ldpc mã hóa chẵn lẻ mật độ thấp

Đặc điểm của đường truyền vệ tinh Để nêu bật những đặc điểm của truyền hình vệ tinh, trước hết ta định nghĩa một số khái niệm và mô tả cấu trúc vật lý của hệ thống này rồi từ đó rút ra n

Phần I.Giới thiệu hệ thống DVB-S2

1. Đặc điểm của đường truyền vệ tinh

Để nêu bật những đặc điểm của truyền hình vệ tinh, trước hết ta định nghĩa một số khái niệm và mô tả cấu trúc vật lý của hệ thống này rồi từ đó rút ra những đặc điểm kỹ thuật tất yếu đi kèm theo Trước hết là Quỹ đạo địa tĩnh (GEO): đây là quỹ đạo tròn xung quanh trái đât, nằm trong mặt phẳng xích đạo có độ cao khoảng 36786 km so với đường xích đạo Vệ tinh ở quỹ đạo này có tốc độ bay đồng bộ với tốc độ quay của Trái Đất (T=23g56’04’’) Do đó, vệ tinh gần như đứng yên so với các điểm trên Trái Đất Quỹ đạo địa tĩnh thích hợp hơn cho các loại hình thông tin quảng bá như: phát thanh, truyền hình… với tầm phủ sóng rộng lớn, còn cho thông tin thoại (yêu cầu thời gian thực cao) thì không được tốt, vì thời gian trễ do truyền sóng lớn (khoảng 0.25s)

Trên hình 1 ta thấy rằng do trái đất hình cầu nên để truyền tin xa cách tốt nhất là phát tin tức lên vệ tinh, rồi vệ tinh sẽ phát chuyển tiếp tin này đến các nơi trên mặt đất Đường truyền này không bị che chắn bởi bất cứ thứ gì chỉ có điều khoảng cách rất xa tín hiệu bị suy giảm cỡ 200dB và chịu can nhiễu trên một đường truyền dài Chú ý rằng vệ

tinh chỉ đóng vai trò phát đáp, tức là chuyển tín hiệu trên sóng mang thu được (tần số Uplink) sang tín hiệu trên sóng mang phát xuống (tần số Downlink) mà không trực tiếp

xử lý tínhiệu băng cơ sở

2 Vài nét lịch sử phát triển

Thế hệ vệ tinh thương mại đầu tiên là INTELSAT-1 hay Early Bird ra đời vào năm

1965 Đến đầu những năm 1970 các hệ thống vệ tinh đã có thể cung cấp các dịch vụ trao đổi thoại và truyền hình giữa hai lục địa Mới đầu vệ tinh chỉ đáp ứng được cho các tuyến dung lượng thấp, sau đó nhu cầu gia tăng tốc độ cũng như số lượng thông tin qua vệ tinh

đã thúc đẩy nhanh chóng việc hình thành các hệ thống vệ tinh đa búp sóng và các kỹ thuật sử dụng lại tần số cho sóng mang Kỹ thuật đầu tiên được dùng cho hệ thống vệ tinh

là truyền dẫn tương tự, sử dụng công nghệ FDM/FM/FDMA Sau đó để đáp ứng nhu cầu gia tăng thông tin, người ta đã tiến tới các phương thức truyền dẫn tiên tiến hơn như là SCPC/FM/FDMA (năm 1980) hay PSK /TDMA và PSK/CDMA Các phương thức về sau dựa trên truyền dẫn số qua vệ tinh để khai thác triệt để do kỹ thuật số mang lại Kỷ nguyên truyền dẫn thông tin băng vệ tinh thực sự có hiệu quả vào những năm 80 Khi đó, truyền dẫn qua vệ tinh đã tiết kiệm băng thông và giá thành khi sử dụng các kiểu điều chế QPSK và BPSK Những năm 90, công nghệ phát quảng bá qua vệ tinh đã phát triển rộng rãi sau khi ETSI công bố chuẩn DVB-S đầu tiên, kết hợp điều chế QPSK với sửa lỗi hướng truyền trong và ngoài (Viterbi và Reed-Solomon)

