợp G = <X,U> là đồ thị vô hớng với X = {x1, x2, ,xn} khi đó mỗi phần tử aij của ma trận A đợc xác định nh sau: aij = aji = d, nếu cặp đỉnh (xi, xj)

có d cạnh nối với nhau Khi cặp đỉnh (xi, xj) không có cạnh nào nối với nhau thị

aij = 0 Ta thấy ma trận kề của đồ thị vô hớng là ma trận đối xứng

+ Trờng hợp G = <X,U> là đồ thị có hớng với X = {x1, x2, ,xn} thì mỗi phần

tử aij của A đợc xác định nh sau: đối với mỗi cặp đỉnh (xi, xj) từ xi đến xj nếu có

d cung thì aij = d Chú ý aji = 0 nếu không có cung nào hớng từ xj đến xi Ma trận

kề trong trờng hợp này là không đối xứng

Trong 2 trờng hợp trên ta chú ý nếu đỉnh xi có một khuyên thì phần tử tơng ứng của ma trận kề là aii = 1

Hình 4.8

Ta có thể dùng ma trận kề biểu diễn đồ thị G1 và G2 trong hình 4.8 nh sau:

Đối với đồ thị có trọng số mỗi cạnh e = (xi, xj) đợc gán một trọng số l(e) (còn

viết là l(xi, xj) ) thì ma trận kề của nó đợc thay bằng ma trận có trọng số, khi đó

mỗi phần tử của ma trận bằng trọng số của cạnh tơng ứng: aij = l(xi, xj)

19

























=

0 0 1 0

0 0 2 1

1 2 0 1

0 1 1 1 1

G

M





















=

0 1 1

0 1 0

1 1 0 2

G

M

A C

B

D

C

D