Cuộc cách mạng về mã sửa lỗi kết hợp với các cấu hình điều chế mới và một loạt các đặc tính mới là nền tảng làm nên tiêu chuẩn DVB-S2, còn gọi là truyền hình thế hệ 2 Đây là tiêu chuẩn mới nhất trong các tiêu chuẩn của ETSI về truyền dẫn thông tin vệ tinh Kiểu điều chế này cũng đã khép lại con đường tiệm cận giới hạn về mặt lý thuyết (giới hạn Shannon)

DVB-S2 với hiệu suất sử dụng băng thông tăng từ 30% đến 131% so với DVB-S đang được kỳ vọng sẽ đem lại hiệu quả to lớn khi được đáp ứng, với khả năng truyền dẫn đồng thời nhiều dịch vụ có tốc độ lơn như truyền hình có độ phân giải cao như HDTV, Internet tốc độ cao, truyền số liệu và các ứng dụng chuyên nghiệp… trên cùng một bộ phát đáp của vệ tinh mà hệ thống DVB-S trước đó khó có thể thực hiện được

3 Bước tiến từ DVB-S sang DVB-S2

Tiêu chuẩn DVB-S2 có sự thay đổi không nhiều trong cấu trúc so với DVB-S: trên hình 2, ta có thể thấy mã sửa sai trong Viterbi và mã sửa sai ngoài Reed-Solomon được thay thế bằng mã sửa sai LDPC (Low Density Parity Check) và BCH (Bose Chaudhuri-Hocquenghem) tương ứng Đây chính là điều cốt lõi tạo nên một bước nhảy vọt về hiệu suất sử dụng phổ vốn là một vấn đề gốc rễ trong truyền thông vô tuyến của bất kỳ quốc gia nào Chú ý rằng một mã sửa sai tốt hơn là một mã với cùng tỷ lệ mã và tỷ lệ lỗi chỉ cần tỷ số Eb/N0 nhỏ hơn (tất nhiên lý tưởng nhất là càng gần đến giới hạn Shannon) Khi

đó phần công suất Eb/N0 còn lại sẽ được tận dụng cho điều chế hạng M cao, điều này sẽ làm cho hiệu suất phổ tăng thêm nhiều (1.2-4.5 bit/Hz ở DVB-S2 so với 0.8-1.2 Bit/Hz trong DVB-S).

Ngoài ra, tiêu chuẩn mới cũng cung cấp các kiểu điều chế QPSK(2bit/Hz), 8PSK (3bit/Hz), 16APSK(4bit/Hz) và thậm chí là 32APSK (5 bit/Hz) So sánh với kiểu điều chế QAM, các cấu hình điều chế APSK (Amplitude and Phase-Shift Keying) cho phép việc bù dễ dàng với bộ bù phát đáp Transponder phi tuyến Sự khác nhau nữa và cũng là hiệu quả của DVB-S2 so với DVB-S là khả năng kết hợp các dòng dữ liệu vào một sóng mang, điều chế, mã hóa thay đổi và tương thích (VCM và ACM) và cấp bên trong dòng

dữ liệu không phải MEPG (non-MEPG)

Sự kết hợp các dòng dữ liệu khác nhau sẽ làm tăng số lượng tín hiệu truyền tải trên một sóng mang Trong thực tế, điều này có thể xem như sử dụng bộ ghép kênh (MUX), những lại không phải chịu những bất lợi từ việc định lại tham chiếu thời gian, chương trình PCR và sự thay đổi thông tin dịch vụ - thông tin đặc trưng chương trình (SI – PSChức năng điều chế và mã hóa thay đổi - VCM (Variable Coding and Modulation) cho phép xác định một cấu hình điều chế khác nhau và mức sửa lỗi cho mỗi dòng dữ liệu riêng biệt trên cùng một sóng mang Chức năng điều chế và mã hóa tương thích - ACM (Adaptive Coding and Modulation) cho phép thay đổi động cấu hình điều chế và mức bảo

vệ lỗi cho mỗi khung dữ liệu phù hợp với chất lượng kênh truyền Khi kết hợp các dòng

dữ liệu với các đầu cuối thu có cơ cấu hồi tiếp, tính năng ACM đặc biệt thích hợp cho việc tối ưu băng thông cho một mạng tương tác: các thông số truyền dẫn có thể được tối

ưu cho mỗi bộ đầu cuối và các ảnh hưởng do thời tiết như là fading do mưa có thể được

bù dễ dàng và an toàn DVB-S2 được ví như là một bộ công cụ cho các dịch vụ tương tác: Điều chế và mã hóa cao cấp, tryền tải bất kỳ dạng (format) dữ liệu nào Mục tiêu của

bộ công cụ DVB-S2 là một hệ thống đơn phục vụ cho các ứng dụng khác nhau DVB-S2 với hiệu suất sử dụng băng thông tăng từ 30% đến 131% so với DVB-S đang được kỳ vọng sẽ đem lại hiệu quả to lớn khi được ứng dụng, với khả năng truyền dẫn đồng thời nhiều dịch vụ có tốc độ lớn như truyền hình có độ phân giải cao HDTV, Internet có tốc

độ cao, truyền số liệu và ứng dụng chuyên nghiệp… trên cùng một bộ phát đáp vệ tinh

mà hệ thống DVB-S trước đó khó có thể thực hiện được

4.Kết luận

DVB-S2 là tiêu chuẩn mới nhất trong hệ thống tiêu chuẩn DVB cho các ứng dụng

vệ tinh băng rộng, với hiệu suất sử dụng băng thông tăng từ 30% đến 131% so với công nghệ DVB-S hiện nay Công nghệ này thực sư là bộ công cụ hữu hiệu cho các dịch vụ tương tác qua vệ tinh Tổ chức DVB không cho rằng DVB-S2 sẽ thay thế cho DVB-S trong một thời gian ngắn trong lĩnh vực quảng bá truyền hình thông thường Vì rằng hàng triệu bộ giải mã DVB-S đang hoạt động tin cậy và đóng góp vào những thành công thương mại vệ tinh số trên toàn cầu nên các ứng dụng mới chỉ được dự tính phát qua vệ tinh như truyền dẫn HDTV và phân phối các dịch vụ dựa trên nền IP sẽ thực hiện hiệu quả dựa trên hệ thống DVB-S2 Việc kết hợp DVBS2 và cấu hình mã hóa video và audio mới (ví dụ như H.264/AVC/VC-9) có thể phát 21-26 chương trình SDTV hoặc 5-6 chương trình HDTV trên một Trasponder 36Mhz Trong các ứng dụng truyền dẫn chuyên nghiệp, DVB-S2 có khả năng cung cấp điều chế và mã hóa tương thích (ACM), tính năng này có hiệu quả lớn với các dịch vụ điểm điểm như là các trạm DSNG nhỏ Trong các ứng dụng mới này, hệ thống DVB-S2 sẽ làm được những điều mà hệ thống DVB-S không thể làm được Hiện nay, DVB-S2 đang được ứng dụng phát thử nghiệm truyền hình có độ phân giải cao HDTV tại Châu Âu trên 2 vệ tinh ASTRA và EUTELSAT I)

Phần II: Mã kiểm tra chẵn lẻ LDPC 1.Giới thiệu mã LDPC

Cuối thế kỷ 20 và đầu thế kỷ 21, hàng loạt các loại mã được phát minh Trong đó phải kể tới một số loại mã điển hình như: Reed-Solomon, Turbo, mã xoắn, mã TCM…Chính vì vậy đã có người nói rằng đây là thế kỷ của lý thuyết mã hóa Cũng trong thời gian đó, một loại mã có tên là mã kiểm tra chẵn lẻ mật độ thấp LDPC (Low Density Parity Codes) đã ra đời Khi Mackay chứng minh nó có khả năng tiệm cân tới hạn Shannon ngay lập tức nó gây được sự chú ý tới các nhà khoa học

Mã LDPC (Low-Density Parity-Check code – Mã kiểm tra chẵn lẻ mật độ thấp), hay còn gọi là mã Gallager, được đề xuất bởi Gallager vào năm 1962 Ngày nay, người ta

đã chứng minh được các mã LDPC không đều có độ dài khối lớn có thể tiệm cận giới hạn Shannon Về cơ bản đây là một loại mã khối tuyến tính có đặc điểm là các ma trận kiểm tra chẵn lẻ (H) là các ma trận thưa (sparse matrix), tức là có hầu hết các phần tử là 0, chỉ một số ít là 1 Theo định nghĩa của Gallager, ma trận kiểm tra chẵn lẻ của mã LDPC còn

có đặc điểm là mỗi hàng chứa đúng i phần tử 1 và mỗi cột chứa đúng j phần tử 1 Một mã LDPC như vậy sẽ được gọi là một mã LDPC đều (n, j, i), trong đó n là độ dài khối của

mã và cũng chính là số cột của ma trận H Hình 1 trình bày ma trận kiểm tra chẵn lẻ của một mã LDPC đều (20, 3, 4) Tại thời điểm ra đời của mã LDPC, năng lực tính toán của máy tính còn khá hạn chế nên các kết quả mô phỏng không phản ảnh được khả năng kiểm soát lỗi cao của mã này Cho đến tận gần đây, đặc tính vượt trội của mã LDPC mới được chứng minh và Mackay và Neal là hai người được coi là đã phát minh ra mã LDPC một lần nữa nhờ sử dụng giải thuật giải mã dựa trên giải thuật tổng-tích (sum-product algorithm)

Hình 1: Ma trận kiểm tra chẵn lẻ của một mã LDPC đều (20, 3, 4)

Từ định nghĩa ban đầu của Gallager, Luby cùng các tác giả khác đã đánh dấu một bước tiến quan trọng của mã LDPC trong việc đưa ra khái niệm mã LDPC không đều Đặc điểm của các mã này là trọng lượng hàng cũng như trọng lượng cột không đồng nhất Các kết quả mô phỏng cho thấy các mã LDPC không đều được xây dựng phù hợp

có đặc tính tốt hơn các mã đều Tiếp theo đó, Davey và Mackay khảo sát các mã không đều trên GF(q) với q>2 (GF: Galois Field – Trường Galois) Theo các tác giả này, khả năng kiểm soát lỗi của loại mã trên GF(q) được cải thiện đáng kể so với các mã trên GF(2) Việc biểu diễn mã LDPC bằng đồ hình (graph) đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng các giải thuật giải mã Tanner được coi là người đề xuất các mã dựa trên đồ hình Nhiều nhà nghiên cứu khác đã phát triển các đồ hình Tanner và các đồ hình thừa số (factor graph) chính là một dạng tổng quát của đồ hình Tanner Các giải thuật giải mã xác xuất lặp thường được sử dụng để giải mã cho mã LDPC McEliece cùng các tác giả khác

đã chứng minh rằng các giải thuật giải mã này có thể được xây dựng từ giải thuật truyền belief Pearl, hay còn gọi là giải thuật truyền thông báo (message passing algorithm), một giải thuật được sử dụng khá phổ biến trong ngành trí tuệ nhân tạo Kschischang cùng các tác giả khác đã tổng quát hoá giải thuật truyền thông báo để xây dựng giải thuật tổng-tích Đây là một giải thuật có thể được áp dụng trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật như trí tuệ nhân tạo, xử lí tín hiệu và thông tin số Cấu trúc các mã LDPC cũng là một đề tài nghiên cứu của nhiều nhà lí thuyết thông tin Các phương pháp được sử dụng có thể là các phương pháp giải tích hoặc ngẫu nhiên Cấu trúc đầu tiên của mã LDPC được đề xuất bởi Gallager sử dụng phương pháp hoán vị ngẫu nhiên cột ma trận Với mục đích giảm số lượng vòng kín ngắn (short cycle) trong đồ hình Tanner của mã LDPC, Mackay đã đưa ra một số cấu trúc ngẫu nhiên khác, với các ma trận kiểm tra chẵn lẻ có số bit 1 chồng nhau giữa hai cột bất kì không quá 1 Trong khi đó, các phương pháp tạo mã giải tích chủ yếu

dựa trên hình học hữu hạn (finite geometry) và thiết kế tổ hợp (combinatorial design) Kou cùng các tác giả khác đã đề xuất bốn lớp mã LDPC dựa trên hình học Ơ-clit (Euclidean geometry) và hình học chiếu (projective geometry) [8] Do đặc điểm là các

mã này có thể được đưa về dạng mã vòng (cyclic) hoặc gần-vòng (quasi-cyclic), nên việc

mã hoá có thể sử dụng thanh ghi dịch Các mã LDPC dựa trên thiết kế tổ hợp được xây dựng từ các hệ Steiner và hệ Kirkman, một trường hợp đặc biệt của hệ Steiner Mackay

và Davey đã khảo sát các mã từ hệ Steiner cho các ứng dụng độ dài khối thấp và tỉ lệ mã cao Các mã này không có các vòng kín độ dài 4, tuy nhiên đặc tính khoảng cách Hamming tối thiểu của chúng khá kém Hiện nay, các mã xây dựng trên các hệ ba Kirkman (Kirkman triple system) đang được nghiên cứu tại Đại học New Castle (Úc)

2 Đồ hình Tanner

Lúc đầu, mã LDPC được biểu diễn qua ma trận chẵn lẻ H Tuy nhiên, hiện nay, một

trong những cách được coi là hiệu quả nhất đề biều điễn mã LDPC đó chình là thông qua

đồ hình Tanner Trước khi, tìm hiều cách biểu diễn của mã LDPC thì chúng ta sẽ tìm hiểu

qua về đồ hình Tanner Đây là một đồ thị hai phía, bên trái gọi là nut bit còn bên phải gọi

là nut kiểm tra Đối với mã khối tuyến tính thì đồ hình tanner tỏ ra rất hiệu quả.Thật vây,

1 1 0 0 0 1

0 1 0 1 1 0

0 0 1 0 1 1 H

Khi đó, đồ hình sẽ biểu diễn như sau:

Hình 3.2 Đồ hình Tanner với ma trân H

Trong đồ hình Tanner trên chúng ta có thể thấy rằng :

 Các nút bít và các nút kiểm tra được bố trí ở 2 bên đối xứng nhau

 Nút kiểm tra z i nối với nút bít c j khi và chỉ khi H(i,j)=1

Thực chất của việc biểu diễn này là biểu diễn hệ phương trình được suy ra từ ma trân

kiểm tra H Trong đó, các nút kiểm tra z i tương ứng với các hàng còn các nút bit c j tương

ứng với các cột của ma trận kiểm tra H

Chú ý rằng, z i ở đây là tổng nhưng mà là tổng modul2 của tất cả các phần tử c j khi

H(I,j)=1.

Xét ví dụ 3.1 ta sẽ có hệ phương trình sau:

4 2

1

1 c c c

z2 =c2 ⊕c3 ⊕c5

(3.2)

6 5

1

3 c c c

6 4

Giả sử như trong ví dụ 3.1 ta có một trong những chu kỳ Tanner đó chính là c6 →

z4→ c4 → z1 → c1 → z3 → c6 Chiều dài của chu kỳ này là 6 tức là số bước để khép kín một vòng của một chu kỳ Tanner

Người ta đã chứng minh được rằng nếu như một mã LDPC có chiều dài chu kỳ Tanner nhỏ hơn 4 thì hiệu quả của mã này sẽ rất thấp Do đó, trong khi xây dựng một mã LDPC chúng ta phải đặt biệt quan tâm tới điều này Có thế coi đây là một trong những tiêu chuẩn quan trọng để xây dựng một mã LDPC tốt

3 Xây dựng mã LDPC

3.1 Phương pháp của Gallager

Mã LDPC được Gallager đưa ra trong nhưng năm 60 với cấu trúc cũng rất đơn giản Đó là một loại mã được đặc trưng bởi 1 ma trận rất nhiều số 0 và rất ít số 1 Để xây dựng loại mã này thì ông đã đưa ra cấu trúc của ma trận kiểm tra H như sau:

H H H

H

3 2 1

gồm tất cả w r giá trị 1 trong đó các cột từ (i-1)w r +1 tới iw r

 Các ma trận con khác là hoán vị của ma trận H 1

Điều này sẽ được rõ ràng hơn khi xét ví dụ sau:

3.2 Phương pháp của Mackay

Dựa trên phương pháp của Gallager, Mackay đã đưa ra một số các phương pháp nhằm cải tiến hơn nữa hiệu quả khi xây dưng mã LDPC Cũng chính ông đã là người đầu tiên chứng minh lợi ích khi sử dụng ma trận nhị phân thưa Các phương pháp của ông đưa ra rất nhiều, có thể điểm qua tên một số phương pháp như sau:

1. Khởi tạo ma trận H toàn 0 sau đó cho giá trị 1 trượt ngẫu nhiên trên các cột

2. Khởi tạo ngẫu nhiên ma trận H có trọng lượng cột bằng w c

3. Khởi tạo ma trận H ngẫu nhiên có trọng số cột là w c và trọng lượng hàng xấp xỉ

hơặc bằng w c

4. Khởi tạo ma trận H như trên nhưng trong H không có 2 cột nào trùng nhau các vị

trí của số 1

5. Khởi tạo ma trận H như phương pháp 4 nhưng chiều dài chu kỳ Tannner phải lớn hơn 4

6. Khởi tạo ma trận H như phương pháp 5 nhưng H có dạng H=[H 1 , H 2 ] trong đó H 2

phải là ma trận khả nghịch tức là tồn tại ma trận nghịch đảo

Phương pháp của Mackay đưa ra có thể tránh được chu kỳ Tanner ngắn Nhưng xét về tính cấu trúc thì phương pháp này chưa được hoàn hảo Vì mục đích muốn đạt được là có thể tạo ra một bộ mã hóa tự động tức là có thể lập trình được, đồng thời độ phức tạp thấp

Do phương pháp này thiếu tính cấu trúc do đó khó mà có thế đảm bảo độ phức tạp của thuật toán như mong muốn

3.3 Phương pháp của Eleftheriou và Olcer

Thực chất của các phương pháp này đều tập trung đi vào xây dựng ma trân H Tuy

nhiên, các phương pháp trên vẫn tồn tại các nhược điểm hoặc là độ phức tạp thuật toán cao Thật vậy, đơn cử như phương pháp của Gallager và Mackay thì nó không có tính cấu trúc do dó rất khó khăn trong việc xây dựng bộ mã hóa với độ phức tạp thấp Còn phương

pháp thiết kế khối không cân bằng BIBD thì quá phức tạp để đưa ra một ma trận H mong muốn Do đó, chúng ta sẽ đi xét một thuật toán xây dựng ma trận H khá đơn giản mà hiệu

quả Đó là thuật toán của Eleftheriou và Olcer

Thuật toán tạm chia làm 2 bước chính sau:

 Bước 1 : Chúng ta có ma trân H dạng như sau :

A là ma trận thu được khi dịch vòng trái hoặc phải 1 bít các hàng I.

Chúng ta thực hiện dịch vòng ma trận như sau :

- Hàng thứ nhất giữ nguyên

sẽ là giảm hiệu quả của mã

C=[p|u]

Với ( 1)

2 1

T T

H=[I n-k |P]

Với P là ma trận kích thước (n-k)×k và I n-k là ma trận đơn vị kích thước

(n-k)×(n-k) Ma trận sinh G được xác định theo công thức:

Trước hết ta đưa ma trận H về dạng ma trận bậc thang hàng (row-echelon) bằng

các phép toán trên các phần tử hàng trong trường nhị phân GF(2) Theo đại số tuyến tính, phép toán trên các phần tử hàng không làm thay đổi cấu trúc của mã Với ma trận H trên

ta thay thế hàng thứ 4 bằng tổng modul2 của hàng 1 và hàng 4, hoán vị hàng 3 và hàng 5 Cuối cùng thay thế hàng 5 bằng tổng modul2 của hàng 5 và hàng 4, kết quả ta được ma

Bước tiếp theo ta đưa ma trận về dạng bậc thang thu gọn (reduced row –echelon)

bằng cách thực hiện phương pháp khử để khử các phần tử phía trên đường chéo Thứ tự thực hiện như sau: khử phía trên đường chéo cột 2 bằng cách thay thế hàng 1 bằng tổng modul2 của hàng 1 và hàng 2, tương tự cho đường chéo cột 3, thay thế hàng 2 bằng tổng modul2 của hàng 2 và hàng 3, với cột 4 thay thế hàng 1 bằng tổng modul2 của hàng 1 và hàng 4 Cuối cùng với cột 5 ta thay thế hàng 1 bằng tổng modul2 của hàng 1 hàng 5 và hàng 3, hàng 2 bằng tổng modul2 của hàng 2 và hàng 5, hàng 4 bằng tổng modul2 của hàng 4 và hàng 5 Kết quả ta có ma trận dạng thu gọn :

Tuy nhiên vấn đề khó khăn ở phương pháp này là ma trận G không bảo đảm được tính thưa như ma trận H Phương trình mã hóa c = uG được thực hiện ở bộ mã hóa có độ phức tạp gần chính xác bằng n 2 phép tính Đối với các mã có độ dài từ mã lớn, hàng

ngàn đến hàng trăm ngàn bít thì bộ mã hóa sẽ trở nên cực kỳ phức tạp Để giảm bớt tính phức tạp trong mã hóa ta có thể sử dụng các ma trận có dạng cấu trúc Tuy nhiên với những ma trận có tính ngẫu nhiên ta có thể sử dụng phương pháp mã hóa trực tiếp trên

ma trận H thông qua biến đổi H về dạng ma trận tam giác dưới Phương pháp này được

trình bày ở phần sau đây

4.2 Mã hóa LDPC dùng ma trận kiểm tra chẵn lẻ H

Khác với phương pháp trên là tìm ma trận G từ ma trận H cho trước sau đó thực hiện mã hóa với G Một mã LDPC cũng có thể được mã hóa bằng việc sử dụng trực tiếp

ma trận H nhờ biến đổi về dạng gần tam giác dưới Ý tưởng của phương pháp này là sử dụng chủ yếu các hoán vị hàng và cột sao cho vẫn giữ được đặc điểm thưa của ma trận H

Trước hết chỉ hoán vị hàng và cột để đưa ma trận về dạng gần như tam giác dưới

T B A

Với T là ma trận tam giác dưới, nghĩa là T có các giá trị 1 trên đường chéo từ trái qua phải, các phần tử ở trên đường chéo bằng 0, kích thước (m-g)×(m-g) B là ma trận kích thước (m-g) ×g và A là ma trận kích thước (m-g) ×k, C có kích thước là g×k và D có kích thước là g×g, E có kích thước là g×(m-g) Trong đó k là chiều dài bản tin, n là độ dài khối của mã, m là số bít kiểm tra m=n-k và g gọi là gap, nói một cách gần đúng thì g

càng nhỏ độ phức tạp của mã hóa càng thấp Để minh họa phương pháp này ta xét ví dụ sau:

Thực hiện mã hóa bản tin u=[1 1 0 0 1] với chiều dài từ mã bằng 10, tỷ lệ 1/2, với

H cho trước như ở ví dụ trên:

lần tương đương với việc nhân ma trận

I ET

0 I

I ET

0 I

T B

0 1

1

0 0

I ET

0 I

0 1 1 1 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

Cuối cùng để mã hóa bản tin sử dụng ma trận